安徽省示范联盟高考数学模拟试卷(文科)(5月份)解析版
2022届安徽省蒙城一中、涡阳一中、淮南一中、怀远一中、颍上一中五校高三下5月第二次联考文科数学答案
蒙城一中 涡阳一中 淮南一中 怀远一中 颍上一中2022届高三第二次五校联考·文科数学参考答案、提示及评分细则一、选择题二、填空题.14.4515.10x y --= 详解：1.B {}25A x x =-<<，{}3,4,5,6B =，{}3,4A B ⋂=，故选B. 2.A()()()()12i 2i 12i 432i 2i 2i 55i +-+==+++-，在复平面上对应的点为43,55⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 3.C 等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=，()()111571*********a a a a S ++===，故选C. 4.D 5log 0.50a =<，0.551b =>，0.5500.51<<，故选D.5.C 画出满足题意的可行域，0.5500.51<<，故选C.6.A 因为函数为奇函数，所以排除C 、D 选项，当x →+∞时，函数值为正数，排除B. 7.B由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos sin sin A B A C C A A B -=+-，所以()2sin cos sin sin sin A B A C A B =++-，可得1cos 2B =.由余弦定理得：2221cos 22a c b B ac +-==，所以2242a c ac ac +=+≥，所以4ac ≤.取等条件：2a c ==，1sin 2ABC S ac B =≤△ B.8. C 圆心()2,0到直线的距离为3d ==，圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对的弦的弦心距是1，设此弧所对的圆心角为α，则1cos 22α=，所以23απ=，即23πα=，所以所求概率为222323P πππ-==，故选C. 9.A 27sin 2cos 2cos 136128πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.10.A 设(),P x y ，有2PA PB =得P 点轨迹为()2238x y -+=，点()3,0到直线l ：30x y ++=的距离为6322d ==，所以点P 到直线l 距离的最小值为32222-=，故选A. 11.B 设BC 与平面PAB 所成角为α，则C 点到平面PAB 的距离为sin CB α⨯，由C PAB P ABC V V --=得11sin 33PAB ABC S BC S PC α⋅=⋅△△①，在直角APC △与直角BPC △中，由勾股定理可得23AP BP ==，又在ABC △中，由余弦定理可得23AB =，所以ABP △为等边三角形，其面积为33，所以由①式得111332sin 22sin12022332α⨯⨯=⨯⨯⨯︒⨯，解得2sin 3α=，故选B.12.D 解：求导得：()ln 41x m x x f =-+'，由函数()2ln 2f x x x mx =-有两个极值点，等价于()0f x '=有两个解，即ln y x =与41y mx =-有两个交点，得ln y x =在点()1,0P 处的切线为1y x =-.当041m <<时，直线41y mx =-与曲线ln y x =交于不同两点（如下图），且1201x x x <<=，()()()22220222222ln 1ln ln 2ln 22x x x x f x f x x x mx x x +-⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，令()()ln 12x x x g x x -=>，则()()ln 012x g x x '=>>，所以()()ln 12x x x g x x -=>单调递增，()()112g x g >=-，即()012f x >-，故选D.13 ()2222244116412cos12013a b a ba b a b +=+=++⋅=++⨯⨯⨯︒=14.45 令2t x =，则回归直线23y t a =+过样本中心点(),t y ，275t =，225y =，∴22227535a =⨯+，则45a =.15.10x y --= 当0x <时，()()21f x f x x x =--=-+，则()212f x x x'=--，所以()11f '-=，又()12f -=-，故切线方程为：()211y x +=⨯+，即10x y --=.由对称性可知，121212m m n n ==，不妨设其中一个交点为()00,P x y ，则()00,P x y 到两渐近线距离为1m =，2m =，∴222001221x a y m m a -=+，∵()00,P x y 在双曲线上，∴222200x a y a -=，得2122112a m m a ==+，∴1a =，c =e =三、解答题.17.解：（1）()()()()()()22210050152015 4.239 3.8470306535n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关. （2）在不使用智慧系统的家长中，年龄大于45岁的家长应抽取15421515⨯=+人，记为a ，b ；不大于45岁的家长应抽取4-2=2人，记为c ，d .选取两人进行深入调查，形成的基本事件为(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d 共6个.其中两人年龄都大于45岁的事件为(),a b 共1个， 所以所求概率为16P =. 18. （1）证明：∵CD AD ⊥，CD DE ⊥，AD DE D ⋂=， ∴CD ⊥面ADEF ，又AF ⊂面ADEF ，∴CD AF ⊥. 又∵AF AD ⊥，AD CD D ⋂=，∴AF ⊥面ABCD ，又AB ⊂面ABCD ，∴AF AB ⊥. 在直角三角形ACD中，AC ==，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥， 又∵AF AC A ⋂=，∴AB ⊥面AFC .222111111333329C AFP P ACFD ACF F ACD V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=.19.解：（1）21441n n S a n +=--，()()2144112n n S a n n -=---≥，由以上两式作差得：22144n n n a a a +=--，()2212n n a a ++=，∵数列{}n a 是单调递增数列，∴()122n n a a n +=+≥.由题知：当1n =时，2124441S a =--，解得23a =()()222212n a a n n n =+-⨯=-≥当1n =时，符合上式 ∴21n a n =-. （2）2133n n n n a n b -== 则1231135232133333n n n n n T ---=+++⋅⋅⋅++ 从而234111352321333333n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++ 两式相减得：111119321212133313n n n n T -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--12222333n n n T ++=-. 所以113n n n T +=-. 20.解：（1）由题意可知222,2122,2,c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得24a =，21b =，故椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）当直线斜率不为0，设直线l ：x my t =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则22,1,4x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得：()2224240m y mty t +++-=，∴12221222,44,4mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由0>△知，224m t +>.∵()114,PC x y =-，()224,PD x y =-，∴()()()121212121244416PC PD x x y y x x x x y y ⋅=-⋅-+=-+++ 又∵()()()2212121212x x my t my t m y y mt y y t =+⋅+=+++，()12122x x m y y t +=++，代入上式得：()()()22121214816PC PD m y y mt m y y t t ⋅=++-++-+ ()()22222421481644t mtm mt m t t m m --=++-+-+++22212532604m t t m +-+=+为定值，∴253260124t t -+=解得：6t =或25t =，又∵(),0Q t 在椭圆E 长轴上，∴25t =， 满足0>△，且12PC PD ⋅=（定值）， 当直线l 过点Q 斜率为0时亦成立，∴当25t =时，PC PD ⋅为定值12. 21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，则()21x f x x-'=， ()01f x x '>⇒>；()001f x x '<⇒<<.所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞；单调递减区间为()0,1. （2）证明：由（1）可知：当()0,1x ∈时，()()1f x f >即有1ln 10x x +->，所以1ln 1x x>-， 所以要证()()211e ln x x x x x+-<，只需证()()2111e 1x x x xx +-⎛⎫<- ⎪⎝⎭.即证()()2111e x x x x x x+--⋅>，又因为()0,1x ∈，所以只需证()2e 1x x <+， 令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+， 令()()()e 21x g x h x x '==-+，则()e 2x g x '=-， 由()e 20x g x '=-=，得ln 2x =，当0ln 2x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当ln 21x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()()ln2min ln 2e 2ln 212ln 20g x g ==-+=-<， 又()00e 210g =-=-<，()1e 40g =-<， 所以在()0,1x ∈时，()()0g x h x '=<恒成立， 所以()h x 在()0,1上单调递减，所以()()00h x h <=， 所以()()2e 10x h x x =-+<，即()2e 1x x <+成立，故()()211e ln x x x x x+-<成立.22.解：（1）由曲线C 的参数方程可得曲线C 直角坐标方程为：2214x y +=.由直线l 的极坐标方程2cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin ρθθ=代入cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为：0x --=.（2）由题意，设曲线C 上的任意一点坐标()2cos ,sin P αα，则P 到直线l的距离为d ==当()sin 1αϕ-=-时，d 取得最大值为23.解：（1）当1a =时，()21,2,123,21,21,1,x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩∵()5f x ≥，∴2,215x x ≤-⎧⎨--≥⎩或21,35x -<<⎧⎨≥⎩或1,215x x ≥⎧⎨+≥⎩∴3x ≤-或2x ≥.∴解集为{}32x x x ≤-≥或.（2）由题，()()()222222f x x a x a a x a x a a a =-++-+≥--+-+=+则225a +≥，解得：a ≤a ≥综上：a的取值范围是(),-∞⋃+∞.。
2021年安徽高考数学第三次联考试卷(文科)(5月份)-含答案与解析
2021年安徽高考数学第三次联考试卷（文科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x∈N|x2﹣3x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1} 2．（2﹣3i）（1﹣2i）＝（）A．8+i B．﹣4+i C．8﹣7i D．﹣4﹣7i3．已知两条不同的直线l，m和平面α，m⊂α，则l∥α是l∥m的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于（）A．±6B．±6 C．±12D．±125．函数f（x）＝2x+cos2x的图象在点（，f（））处的切线方程为（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}中，a3﹣a2＝8，a32＝2a6，则a7+a8＝（）A．384 B．768 C．788 D．15367．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）﹣1（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，则下面不是f（x）的零点的为（）A．B．C．D．8．下面是某手机APP的图标，其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构．该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆，且AB＝BC．若在圆内随机取一点，则该点取自正六边形内部的概率为（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝4cos2x﹣4cos4x+sin x cos x的最小值是（）A．B．C．D．10．过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A，B两点，且（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．11．若圆x2+y2＝6上的两个动点A，B满足||＝2，点M在圆x2+y2＝16上运动，则| |的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．512．设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝log4（3﹣x）．若对任意的x ∈[0，b+1]，均有f（x+b）≥（2x），则实数b的最大值是（）A．﹣B．﹣C．0 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若a log43＝，则3a+9a＝．14．某小学为了解学生的身体素质情况，从1500名学生中随机抽取100名，测试他们一分钟跳绳的个数，统计数据得到样本的频率分布直方图如图．根据频率分布直方图估计，1500名学生中一分钟跳绳个数不少于80的学生数为．15．已知平面区域D是以点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣2，﹣1）为顶点的三角形区域（含边界），若在区域D内存在无穷多个点（x，y）能使目标函数z＝x+my取得最小值，则m ＝．16．已知数列{a n}满足a n+1＝，且a1＝1，设b n＝，则数列{b n b n+1}的前100项和为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020年安徽省池州市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2020年安徽省池州市高考数学模拟试卷（文科） （5月份）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•C . 5C . 3（5分）中国剪纸是我国广大劳动人民在生产与生活实践中创造出来的一种平面剪刻艺 术.民间剪纸艺术是我国优秀的非物质文化遗产之一，在千百年的发展过程中，积淀了丰厚的文化历史，取得了卓越的艺术成就 .2020年3月发行的邮票《中国剪纸（二 ）》共4枚， 第一枚邮票《三娘教子》（如图1）出自“孟母教子”的故事，讲述了母亲通过断织等行为教 育孩子努力上进，懂得感恩.图2是某剪纸艺术家根据第一枚邮票用一张半径为4个单位的圆形纸片裁剪而成的 《三娘教子》剪纸.为了测算图2中有关部分的面积， 在圆形区域内随 机投掷400个点，其中落入图案上的点有225个，据此可估计剪去部分纸片的面积为（1.（5分）已知集合 A {x| 1 剟X 2} , B {x|x 2t 1, t Z}，则 A | B ()A . { 1 , 0, 1,2} B . { 1 ,1}C . {x|x 2t 1 , tZ} D .2. （5分）已知i 为虚数单位，则z 4 3i ---- 在复平面内对应的点为 3 4i3. A . (0,i)2x（5分）若双曲线 ------ 2a 4(i,0)2丄1 a 1 C .(0,1)(1,0)的两条渐近线互相垂直，则 4.（5分）在 ABC 中，若AB 13 , BC 3, C 120，则AC6. ( 5 分)A . a beA . 12B . 9I I fl- 4 *- 4 4 flu2 :"<!叩.^也Jt A二；』J C .7. ( 5分)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，若m , n ，则卜列命题判断为真的是( )A.m n是n的充要条件B.m/ /n是m/ /的充分不必要条件C.//是m//n的既不充分也不必要条件D.m n是的必要条件5& ( 5分)已知函数f(x) cos(2x ) 2si n(2 x ) 1，则关于f (x)的有关性质说法中, 3 6正确的是()kA .极值点为(k Z) B.最小正周期为26 2C .最大值为3D .在［0,—］上单调递减22 sin x9. ( 5分)函数f (x) xgn ----------------- 的部分图象可能是()2 sin x10. (5分)已知椭圆牛每1(a b 0)的左，右焦点分别为F! , F2，若椭圆上存在点P ,a b使得PF PF2，则椭圆离心率的取值范围是( )A . ©AB . (0,二C. 2 [,1)V3 D.[一⑴222211. ( 5分)“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 最初是由意大利可数学家斐波那契于1202年通过兔子繁殖问题提出来的.在斐波那契数列｛a n｝中，1 , a2 1 , a n 2 a n 1 a n(n N*) •某同学设计了一个如图所示的求斐波那契数列前n项和S的程序框ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，且MN AM , SA 2 3 , 则此三棱锥S ABC 外接球的表面积为it12 . （5分）已知函数 f(x) X 4，且 xX 2 X 3X 4B . i, 8(x 1)2 |log 2 x|,x，则 x |gx 4C . i, 9 2,x, 0，若方程 f(x)—2的取值范围是X 3（X 1 X 2）D . i, 10a 有四个不同的解石,x 2, x 3 ,fl 71A . (；, 2C.[ 7,31 3D .(' 2]二、填空题：本大题共 4小题，每小题 共20分，把答案填在答题卡的相应位置13 .（ 5分）已知向量(2, 6) , |b|、帀， 且（a b ） b ，则a 与b 的夹角为14 . （ 5分）设变量x , y 满足约束条件x x 2y 2, 02y, 4 ，则目标函数 z 3y x 1的最小值2-015.（ 5分）已知函数f （x ） Xae x b ，若函数f (x)在(0 , f(0))处的切线方程为y 2x 5 ,则ab 的值为16.（ 5分）在正三棱锥S 图，若S 88，那么 填入（三、解答题：本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•解答写在答题卡上的指定区域内17•已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,且满足S n 2何1).(I)求数列｛a n｝通项公式;(□)若b n b2n的值.a n, n为奇数求b bIog2am,n 为偶数，' 1 218•如图，已知三棱锥P ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于2的正方形,ABE和BCF均为等边三角形.(I)求证：AC PB ;(H)求三棱锥P ABC的体积.19.某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品. 经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图. 甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元.(I)求乙公司给超市的日利润y (单位：元)与日销售数量n的函数关系；(H)若将频率视为概率，回答下列问题：(1 )求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；(2 )如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由.。
2020届安徽省芜湖市示范高中高三下学期5月联考文科数学试题(原卷版)
A. 8
B. 41 4
C. 28 3
D. 136 9
12.已知函数 f (x) ln(
x2
1
x)
1 2
1 2x 1
，且 a
f
1 ，b
f
(3 ) ，c
f
(cos130) ，下
列结论中正确的是（ ）
A. a c b
B. a b c
C. b c a
D. b a c
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
（Ⅰ）求角 B 的余弦值；
（Ⅱ）若 a 2 ，角 B 的平分线 BD 交 AC 于点 D，求 BD 的长度．
18.某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校 300 名高三学生寒假的每天学
习时间（单位：h）进行统计，按照0, 2 ， 2, 4， 4,6， 6,8， 8,10的分组作出频率分布直方图如
男生
女生
总计
不合格
合格
70
总计
140
160
300
参考公式： K2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
参考附表：
P K 2 k0
k0
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
19.如图 1 所示在菱形 ABCD 中， AB 2 ， DAB 60 ，点 E 是 AD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折起，使 得平面 ABE 平面 BCDE 得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE ，点 F 为 AC 的中点．在图 2 中
图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点 值代表）； （Ⅱ）该校规定学习时间超过 4h 为合格，否则不合格．已知这 300 名学生中男生有 140 人，其中合格的有 70 人，请补全下表，根据表中数据，能否有 99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有 关？
安徽省示范联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析版
高考数学模拟试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2＜x≤1，x∈Z}，则集合A中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32.设复数z=1+2i（i是复数单位），则复数在复平面内对应点应在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.我国古代的“割圆术”相当于给出已知圆的半径r，计算其面积S的近似值，进一步计算圆周率的近似值，根据π=3.14159……判断，下列近似公式最接近π的是（）.A. B. C. D.4.下面程序框图是为了求出m，n的最大公约数，那么在①②③三个空白框中，可以依次填入（ ）A. n=r，m=n，输出nB. m=n，n =r，输出nC. m=n，n=r，输出mD. n=r，m=n，输出m5.如图所示为三棱锥的三视图以及尺寸，则三棱锥的体积为（ ）A.B. 2C. 3D. 46.如图，在正方形ABCD中，以AB，AD边为直径向正方形内作两个半圆交于O点，若某机械手向正方形ABCD内随机投入一个质点，则该质点落入这两个半圆的并集所在区域内的概率为（ ）A.B.C.D.7.在四边形ABCD中，若不共线，E，F分别为AB，CD上的点，且，则=（）A. B. C. D.8.设a=log45，b=log32，，则a，b，c从大到小排序为（）A. B. C. D.9.一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（ ）A. B.C. D.10.设函数f（x）=x3+ax2+bx+2，且f（1+x）+f（1-x）=2，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为（ ）A. y=0B. y=1C. y=xD. y=-2x+311.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A的坐标为（-2，0），直线x+2=ky（k＞0）与C交于M，N两点，，则=（ ）A. 8B. 7C. 6D. 512.在四棱锥E-ABCD中，已知，三角形BDE是边长为2的正三角形，当四棱锥E-ABCD的外接球的体积取得最小值时，则以下判断正确的是（ ）A. 四棱锥E-ABCD的体积取得最小值为，外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内B. 四棱锥E-ABCD的体积取得最小值为，外接球的球心可在四棱锥E-ABCD内或外C. 四棱锥E-ABCD的体积为，外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内D. 四棱锥E-ABCD的体积为，外接球的球心可在四棱锥E-ABCD内或外二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.sin330°-cos240°+tan150°的值为______．14.设x，y满足约束条件，已知当x=1，y=0时，-mx+y取得最大值，则m的取值范围是______．15.记S n为数列{a n}的前n项和．若，则a6=______．16.已知圆锥的母线l长为3，侧面积为S，体积为V，则取得最大值时圆锥的底面半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos A（sin B-1）=a cos C-b．（1）求角B的大小；（2）在锐角三角形A′B′C′中，角A′，B′，C′的对边分别为a′，b′，c′，若b′=2=2∠B，求三角形A′，B′，C′的内角平分线B′D′的长．18.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E为DD1的中点，BC=BD=a，．（1）求证：平面A1BE⊥平面BDC1；（2）求直线BD1与直线C1D所成角θ的余弦值．19.某市教育局为了监控某高一年级的素质教育过程，从该校高一年级16个班随机抽取了16个样本成绩，制表如下：抽取次12345678序测评成9596969095989897绩抽取次910111212141516序测评成9795969899969996绩令x i为抽取的第i个学生的素质教育测评成绩，i=1，2，…，16，经计算得以下计算精确到0.01．（1）设ξ为抽取的16个样本的成绩，用频率估计概率，求ξ的分布列、数学期望E（ξ）和标准差σ；（2）在抽取的样本成绩中，如果出现了在（E（ξ）-3σ，E（ξ）+3σ）之外的成绩，就认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况，需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议，从该校抽样的结果来看，是否需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议？（3）列出不小于E（ξ）的所有样本成绩，设列出的这些成绩的中位数为a，每次从列出的这些成绩中随机抽取1个成绩，有回放地连续抽取3次，求恰好有2次抽取的成绩为a的概率．20.已知椭圆，A1，A2为椭圆C的左右顶点，椭圆的右焦点为F，椭圆C的离心率为e．（1）设直线与椭圆交于D，E两点，且DF⊥EF，求e的值；（2）设过点F且斜率为1的直线与椭圆交于P，Q（其中，P，Q分别在x轴的上、下方）两点，当时，记△PA2Q、△PA1Q的面积分别为，求的最小值，并此时椭圆的标准方程．21.已知函数f（x）=ln x-ax（x-1）．（1）当a任意取值时，f（x）的图象始终经过一个定点，若f（x）的图象在该定点处取得极值求a的值；（2）求证：函数f（x）有唯一零点的充分不必要条件是a≤0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y+1）2=3，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．23.已知函数f（x）=|2x-2|-|x-2|，g（x）=x+1．（1）求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）当x∈（2a，-1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的表示法，属于基础题．因为A={x|-2＜x≤1，x∈Z}，求出集合A，数出元素个数即可．【解答】解：依题意，A={x|-2＜x≤1，x∈Z}={-1，0，1}，所以集合A中元素的个数为3，故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把z=1+2i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1+2i，∴=（1+2i）（1-i）=3+i，∴复数在复平面内对应点的坐标为（3，1），在第一象限．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属基础题．先阅读理解题意，再通过运算进行简单的合情推理即可得解．【解答】解：由圆的面积公式得：S=πr2，所以r=，对于选项A，π==3.14，对于选项B，π=3，对于选项C，≈3.14285，对于选项D，≈3.375，,,即最接近π=3.1415926....的值为3.14285，故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据求m，n的最大公约数步骤是解决本题的关键．根据求m，n的最大公约数的步骤，进行判断即可．【解答】解：根据求出最大公约数的步骤得1，判断m除以n的余数r，如果r=0，则最大公约数就是n．如果不能则进行下一步骤，让n=r，m=n；重复第1步骤．直到r=0为止．故①②③依次填写的是n=r，m=n，输出n，故选A．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．直接利用三视图的转换，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图，如图所示：四棱锥ABCD即为所求，即：转换为几何体为：一个底面边长为2和4的矩形，高为2的四棱锥，去掉一个底面边长为2和4的三角形，高为2的三棱锥，故：=故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，是中档题．由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，则这两个半圆的并集所在的区域的面积为π•12-2×（）=+1，根据概率公式计算即可．【解答】解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，则这两个半圆的并集所在的区域的面积为π•12-2×（）=+1，∴则该球落在阴影部分的概率为，故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的分解，但是本题不好建立坐标系，也不易将向量向着向量和向量方向分解，根据E，F分别为AB和CD的三等分点，采用整体代入是解决这类题目的常用方法．本题属于中档题．依题意，=①，②，①+②×2得=，所以=+．【解答】解：依题意，=①，②，①+②×2得3=+2+++2，因为E，F分别为AB，CD上的点，且，所以+2=，+2=，所以=+．故选B.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的单调性，比较大小，对数及其运算，考查了运算求解能力，属于基础题．利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=log32∈（0，1），=log46＞log45=a＞1，则a，b，c的大小关系为：b＜a＜c，故选：C．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为（0，b），半径为r，可得圆的方程为x2+（y-b）2=r2，把已知三个点的坐标代入，求解b与r值，则圆的方程可求．【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，则圆的方程为x2+（y-b）2=r2，则，解得，．∴圆的标准方程为．故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．由已知列式求得a，b的值，得到函数解析式，再求出f′（x），得到f′（1），求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x3+ax2+bx+2，且f（1+x）+f（1-x）=2，得（1+x）3+a（1+x）2+b（1+x）+2+（1-x）3+a（1-x）2+b（1-x）+2=2，整理得：（2a+6）x2+2（a+b+2）=0，∴，即a=-3，b=1．∴f（x）=x3-3x2+x+2，则f′（x）=3x2-6x+1，∴f′（1）=-2，又f（1）=1．∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-1=-2（x-1），即y=-2x+3．故选D．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．求出抛物线的焦点坐标，联立抛物线和直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-4ky+8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴y1+y2=4k，y1y2=8，∵，∴（x2+2，y2）=2（x1+2，y1），∴y2=2y1，∴y1=2，y2=4，k=，∴M（1，2），N（4，4），∴=（0，2）•（3，4）=8．故选A．12.【答案】C【解析】解：当四棱锥E-ABCD的外接球的体积取得最小值时，外接球的半径最小，如图，由，三角形BDE是边长为2的正三角形，得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，∴AD⊥AB，CB⊥CD，∴四边形ABCD有一个外接圆，且圆心为BD的中点，设为O1，设四棱锥E-ABCD的外接球的球心为O，则OO1⊥平面ABCD，设OO1=x，过O作平面BDE的垂线，垂足设为F，则F为△BDE的外心，设OF=y，外接球的半径为r，则r2=12+x2=（）2+y2，∴x，∴x，当且仅当y=0时，四棱锥E-ABCD的外接球的体积取最小值，此时平面BDE⊥平面ABCD，可得四棱锥E-ABCD的外接球的体积为：V=（1×+）×=，且外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内．故选：C．由题意画出图形，推导出四边形ABCD有一个外接圆，且圆心为BD的中点，设为O1，设四棱锥E-ABCD的外接球的球心为O，则OO1⊥平面ABCD，设OO1=x，过O作平面BDE的垂线，垂足设为F，则F为△BDE的外心，设OF=y，外接球的半径为r，则r2=12+x2=（）2+y2，从而x，则x，当且仅当y=0时，四棱锥E-ABCD的外接球的体积取最小值，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查四棱锥的结构特征、外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：sin330°-cos240°+tan150°=sin（360°-30°）-cos（180°+60°）+tan（180°-30°）=-sin30°+cos60°-tan30°==-．故答案为：．直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件，的平面区域如图：设z=-mx+y，得y=mx+z，则当y=mx+z截距最大时，z取得最大值，要使z=mx+y在点（1，0）处取得最大值，由图得，，故答案为：．15.【答案】11【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得n≥2时，a n=S n-S n-1，化简即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=a n+（n-1）2-a n-1-（n-2）2，化为：a n-1=2n-3，则a6=2×7-3=11．故答案为11．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，体积与侧面积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题．设底面半径为R，用R表示出V，S，利用基本不等式得出取得最大值时对应的条件，得出答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则圆锥的高h=，∴S=3πR，V=，∴=，∵R2（9-R2）≤（）2=，当且仅当R2=9-R2即R=时取等号．∴当R=时，取得最大值．故答案为：．17.【答案】解：（1）2c•cos A（sin B-1）=a cos C-b，∴由正弦定理可得：2sin C cos A（sin B-1）=sin A cos C-sin B，∴2sin C cos A sin B-2sin C cos A=sin A cos C-（sin A cos C+sin C cos A），∴2sin C cos A sin B=sin C cos A，∵在锐角△ABC中，sin C cos A≠0，∴sin B=，∴B=；（2）∠B'=2∠B=，由正弦定理有：，∴=，又三角形A'B'C'为锐角三角形，∴A'=，∴C'=，∴∠B'D'C'=，由正弦定理有：∴．【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式整理可得：2sin C cos A sin B=sin C cos A，由于在锐角△ABC中，sin C cos A≠0，即可解得sin B的值；（2）由正弦定理的到A'，进而得到∠B'D'C'，然后根据正弦定理得到B'D'．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】（1）证明：∵BC=BD=AD=a，AB=a，∴BD⊥AD，以D为原点，以DA，DB，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，则B（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，a），A1（a，0，a），C1（-a，a，a），∴=（0，a，0），=（-a，a，a），=（0，-a，），=（-a，0，-a），设平面A1BE的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得=（1，-1，-），设平面BDC1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得=（，0，1），∴=0，故．∴平面A1BE⊥平面BDC1．（2）=（0，-a，a），=（-a，a，a），∴cos＜，＞===．∴直线BD1与直线C1D所成角θ的余弦值为．【解析】（1）以D为原点建系，求出平面BA1E和平面BDC1的法向量，通过证明法向量垂直来得出平面垂直；（2）计算和的夹角的余弦值得出直线所成角的余弦值．本题考查了空间向量在空间位置关系，空间角中的应用，属于中档题．19.【答案】解：（1）设ξ为抽取的16个样本的成绩，则ξ的可能取值为90，95，96，97，98，99，P（ξ=90）=，P（ξ=95）=，P（ξ=96）=，P（ξ=97）=，P（ξ=98）=，P（ξ=99）=，∴ξ的分布列为：ξ 90 95 96 97 98 99P数学期望E （ξ）=+≈96.31，方差σ2=（90-96.31）2×+（95-96.31）2×+（96-96.31）2×+（97-96.31）2×+（98-96.31）2×+（99-96.31）2×≈4.34，标准差σ≈2.08．（2）E （ξ）-3σ=96.31-3×2.08=90.07，E （ξ）+3σ=96.31+3×2.08=102.55，所以第4次抽测的成绩90在（E （ξ）-3σ，E （ξ）+3σ）之外，应认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况，需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议．（3）不小于E （ξ）的所有样本成绩由小到大分别为：97，97，98，98，98，99，99，∴列出的这些成绩的中位数为a =98，每次从列出的这些成绩中随机抽取1个成绩，有回放地连续抽取3次，每次抽取a 的概率都是，∴恰好有2次抽取的成绩为a 的概率P ==．【解析】（1）设ξ为抽取的16个样本的成绩，则ξ的可能取值为90，95，96，97，98，99，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E （ξ）、标准差σ．（2）E （ξ）-3σ=96.31-3×2.08=90.07，E （ξ）+3σ=96.31+3×2.08=102.55，第4次抽测的成绩90在（E （ξ）-3σ，E （ξ）+3σ）之外，由此得出结论．（3）不小于E （ξ）的所有样本成绩由小到大分别为97，97，98，98，98，99，99，列出的这些成绩的中位数为a =98，由此能求出恰好有2次抽取的成绩为a 的概率．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布表、n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）F （c ，0），联立，得，．设D （x 0，y 0），则E （-x 0，-y 0），∴，，∴，则，整理得e 4-8e 2+4=0，解得（舍）或，则e =；（2）如图，由e =，得a 2=2b 2，c =b ．∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2．PQ 所在直线方程为y =x -b ，联立，得3x2-4bx=0．∴，x Q=0，则，y Q=-b．∴=，，∴=+=．当且仅当=+，即时上式“=”成立．此时椭圆的标准方程为．【解析】解：（1）椭圆右焦点F（c，0），联立直线方程与椭圆方程，求得交点坐标平方，结合，得到关于e的方程，求解可得e的值；（2）由e=，得a2=2b2，c=b，得到椭圆方程为x2+2y2=2b2，PQ所在直线方程为y=x-b ，联立直线方程与椭圆方程，求得交点坐标，写出△PA2Q、△PA1Q的面积，代入，整理后利用基本不等式求最值，并求得b2，可得椭圆标准方程．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）由f（x）=ln x-ax（x-1）可得f（1）=0，所以f（x）的图象始终经过一个定点（1，0），因为，又因为f（x）的图象在该定点处取得极值，所以f′（1）=0，所以a=1，当a=1时，满足在x=1左右侧f′（x）异号，所以a=1符合题意．（2）证明：①不必要性：当a=1时，，在（0，1）上f′（x）＞0，在（1，+∞）上f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以f（x）≤f（1）=0，所以当a=1时，函数f（x）有唯一零点1，所以当a≤0是函数f（x）有唯一零点的不必要条件．②充分性：因为f（1）=0，所以f（x）已经有零点1，下面只需要证明函数f（x）再无其它零点了．因为a≤0且0＜x＜1时，f（x）=ln x-ax（x-1）＜0，所以f（x）在0＜x＜1时无零点．因为==，当a≤0，且x＞1时，-ax（2x-1）＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在x＞1时递增，所以当x＞1时f（x）＞f（1）=0，所以f（x）在x＞1时也无零点，所以a≤0时，f（x）有唯一零点1，所以a≤0时f（x）有唯一零点的充分条件．【解析】（1）由f（x）=ln x-ax（x-1）可得f（1）=0，所以f（x）的图象始终经过一个定点（1，0），对函数求导，利用函数在此定点处有极值，导函数值等于零列方程求解即可；（2）从不必要性和充分性两方面分别证明即可．本题考查了利用导数求函数极值的方法，还考查了充分必要条件知识，属于综合题，难度较大．22.【答案】解：（1）由（x-1）2+（y+1）2=3，得x2+y2-2x+2y-1=0．∴ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-1=0．即曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-1=0；（2）把代入ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-1=0，得．∵△=＞0，∴方程有两不等实数根，则直线l与曲线C相交．且，ρ1ρ2=-1．∴弦长为=．【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合ρ2=x2+y2及x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线的极坐标方程；（2）把代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l与曲线C相交，再由根与系数的关系求解弦长．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|2x-2|-|x-2|==，g（x）=x+1，∴不等式f（x）＜g（x）可化为或或，解得-＜x＜1或1≤x≤2或x＞2，即x＞，∴不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|x＞-}；（2）当x∈（2a，-1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，∴f（x）≥g（x）的解集包含（2a，-1+a]，由（1）得f（x）≥g（x）的解集为{x|x≤-}，∴（2a，-1+a]⊆（-∞，-]，即，解得a＜-1，∴a的取值范围是a＜-1．【解析】（1）去掉绝对值，化简函数f（x），把不等式f（x）＜g（x）化为或或，求出解集，再取它们的并集．（2）x∈（2a，-1+a]时f（x）≥g（x）恒成立，得出f（x）≥g（x）的解集包含（2a，-1+a]，由（1）得f（x）≥g（x）的解集，列不等式组求得a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2019年安徽省示范联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)-解析版
2019年安徽省示范联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,则集合A中元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的表示法,属于基础题．因为,求出集合A,数出元素个数即可．【解答】解：依题意,0,,所以集合A中元素的个数为3,故选D．2.设复数是复数单位,则复数在复平面内对应点应在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题．把代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：,,复数在复平面内对应点的坐标为,在第一象限．故选A．3.我国古代的“割圆术”相当于给出已知圆的半径r,计算其面积S的近似值,进一步计算圆周率的近似值,根据判断,下列近似公式最接近的是．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了阅读能力及简单的合情推理,属基础题．先阅读理解题意,再通过运算进行简单的合情推理即可得解．【解答】解：由圆的面积公式得：,所以,对于选项A,,对于选项B,,对于选项C,,对于选项D,,即最接近的值为,故选C．4.下面程序框图是为了求出m,n的最大公约数,那么在三个空白框中,可以依次填入( )A. ,,输出nB. , ,输出nC. ,, 输出mD. ,, 输出m【答案】A【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断,根据求m,n的最大公约数步骤是解决本题的关键．根据求m,n的最大公约数的步骤,进行判断即可．【解答】解：根据求出最大公约数的步骤得1,判断m除以n的余数r,如果,则最大公约数就是n．如果不能则进行下一步骤,让,；重复第1步骤直到为止．故依次填写的是,,输出n,故选A．5.如图所示为三棱锥的三视图以及尺寸,则三棱锥的体积为( )A.B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型．直接利用三视图的转换,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图,如图所示：四棱锥ABCD即为所求,即：转换为几何体为：一个底面边长为2和4的矩形,高为2的四棱锥,去掉一个底面边长为2和4的三角形,高为2的三棱锥,故：故选A．6.如图,在正方形ABCD中,以AB,AD边为直径向正方形内作两个半圆交于O点,若某机械手向正方形ABCD内随机投入一个质点,则该质点落入这两个半圆的并集所在区域内的概率为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何概型、等可能事件的概率,且把几何概型同几何图形的面积结合起来,是中档题．由题意知本题是一个几何概型,设正方形ABCD的边长为2,则这两个半圆的并集所在的区域的面积为,根据概率公式计算即可．【解答】解：如图,由题意知本题是一个几何概型,设正方形ABCD的边长为2,则这两个半圆的并集所在的区域的面积为,则该球落在阴影部分的概率为,故选C．7.在四边形ABCD中,若不共线,E,F分别为AB,CD上的点,且,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的分解,但是本题不好建立坐标系,也不易将向量向着向量和向量方向分解,根据E,F分别为AB和CD的三等分点,采用整体代入是解决这类题目的常用方法本题属于中档题．依题意,,,得,所以．【解答】解：依题意,,,得,因为E,F分别为AB,CD上的点,且,所以,,所以．故选B．8.设,,,则a,b,c从大到小排序为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的单调性,比较大小,对数及其运算,考查了运算求解能力,属于基础题．利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：,,则a,b,c的大小关系为：,故选：C．9.一个圆经过以下三个点,且圆心在y轴上,则圆的标准方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求法,训练了利用待定系数法求解圆的方程,是基础题．设圆心坐标为,半径为r,可得圆的方程为,把已知三个点的坐标代入,求解b与r值,则圆的方程可求．【解答】解：设圆心坐标为,半径为r,则圆的方程为,则,解得,．圆的标准方程为．故选：D．10.设函数,且,则曲线在处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查计算能力,是中档题由已知列式求得a,b的值,得到函数解析式,再求出,得到,求出,利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由,且,得,整理得：,,即,．,则,,又．曲线在处的切线方程为,即．故选D．11.设抛物线C：的焦点为F,点A的坐标为,直线与C交于M,N两点,,则( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的简单性质的应用,向量的数量积的应用,考查计算能力求出抛物线的焦点坐标,联立抛物线和直线方程,求出M、N的坐标,然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：的焦点为,联立直线与抛物线C：,消去x可得：,设,,,,,,,,,,,,．故选A．12.在四棱锥中,已知,三角形BDE是边长为2的正三角形,当四棱锥的外接球的体积取得最小值时,则以下判断正确的是( )A. 四棱锥的体积取得最小值为,外接球的球心必在四棱锥内B. 四棱锥的体积取得最小值为,外接球的球心可在四棱锥内或外C. 四棱锥的体积为,外接球的球心必在四棱锥内D. 四棱锥的体积为,外接球的球心可在四棱锥内或外【答案】C【解析】解：当四棱锥的外接球的体积取得最小值时,外接球的半径最小,如图,由,三角形BDE是边长为2的正三角形,得,,,,四边形ABCD有一个外接圆,且圆心为BD的中点,设为,设四棱锥的外接球的球心为O,则平面ABCD,设,过O作平面BDE的垂线,垂足设为F,则F为的外心,设,外接球的半径为r,则,,,当且仅当时,四棱锥的外接球的体积取最小值,此时平面平面ABCD,可得四棱锥的外接球的体积为：,且外接球的球心必在四棱锥内．故选：C．由题意画出图形,推导出四边形ABCD有一个外接圆,且圆心为BD的中点,设为,设四棱锥的外接球的球心为O,则平面ABCD,设,过O作平面BDE的垂线,垂足设为F,则F为的外心,设,外接球的半径为r,则,从而,则,当且仅当时,四棱锥的外接球的体积取最小值,由此能求出结果．本题考查命题真假的判断,考查四棱锥的结构特征、外接球的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的值为______．【答案】【解析】解：．故答案为：．直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题．14.设x,y满足约束条件,已知当,时,取得最大值,则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键,属于中档题．作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出x,y满足约束条件,的平面区域如图：设,得,则当截距最大时,z取得最大值,要使在点处取得最大值,由图得,,故答案为：．15.记为数列的前n项和若,则______．【答案】11【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．由,可得时,,化简即可得出．【解答】解：,时,,化为：,则．故答案为11．16.已知圆锥的母线l长为3,侧面积为S,体积为V,则取得最大值时圆锥的底面半径为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征,体积与侧面积计算,考查基本不等式的应用,属于中档题．设底面半径为R,用R表示出V,S,利用基本不等式得出取得最大值时对应的条件,得出答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为R,则圆锥的高,,,,当且仅当即时取等号．当时,取得最大值．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,．求角B的大小；在锐角三角形中,角,,的对边分别为,,,若,求三角形,,的内角平分线的长．【答案】解：,由正弦定理可得：,,,在锐角中,,,；,由正弦定理有：,,又三角形为锐角三角形,,,,由正弦定理有：．【解析】由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式整理可得：,由于在锐角中,,即可解得sin B的值；由正弦定理的到,进而得到,然后根据正弦定理得到．本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,考查了转化思想,属于基础题．18.在直四棱柱中,四边形ABCD为平行四边形,E为的中点,,．求证：平面平面；求直线与直线所成角的余弦值．【答案】证明：,,,以D为原点,以DA,DB,为坐标轴建立空间直角坐标系,则a,,0,,0,,0,,a,,a,,a,,,0,,设平面的法向量为y,,则,即,令可得,设平面的法向量为y,,则,即,令可得0,,,故．平面平面．,a,,,．直线与直线所成角的余弦值为．【解析】以D为原点建系,求出平面和平面的法向量,通过证明法向量垂直来得出平面垂直；计算和的夹角的余弦值得出直线所成角的余弦值．本题考查了空间向量在空间位置关系,空间角中的应用,属于中档题．19.某市教育局为了监控某高一年级的素质教育过程,从该校高一年级16个班随机抽取16,令为抽取的第i个学生的素质教育测评成绩,,2,,16,经计算得以下计算精确到．设为抽取的16个样本的成绩,用频率估计概率,求的分布列、数学期望和标准差；在抽取的样本成绩中,如果出现了在之外的成绩,就认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况,需对本学期的素质教学过程进行反思,同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议,从该校抽样的结果来看,是否需对本学期的素质教学过程进行反思,同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议？列出不小于的所有样本成绩,设列出的这些成绩的中位数为a,每次从列出的这些成绩中随机抽取1个成绩,有回放地连续抽取3次,求恰好有2次抽取的成绩为a 的概率．【答案】解：设为抽取的16个样本的成绩,则的可能取值为90,95,96,97,98,99, ,,,,,,数学期望,方差,标准差．,,所以第4次抽测的成绩90在之外,应认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况,需对本学期的素质教学过程进行反思,同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议．不小于的所有样本成绩由小到大分别为：97,97,98,98,98,99,99,列出的这些成绩的中位数为,每次从列出的这些成绩中随机抽取1个成绩,有回放地连续抽取3次,每次抽取a的概率都是,恰好有2次抽取的成绩为a的概率．【解析】设为抽取的16个样本的成绩,则的可能取值为90,95,96,97,98,99,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望、标准差．,,第4次抽测的成绩90在之外,由此得出结论．不小于的所有样本成绩由小到大分别为97,97,98,98,98,99,99,列出的这些成绩的中位数为,由此能求出恰好有2次抽取的成绩为a的概率．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法,考查频率分布表、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、正态分布等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题．20.已知椭圆：,,为椭圆C的左右顶点,椭圆的右焦点为F,椭圆C的离心率为e．设直线与椭圆交于D,E两点,且,求e的值；设过点F且斜率为1的直线与椭圆交于P,其中,P,Q分别在x轴的上、下方两点,当时,记、的面积分别为、,求的最小值,并此时椭圆的标准方程．【答案】解：,联立,得,．设,则,,,,则,整理得,解得舍或,则；如图,由,得,．椭圆方程为．PQ所在直线方程为,联立,得．,,则,．,,．当且仅当,即时上式“”成立．此时椭圆的标准方程为．【解析】解：椭圆右焦点,联立直线方程与椭圆方程,求得交点坐标平方,结合,得到关于e的方程,求解可得e的值；由,得,,得到椭圆方程为,PQ所在直线方程为,联立直线方程与椭圆方程,求得交点坐标,写出、的面积,代入,整理后利用基本不等式求最值,并求得,可得椭圆标准方程．本题考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了利用基本不等式求最值,考查计算能力,是中档题．21.已知函数．当a任意取值时,的图象始终经过一个定点,若的图象在该定点处取得极值求a的值；求证：函数有唯一零点的充分不必要条件是．【答案】解：由可得,所以的图象始终经过一个定点,因为,又因为的图象在该定点处取得极值,所以,所以,当时,满足在左右侧异号,所以符合题意．证明：不必要性：当时,,在上,在上,所以在上递增,在上递减,所以,所以当时,函数有唯一零点1,所以当是函数有唯一零点的不必要条件．充分性：因为,所以已经有零点1,下面只需要证明函数再无其它零点了．因为且时,,所以在时无零点．因为,当,且时,,所以,所以在时递增,所以当时,所以在时也无零点,所以时,有唯一零点1,所以时有唯一零点的充分条件．【解析】由可得,所以的图象始终经过一个定点,对函数求导,利用函数在此定点处有极值,导函数值等于零列方程求解即可；从不必要性和充分性两方面分别证明即可．本题考查了利用导数求函数极值的方法,还考查了充分必要条件知识,属于综合题,难度较大．22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的直角坐标方程为,以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为．求曲线C的极坐标方程；判断：直线l与曲线C是否相交？若相交,请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由．【答案】解：由,得．．即曲线C的极坐标方程为；把代入,得．,方程有两不等实数根,则直线l与曲线C相交．且,．弦长为．【解析】化圆的方程为一般方程,结合及,即可得到曲线的极坐标方程；把代入圆的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,由判别式大于0可知直线l与曲线C相交,再由根与系数的关系求解弦长．本题考查简单曲线的极坐标方程,考查直线与圆位置关系的应用,是中档题．23.已知函数,．求不等式的解集；当时,恒成立,求a的取值范围．【答案】解：函数,,不等式可化为或或,解得或或,即,不等式的解集为；当时,恒成立,的解集包含,由得的解集为,,,即,解得,的取值范围是．【解析】去掉绝对值,化简函数,把不等式化为或或,求出解集,再取它们的并集．时恒成立,得出的解集包含,由得的解集,列不等式组求得a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是中档题．。
安徽省高二下学期5月联考数学模拟试题(解析版)
安徽省“江南十校”2023年5月高二年级联考数学模拟试题考试范围：选择性必修第一册，第二册，第三册一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则ξ()()21,0N σσ>()120.3P ξ<<=()0P ξ<=（ ） A. 0.1 B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布的性质，利用其概率公式，可得答案. 【详解】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称， ξ1x =则，， ()()1201P P ξξ<<=<<()()02P P ξξ<=>故.()()121200.22P P ξξ-<<<==故选：B.2. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） a R ∈1a =1l 240ax y +-=2l ()120x a y +++=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.【详解】解：当时，：，：，，可得两直线平行； 1a =1l 240x y +-=2l 220x y ++=124122-=≠若与平行，则，解得或舍， 1l 2l 24112a a -=≠+1a =2(a =-)故为充要条件， 故选：C.3. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A. B.C. 8D.7.67.88.2【答案】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个58822数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为， 999又极差为，所以最小数字为， 36所以这组数据为、、、、， 67899所以平均数为.678997.85++++=故选：B4. 已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ） {}n a q 0q >1q ≠614388a a a a +=+q A .B.C. 2D. 41412【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.【详解】已知等比数列的公比为（且），若，{}n a q 0q >1q ≠614388a a a a +=+则，所以，解得. 643188a a a a -=-()33136431318q a a a a q a a a a --===--2q =故选：C.5. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>22(2)2x y +-=的离心率为（ ）CA.B. 2C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．【详解】解：双曲线的渐近线方程为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>b y x a =±由对称性，不妨取，即． by x a=0bx ay -=圆的圆心坐标为， 22(2)2x y +-=(0,2)则圆心到渐近线的距离，1d ==，解得．∴1=2ce a==故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿,,A B C 者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ） A A.B.C.D.1932431002432359【答案】B 【解析】【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，A A 再结合概率公式，即可得到结果.【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况， 53243=再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去， 5人被分为或3,1,12,2,1当5人被分为时，情况数为;3,1,13353C A 60⨯=当5人被分为时，情况数为； 2,2,112354322C C A 90A ⨯⨯=所以共有.6090150+=由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，A A 当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则3,1,1A 3242C A 8⨯=2242C A 12⨯=共计种，81220+=当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计2,2,1A 224222C A 6A ⨯=112432C C A 24⨯⨯=种，62430+=所以甲不在小区的概率为 A ()1502030100243243-+=故选：B.7. 数列满足，，现求得的通项公式为{}n F 121F F ==()*21n n n F F F n ++=+∈N{}nF，，若表示不超过的最大整数，则的值n nn F A B =⋅+⋅,A B ∈R []x x 8⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦为（ ） A. 43 B. 44C. 45D. 46【答案】D【解析】【分析】根据题意可解得，分别计算可得，，由可得A=B=32F=43F=249F=，所以.8847=-846⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦【详解】联立方程；122211F A BF A B A B⎧=⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅=+=⎪⎩解得，A=B=则，n nnF⎤⎥=-⎥⎦由题可得，，，且，32F=43F=24424195F⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎣⎦所以，8448245-⋅⋅+=则，88845247=+-=-因为，所以，故，()80,1∈()846,47∈846⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦故选：D.8. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（）1x()2,∈+∞x m122121ln ln2x x x xx x-<-mA. B. C. D.21e1e1e【答案】D【解析】【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在12x x<2121ln2ln2x xx x++<()ln2xf xx+=()f x上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围，即可得解. (),m+∞()f x m【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足，1x ()2,∈+∞x m 122121ln ln 2x x x x x x -<-不妨令，则，所以， 12x x <210x x ->122121ln ln 22x x x x x x -<-即，所以， ()()1212ln 22ln x x x x ++<2121ln 2ln 2x x x x ++<令，则， ()ln 2x f x x +=()()21f x f x <即在上单调递减， ()ln 2x f x x+=(),m +∞由，当时，当时， ()21ln x f x x --'=10e x <<()0f x ¢>1ex >()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，即的最小值为. 1e m ≥m 1e故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知等差数列的前n 项和为，满足，，下列说法正确的是（ ） {}n a n S 12321a a a ++=525S =A. B.23n a n =+210n S n n =-+C. 的最大值为 D. 的前10项和为 {}n S 5S 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1099-【答案】BCD 【解析】【分析】先根据题干条件算出等差数列的通项公式，然后逐一分析每个选项即可. {}n a 【详解】根据等差中项，，解得，1232213a a a a ++==27a =，解得，设等差数列的公差()()512345315243255S a a a a a a a a a a a ==++++=++++=35a ={}n a 为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A 选项错d 322d a a =-=-2(2)112n a a n d n =+-=-误；根据等差数列前n 项和公式，，B 选项正确； 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+根据B 选项可知，，最大值在取得，故C 选项正确；2210(5)2525n S n n n =-+=--+≤5n =，故的前10项和为：1111111(112)(92)(211)(29)221129n n a a n n n n n n +⎛⎫===- ⎪------⎝⎭11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，D 选项正确. 11111111111029775911291199⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+---++-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BCD10. 已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则()f x x ∈R ()()2f x f x +=-()12f =()f x '()f x （ ）A. B. 的一个周期是4 C. 是偶函数D.()20232f =()f x '()f x '()11f '=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=从而可判断B 项，根据周期性与奇偶性可判断A 项，根据奇偶性与导数运算可得(4)()f x f x ''+=，从而可判断C 项，在中，令代入计算可判断D 项.()()f x f x ''-=(2)()f x f x ''+=--=1x -【详解】因为函数是奇函数，， ()f x (2)()f x f x +=-所以，(2)()()f x f x f x +=-=-所以，即：，故的周期为4，(4)(2)()f x f x f x +=-+=(4)()f x f x +=()f x 所以，故的一个周期为4，故B 项正确；(4)()f x f x ''+=()f x '，故A 项错误；(2023)(45053)(3)(1)(1)2f f f f f =⨯+==-=-=-因为函数是奇函数， ()f x 所以，()()f x f x -=-所以，即：， ()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=所以为偶函数，故C 项正确； ()f x '因为， (2)()f x f x +=-所以，(2)()f x f x ''+=--令，可得，解得：，故D 项错误. =1x -(1)(1)f f ''=-()01f '=故选：BC.11. 已知抛物线C ：（p ＞0）的焦点为F ，过F 且斜率为的直线交抛物线C 于A ，B 两22y px =点，其中点A 在第一象限，若，则下列说法正确的是（ ） ||3AF =A. B. 1p =32BF =C. D. 以AF 为直径的圆与轴相切3OA OB ⋅=y 【答案】BD【解析】【分析】根据条件先求出p ，再逐项判断各选项即可.【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，设直线AB 的倾斜角为，α则，∵是锐角，tan α=α1cos ,sin 3αα∴==∵，， 3,sin1AF AC AF αα=∴===1,2p A ⎛∴+ ⎝∵点A 在抛物线上，，解得或（舍）；(2212p p ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2p =4p=-则抛物线方程为，直线AB 的方程为，准线方程为，故A 错误； 24y x =)1y x=-=1x -联立方程 ，解得或（A 点的横坐标），)241y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12x =2x =∴，∴，故B 正确；1,2B ⎛⎝13122BF =+=则，故C 错误；(12,,,,1402OA OB OA OB ⎛===-<⎝以AF 为直径的圆的圆心坐标为，半径为，圆心到y 轴的距离为，与y 轴相切，故32⎛ ⎝322AF =32D 正确. 故选：BD.12. 如图，正方体的棱长为2，M 为棱的中点，N 为棱上的点，且1111ABCD A B C D -11D C 1CC ，则（ ）()02CN a a =<<A. 当时，平面 23a =//AM BDNB. 当时，点C 到平面BDN1a =C. 当时，三棱锥外接球的表面积为 1a =A BCN -9πD. 对任意，直线与都是异面直线 ()0,2a ∈AM BN 【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，直接求解平面的法向量，判断与法向量是否垂直即BDN AM可，对于B ，直接求解平面的法向量，利用距离公式求解，对于C ，连接交于，过作BDN AC BD OO 平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，然后利用勾股定理可求出球的半径，从而可求出表面积，ABC 对于D ，利用异面直线的定义判断即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，对于A ，，则，2(2,2,0),(0,2,(2,0,0),(0,1,2)3B N A M 2(2,2,0),(0,2,),(2,1,2)3DB DN AM ===-设平面的法向量为，BDN (,,)n x y z =则，令，则， 2202203n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =(1,1,3)n =- 所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A 错误，2160AM n ⋅=--+≠ AM nAM BDN 对于B ，，设平面的法向量为，则(0,2,1),(0,2,1),(2,2,0)N DN DB ==BDN 111(,,)m x y z = ，令，则， 111122020m DB x y m DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11x =(1,1,2)m =- 所以点C 到平面BDN 的距离为，所以B 正确，CN m d m⋅=== 对于C ，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥AC BD O O ABC O '外接球的半径为，A BCN -R 则，所以三棱锥外接球的表面积为222221192244R OC OO OC CN ⎛⎫'=+=+=+= ⎪⎝⎭A BCN -，所以C 正确， 294π4π9π4R =⨯=对于D ，对任意，因为在平面内，点在平面外，且直线与平()0,2a ∈,,A B M 11ABC D N 11ABC D BN 面交于点，直线不经过点， 11ABC D B AM B 所以直线与都是异面直线，所以D 正确， AM BN 故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______． (2,1,)a m =-(1,1,2)b =-(1,2,)c t =-a b cm t +=【答案】 6-【解析】【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可.【详解】若，，共面，则存在实数，使，a b c ,x y c xa yb =+即(1,2,)(2,1,)(1,1,2)(2,,2)t x m y x y x y mx y -=-+-=-+-+所以，解得，，．2122x y x y mx y t -+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩=1x -=3y -6t m =--所以． 6m t +=-故答案为：6-14. 某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______． 【答案】14 【解析】【分析】根据特殊元素法进行安排即可.【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排33A 6=数为．综上，不同的安排种数为14．112222A A A 8=故答案为：.1415. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l 与该双曲线22142x y -=1F 2F 2F 4π交于M ，N 两点（点M 位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，12MF F △1R 12NF F △2R 则为___________. 12R R 【答案】##3+3+【解析】【分析】设，，，利用双曲线的定义可得，MA MC m ==11AF BF n ==22BF CF t ==n a c =+作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求. 21O O D ∠l 【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，12MF F △1O ,,A B C设，，，设的内切圆为圆，MA MC m ==11AF BF n ==22BF CF t ==12NF F △2O 由双曲线的定义可得，得，()()22m n m t an t c +-+=⎧⎨+=⎩n a c =+由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点， 12MF F △1O B ⊥x B 2O B x ⊥B 所以轴，12O O x ⊥过圆心作的垂线，垂足为，2O 1CO D 因为， 21222180,180O O D BF C BF C CF x ∠+∠=︒∠+∠=︒所以，221O O D CF x ∠=∠4π=∴，即12O O D=)1212R R R R +=-∴，即))1211R R =+123R R =+故答案为：.3+【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相n a c =+12O O x ⊥l 21O O D ∠等，计算即得.16. 进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按人一组分组，然后将各组个人的检测样本混合再检()110k k <≤k 测．如果混合样本呈阴性，说明这个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈k 阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时的值为______． k 参考数据：，，，，，，20.90.810=30.90.729=40.90.656≈50.90.590≈60.90.531≈70.90.478≈，，．80.90.430≈90.90.387≈100.90.349≈【答案】4 【解析】【分析】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则. 1X k =11X k=+依次求出、、，则当最小时，检测次数最少，最后研究1P X k ⎛⎫= ⎪⎝⎭11P X k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()E X ()E X ()E X 的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则. 1X k =11X k=+则，，10.9kP X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭1110.9k P X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ()111111110.9k E X P X P X k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=++⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当最小时，检测次数最少.()E X 当时，；当时，；当时，；当时，2k =()0.69E X =3k =()0.604E X =4k =()0.594E X =5k =；当时，；()0.61E X =6k =()0.636E X =当时，；当时，；当时，；当7k =()0.665E X =8k =()0.695E X =9k =()0.724E X =10k =时，.()0.751E X =故当时，最小. 4k =()0.594E X =故答案为：4四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：(21)nx -32n x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）所有二项式系数之和．（2）系数绝对值最大的项． 【答案】（1）1024（2） 415360x-【解析】【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得，根据二项式系数和的结论可直接求得结果； 7n =（2）根据展开式通项公式，设第项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展开1r +r 式通项公式即可求得结果. 【小问1详解】因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，(21)nx -所以且，解得，25C C n n =5n ≥7n =所以展开式的二项式系数之和为；31022n x x x x +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1021024=【小问2详解】展开式的通项为， 102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()10102110102C 2C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭设展开式第项的系数的绝对值最大，1r +则，解得， 1110101110102C 2C 2C 2C r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩192233r ≤≤又因，所以，N r ∈7r =所以展开式中，系数绝对值最大的项为． ()771014104153602C xx--=-18. 在①2，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题()1n n S n a =+()()()1112n n n S n S n --=+≥中，并作答．问题：设数列的前项和为，且__________． {}n a n 1,1n S a =（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求数列的前项和． 11n n na nb n a +=++{}n b n n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）n a n =（2）21nn n ++【解析】【分析】（1）选①利用与的关系求出递推关系，再用累乘法求出数列通项.选②由递推关系结合累n a n S乘法求出数列通项. （2）用裂项相消法求和. 【小问1详解】选①，因为，所以， ()21n n S n a =+()1122n n S na n --=≥所以，所以， ()()1212n n n a n a na n -=+-≥()121n n na a n n -=≥-则. ()1122121n n n a a n n n n -=⋅⋅⋅⋅=≥-- 因为满足上式，所以.11a =n a n =选②，因为，所以， ()()()1112n n n S n S n --=+≥()1121n n n S S n n -+=≥-所以. ()()111321212n n n n n S S n n n ++=⨯⨯⨯⨯=≥-- 因为满足上式，所以， 111S a ==()12n n n S +=则，因为满足上式，所以. ()12n n n a S S n n -=-=≥11a =n a n =【小问2详解】 由（1）可得，则111211n n n b n n n n +=+=-+++11111111122212231223n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 1121n n n ⎤⎛⎫++-+ ⎪⎥+⎝⎭⎦21n n n =++19. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正ABCDE ACD ⊥ABC BE ⊥ABC ABC ACD三角形，，.4AC =BE =（1）在线段上是否存在点F ，使得平面?说明理由； AC BF ∥ADE （2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值. CDE ABC 【答案】（1）存在，理由见解析（2 【解析】【分析】（1）记中点为M ，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；AC DM （2）连结，过点B 作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，CG CG EH CDE ABC 解三角形，即可求得答案. 【小问1详解】记中点为M ，连结，为正三角形，,AC DM ACD 4AC =则，且DMAC ⊥DM =因为平面平面 ，平面平面，平面ACD ,ACD ⊥ABC ACD ABC AC =DM ⊂所以平面，又因为平面，DM⊥ABC BE ⊥ABC 所以.DM BE ∥延长交于点G ，则为平面与平面的交线， ,MB DE AG ADE ABC因为，故，所以B 为的中点，BE =2DM BE =MG 取中点F ，连结，则，因为平面 ，平面， AM BF BF AG ∥AG ⊂ADE BF ⊄ADE 所以平面.BF ∥ADE 即线段上存在点F ，当时，平面.AC 14AF AC =BF ∥ADE 【小问2详解】连结，则为平面与平面的交线， CG CG CDE ABC 在平面内，过点B 作的垂线，垂足为H .ABC CG 连结，因为平面，平面，故,EH BE ⊥ABC CG ⊂ABC BE CG ⊥平面，故平面，,,BE BH B BE BH =⊂ BEH CG ⊥BEH 平面，故,EH ⊂BEH CG EH ⊥则为平面与平面所成的二面角的平面角.BHE ∠CDE ABC为正三角形，，故,ABC 4AC =BM =BG BM ==且,30,150MBC GBC ∠=∴∠=故在中，， GBC 2222cos 121624(52GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯=故，而， CG =1sin1502BGC S BC BG =⨯⨯=故,又因为 2BGC BH CG S ==12BE DM ==所以， tan BE BHE BH ∠==即平面与平面. CDE ABC 20. 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER ，PER 分为PERl （导致早起倾向）和PERo （导致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE 蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE 蛋白干预实验中，出现PERl 突变的Sd 指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd 指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd 指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发现，若实验鼠Sd 指标超过10.00，则认定其体征状况严重，（1）从实验鼠中随机选取3只，记X 为体征状况严重的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）若编号1~8的实验鼠为GRPE 蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE 蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE 蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 01α=．α0.1 0.05 0.01x α 2.7063.8416.635附：（其中）．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++【答案】（1）分布列见解析；期望为2116（2）认为实验鼠体征状况与GRPE 蛋白干预无关 【解析】【分析】（1）先求出X 的可能取值，逐个求解概率可得分布列，利用期望公式可求期望； （2）根据提供的数据列出2×2列联表，计算卡方，根据临界值进行判断. 【小问1详解】由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重. X 的可能取值有0，1，2，3，39316C 3(0),C 20P X ===2197316C 9(1),C 20C P X === .1297316C C 27(2),C 80P X ===37316C 1(3)C 16P X ===所以X 的分布列为 X 0123P320 9202780116所以X 的数学期望． 3927121()01232020801616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意得，根据所给数据，得到列联表： 22⨯GRPE 蛋白干预 非GRPE 蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计8816零假设：实验鼠体征状况与GRPE 蛋白干预没有关系．0H 利用列联表中的数据得，，220.116(2356)162.286 2.70688797x χ⨯⨯-⨯==≈<=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验01α=．0H 0H 鼠体征状况与GRPE 蛋白干预无关．21. 已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且()2222:10y x C a b a b +=>>12,A A P ⎫⎪⎪⎭C .1212=- PA PA （1）求椭圆的标准方程；C （2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反O P C ,M N PM PN数，当的面积最大时，求直线的方程.MON △MN 【答案】（1）2212y x +=（2）y =±【解析】【分析】（1）根据题意在上，可得，利用，得出P ⎫⎪⎪⎭C 221112a b +=1212=- PA PA，即可求得椭圆方程； 221((1)2a --=-（2）设直线的方程，和椭圆方程联立，求出M 点坐标，以代换k , 可得N 点PM (1y k x =+k -坐标，从而确定直线的斜率，设直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合点到直MN MN 线的距离，表示出的面积，结合二次函数知识，即可求得答案. MON △【小问1详解】由题意椭圆的上、下顶点分别为，()2222:10y x C a b a b+=>>12,A A故，点在上，故， 12(0,),(0,)A a A a -P ⎫⎪⎪⎭C 221112a b +=又，即，1212=- PA PA 1(1)(1)2a a -⋅--=-即，解得， 221((1)2a --=-22a =结合可得， 221112a b+=21b =故椭圆的标准方程为.C 2212y x +=【小问2详解】由题意知直线斜率存在，故设为k ，PM则直线的方程为，联立，PM (1y kx =+2212y x +=可得， 222(2)2(1)(1)20k x k x +++--=，设，11(,)M x y11x=∴=则 11y k =+=因为直线与的斜率互为相反数，设，故以代换,PMPN 22(,)N x y k -k 可得，2x =2y =由题意可得，故，0k ≠12x x ≠所以直线的斜率为 MN 2121222222MNy y k x xk k-==-++，==即直线，则设其方程为，联立，MNy m =+2212y x +=可得，需满足，22420x m ++-=222816(2)0,4m m m ∆=-->∴<则 ，2121224m x x x x -+==故||MN===原点O 到直线的距离为，MNd =故的面积为MON △12S ==， =当，即时，的面积取到最大值， 22m =m =MON △此时直线的方程MN y =【点睛】难点点睛：解答第二问时涉及到三角形面积取最大值，计算量较大，难度较高，解答时要利用直线方程和椭圆方程的联立，确定直线的斜率，进而利用弦长公式和点到直线的距离表示出MN 的面积，从而可解决问题.MON △22. 已知函数． ()()21e 1R 2xf x x ax a =---∈（1）若不等式在上恒成立，求实数a 的取值范围； ()0f x ≥[)0,x ∈+∞（2）若，求证：． 0x >()21e 1ln 122xx x x ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭【答案】（1）(],1-∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，证明导数为单调增函数，然后分和两种情况判断导数的正1a ≤1a >负，从而判断函数的单调性，结合不等式恒成立，求得参数范围；（2）利用（1）的结论将要证明的不等式转化为证明，从而构造函数()2ln 12xx x+>+，利用导数判断函数单调性，结合函数值范围，进而证明原不等式成立. ()()()2ln 102xF x x x x =+->+【小问1详解】由题意知，，()e xf x x a '=--[)0,x ∈+∞令，则，则在上恒成立， 仅在时取等号，()()u x f x '=()e 1xu x '=-()0u x '≥[)0,∞+0x =所以在上单调递增，即在上单调递增． ()u x [)0,∞+()f x '[)0,∞+当时，在上恒成立，1a ≤()()010f x f a ≥=-'≥'[)0,∞+所以在上单调递增，所以，符合题意； ()f x [)0,∞+()()0f x f ≥0=当时，．1a >()010f a '=-<令，则，所以在上单调递减，()e 2xh x x =-()e 2xh x '=-()h x (),ln 2-∞在上单调递增，所以．()ln 2,+∞()()ln 222ln 20h x h ≥=->所以，又在上单调递增，()e e 20a af a a a a '=--=->()f x '[)0,∞+所以，使得，()00,x a ∃∈()00f x '=所以在上单调递减，在上单调递增，()f x ()00,x ()0,x +∞所以，不符合题意． ()()000f x f <=综上所述，实数a 的取值范围是． (],1-∞【小问2详解】证明：由（1）得，当，时，，即，1a =0x >2e 1102xx x ---≥2e 122xx x -+>+要证不等式，只需证明， ()21e 1ln 12,(0)2x x x x x ⎛⎫-++>> ⎪⎝⎭()212e 12ln 1x x x x -+>+只需证明，即只需证，()22ln 1x x x +>+()2ln 12xx x+>+设，则，()()()2ln 102x F x x x x =+->+()()()()222141212x F x x x x x '=-=++++当时，恒成立，故在上单调递增， 0x >()0F x '>()F x ()0,∞+又，所以恒成立，所以原不等式成立．()00F =()0F x >【点睛】难点点睛：第二问证明不等式成立时，要结合第一问的结论，得到，即2e 1102xx x ---≥，这是要结合所要证明的不等式的变形进行的合理变式，因此难点就在于要利用分析2e 122xx x -+>+的方法，将原不等式转化为证明，即需证明，也就是证()212e 12ln 1xx x x -+>+()22ln 1x x x +>+，然后可以构造函数，利用导数判断函数单调性解决问题. ()2ln 12xx x+>+。
安徽省示范联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析版
高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2＜x≤1，x∈Z}，则集合A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32.设复数z=1+2i（i是复数单位），则复数在复平面内对应点应在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.我国古代的“割圆术”相当于给出已知圆的半径r，计算其面积S的近似值，进一步计算圆周率的近似值，根据π=3.14159……判断，下列近似公式最接近π的是（）.A. B. C. D.4.下面程序框图是为了求出m，n的最大公约数，那么在①②③三个空白框中，可以依次填入（）A. n=r，m=n，输出nB. m=n，n =r，输出nC. m=n，n=r，输出mD. n=r，m=n，输出m5.如图所示为三棱锥的三视图以及尺寸，则三棱锥的体积为（）A.B. 2C. 3D. 46.如图，在正方形ABCD中，以AB，AD边为直径向正方形内作两个半圆交于O点，若某机械手向正方形ABCD内随机投入一个质点，则该质点落入这两个半圆的并集所在区域内的概率为（）A.B.C.D.7.在四边形ABCD中，若不共线，E，F分别为AB，CD上的点，且，则=（）A. B. C. D.8.设a=log45，b=log32，，则a，b，c从大到小排序为（）A. B. C. D.9.一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.10.设函数f（x）=x3+ax2+bx+2，且f（1+x）+f（1-x）=2，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为（）A. y=0B. y=1C. y=xD. y=-2x+311.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A的坐标为（-2，0），直线x+2=ky（k＞0）与C交于M，N两点，，则=（）A. 8B. 7C. 6D. 512.在四棱锥E-ABCD中，已知，三角形BDE是边长为2的正三角形，当四棱锥E-ABCD的外接球的体积取得最小值时，则以下判断正确的是（）A. 四棱锥E-ABCD的体积取得最小值为，外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内B. 四棱锥E-ABCD的体积取得最小值为，外接球的球心可在四棱锥E-ABCD内或外C. 四棱锥E-ABCD的体积为，外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内D. 四棱锥E-ABCD的体积为，外接球的球心可在四棱锥E-ABCD内或外二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.sin330°-cos240°+tan150°的值为______．14.设x，y满足约束条件，已知当x=1，y=0时，-mx+y取得最大值，则m的取值范围是______．15.记S n为数列{a n}的前n项和．若，则a6=______．16.已知圆锥的母线l长为3，侧面积为S，体积为V，则取得最大值时圆锥的底面半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos A（sin B-1）=a cos C-b．（1）求角B的大小；（2）在锐角三角形A′B′C′中，角A′，B′，C′的对边分别为a′，b′，c′，若b′=2=2∠B，求三角形A′，B′，C′的内角平分线B′D′的长．18.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E为DD1的中点，BC=BD=a，．（1）求证：平面A1BE⊥平面BDC1；（2）求直线BD1与直线C1D所成角θ的余弦值．19.某市教育局为了监控某高一年级的素质教育过程，从该校高一年级16个班随机抽16令x i为抽取的第i个学生的素质教育测评成绩，i=1，2，…，16，经计算得以下计算精确到0.01．（1）设ξ为抽取的16个样本的成绩，用频率估计概率，求ξ的分布列、数学期望E（ξ）和标准差σ；（2）在抽取的样本成绩中，如果出现了在（E（ξ）-3σ，E（ξ）+3σ）之外的成绩，就认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况，需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议，从该校抽样的结果来看，是否需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议？（3）列出不小于E（ξ）的所有样本成绩，设列出的这些成绩的中位数为a，每次从列出的这些成绩中随机抽取1个成绩，有回放地连续抽取3次，求恰好有2次抽取的成绩为a的概率．20.已知椭圆，A1，A2为椭圆C的左右顶点，椭圆的右焦点为F，椭圆C的离心率为e．（1）设直线与椭圆交于D，E两点，且DF⊥EF，求e的值；（2）设过点F且斜率为1的直线与椭圆交于P，Q（其中，P，Q分别在x轴的上、下方）两点，当时，记△PA2Q、△PA1Q的面积分别为，求的最小值，并此时椭圆的标准方程．21.已知函数f（x）=ln x-ax（x-1）．（1）当a任意取值时，f（x）的图象始终经过一个定点，若f（x）的图象在该定点处取得极值求a的值；（2）求证：函数f（x）有唯一零点的充分不必要条件是a≤0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y+1）2=3，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．23.已知函数f（x）=|2x-2|-|x-2|，g（x）=x+1．（1）求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）当x∈（2a，-1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的表示法，属于基础题．因为A={x|-2＜x≤1，x∈Z}，求出集合A，数出元素个数即可．【解答】解：依题意，A={x|-2＜x≤1，x∈Z}={-1，0，1}，所以集合A中元素的个数为3，故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把z=1+2i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1+2i，∴=（1+2i）（1-i）=3+i，∴复数在复平面内对应点的坐标为（3，1），在第一象限．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属基础题．先阅读理解题意，再通过运算进行简单的合情推理即可得解．【解答】解：由圆的面积公式得：S=πr2，所以r=，对于选项A，π==3.14，对于选项B，π=3，对于选项C，≈3.14285，对于选项D，≈3.375，,,即最接近π=3.1415926....的值为3.14285，故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据求m，n的最大公约数步骤是解决本题的关键．根据求m，n的最大公约数的步骤，进行判断即可．【解答】解：根据求出最大公约数的步骤得1，判断m除以n的余数r，如果r=0，则最大公约数就是n．如果不能则进行下一步骤，让n=r，m=n；重复第1步骤．直到r=0为止．故①②③依次填写的是n=r，m=n，输出n，故选A．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．直接利用三视图的转换，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图，如图所示：四棱锥ABCD即为所求，即：转换为几何体为：一个底面边长为2和4的矩形，高为2的四棱锥，去掉一个底面边长为2和4的三角形，高为2的三棱锥，故：=故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，是中档题．由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，则这两个半圆的并集所在的区域的面积为π•12-2×（）=+1，根据概率公式计算即可．【解答】解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，则这两个半圆的并集所在的区域的面积为π•12-2×（）=+1，∴则该球落在阴影部分的概率为，故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的分解，但是本题不好建立坐标系，也不易将向量向着向量和向量方向分解，根据E，F分别为AB和CD的三等分点，采用整体代入是解决这类题目的常用方法．本题属于中档题．依题意，=①，②，①+②×2得=，所以=+．【解答】解：依题意，=①，②，①+②×2得3=+2+++2，因为E，F分别为AB，CD上的点，且，所以+2=，+2=，所以=+．故选B.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的单调性，比较大小，对数及其运算，考查了运算求解能力，属于基础题．利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=log32∈（0，1），=log46＞log45=a＞1，则a，b，c的大小关系为：b＜a＜c，故选：C．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为（0，b），半径为r，可得圆的方程为x2+（y-b）2=r2，把已知三个点的坐标代入，求解b与r值，则圆的方程可求．【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，则圆的方程为x2+（y-b）2=r2，则，解得，．∴圆的标准方程为．故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．由已知列式求得a，b的值，得到函数解析式，再求出f′（x），得到f′（1），求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x3+ax2+bx+2，且f（1+x）+f（1-x）=2，得（1+x）3+a（1+x）2+b（1+x）+2+（1-x）3+a（1-x）2+b（1-x）+2=2，整理得：（2a+6）x2+2（a+b+2）=0，∴，即a=-3，b=1．∴f（x）=x3-3x2+x+2，则f′（x）=3x2-6x+1，∴f′（1）=-2，又f（1）=1．∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-1=-2（x-1），即y=-2x+3．故选D．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．求出抛物线的焦点坐标，联立抛物线和直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-4ky+8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴y1+y2=4k，y1y2=8，∵，∴（x2+2，y2）=2（x1+2，y1），∴y2=2y1，∴y1=2，y2=4，k=，∴M（1，2），N（4，4），∴=（0，2）•（3，4）=8．故选A．12.【答案】C【解析】解：当四棱锥E-ABCD的外接球的体积取得最小值时，外接球的半径最小，如图，由，三角形BDE是边长为2的正三角形，得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，∴AD⊥AB，CB⊥CD，∴四边形ABCD有一个外接圆，且圆心为BD的中点，设为O1，设四棱锥E-ABCD的外接球的球心为O，则OO1⊥平面ABCD，设OO1=x，过O作平面BDE的垂线，垂足设为F，则F为△BDE的外心，设OF=y，外接球的半径为r，则r2=12+x2=（）2+y2，∴x，∴x，当且仅当y=0时，四棱锥E-ABCD的外接球的体积取最小值，此时平面BDE⊥平面ABCD，可得四棱锥E-ABCD的外接球的体积为：V=（1×+）×=，且外接球的球心必在四棱锥E-ABCD内．故选：C．由题意画出图形，推导出四边形ABCD有一个外接圆，且圆心为BD的中点，设为O1，设四棱锥E-ABCD的外接球的球心为O，则OO1⊥平面ABCD，设OO1=x，过O作平面BDE的垂线，垂足设为F，则F为△BDE的外心，设OF=y，外接球的半径为r，则r2=12+x2=（）2+y2，从而x，则x，当且仅当y=0时，四棱锥E-ABCD的外接球的体积取最小值，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查四棱锥的结构特征、外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：sin330°-cos240°+tan150°=sin（360°-30°）-cos（180°+60°）+tan（180°-30°）=-sin30°+cos60°-tan30°==-．故答案为：．直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件，的平面区域如图：设z=-mx+y，得y=mx+z，则当y=mx+z截距最大时，z取得最大值，要使z=mx+y在点（1，0）处取得最大值，由图得，，故答案为：．15.【答案】11【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得n≥2时，a n=S n-S n-1，化简即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=a n+（n-1）2-a n-1-（n-2）2，化为：a n-1=2n-3，则a6=2×7-3=11．故答案为11．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，体积与侧面积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题．设底面半径为R，用R表示出V，S，利用基本不等式得出取得最大值时对应的条件，得出答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则圆锥的高h=，∴S=3πR，V=，∴=，∵R2（9-R2）≤（）2=，当且仅当R2=9-R2即R=时取等号．∴当R=时，取得最大值．故答案为：．17.【答案】解：（1）2c•cos A（sin B-1）=a cos C-b，∴由正弦定理可得：2sin C cos A（sin B-1）=sin A cos C-sin B，∴2sin C cos A sin B-2sin C cos A=sin A cos C-（sin A cos C+sin C cos A），∴2sin C cos A sin B=sin C cos A，∵在锐角△ABC中，sin C cos A≠0，∴sin B=，∴B=；（2）∠B'=2∠B=，由正弦定理有：，∴=，又三角形A'B'C'为锐角三角形，∴A'=，∴C'=，∴∠B'D'C'=，由正弦定理有：∴．【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式整理可得：2sin C cos A sin B=sin C cos A，由于在锐角△ABC中，sin C cos A≠0，即可解得sin B的值；（2）由正弦定理的到A'，进而得到∠B'D'C'，然后根据正弦定理得到B'D'．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】（1）证明：∵BC=BD=AD=a，AB=a，∴BD⊥AD，以D为原点，以DA，DB，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，则B（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，a），A1（a，0，a），C1（-a，a，a），∴=（0，a，0），=（-a，a，a），=（0，-a，），=（-a，0，-a），设平面A1BE的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得=（1，-1，-），设平面BDC1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得=（，0，1），∴=0，故．∴平面A1BE⊥平面BDC1．（2）=（0，-a，a），=（-a，a，a），∴cos＜，＞===．∴直线BD1与直线C1D所成角θ的余弦值为．【解析】（1）以D为原点建系，求出平面BA1E和平面BDC1的法向量，通过证明法向量垂直来得出平面垂直；（2）计算和的夹角的余弦值得出直线所成角的余弦值．本题考查了空间向量在空间位置关系，空间角中的应用，属于中档题．19.【答案】解：（1）设ξ为抽取的16个样本的成绩，则ξ的可能取值为90，95，96，97，98，99，P（ξ=90）=，P（ξ=95）=，P（ξ=96）=，P（ξ=97）=，P（ξ=98）=，P（ξ=99）=，∴ξ的分布列为：数学期望E（ξ）=+≈96.31，方差σ2=（90-96.31）2×+（95-96.31）2×+（96-96.31）2×+（97-96.31）2×+（98-96.31）2×+（99-96.31）2×≈4.34，标准差σ≈2.08．（2）E（ξ）-3σ=96.31-3×2.08=90.07，E（ξ）+3σ=96.31+3×2.08=102.55，所以第4次抽测的成绩90在（E（ξ）-3σ，E（ξ）+3σ）之外，应认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况，需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议．（3）不小于E（ξ）的所有样本成绩由小到大分别为：97，97，98，98，98，99，99，∴列出的这些成绩的中位数为a=98，每次从列出的这些成绩中随机抽取1个成绩，有回放地连续抽取3次，每次抽取a的概率都是，∴恰好有2次抽取的成绩为a的概率P==．【解析】（1）设ξ为抽取的16个样本的成绩，则ξ的可能取值为90，95，96，97，98，99，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E（ξ）、标准差σ．（2）E（ξ）-3σ=96.31-3×2.08=90.07，E（ξ）+3σ=96.31+3×2.08=102.55，第4次抽测的成绩90在（E（ξ）-3σ，E（ξ）+3σ）之外，由此得出结论．（3）不小于E（ξ）的所有样本成绩由小到大分别为97，97，98，98，98，99，99，列出的这些成绩的中位数为a=98，由此能求出恰好有2次抽取的成绩为a的概率．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布表、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）F（c，0），联立，得，．设D（x0，y0），则E（-x0，-y0），∴，，∴，则，整理得e4-8e2+4=0，解得（舍）或，则e=；（2）如图，由e=，得a2=2b2，c=b．∴椭圆方程为x2+2y2=2b2．PQ所在直线方程为y=x-b，联立，得3x2-4bx=0．∴，x Q=0，则，y Q=-b．∴=，，∴=+=．当且仅当=+，即时上式“=”成立．此时椭圆的标准方程为．【解析】解：（1）椭圆右焦点F（c，0），联立直线方程与椭圆方程，求得交点坐标平方，结合，得到关于e的方程，求解可得e的值；（2）由e=，得a2=2b2，c=b，得到椭圆方程为x2+2y2=2b2，PQ所在直线方程为y=x-b，联立直线方程与椭圆方程，求得交点坐标，写出△PA2Q、△PA1Q的面积，代入，整理后利用基本不等式求最值，并求得b2，可得椭圆标准方程．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）由f（x）=ln x-ax（x-1）可得f（1）=0，所以f（x）的图象始终经过一个定点（1，0），因为，又因为f（x）的图象在该定点处取得极值，所以f′（1）=0，所以a=1，当a=1时，满足在x=1左右侧f′（x）异号，所以a=1符合题意．（2）证明：①不必要性：当a=1时，，在（0，1）上f′（x）＞0，在（1，+∞）上f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以f（x）≤f（1）=0，所以当a=1时，函数f（x）有唯一零点1，所以当a≤0是函数f（x）有唯一零点的不必要条件．②充分性：因为f（1）=0，所以f（x）已经有零点1，下面只需要证明函数f（x）再无其它零点了．因为a≤0且0＜x＜1时，f（x）=ln x-ax（x-1）＜0，所以f（x）在0＜x＜1时无零点．因为==，当a≤0，且x＞1时，-ax（2x-1）＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在x＞1时递增，所以当x＞1时f（x）＞f（1）=0，所以f（x）在x＞1时也无零点，所以a≤0时，f（x）有唯一零点1，所以a≤0时f（x）有唯一零点的充分条件．【解析】（1）由f（x）=ln x-ax（x-1）可得f（1）=0，所以f（x）的图象始终经过一个定点（1，0），对函数求导，利用函数在此定点处有极值，导函数值等于零列方程求解即可；（2）从不必要性和充分性两方面分别证明即可．本题考查了利用导数求函数极值的方法，还考查了充分必要条件知识，属于综合题，难度较大．22.【答案】解：（1）由（x-1）2+（y+1）2=3，得x2+y2-2x+2y-1=0．∴ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-1=0．即曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-1=0；（2）把代入ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-1=0，得．∵△=＞0，∴方程有两不等实数根，则直线l与曲线C相交．且，ρ1ρ2=-1．∴弦长为=．【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合ρ2=x2+y2及x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线的极坐标方程；（2）把代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l与曲线C相交，再由根与系数的关系求解弦长．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|2x-2|-|x-2|==，g（x）=x+1，∴不等式f（x）＜g（x）可化为或或，解得-＜x＜1或1≤x≤2或x＞2，即x＞，∴不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|x＞-}；（2）当x∈（2a，-1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，∴f（x）≥g（x）的解集包含（2a，-1+a]，由（1）得f（x）≥g（x）的解集为{x|x≤-}，∴（2a，-1+a]⊆（-∞，-]，即，解得a＜-1，∴a的取值范围是a＜-1．【解析】（1）去掉绝对值，化简函数f（x），把不等式f（x）＜g（x）化为或或，求出解集，再取它们的并集．（2）x∈（2a，-1+a]时f（x）≥g（x）恒成立，得出f（x）≥g（x）的解集包含（2a，-1+a]，由（1）得f（x）≥g（x）的解集，列不等式组求得a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
安徽省高三5月联考数学(文科)试题有答案
淮南 蒙城 颍上 怀远2015届高三“四校”联考数学（文科）试题命题学校 颍上 考试时间 5月2日试题说明：本试卷分第I 卷（客观题）和第II 卷（主观题）两部分，共150分，时间120分钟。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）1.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若复数z 满足29)52(=-z i ，则=z （ ）A. 25i -B. 25i +C. 25i --D. 25i -+ 2.抛物线24x y =的准线方程为（ ）A. 1-=yB. 161-=x C. 1-=x D. 161-=y 3.设集合A={}22(,)1x y x y +=,B= {}(,)1x y x =,则A ⋂B 子集的个数是（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 44.问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查.方法：Ⅰ、随机抽样法 Ⅱ、分层抽样法III 、系统抽样法.其中问题与方法配对较适宜的是( )A. ①Ⅰ，②ⅡB. ①III ，②ⅠC. ①Ⅱ，②IIID. ①III ，②Ⅱ 5.命题p ：“[)1)3(log ,,1020≥+∞∈x x 使得存在”，则命题p 的否定是（ ）A. [)0021,,(log 3)1x x ∈+∞<存在使得 B. [)0021,,(log 3)1x x ∈+∞≥存在使得C. [)21,,(log 3)1xx ∈+∞<任意都有D. [)21,,(log 3)1x x ∈+∞≥任意都有6.要得到2cos 2y x x =-的图像，只需将x y 2sin 2=的图像（ ）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度7.已知等差数列{}n a 中，11=a ，70=n a )3(≥n .若{}n a 公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( )A ．3,23,69 B. 4,24,70 C. 4,23,70 D. 3,24,708.设y x 、满足约束条件⎩⎨⎧>-+≥-+07205y x y x ，则目标函数22y x z +=的最小值为（ ）A.549B.11C.225 D.13 9.已知矩形ABCD 中，22AB BC ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足0≥∙的概率是（ ）A.44π- B. 4π C. 1616π- D. 16π10.设函数43, 0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0af x f x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A. ]1,0(B. [)1,+∞C. []0,1D. ()1,+∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）11.函数y =的定义域是 ；12.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的取值集合为 ；13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值 为 ；14. 运行如右图的程序框图，若输出的y 随着输入的x 的增大而减 小，则a 的取值范围是 ；15.如图所示，在确定的四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD .(1)若AB ⊥CD ，则截面EFGH 与侧面ABC 垂直； (2)当截面四边形EFGH 面积取得最大值时，E 为AD 中点；(3)截面四边形EFGH 的周长有最小值；(4)若AB ⊥CD ，AC BD ⊥，则在四面体内 存在一点P 到四面体ABCD 六条棱的中点的距离相等.上述说法正确的是 ． 三、解答题：（本大题共6题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本题满分12分)已知函数2()sin()cos()()2sin 632xf x x xg x ππ=+-+=，． （I ）求函数()()y f x g x =+的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，A 为锐角，且角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若a =，453)(=A f ,求ABC ∆面积的最大值.17．(本题满分12分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（I ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数； （II ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（III ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．(第１2题图)(第１4题图)(第１5题图)18．(本题满分12分)如图，在四棱锥A BCED -中，ABC ∆为正三角形， EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，M 为棱EA 的 中点，2CE BD =.（I ）求证：DM ∥平面ABC ；（II ）求证：平面BDM ⊥平面ECA ．19．(本题满分13分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n a =+，n N *∈.（I ）求1a 、2a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）设1(3)n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <.20．(本题满分13分)已知函数1()ln ,f x x ax a R x=-+∈. （I ）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 值； （II ）讨论函数()f x 在其定义域内的单调性； （III ）定义：若函数()h x 在区间D 上任意12,x x 都有1212()()()22x x h x h x h ++≤，则称函数 ()h x 是区间D 上的凹函数.设函数2()(),0g x x f x a '=>，其中)(x f '是)(x f 的导函数．根据上述定义．．．．，判断函数()g x 是否为其定义域内．．．．的凹函数，并说明理由. 21．(本题满分13分)设椭圆E : 22221x y a b+=0a b >>（）过22M e （，），(2N e 两点，其中e 为椭圆的 离心率，O 为坐标原点.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）过椭圆右焦点F 的一条直线l 与椭圆交于,A B=，求弦AB 的长.(第１8题图)2015届高三“四校”联考数学（文科）参考答案11. 43(,]3212. { 13.4- 14. 131,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭15.②④ 三、解答题16、解：()sin cos+cos sincos cos+sin sin6633f x x x x x ππππ=-sin x()1g x =-cos x …………………3分（1）y=()()f x g x +sin x -cos x +1=2sin -+16x π⎛⎫⎪⎝⎭令322,()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得252233k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ 所以y=()()f x g x +的单调递减区间是252,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ ……6分（2）∵(A)f ==sinA =又∵A 为锐角∴1cosA 4=又∵ ∴2222251cosA 224b c a b c bc bc +-+-=== …8分∴221522b c bc bc +=+≥∴103bc ≤当且仅当时,bc 取得最大值∴ΔABC 的面积最大值为1sinA 212bc = ……………12分 17、解：（I ）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数20015.030==M …………………………………………… 3分（II ）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小.所以，乙校学生的成绩较好.…………………………………………7分（III ）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为:1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1,2）、（13）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6），总共有15个基本事件.其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A ,则A 包含9个基本事件，如下：（1,5）、（1,6）、（2,5）、（2,6）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6）. …………………10分所以，53159)(==A P …………………………………………………12分 18、解：（1）取AC 中点N ，连接MN,BN由于M 、N 分别是AE 、AC 的中点，∴MN //21E C ，又BD //21EC ∴ MN //B D 从而MNBD 为平行四边形 ∴ DM//BN,又,DM ABC BN ABC ⊄⊆面面所以DM//面ABC ………………6分N(2) 由（1）及∆ ABC 为等边三角形，∴BN 丄AC ， 又BD 丄面ABC ∴BD 丄AC , BN ∩BD=B 从而AC ⊥面BDN ，即AC 丄面BDMN而AC 在平面AEC 内， ∴面EAC ⊥上面BDMN, 即面ECA 丄面BDM ………12分19、解：（1）当1n =时，11a =+，又10a >，则11a =.同理求得23a =， .…………………2分由1n a =+，2n ≥时，11n n S S -=-+，即)211n S -=，又0n a >10>1=，即1=，所以是以1为首项1为公差的的等差数列.n =，代入1n a =+得21n a n =-，n N *∈.…………………6分（2）由（1）知21n a n =-， 所以()()12122n b n n =<-+()()12121n n =-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,………9分则111111123352121n T n n ⎛⎫<-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 所以12n T <. …………………13分 20、解：（1）由题意211'()f x a x x=++ 又()f x 在 1x =处切线与x 轴平行从而2a =-……………………………………4分(2) 由222111'()ax x f x a x x x ++=++= (0)x >① 当0'()0a f x ≥>时，恒成立，此时()f x 在定义域∞（0,+)内单调递增……..6分 ② 当0a <时，令'()0f x> 得210ax x ++> 而方程210ax x ++=有二根③ 12x x ==120x x >> 从而()f x 在1(0,)x 上递增，1(,)x +∞上递减， ……..8分综上，0a ≥时，()f x 在∞（0,+)上递增；0a <时，()f x 在1(0,)x 上递增，1(,)x +∞上递减……………………9分 (3)由题意2()1(0),(0,)g x ax x a x =++>∈+∞…………………10 分 令任意12,(0,)x x ∈+∞ 则2121212()()1222x x x x x xg a +++=++ 22121122()()(1)(1)22g x g x ax x ax x ++++++=所以12()2x x g +-12()()2g x g x +=212()04a x x --≤……………12分 也即12()2x x g +≤12()()2g x g x + 故()g x 是其定义域内的凹函数………….13分'(1)20f a ∴=+=21、解：（1）⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1341442422222b a c b a c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13)(4424222b a b a b ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==8422a b 14822=+y x ………………..6分（2=OA OB ⊥ ………………..7分 若直线l 斜率不存在时直线l 方程为2=x 此时A （2，2），B （2，2-）不满足OA OB ⊥ ………………..8分若直线l 斜率存在时不妨设直线l 方程为)2(-=x k y ，A ),(11y x ，B ),(22y x联立0888)12(148)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+⇒128812822212221k k x x k k x x 又∵124]4)(2[)2()2(2221212212211+-=++-=⇒⎩⎨⎧-=-=k k x x x x k y y x k y x k y ∴201284,002222121=∴=+-∴=+⇒=⋅k k k y y x x OB OA ………………..11分52124)(1212212=-++=x x x x k ………………..13分。
安徽省淮北市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析
安徽省淮北市2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.2．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭Q ，即3x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴有且仅有12-=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，2363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题. 3．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.5．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 6．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 7．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题. 8．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =I ð（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解 【详解】由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式．10．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.11．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ． 12．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()()2222221414f x x x x xxx f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦，该函数为偶函数，排除B 、D 选项； 当01x <<时，()()()222140f x x xx =-->，排除C 选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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第1页，共16页 高考数学模拟试卷 题号一二三总分得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2＜x≤1，x∈Z}，则集合A中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3
2.设复数z=1+2i（i是复数单位），则复数在复平面内对应点应在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.我国古代的“割圆术”相当于给出已知圆的半径r，计算其面积S的近似值，进一步计算圆周率的近似值，根据π=3.14159……判断，下列近似公式最接近π的是（ ）.
A. B. C. D. 4.下面程序框图是为了求出m，n的最大公约数，那么在①②③三个空白框中，可以依次填入（ ）
A. n=r ，m=n ，输出n
B. m=n，n =r ，输出n
C. m=n ，n=r，输出m
D. n=r ，m=n，输出m
5.如图所示为三棱锥的三视图以及尺寸，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. 2
C. 3
D. 4
6.在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，则质点落在离四个顶点距离都大于1的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在四边形ABCD中，若不共线，E，F分别为AB，CD上的点，且 ，则=（ ）A. B. C. D. 8.设a=log45，b=log32，，则a，b，c从大到小排序为（ ）第2页，共16页
A. B. C. D. 9.一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（ ）A. B.
C. D. 10.设函数f（x）=x3+ax2+bx+2，且函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，则曲线y=f
（x）在x=1处的切线方程为（ ）A. y=0B. y=1C. y=xD. y=-2x+3
11.斜△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c•cosA（sinB-1）=acosC-b，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D. 12.在三棱锥E-ABD中，已知，三角形BDE是边长为2的正三角形，则三棱锥E-ABD的外接球的最小表面积为（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.sin330°-cos240°+tan150°的值为______．
14.设x，y满足约束条件，已知当x=1，y=0时，-mx+y取得最大值，则m的取值范围是______．15.已知椭圆的两个焦点之间距离为2，则椭圆上任意一个点到两个焦点的距离之和为______．（用含a的式子表示）16.设函数，则满足f（x2-1）≥2f（x）的x的取值范围是______
（用
区间表示）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知Sn是数列{an}的前n项和，且
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.在如图的几何体中，四边形ABCD为长方形，BB1⊥平面ABCD，AA1⊥平面ABCD，且，E为CD上一点，且．第3页，共16页
（1）求证：CB1∥平面A1BE；
（2）若，求此多面体的表面积．
19.某市教育局为了监控某高一年级的素质教育过程，从该校高一年级16个班随机抽取了16个样本成绩，制表如下：抽取次序12345678
测评成绩9596969095989897
抽取次序910111212141516
测评成绩9795969899969996
令xi为抽取的第i个学生的素质教育测评成绩，i=1，2，…，16，经计算得
以下计算精确到0.01．（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16，）的相关系数r，并回答xi与i是否可以认为具有较强的相关性；
（2）在抽取样本成绩中，如果出现了在之外的成绩，就认为本学期的素质教育过程可能出现了异常情况，需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议，从该校抽样的结果来看，是否需对本学期的素质教学过程进行反思，同时对下学期的素质教育过程提出指导性的建议？
附：样本（xi，i）（i=1，2，…，16，）的相关系数，若|r|第4页，共16页
＞0.75，则可以认为两个变量具有较强的线性相关性．20.已知抛物线M：y2=2px（p＞0
），圆．
（1）设R为抛物线M上横坐标为1的定点，S为圆N上一个动点，若|RS|的最小值为，求p的值；（2）设经过抛物线焦点的直线l与抛物线M、圆N依次交于A，B，C，D（顺序由上到下），满足：|AB|：|BC|=3：2，求出直线l的方程．
21.已知函数f（x）=lnx-ax（x-1）．（1）①求证：当a任意取值时，f（x）的图象始终经过一个定点，并求出该定点坐标；②若f（x）的图象在该定点处取得极值，求a的值；（2）求证：当a≤0时，函数f（x）有唯一零点．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y+1）2=3，以O
为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．第5页，共16页
23.已知函数f（x）=|2x-2|-|x-2|，g（x）=x+1．（1）求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）当x∈（2a，-1+a]时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．第6页，共16页答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了集合的表示法，属于基础题．因为A={x|-2＜x≤1，x∈Z}，求出集合A，数出元素个数即可．【解答】解：依题意，A={x|-2＜x≤1，x∈Z}={-1，0，1}，所以集合A中元素的个数为3，故选D．2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
把z=1+2i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1+2i，
∴=（1+2i）（1-i）=3+i，
∴复数在复平面内对应点的坐标为（3，1），在第一象限．
故选A．3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属基础题．先阅读理解题意，再通过运算进行简单的合情推理即可得解．【解答】解：由圆的面积公式得：S=πr2，
所以r=，
对于选项A，π==3.14，对于选项B，π=3，对于选项C，≈3.14285，
对于选项D，≈3.375，,,即最接近π=3.1415926....的值为3.14285，故选C．第7页，共16页
4.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据求m，n的最大公约数步骤是解决本题的关键．根据求m，n的最大公约数的步骤，进行判断即可．【解答】解：根据求出最大公约数的步骤得1，判断m除以n的余数r，如果r=0，则最大公约数就是n．如果不能则进行下一步骤，让n=r，m=n；重复第 1步骤．直到r=0为止．故①②③依次填写的是n=r，m=n，输出n，故选A．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．直接利用三视图的转换，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图，如图所示：
四棱锥ABCD即为所求，即：转换为几何体为：一个底面边长为2和4的矩形，高为2的四棱锥，去掉一个底面边长为2和4的三角形，高为2的三棱锥，
故：=故选A．6.【答案】B
【解析】解：在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当质点在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为π，边长为2的正方形的面积为4，
∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为P==1-．
故选：B．以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当质点在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离小于1，其面积为π，再用这个面积除以正方形ABCD的面积，即得本题的概