Brane Rotating Symmetries and the Fivebrane Equations of Motion
等质量５卫星中心构型模型与计算
第３７卷 第４期 ２０２２年１２月 西 南 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖｏｌ．３７Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２０２２ＤＯＩ：１０．２００３６／ｊ．ｃｎｋｉ．１６７１ ８７５５．２０２２．０４．０１４收稿日期：２０２２－０３－１５；修回日期：２０２２－０６－１０第一作者简介：陈剑（１９７７—），男，讲师，微分方程与动力系统、模型与算法，Ｅ ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｊｉａｎ＠ｓｗｕｓｔ．ｅｄｕ．ｃｎ等质量５卫星中心构型模型与计算陈 剑１ 李培茂２ 张晓勇３ 谢馥励１ 毕 鹏１（１．西南科技大学数理学院 四川绵阳 ６２１０１０；２．四川中烟工业有限责任公司绵阳卷烟厂 四川绵阳 ６２１０００；３．西南科技大学制造科学与工程学院 四川绵阳 ６２１０１０）摘要：利用关键函数性质结合对称模型方法及计算机仿真建模，从特殊到一般，研究了等质量对径５卫星中心构型。
首先给出了ｎ颗卫星的中心构型模型，接着针对等质量５卫星，分别研究了相邻卫星对径和相间卫星对径两种情况，并且证明了两种情况下等质量５卫星中心构型模型都无解，即不存在等质量对径５卫星中心构型。
关键词：Ｎ体问题 中心构型 ５卫星中心构型 对径中图分类号：Ｏ２９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－８７５５（２０２２）０４－００９３－０７ＭｏｄｅｌａｎｄＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＣｅｎｔｒａｌＣｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｆｏｒＦｉｖｅＩｄｅｎｔｉｃａｌＳａｔｅｌｌｉｔｅｓＣＨＥＮＪｉａｎ１，ＬＩＰｅｉｍａｏ２，ＺＨＡＮＧＸｉａｏｙｏｎｇ３，ＸＩＥＦｕｌｉ１，ＢＩＰｅｎｇ１（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１０１０，Ｓｉｃｈｕａｎ，Ｃｈｉｎａ；２．ＭｉａｎｙａｎｇＣｉｇａｒｅｔｔｅＦａｃｔｏｒｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１０００，Ｓｉｃｈｕａｎ，Ｃｈｉｎａ；３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１０１０，Ｓｉｃｈｕａｎ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｋｅｙｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｃｏｍｂｉｎｅｗｉｔｈｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙｍｏｄｅｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｃｏｍｐｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｆｒｏｍｓｐｅｃｉａｌｔｏｇｅｎｅｒａｌ，ｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓｏｆｆｉｖｅｅｑｕａｌｍａｓｓｓａｔｅｌｌｉｔｅｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｗｉｔｈｔｗｏｓａｔｅｌｌｉｔｅｓｗｈｉｃｈａｒｅｄｉａｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｏｐｐｏｓｉｔｅ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｍｏｄｅｌｓｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｃｏｎｆｉｇｕｒａ ｔｉｏｎａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｉｎｔｗｏｃａｓｅｓａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｗｈｅｔｈｅｒｔｈｅｓｅｔｗｏｄｉａｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｏｐｐｏｓｉｔｅｓａｔｅｌｌｉｔｅｓａｒｅｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅｏｒａｌｔｅｒｎａｔｅ．Ｔｈｅｎ，ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｍｏｄｅｌｓｈａｖｅｎｏｓｏｌｕｔｉｏｎｉｎｔｈｅａｂｏｖｅｔｗｏｃａｓｅｓ，ｗｈｉｃｈｍｅａｎｓｔｈａｔｗｈｅｎｔｗｏｏｆｔｈｅｆｉｖｅｓａｔｅｌｌｉｔｅｓａｒｅｄｉａｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｏｐｐｏｓｉｔｅ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓｎｏｃｅｎｔｒａｌｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓｏｆｆｉｖｅｅｑｕａｌｍａｓｓｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｂｏｄｙｐｒｏｂｌｅｍ；Ｃｅｎｔｒａｌｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ；Ｃｅｎｔｒａｌｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｏｆｆｉｖｅｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ；Ｄｉａｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｏｐｐｏｓｉｔｅ 人类对星星（天体）的观察和研究已有几千年历史并将一直持续进行。
friedmaan方程
friedmaan方程
弗里德曼方程是描述宇宙膨胀历史的重要方程之一，它是由亚
历山大·弗里德曼在宇宙学研究中提出的。
弗里德曼方程是广义相
对论的宇宙学应用之一，它描述了宇宙膨胀的动力学演化。
弗里德
曼方程的一般形式可以写成：
(1) H^2 = (8πG/3)ρ k/a^2。
其中，H是哈勃参数，G是引力常数，ρ是宇宙的能量密度，k
是空间的曲率参数，a是宇宙的尺度因子。
这个方程的意义在于描述了宇宙的膨胀率是如何受到宇宙中物
质能量密度和空间曲率的影响。
方程右边第一项描述了宇宙因为物
质能量密度而膨胀的趋势，第二项描述了宇宙因为空间曲率而膨胀
的趋势。
而左边的H^2则是描述了宇宙膨胀速率的平方。
在弗里德曼方程中，k的值决定了宇宙空间的几何形状，当k=0时，宇宙是平直的，k>0时，宇宙是封闭的，k<0时，宇宙是开放的。
这些不同的几何形状会影响宇宙的最终命运。
弗里德曼方程的研究对于理解宇宙的膨胀历史和未来的命运具有重要意义。
通过观测宇宙的膨胀速率和能量密度，我们可以验证宇宙的演化模型，并且推测宇宙的最终命运。
因此，弗里德曼方程在宇宙学研究中具有重要的地位。
非线性动力学入门-西安交通大学教师个人主页
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另一方面梁的轴向应变的表达式也会因变形大小的不同而采用不同的表达式比如小变形时应变而当考虑大变形时可能采用的应变表达式就是进而得到的梁的振动方程将会是一个含有高度非线性项的偏微分方程组
非线性动力学入门
张新华
西安交通大学 工程力学系 2011 年 07 月
前 言
─1687 年，牛顿(Isaac Newton, 1643 ～ 1727)发表了《自然哲学之数学原 理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，标志着经典力学(亦即牛 顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。 ─1788 年，拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736 ～ 1813)发表了分析力 学教程(Analytical Mechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange 力学属 于分析力学的主要内容之一，在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。 ─1833 年，哈密尔顿(William Rowen Hamilton, 1805 ～ 1865)对 Lagrange 力学进行了改造，引进了相空间(2n 维空间)，对系统内在的对称性(辛对称， Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义 的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要 组成部分。在此后发展起来的量子力学中 Hamilton 力学发挥着巨大的作用。 目前在天体力学、计算 Hamilton 力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的 辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要作用。 ─1927 年，Birkhoff(George David Birkhoff, 1844 ～ 1944)发表了“动力系 统”(Dynamical Systems)，标志着 Birkhoff 动力学的正式问世。Birkhoff 动力 学建立了研究非完整力学的框架。 ─1892 ～ 1899， 彭加莱(Henri Poincaré, 1854 ～ 1912)发表了三卷本的“天 体力学中的新方法”(New Methods of Celestial Mechanics)，系统性地提出了 研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求 得系统的解析解，而 Poincaré意识到对于大多数非线性系统而言，求其解析 解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地 预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的 存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之 无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。 ─1892 年，李亚普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857 ～ 1918)在 他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(General problem of the stability of motion )中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问题。他提出了两种研 究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直 接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。 彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线 性科学的研究疆域和研究手段。 ─1963 年，Lorenz(Edward Norton Lorenz, 1917 ～ 2008)发表了“确定性 非周期流”(Deterministic Nonperiodic Flow)的论文，认为大气系统的性态对 初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类 首次借助于计算机发现了混沌(Chaos)现象的存在。 ─1757 年，欧拉(Leonhard Euler, 1707 ～ 1783)发表了压杆稳定性的论 文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理 论(Catastrophe Theory)则主要由法国数学家托姆(René Thom, 1923 ～ 2002)于 上个世纪 60 年代创立，由齐曼(Christopher Zeeman，1925 ～)在 70 年代大力 推广普及。 ─1834 年，英国的罗素(John Scott Russell, 1808 ～ 1882)骑着马在 Union 运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitary wave)的 i
圈量子引力的回顾
圈 量 子 引 力 的 回 顾
龙 芸
（ 北第二 师 范 学院 物 理与 电子 工程 系，武汉 湖 ４００ ３ ２ ５）
摘要： 圈量子 引力在物理学 中占据非常重要的地位 。０ 纪 ９ ２世 ０年代后 ， 圈量子 引力得到 了很 大的发展 ， 建立 了数学上定义严 格 的运动学框架， 引入 自 结网圈作 为量子 引力态， 出了很 多有意 义的物理 结论 ， 几何 算符 的量子化 ， 旋 给 如 并且它还 在黑洞物 理和宇宙学等方向上展现 了强有 力的发展势 头 它是一个非常活跃 的量子 引力理论 ， 越来越广泛地应用到普 朗克尺度 物理 被 中去 ， 这也加 强了理论学家们 的信 心。 本文试 着对 圈量子 引力的这些主要 结果做 个回顾 。
图 ２ 三 阶顶 角
三阶展 开表 示的一个例子
ｆ ６＋ 叶 ｃ＝ｅ ｅｎ ｖ
正 则 量 子 广 义 相 对 论 希 望 能 从 数 学 上 广 义 地 定 义 出 一 个 非
微 扰 的 、 背景 度 规 无 关 的量 子 引 力 理 论 。 与 大约 ２ ０年 前 ． ｓ ｔ ａ Ａ ｈｅ ｒ ｋ 率 先 提 出 ， 重 建 的 广 义相 对 论 相 空 间 由广 义 坐标 与 广 义 动 量 形 他 成 ， 杨 密 Ｓ ２ 规 范 理论 相 同 ， 义 坐 标 变 成 一 个 三 维 规 范 矩 与 Ｕ（ ） 广 阵 向量 场 ， 应 的 广 义 动量 和 三 维 度 规 的关 系 为 ： 对
维普资讯
２ｏ ｏ ８年 ２月
湖北第二师范学院学报
Ｊｕ ａ ｆＨｕ ｅ ｎｖ ｒｉ ｕ ａ ｏ ｏ ｒ ｌｏ ｂ ｉＵ ｉｅｓｔ ｏ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ ｎ ｙｆ ｉ
Ｆ ｂ２ ｏ ｅ ．ｏ ８ Ｖｏ ．５ Ｎｏ２ １２ ．
流体力学PDF
A change in the pressure applied to an enclosed incompressible fluid is transmitted
undiminished to every portion of the fluid and to the walls of its container.
水
0
76.1
酒精
0
24.0
水
10
74.2
酒精
20
22.3
水
20
72.8
酒精
50
19.8
水
30
71.2
水銀
20
465
水
40
69.6
石油
20
26.0
水
60
66.2
甘油
20
63.4
水
80
62.6
乙醚
20
16.5
(3)液體的純度： 加入表面張力較小的物質，表面張力為降低。
加入表面張力較大的物質，表面張力為提高。
第七章 功與能 表層分子相隔較遠並處於繃緊狀態
液體內部分子
2、表面張力：存在於液體表面的線張力 T = F L
(1)表面張力的單位是 N/m，因此不是力(N)，稱為線張力
(2)作力學分析時，必須將表面張力乘以其作用周長，才是力
(3)表面張力只作用在液體表面，內部則無
(4)表面張力使得液面有縮至最小的趨勢，故水滴成球狀
度，分子一定會運動。 3.力學分析三步驟：
(1)選擇適當的受力物 (2)分析受力﹐畫出力圖 (3)分析力造成何種結果﹐列方程式 4.本章會學到四個力或力的衍生物理量： (大氣)壓力； (液體)壓力； 浮力； 表面張力。
56泊松括号和泊松定理
d = + [, H] dt t
泊松括号（实为缩写符号）
[,
H] ＝ ∑
s
H H pα qα α=1 qα pα
注意：
（1）泊松括号中各函数都是正则变量 （2） （3） [ pα , H] ＝ 同理可得
p, q
的函数
p, q 是相互独立的，一个对另一个的 偏微商为0，自身偏微商等于1
ψ =ψ (q, p, t) [, ψ]
ψ ψ ＝ Βιβλιοθήκη ∑ q p p q α =1 α α α α
s
c 为常数 [c,ψ] = 0 ψ （2） [,ψ ] + [ ,] = 0
（3）[,ψ +θ ] = [,ψ ] + [,θ ]
[,ψθ] = [,ψ]θ +ψ[,θ ]
n j =1
H qα
pα = [ pα , H]
qα = [qα , H]
正则方程用泊松括号表示 （4）若正则变量的某一函数
= (q, p, t) = c
充分必要条件 充分必要
则称其为哈密顿正则方程的第一积分
d ∴ + [, H] = 0 这时 =0 t dt
2、泊松括号的性质
令函数 = (q, p, t) （1）若
ψ （4）若 ψ = ∑ j
j =1
n
则 [,ψ ] = ∑[,ψ j ]
（5） [,ψ ] = [,ψ ] ψ （6） t [,ψ ] = t ,ψ + , t
（7）[θ, [,ψ ]] + [, [ ,θ ]] + [ , [θ,]] = 0 ψ ψ （8） qα , qβ = 0
假若 [,ψ ] 也是正则方程的一个运动积分，
朗道《力学》第一章,运动方程
• 3，在所有可能的定义中找到最简单的（我们可以把拉格朗日量
L 1 mv2 100000000000000000000000000
• 定义为 2
，我们仍然能得到能够描述
所有实验结果的理论，可是这有什么意义呢，只是徒增复杂性而已。
§5 质点系的拉氏量
• 我们将 v2 的系数定义为质量或惯量，它表示物体的惯性，系数 1/2其实可有可无，因为拉氏量可以乘任意常数，但是为了让后面 势能的形式尽量简单（如果不加1/2，势能和加速度的关系就会多 一个2倍关系，当然，这其实只是我们对能量的习惯定义问题而 已。）
定义一个物理量的过程
• 1，列出你希望这个物理量需要满足的条件，如作用量满足在真 是运动中保持最小。
§3 伽利略相对性原理
• 惯性系：惯性系被定义为时空均匀各向同性的参考系。 • 注：惯性系时空的这个定义与另一个对时间的定义造成了《场论》
课程中的光速不变原理，详情参见《场论》课程。
• 非惯性系的时空往往不是均匀各向同性的，如转盘上面会出现某 一方向上的离心力与科氏力。
• 惯性系最早的定义是牛顿给出的“相对于绝对空间静止的参考系”， 狭义相对论诞生后，这一定义被抛弃。
• 对于保守体系，确定了物体的坐标与速度，它的运动方程就确定 了。本书如非说明，只讨论保守体系。
§2 最小作用量原理
• 莫培督相信物体拥有自己的意识，真正的轨道必然是所有可能轨 道中最经济的一条。亦即作用量最小的一条。
• 学习分析力学，必须抛弃牛顿式的描述方法，这里的“所有从点A 到点B的可能轨道”不是只有牛顿给出的那一条，而是确定了起点 A与终点B的一切轨道。
变分法
• 变分法是一种处理泛函极值问题的良好方法，所谓“泛函”，就是 指“函数的函数”，即一个函数对应一个数，最简单的泛函就是定 积分。
黎曼曲面讲义
3.5 Abel-Jacobi 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
第四章 曲面与上同调
121
4.1 全纯线丛的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
f 的实部和虚部分别为 u, v, 则 f 为全纯函数的充分必要条件是 u, v 满足如下的
Cauchy-Riemann 方程:
$ & ux “ vy,
% uy “ ´vx.
全纯函数的定义还有许多其他的等价形式.
平均值公式:
若函数
f
在圆盘
tz
P
C
ˇ ˇ
|z
´ a|
ă
Ru
内全纯并连续到边界,
则
f paq “
本书主要内容如下：第一章基本上是关于复变函数的简单复习，我们给出了 单值化定理的简单情形，即 Riemann 映照定理的证明。这一章也得到了调和函数 的梯度估计以及 Harnack 原理，这里采用的方法可以推广到一般的黎曼流形上。 第二章引入了抽象黎曼曲面的定义，并给出了单连通黎曼曲面的分类（单值化定 理），其中，黎曼环面作为一类重要的紧致黎曼曲面也加以了分类。证明单值化定 理的方法是通过调和函数（可能带有奇点）来构造特殊的全纯映射。而调和函数 的存在性是通过经典的 Perron 方法获得的。第三章是本书核心内容之一，我们给 出了 Riemann-Roch 公式的证明，并选择了若干有意思的应用加以介绍。我们选 择的 Riemann-Roch 公式的这个证明也是经典的，它也涉及某些给定奇性的亚纯 微分的存在性，这种亚纯微分的存在性是通过 Hodge 定理获得的，为了尽快的介 绍 Riemann-Roch 公式的应用，我们把重要的 Hodge 定理的证明放在本书第二个 附录中了。通过 Riemann-Roch 公式我们知道了紧致黎曼曲面上亚纯函数的丰富 性，我们也证明了亚纯函数域是一个一元代数函数域，并且它惟一地决定了黎曼曲 面本身。作为例子我们简单介绍了黎曼环面上的亚纯函数，它们就是经典的椭圆 函数。通过适当地挑选亚纯函数，我们把黎曼曲面全纯地嵌入到了复投影空间中， 因此可以从代数曲线的角度来研究它们。我们还介绍了计算总分歧数的 RiemannHurwitz 公式，并利用它简单研究了超椭圆型的黎曼曲面。接下来我们介绍了曲面 上的 Weierstrass 点，得到了 Weierstrass 点的个数估计。这些结果又被应用于曲面 的全纯自同构群，特别地，我们证明了亏格大于 1 的紧致黎曼曲面全纯自同构群 的阶的估计。作为第二章的结束，我们还介绍了重要的双线性关系、Jacobi 簇，证
数学-科学的王后与仆人
数学: 科学的王后和仆人Mathematics: Queen and Servant of Science北京理工大学叶其孝本文的题目是已故的美国科学院院士、著名数学家、数学史学家和科普作家Eric Temple Bell(贝尔, 1883, 02, 07 ~ 1960, 12, 21)于1951年写的一本书的书名Mathematics: Queen and Servant of Science (数学: 科学的王后和仆人). 该书主要是为大学生和非数学领域的人士写的, 介绍纯粹和应用数学的各个方面, 更着重在说明数学科学的极端重要性.The Mathematical Association of America, 1996, 463 pages实际上这是他1931年写的The Queen of the Sciences (科学的王后)和1937年写的The Handmaiden of the Sciences (科学的女仆)这两本通俗数学论著的合一修订扩大版.Eric Temple Bell Alexander Graham Bell (1847 ~ 1922) 按常识的理解, 女王是优美、高雅、无懈可击、至尊至贵的, 在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点, 简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理, 极其优美而且无懈可击;另一方面, 科学和工程的各个分支都在不同程度上大量应用数学, 这时数学科学就是仆人, 这些仆人是否强有力, 用起来是否得心应手是雇佣这些仆人的主人最为关心的事. 事实上, servant这个字本身就有“供人们利用之物, 有用的服务工具”的意思. 毫无疑问, 我们的目的不是为数学争一个好的名分, 而是想说明数学是怎样通过数学建模来解决各种实际问题的; 数学(数学建模)的极端重要性, 以及探讨正确认识和理解数学科学的作用对于发展我国科学技术、经济以及教育, 从而争取在21世纪把我国真正建设成为屹立于世界民族之林的强国，乃至个人事业发展的至关重要性. 当然, 我们也希望说明王后和仆人集于一身并不矛盾. 历史上, 很多特别受人尊敬的科学家, 不仅仅是由于他们的科学成就, 更因为他们的科学成就能够服务于人类.数学是科学的王后, 算术是数学的王后. 她常常放下架子为天文学和其他科学效劳, 但是在所有情况下, 第一位的是她(数学)应尽的责任. (高斯)Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics. She often condescends to render service to astronomy and other natural sciences, but under all circumstance the first place is her due.— Carl Friedrich Gauss (卡尔·弗里德里希·高斯, 1777, 4, 30 ~ 1855, 2, 23)From: Bell, Eric T., Mathematics: Queen and Servant of Science, MAA, 1951, p.1;Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. xv.***************************************************自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的19、20世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素(仅就19、20世纪而言, 流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT、甚至社会政治学领域等). 但是20世纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和设计的基础. 数学是幕后的无名英雄.现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间,在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”. 但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的.硬能力―一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.‖“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期动向：美国很多州新办STEM高中, 一些大学开始开设STEM课程等.STEM = Science + Technology + Engineering + Mathematics2012年2月7日公布的美国总统科技顾问委员会给总统的报告，参与超越：培养额外的100万具有科学、技术、工程和数学学位的大学生(Engage to Excel: Producing One Million Additional College Graduates with Degrees in Science, Technology, Engineering, and Mathematics)The Mathematical Sciences in 2025, the National Academies Press, 2013人们使用的数学科学思想、概念和方法的范围在不断扩大的同时，数学科学的用途也在不断扩展. 21世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上.This major expansion in the uses of the mathematical sciences has been paralleled by a broadening in the range of mathematical science ideas and techniques being used. Much of twenty-first century science and engineering is going to be built on a mathematical science foundation, and that foundation must continue to evolve and expand.数学科学是日常生活的几乎每个方面的组成部分.互联网搜索、医疗成像、电脑动画、数值天气预报和其他计算机模拟、所有类型的数字通信、商业和军事中的优化问题以及金融风险的分析——普通公民都从支撑这些应用功能的数学科学的各种进展中获益，这样的例子不胜枚举.The mathematical sciences are part of almost every aspect of everyday life. Internet search, medical imaging, computer animation, numerical weather predictions and othercomputer simulations, digital communications of all types, optimization in business and the military, analyses of financial risks —average citizens all benefit from the mathematical science advances that underpin these capabilities, and the list goes on and on.调查发现:数学科学研究工作正日益成为生物学、医学、社会科学、商业、先进设计、气候、金融、先进材料等许多研究领域不可或缺的重要组成部分. 这种研究工作涉及最广泛意义下数学、统计学和计算综合，以及这些领域与潜在应用领域的相互作用. 所有这些活动对于经济增长、国家竞争力和国家安全都是至关重要的，而且这种事实应该对作为整体的数学科学的资助性质和资助规模产生影响. 数学科学的教育也应该反映数学科学领域的新的状况.Finding: Mathematical sciences work is becoming an increasingly integral and essential component of a growing array of areas of investigation in biology, medicine, social sciences, business, advanced design, climate, finance, advanced materials, and many more. This work involves the integration of mathematics, statistics, and computation in the broadest sense and the interplay of these areas withareas of potential application. All of these activities are crucial to economic growth, national competitiveness, and national security, and this fact should inform both the nature and scale of funding for the mathematical sciences as a whole. Education in the mathematical sciences should also reflect this new stature of the field.****************************************************************为了以下讲述的方便, 我们先来了解一下什么是数学建模.数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.数学建模是数学用来解决各种实际问题的桥梁.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过)定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程数学建模的难点观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似) 解法; 如何验证模型.简言之:合理假设、模型建立、模型求解、解释验证.记住这16个字, 将会终生受用.数学建模的重要作用：源头创新当然数学建模也有局限性, 不能单独包打天下, 因为实际问题是非常复杂的, 需要多学科协同解决.在图灵(A. M. Turing)的文章: The Chemical Basis of Morphogenesis (形态生成的化学基础), Philosophical Transactions of the Royal Society of London (伦敦皇家学会哲学公报), Series B (Biological Sciences),v.237(1952), 37-72.1. 一个胚胎的模型. 成形素本节将描述一个正在生长的胚胎的数学模型. 该模型是一种简化和理想化, 因此是对原问题的篡改. 希望本文论述中保留的一些特征, 就现今的知识状况而言, 是那些最重要的特征.1. A model of the embryo. MorphogensIn this section a mathematical model of the growing embryo will be described. This model will be asimplification and an idealization, and consequently a falsification. It is to be hoped that the features retained for discussion are those of greatest importance in the present state of knowledge.想单靠数学建模本身来解决重大的生物学问题是不可能的，另一方面，想仅仅依靠实验来获得对生物学的合理、完整的理解也是极不可能的. There is no way mathematical modeling can solve major biological problems on its own. On the other hand, it ishighly unlikely that even a reasonably complete understanding could come solely from experiment.—— J. D. Murray, Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, Notices of the AMS,v. 59 (2012), no. 6, p.793.自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外.中学生IMO (国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad), 1959 ～)北美的大学生Putnbam数学竞赛(1938 ～)全国大学生数学竞赛(2010 ～)Mathematical Contest in Modeling (MCM, 1985 ～)美国大学生数学建模竞赛Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999～)美国大学生跨学科建模竞赛China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM, 1992～) 中国大学生数学建模竞赛中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况中国大学生数学建模竞赛情况在以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型 (问题)的叙述和初步讨论可参考《物理学与偏微分方程》, 李大潜、秦铁虎编著, (上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社.Seven equations that rule your world (主宰你生活的七个方程式), by Ian Stewart, NewScientist, 13 February 2012.Fourier transformation 2ˆ()()ix f f x e dx πξξ∞--∞=⎰Wave equation 22222u u c t x ∂∂=∂∂ Ma xwell‘s equation110, , 0, H E E E H H c t c t∂∂∇⋅=∇⨯=-∇⋅=∇⨯=∂∂Schrödinger‘s equation ˆψH ψi t∂=∂Ian Stewart, In Pursuit of the Unknown:17 Equations That Changed the World (追求对未知的认识：改变世界的17个方程), Basic Books, March 13, 2012.目录(Contents)Why Equations? /viii1. The squaw on the hippopotamus ——Pythagoras‘sTheorem/12. Shortening the proceedings —— Logarithms/213. Ghosts of departed quantities —— Calculus/354. The system of the world ——Newton‘s Law ofGravity/535. Portent of the ideal world —— The Square Root ofMinus One/736. Much ado about knotting ——Euler‘s Formula forPolyhedra/837. Patterns of chance —— Normal Distribution/1078. Good vibrations —— Wave Equation/1319. Ripples and blips —— Fourier Transform/14910. The ascent of humanity —— Navier-StokesEquation/16511. Wave in the ether ——Maxwell‘s Equations/17912. Law and disorder —— Second Law ofThermodynamics /19513. One thing is absolute —— Relativity/21714. Quantum weirdness —— Schrödinger Equation/24515. Codes, communications, and computers ——Information Theory/26516. The imbalance of nature —— Chaos Theory/28317. The Midas formula —— Black-Scholes Equation/195Where Next?/317Notes/321Illustration Credits/330Index/331相对论Albert Einstein(1879, 3, 14 ～1955, 4, 18)20世纪最伟大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Minkowski (闵可夫斯基)几何、Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何, 以及Cayley(凯莱), Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论, Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein自己也不止一次地说过.早在1905年, 年仅26岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命.为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的). (1)狭义相对性原理,即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表达形式;(2)光速不变原理,真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关.时空不是绝对独立的.由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等.他的好友物理学家P.Ehrenfest指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源.(部分参阅李新洲:《寻找自然之律--- 20世纪物理学革命》, 上海科技教育出版社, 2001.)1907 年德国数学家H. Minkowski (1864 ～1909) 提出了―Minkowski 空间‖,即把时间和空间融合在一起的四维空间1,3R. Minkowski 几何为Einstein 狭义相对论提供了合适的数学模型.“没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space- time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).”—Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press. 中译本, 阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, (普林斯顿科学文库(Princeton Science Library) 1), 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 27.有了Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数学家M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具—以Riemann几何和Ricci, Levi - Civita的绝对微分学, 也就是Einstein 后来所称的张量分析.“根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了……进行这种推广的物理意义. 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了重要贡献. ”—阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 57.从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设: 1. (等效原理)惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的，(或说引力和非惯性系中的惯性力等效)；2. (广义相对性原理) 一切参考系都是平权的，换言之，客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变——广义协变性(即一切物理定律在所有参考系[无论是惯性的或非惯性的]中都具有相同的形式)。
弯曲的时空
弯曲的时空作者：赵峥来源：《中国科技教育》2016年第05期赵峥，1967年毕业于中国科技大学物理系，1981年于北京师范大学天文系获硕士学位，1987年于布鲁塞尔自由大学获博士学位。
曾任北京师范大学研究生院副院长、物理系主任、中国引力与相对论天体物理学会理事长、中国物理学会理事。
现为北京师范大学物理系教授，理论物理博士生导师、教育学博士生导师。
爱因斯坦猜测，万有引力可能是一种几何效应，可能是时空弯曲的表现。
他推测，物质的存在造成了时空弯曲。
由于万有引力只是时空弯曲表现出的几何效应，所以不应该把万有引力看作真正的力。
单纯在万有引力作用下的质点运动，例如行星绕日运动、地球上的自由落体运动，都应该看作是不受外力的惯性运动。
做惯性运动的“自由”质点，当然应该沿时空中的“直线”进行，也就是说自由质点应该沿短程线运动。
爱因斯坦觉得，建立新理论的关键是寻找两个方程。
一个是物质如何决定时空弯曲的方程，他称其为场方程；另一个是不受外力的自由质点在弯曲时空中做惯性运动的方程，他称其为运动方程。
爱因斯坦在格罗斯曼的帮助下，很快掌握了黎曼几何的基本知识，并投入了寻找场方程的努力。
这一工作耗费了爱因斯坦很大的精力和漫长的时间。
他设想，方程的左端应该是描述时空曲率的项，右端应该是描述物质存在状态的项，即：时空曲率=物质分布右端的物质项用时空中能量和动量的分布来表述，其形式比较容易猜测，爱因斯坦很快就写了出来。
左端的曲率项的形式却很难猜想，他在格罗斯曼的帮助下尝试了2年，也没有找到正确的形式。
1915年，爱因斯坦移居德国，得以与著名数学家希尔伯特交往。
他在与希尔伯特几次讨论后，当年底就写出了场方程左端的正确形式，从而得出了完整的场方程，并用此方程解释了水星轨道近日点的进动，终于建立起了他的新理论——广义相对论。
在广义相对论诞生前后的几个月内，爱因斯坦与希尔伯特之间产生了竞争。
在与爱因斯坦的讨论中，希尔伯特对爱因斯坦的新理论产生了兴趣，他也开始寻找场方程的正确形式。
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arXiv:hep-th/9912226v1 22 Dec 1999hep-th/9912226KCL-MTH-99-49
BraneRotatingSymmetriesandtheFivebraneEquationsofMotion
OliverB¨arwald1,andPeterC.Westoliver,pwest@mth.kcl.ac.uk
DepartmentofMathematics,King’sCollegeLondonStrand,LondonWC2R2LS,GreatBritain
February7,2008
Abstract:WeshowthatthefullycovariantequationsofmotionfortheM-theoryfivebranecanbeinterpretedaschargeconservationequations.Theas-sociatedchargesinduce‘shift’-symmetriesofthescalar,spinorandgauge-fieldsofthefivebrane,soallowinganinterpretationofallthesefieldsasGoldstonefields.WealsofindthatthefivebranepossessesanewsymmetrythatispartoftheGL(32)automorphismgroupoftheelevendimensionalsupersymmetryalgebra.
Inthispaperwegiveanewinterpretationtothefivebraneequationsofmotion.Weshowthatthesecanbewrittenasconservationequationsforthreeconservedcurrents.Thesymmetriesgeneratedbytheassociatedchargescorrespondtoconstant‘shifts’ofthescalar,spinorandgauge-fieldsrespectively.Wethencomputethealgebrageneratedbythesecharges.Thisturnsouttobe–asexpected–theelevendimensionalsupersymmetryalgebrawithtwo-formandfive-formcentralchargespresent.Henceinthismannerwehavereconstructedtheelevendimensionalsupersymmetryfromthefive-braneequationsofmotion.Thissuperalgebrahaspreviouslybeenderived[8]inthecontextoftheLagrangianformulationofthefivebrane.Byreducingtheelevendimensionalsupersymmetryalgebra,wefindthe(2,0)worldvolumesupersymmetryalgebra.Thecurrentsthatgiverisetothisworldvolumesuperalgebraareexplicitlyconstructed.WealsofindthatthefivebranecontainsanewsymmetrythatispartoftheGL(32)automorphismgroupoftheelevendimensionalsupersymmetryalgebra.Thissymmetryrotatesthefivebraneandtwobraneintoeachother.Finally,wediscusssomeofthepossibleconsequencesforMtheoryofthisnewsymmetry.1ConservedCurrentsandtheEquationsofMotionThefivebrane-equationsofmotionforaflatbackgroundandignoringhigherordertermsinthefermionfieldsaregivenby[6]
Gmn∇m∇nXa
,b,...=0,1,...,10.Instaticgaugethetarget-indicescanbedecomposedintoworld-volumeandtransverseindicesasa
∂nXbb
3!ǫabcdefhdef,(8)butitisnotthecurlofatwo-formgaugefield.ItisrelatedtothefieldHmnp=3∂[mBnp]whichappearsintheequationsofmotion,butHmnpisnotself-dualinthelinearsense.Therelationshipbetweenthetwofieldsisgivenby
Habc=(m−1)cdhabd.(9)FinallythematrixΓappearingintheequationofmotionforthefermionsisgivenbyΓ=−1√3hmnpΓmnp.(10)2ItsatisfiesTrΓ=0andΓ2=1andhencegivesrisetotheprojector13kabkab.Usingthiswecanrewrite(1)as0=Tmn∇m∂nXa)=1−g∂m(√).(11)WecaninterpretthisastheconditionthatthecurrentJma−gTmn∂nXa
√−gQ−1mmnΘ(1−Γ)Γn).
Inthesecondstepweusedmmn∇m((1−Γ)Γn)=0.Toseethisfirstnotethat∇mΓn=0.ThisfollowsfromthefactthatthecurvedΓmareconstructedfromtheflat11-dimensionalΓaΓa
∂nXbb
3mab∇ahc1c2c3Γc1c2c3Γb
=1
3mab∇ahc1c2c3(1
−gQ−1mmnΘ(1−Γ)Γn,(15)wherewesuppressedthetarget-spacespinor-indices.Notethatduetothepresenceoftheprojector(1−Γ)weonlyget16independentcurrents.Analogouslywecanrewritethetensorfieldequationofmotion(3)as
0=Tmn∇mHnpq=∇m(TmnHnpq)=1−g∂m(√where∗HmpqisthedualofHmpqfromwhichtheantisymmetryfollows.Againwecanidentifyaconservedcurrent
JmnpH:=√−g∗Hmnp.(18)
2IdentifyingtheSymmetriesHavingfoundthreenewconservedcurrentsitisnaturaltoaskwhatsymmetriestheassociatedchargeswillgenerate.Recallthatgivenanycurrentsatisfying∂mJm=0wecandefineanassociatedtime-independentcharge
Q:=d5xJ0(19)whichwillgenerateasymmetrytransformationonsomefieldΦviaδΦ={Q,Φ},(20)where{,}denotesthePoissonbracket.UnfortunatelywithinthecovariantapproachtothefivebraneusedherewedonothaveaLagrangianforthefivebranefields.However,toidentifythesymmetriesitwillhoweverbesufficienttokeeponlythelowestordertermsinthecurrentsandthenusethefree-fieldPoissonbrackets.Wedenotetheselowestordercurrentsbythesamesymbolthedistinctionbetweenthemandtheircompleteformbeingapparentfromthecontext.Thelowestordercurrentsaregivenby
Jma,(21)
JmnpH=hmnp,(22)JmΘ=Θ(1−Γ)Γm.(23)
Thefree-field(equaltime)Poissonbracketsaregivenby{Xa(x′)}=ηaδ(x−x′),{Θ(x),Θ(x′)†}=δ(x−x′),(24){Bij,H0lk}=δl[iδkj]δ(x−x′).
Somecommentsareinorderregardingthelastequationwherewehaveusedi,j,...todenotepurelyspatialindices.Sinceonedoesnothaveasimplefreeactionfortheself-dualgaugefieldonecannotdeduceitsPoissonbracketinthestandardway.However,inwhatfollowsitwillbesufficienttoadopttheabovePoissonbracketforthelinearizedfields.UsingtheexplicitPoissonbracketsandincludingconstantparametersonereadilychecks
{ξbX,Xad5x{∂0Xb}=ξa