高中数学一轮复习专题学案——直线与圆 圆与圆
高二小高考后数学一轮复习学案直线与圆、圆与圆的位置关系
49 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础训练1．已知圆22:450C x y x y a ++-+=，若点(0,0)O 在圆C 内，则a 的取值范围是 ；若点(0,0)O 在圆外，则a 的取值范围是 ．2．已知集合{}22(,),,1A x y x y R x y =∈+=且，{}(,),,B x y x y R y x =∈=且，则集合A B中元素的个数为 ．3．圆22:64C x y +=,则（1）圆2280x y x +-=与圆C 的位置关系是 ；（2）圆2220960x y x +++=与圆C 的位置关系是 ；（3）圆22302210x y x +-+=与圆C 的位置关系是 ；（4）圆2240x y x ++=与圆C 的位置关系是 ；（5）圆2214400x y x +++=与圆C 的位置关系是 ．4．直线20x y +=被圆2262150x y x y +---=截得的弦长等于 ．5．自点(1,1)A -引圆22(3)(4)1x y -+-=的切线，切点为T ，则AT = ．6．过点(2,0)-，且与圆221x y +=相切的直线的方程是 ．7．圆221x y +=与圆22(1)(1)1x y -+-=的公共弦所在的直线的方程是 ．8．圆1C ：222220x y x y +++-=与圆2C ：224210x y x y +--+=的公切线长 ．二、例题精讲例1．已知直线l ：5120x y a ++=，圆C ：2220x y x +-=．（1）若l 与圆C 相切，求a 的值；（2）若l 与圆C 相交，求a 的取值范围；（3）若l 与圆C 相离，求a 的取值范围；（4）若l 被圆C 截得的弦长为1013，求a 的值．例2．设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且直线10x y -+=被圆截得的弦长为例3．过点(2,4)M 向圆C ：22(1)(3)1x y -++=引两条切线，切点分别为,P Q ．求：（1）直线PQ 的方程；（2）切点弦PQ 的长．例4．如图，圆M 的方程为22(3)(4)5x y -+-=，圆N 的方程为22440x y x y λ+-++=．过点(0,3)P 作圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；过点P 作圆N 的两条切线，切点分别为,C D ．当AB CD ⊥时，求λ的值．三、巩固练习 1．若点(3,1)P 是圆224210x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 ，弦AB 长等于 ．2．从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ．3．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是 ．4．圆222430x y x y +++-=上到直线50x y ++=的点共有 个．四、要点回顾1．解决直线与圆的有关问题应注意灵活应用一元二次方程根的判别式．要善于利用直线与圆的几何知识解题．圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．判断直线与圆的位置关系，常用两种方法：○1几何方法：圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，d r >时，相离；d r =时，相切；d r <时，相交．○2代数方法：把直线方程与圆的方程联立、消元化成一元二次方程，判别式0∆<时，相离；0∆=时，相切；0∆>时，相交．直线与圆、圆与圆的位置关系作业1．直线1y ax =+与圆22230x y x +--=的交点的个数是 ．2．若两圆相交与两点(1,3)和(,1)m -，且两圆圆心都在直线0x y c -+=上，则m c += ．3．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)的最长弦与最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．4．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，60APB ︒∠=，则点(,)P x y 中,x y 满足的关系为 ．5．若直线4320x y --=与圆()()22216x a y -++=有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．6．（2011江苏卷）设集合()()222,2,,2m A x y x y m x y R ⎧⎫=≤-+≤∈⎨⎬⎩⎭， (){},221,,B x y m x y m x y R =≤+≤+∈．若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ． 7．由点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，若反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线的方程．8．一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，在y x =上截得的弦长为9．如图，已知00(,)P x y 是圆C ：()2241x y +-=外一点，过点P 作圆C 的切线，切点为,A B ，记四边形PACB 的面积为()f P ．（1）当点P 的坐标为(1,1)时，求PA ；（2）当点P 的坐标为(1,1,)时，求()f P 的值；（3）当00(,)P x y 在直线l ：3460x y +-=上运动时，求()f P 的最小值；（4）当00(,)P x y 在圆D ：()()22414x y ++-=上运动时，指出()f P 的取值范围．10．已知圆C ：()224x y a +-=，点(1,0)A ． （1）当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；（2）设,AM AN 是圆C 的两条切线，,M N 为切点，当5MN =时，求MN 所在直线的方程．。
高中数学一轮复习9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)二、常用结论考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系[典例] 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[变透练清]1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[课时跟踪检测]1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( )A ．±5B ．±5C ．3D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．。
直线与圆、圆与圆的位置关系 学案-高三数学一轮复习
例3.已知点P( ＋1,2－ )，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程。
问题4.已知切点怎样求圆的切线方程
问题5.已知过圆外一点怎样求圆的切线方程
考点3：圆与圆的位置关系
例4.分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．
3.已知直角坐标平面上的点A（-2,3）和圆C： ，一条光线从点A射出经x轴反射后与圆C相切，求反射后的光线方程
4．已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．
(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；
(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线段长及CD所在直线的方程.
考点1：直线与圆的位置关系
例1.在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是()
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
问题1：如何判断圆与直线的位置关系？
代数法：
几何法：
变式：直线 与圆 交点个数为（ ）
A．2B．1
C．0D．不确定
学 案 内 容
B组
5．已知圆C: 及直线 .
（1）求证：对 R，直线 与圆C总有两个不同的交点；
（2）求直线 与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线 的方程．
C组体验高考
6.(2017·全国卷I).已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆C： ，交于M,N两点。
（1）求k的取值范围；
（2）若 ,其中O为坐标原点，求
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：直线与圆、圆与圆的位置关系
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d＜r Δ＞0相切d＝r Δ＝0相离d＞r Δ＜02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d＞r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)无解1．对直线与圆位置关系的理解(1)直线y＝k x＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(3)(2013·浙江卷改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于2 5.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)(2013·陕西卷改编)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．(2)(2012·江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1.故直线与圆O 相交．(2)法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)．法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (1)相交 (2)(2，2)规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的________条件．(2)(2014·郑州模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是________．解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案 (1)充分不必要 (2)⎝⎛⎭⎪⎫1，233 考点二 圆与圆的位置关系【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2(11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.解析(1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x －a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.答案(1)相交(2)8考点三有关圆的弦长问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程．审题路线(1)画图⇒从图中寻找弦心距与弦的一半、半径的关系⇒求弦心距⇒由点到直线的距离公式可求直线的斜率k⇒注意考虑斜率k的特殊情况⇒得到所求直线方程．(2)设出直线l的方程⇒直线与圆方程联立方程组⇒消去y⇒写出根与系数的关系⇒代入弦长公式求k⇒注意考虑k的特殊情况⇒得到所求直线l的方程．解法一如图所示，AB＝43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝23，圆x2＋y2＋4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2,6)，半径r＝4，故AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝k x ，即k x －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0； 当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0. 则y 2－12y ＋24＝0，∴y 1＝6＋23，y 2＝6－23， ∴|y 2－y 1|＝43，故x ＝0满足题意； ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.法二 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线的方程为y －5＝k x ，即y ＝k x ＋5，联立直线与圆的方程，得⎩⎨⎧y ＝k x ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k )x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，x 1x 2＝－111＋k 2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 4 3.将②式代入，解得k ＝34， 此时直线的方程为3x －4y ＋20＝0.当k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0， ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.规律方法 (1)若能求出直线与圆的两交点A ，B 的坐标，则弦长l ＝|AB |.(2)利用勾股定理：若弦心距为d ，圆的半径为r ，则由图可知，弦长|AB |＝2r 2－d 2.(3)利用弦长公式：|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(方程联立，消去y (或x )，再利用根与系数的关系可得)．【训练3】 设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析 ∵l 与圆相交所得弦的长为2，1m 2＋n 2＝4－1，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3. 答案 31．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2].答题模板9——与圆有关的探索问题【典例】(12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B 关于直线y＝k x－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．[规范解答]圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A，B满足条件，则圆心C(1，－2)在直线y＝k x－1上，即k＝－1.(2分)于是可知，k AB＝1.设l AB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0.解得－3－32＜b＜－3＋3 2.(6分)设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12＋2b－2.2b由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0，(8分)也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0.(10分) 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ＞0，(11分)即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.(12分)[反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB .转化为OA →·OB→＝0.答题模板 第一步：假设符合要求的结论存在.第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解.第三步：确定符合要求的结论存在或不存在.第四步：给出明确结果.第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范.【自主体验】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝k x －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝k x －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需保证圆心C 到y ＝k x －2的距离不大于2即可．圆心C (4,0)到直线y ＝k x －2的距离d ＝|4k －2|(－1)2＋k2＝|4k －2|1＋k 2，由题意知|4k －2|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k max ＝43.答案 43基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得x 2＋x ＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1＞0，所以直线与圆相交．又圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．法二 圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y ＝x ＋1距离d ＝12＝22. 又0＜22＜1所以直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交但直线不过圆心． 答案 相交2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 解析 两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 相交3．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即k x －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝04．(2013·安徽卷改编)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为________．解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，∴直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为2(5)2－12＝4. 答案 45．(2014·威海期末考试)若直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为________．解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.答案 k ＝12，b ＝－46．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案 [－3,1]7．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝08．(2014·盐城二模)两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m 、c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m 2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案 3二、解答题9．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)． 过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小． ∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255， 圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的结论是________． 解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 ①2．(2014·长沙模拟)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是________．解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2.因为圆关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离为d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝2a 2－8a ＋26＝2(a －2)2＋18.所以当a ＝2时，d 有最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4.答案 43．(2013·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1＞1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1. 答案 4二、解答题4．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝13|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±5，∴Q(±5，0)，∴MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.。
2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题45直线与圆、圆与圆的位置关系(教学案)Word版含解析
专题45直线与圆、圆与圆的位置关系（教学案）1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：高频考点一 直线与圆的位置关系问题【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 (2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233点，则1＜m ＜233.答案 (1)B (2)D【感悟提升】(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决．【变式探究】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1，0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m （1＋1）－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B. 答案 (1)A (2)B高频考点二 圆的切线与弦长问题【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标.由两点间的距离公式得|PQ |＝4. 答案 (1)4π (2)4【举一反三】已知点M (3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解 (1)圆心C (1，2)，半径r ＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴圆的切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意得|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 【方法规律】(1)弦长的两种求法①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.②几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. (2)圆的切线方程的两种求法①代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .②几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .【变式探究】 (1)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.学@科网 答案 (1)2 2 (2)4高频考点三 圆与圆的位置关系【例3】(1)(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32C.94D.2 3 解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据均值不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立. 答案 (1)B (2)C【举一反三】 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255， 圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45规律方法 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． 【变式探究】 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________．(2)两圆x 2＋y 2－6x ＋6y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0公切线的条数是________．解析 (1)圆C 1和圆C 2的标准方程为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3，2.当两圆外切时，（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，解得m ＝2或m ＝－5.(2)两圆圆心距66－64＜d ＝74<66＋64， ∴两圆相交，故有2条公切线． 答案 (1)2或－5 (2)2高频考点四 直线与圆的综合问题例4、过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 答案 C【变式探究】已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.【举一反三】(1)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________； 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． ①与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； ②与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； ③过切点A (4，－1)．解 ①设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0； ②设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.【感悟提升】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 【变式探究】(1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________．答案 (1)2 2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233即a 2＋a ＋9>0，解得a ∈R .学科&网又4－3a 2>0时x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0才表示圆，故可得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233.1.【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
直线与圆讲义-2025届高三数学一轮复习
直线与圆知识点及典型例题1.直线的倾斜程度用倾斜角表示，倾斜角的范围是：倾斜角与斜率的关系是：斜率如何随倾斜角的变化而变化：注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.②当α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在.90=③过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线斜率公式k=2.直线的方程：名称形式适用条件3.平面内两直线的位置关系：平行相交相交中的垂直重合斜截式一般式4.距离公式：点到点：点到线：两条平行线间：5.圆的定义：6.圆的方程：（标准式）圆心为半径为（一般式）圆心为半径为7.点与圆的位置关系及成立条件：8.直线与圆的位置关系及成立条件：位置关系图形表示交点个数（）d,r的关系圆上的点到直线距离的最大值与最小值涉及到弦长问题要想垂径定理构造直角三角形在圆上某点（x 0，y 0）处的切线方程：9.求圆与圆的位置关系：10.两个圆的方程相减得到的是： 11.曲线轨迹方程的方法有： 12.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：类型一：直线的问题1.与直线ℓ:2x +3y +5=0平行且过点A(1,−4)的直线ℓ′的方程是__________。
2.已知二直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my −1=0，若l 1⊥l 2，l 1在y 轴上的截距为-1，则m =_____，n =____.3. 经过两直线11x －3y －9＝0与12x ＋y －19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_______. 位置关系 图形表示公切线条数 d,r 1,r 2的关系4.已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：⑴BC边上的高所在直线方程；⑵AB边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程.类型二：对称问题5.求点A(0,1)关于点B（1，3）的对称点6. 求点A(0,1)关于直线l1：x−y−1=0的对称点7.求直线l1：x−y−1=0 关于点A(0,1)的对称线。
2022届高中数学(理科)【统考版】一轮复习学案：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 【含解析】
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系【知识重温】一、必记4个知识点 1．直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 ――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0⇔① Δ＝0⇔② Δ＜0⇔③(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系d ＜r ⇔④______；d ＝r ⇔⑤______；d ＞r ⇔⑥______.2．圆的切线方程若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为⑦____________.3．直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有r 2＝⑧____________，即l ＝2r 2－d 2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．4．两圆位置关系的判断两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r ＞0)，(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0)的圆心距为d ，则 (1)d ＞r 1＋r 2⇔两圆⑨________； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆⑩________；(3)|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2(r 1≠r 2)⇔两圆⑪________； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆⑫________； (5)0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆⑬________. 二、必明2个易误点1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(4)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有2条．( )二、教材改编2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 三、易错易混4．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3,1)作圆C 的切线，则切线方程为________．5．若直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．四、走进高考 6．[2020·天津卷]已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．考点一 直线与圆的位置关系[自主练透型]1．[2021·山东新泰一中月考]直线ax ＋by －a －b ＝0(a 2＋b 2≠0)与圆x 2＋y 2－2＝0的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交 2．[2021·大连市双基测试]圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是__________．悟·技法判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 考点二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型] 考向一：直线与圆的相切问题[例1] [2020·浙江卷]已知直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝________，b ＝________.考向二：与圆有关的弦长问题[例2] [2021·遵义航天高级中学月考]直线l ：x ＋ay ＝2被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 的斜率为( ) A. 3 B ．－ 3C.33 D ．±33 悟·技法1.求过圆上一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k ，由点斜式可写出切线方程．3.求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆C 的半径为r ，则|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在).[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·安徽皖东四校联考]若直线l ：4x －ay ＋1＝0与圆C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4相切，则实数a 的值为( )A.1528B.2815C.1528或1D.2815或12.[2021·湖北八校联考]已知圆C 的圆心在y 轴上，点M (3,0)在圆C 上，且直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，则圆C 的标准方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝18B ．x 2＋(y ＋3)2＝18C ．x 2＋(y －4)2＝25D ．x 2＋(y ＋4)2＝25考点三 圆与圆的位置关系[互动讲练型][例3] 已知两圆C 1: x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 悟·技法1.判断两圆位置关系的方程常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2021·安徽黄山五校联考]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．若圆(x ＋1)2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0内切，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．11C ．121D ．1或121第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系【知识重温】①相交 ②相切 ③相离 ④相交 ⑤相切⑥相离 ⑦0x x ＋0y y＝r 2 ⑧d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22 ⑨外离 ⑩外切 ⑪相交 ⑫内切 ⑬内含【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案：C3．解析：两圆圆心为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案：B4．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝05．解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，则圆心到直线的距离d ＝|6k －3|2k 2＋1 .则252－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|6k －3|2k 2＋12＝8，解得k ＝－34.所以直线方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上所述，所求直线方程为x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.答案：x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝06．解析：依题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝25，又r >0，所以r ＝5. 答案：5课堂考点突破考点一1．解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离为|a ＋b |a 2＋b 2，其中(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，所以圆心到直线的距离|a ＋b |a 2＋b 2≤2，所以直线与圆相交或相切，故选C.答案：C2．解析：解法一 将直线方程代入圆方程， 得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)＜0， 解得k ∈(－3，3)．解法二 圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1， 直线与圆没有公共点的充要条件是d ＞1，即2k 2＋1＞1，解得k ∈(－3，3)． 答案：k ∈(－3，3) 考点二例1 解析：解法一：因为直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二：因为直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k >0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. 答案：33 －233例2 解析：圆心(0,0)到直线l ：x ＋ay －2＝0的距离d ＝21＋a 2，因为直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋a 22＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝±3，所以直线l 的斜率为－1a ＝±33. 答案：D 变式练1．解析：根据题意，得圆心C (－2,2)到直线l ：4x －ay ＋1＝0的距离d ＝|－2×4＋(－a )×2＋1|16＋a 2＝2，解得a ＝1528.故选A.答案：A2．解析：设圆C 的圆心坐标为(0，b )，则线段CM 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，b 2，因为直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，所以2×32－b2－1＝0，解得b ＝4，所以圆C 的圆心坐标为(0,4)，半径r ＝|CM |＝(0－3)2＋(4－0)2＝5，所以圆C 的标准方程是x 2＋(y －4)2＝25，故选C.答案：C 考点三例3 解析：(1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.变式练3．解析：将圆M 的方程化为x 2＋(y －a )2＝a 2，则圆心M (0，a )，半径r 1＝a .M 到直线x＋y ＝0的距离d ＝a 2，则⎝⎛⎭⎫a 22＋2＝a 2，得a ＝2，故M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心N (1,1)，半径r 2＝1，所以|MN |＝2，而|r 1－r 2|<|MN |<|r 1＋r 2|，所以两圆相交．故选B.答案：B4．解析：圆(x ＋1)2＋y 2＝m 的圆心为(－1,0)，半径为m ；圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0，即(x －2)2＋(y ＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得32＋42＝|m －6|，解得m＝1或121.故选D.答案：D。
高考数学一轮复习 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 文
高考数学一轮复习第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系学案文【考纲下载】1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种研究方法：2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数有何关系？提示：当两圆外离时，有4条公切线；当两圆外切时，有3条公切线；当两圆相交时，有2条公切线；当两圆内切时，有1条公切线；当两圆内含时，没有公切线．2．若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( ) A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离解析：选B 依题意圆心(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝12＋－12＝0，所以直线过圆心．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离解析：选B 两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：选D 因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.4．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是____________．解析：依题意知2k2＋－12>1，解得－3<k< 3.答案：(－3，3)5．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.解析：由圆x2－2x＋y2＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心为(1,0)，半径为r＝1.由于直线和圆相切，则|5＋m|52＋122＝1，得m＝8或－18.答案：8或－18前沿热点(十一)直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、转化与化归、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解题指导] (1)曲线与坐标共有三个交点，由这三点即可求出圆的方程；(2)设交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系及OA⊥OB即可求出a的值．[解] (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA ＝(x 1，y 1)，OB ＝(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [名师点评] 解答本题的关键有以下几点： (1)正确找到确定圆的三个条件．(2)注意到OA ⊥OB ⇔OA ·OB ＝0.(3)a 的值必须满足圆C 与直线x －y ＋a ＝0相交．1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋b －12＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2， ∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，等价于圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋－52<1，解得－13<c <13. 答案：(－13,13)。
高三数学一轮 8.2 直线与圆精品复习学案
高三数学一轮 8.2 直线与圆精品复习学案【高考目标导航】一、圆的方程（一）考纲点击1、掌握确定圆的几何要素，掌握确定圆的标准方程与一般方程；2、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示1、圆的标准方程和一般方程以及圆的几何性质是高考考查的重点；2、多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。
二、直线、圆的位置关系（一）考纲点击1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示1、直线与圆，圆与圆的位置关系特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点，主要考查：（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。
2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。
【考纲知识梳理】一、圆的方程1．圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。
注：方程220x y Dx Ey F++++=表示圆的充要条件是2240D E F+->3．点与圆的位置关系已知圆的方程为222()()x a y b r-+-=，点00(,)M x y。
则：（1）点在圆上：222 00()()x a y b r-+-=；（2）点在圆外：222 00()()x a y b r-+->；（3）点在圆内：222 00()()x a y b r-+-<。
4．确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。
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第50课时 直线与圆 圆与圆的位置关系
一.知识梳理
1.直线与圆的位置关系
直线l与圆C相交0dR；
直线l与圆C相切 ；
直线l与圆C相离 .
2.两圆的位置关系
外离 ；
外切 ；
相交 ；
内切 ；
内含 .
二.基础训练
1.已知圆22:450Cxyxya，若点(0,0)O在圆C内，则a的取值范围是 ；
若点(0,0)O在圆C外，则a的取值范围是 .
2.已知圆22:40Cxyx，直线2yx与圆C的位置关系是 ；直线4x与圆C的位置关系
是 ；直线1yx与圆C的位置关系是 .
3.圆22:64Cxy，则圆2280xyx与圆C的位置关系是 ；圆2220960xyx与圆C的位置
关系是 ；圆22302210xyx与圆C的位置关系是 ；4.圆2240xyx与圆C的
位置关系是 ；圆2214400xyx与圆C的位置关系是 .
5.直线02yx被曲线0152622yxyx截得的弦长等于 .
6.点)0,3(P是圆0122822yxyx内一点，在过点P的弦中，最短的弦所在的直线方程
是 .
三.例题讲解
1.已知直线:5120lxa，圆22:20Cxyx.
⑴若l与圆C相切，求a的值；⑵若l与圆C相交，求a的取值范围；
⑶若l与圆C相离，求a的取值范围；⑷若l被圆C截得的弦长为1013，求a的值.
2.设圆上的点(2,3)A关于直线20xy的对称点仍在圆上，且直线10xy被圆截得的弦长为22，求
圆方程.
3.已知圆222:2210Mxymxnym与圆22:2220Nxyxy交于,AB两点，且这两点平分圆
N
的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程.
4.已知22:(3)4,Cxy一动直线l过)0,1(A与C相交于QP,两点，M是PQ中点，直线l与直线
063:yxm
相交于点N
⑴求证：当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C
⑵当32PQ时，求直线l的方程
⑶探索ANAM是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
四.课后作业
1.直线1axy与圆03222xyx的交点的个数是 个.
2.若两圆相交于两点（1，3）和)1,(m，且两圆圆心都在直线0cyx上，则
cm
= .
3.圆046422yyyx与圆044222yxyx的交点坐标为 .
4.直线bxy与曲线21yx有且仅有1个公共点，则b的取值范围是 .
5.若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线)0(33xxy相切，则这个圆的方程为
.
6.已知直线bkxy与圆O：122yx相交于BA,两点，当21kb时，
则OBOA= .
7.已知P是直线0843yx上的动点，PBPA,是圆012222yxyx的两条切线，BA,是切点，
C
是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为 .
8.一圆与y轴相切，圆心在直线03yx上，在xy上截得弦长为72，求此圆的方程.
9.已知与圆0122:22yxyxC相切的直线l交x轴、y轴于点(,0),(0,)AaBb，(2,2)abO为原点.
⑴求证：2)2)(2(ba；⑵求ABO的面积的最小值.
10.已知圆25)2()1(:22yxC，直线047)1()12(:mymxml（Rm）.
(1)求证：不论m取什么值，直线l与圆C恒交于两点；
⑵求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时直线l的方程.
x
y
Q
P
M
A
N
O
C
l
m