勾股定理在最短路径问题中的应用
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析勾股定理最短路径问题例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。
先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。
这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。
2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。
例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。
本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。
3.在圆柱体中爬行半圈或一圈在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。
例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？4.正方体表面爬行蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。
例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。
5.圆柱体多圈问题例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。
勾股定理的应用(1)----蚂蚁爬行的最短路径
1 2
A
3
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多 少种情况？
(1)经过前面和上底面; 18 (2)经过前面和右面; 26 20 (3)经过左面和上底面 . 3
2 1 1 3 2 2
2
B
1 1
A
利用勾股定理解决问题，关键是 建立数学模型
找出问题中隐藏的直角三角形 或自己构造合适的直角三角形，
尝试把立体图形转换为平面图形。
9 15
B
B
Байду номын сангаас
B C
12
A
A
r=3,π=3
2πr =2×3×3=18
A
要把立体图形转化为平面图形哦！
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方 体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路 程又是多少呢？
B
A
10
B
B
10
A
10
A
10
10
C
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个 相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口 的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程 是多少？ B B
0.3
0.2 0.3
0.2
0.3 0.2
A
2
A
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
小结
• 通过本节课的学习，你学会解决什么问 题？
选作： 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6, 求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
专题06勾股定理最短路径问题-解析版
培优专题06 利用勾股定理求最短路径问题【考法导图】解题技巧：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。
◎类型1 台阶中的最值问题1．（2017秋·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．【详解】将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以222=+=169，AB AC BC所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程为（）A B．25C．30D．35【答案】B【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长AB ．由勾股定理得：2AB =220+()2[233]+´=225，解得：25AB =．故选：B ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3．（2020·山东淄博·统考一模）地面上铺设了长为20cm ，宽为10cm 的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）A ．50cmB ．100cmC ．150cmD ．200cm4．（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若2AD =，1BE =，3AE =，一只蚂蚁在A 处发现C 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A B．3C D．【点睛】本题考查了平面展开◎类型2 正方体中的最值问题5．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A B．2C D．3【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．6．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）A B．C D．【答案】C【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出BM的长即可；【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线．7．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A B．4cm C D．5cm8．（2023春·北京大兴·八年级北京市第八中学大兴分校校考阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（）A．BC D【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．◎类型3 长方体中的最值问题9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（）A．3米B．4米C．5米D．6米【答案】C则这只昆虫爬行的路程为②如图，路径二：则这只昆虫爬行的路程为③如图，路径三：则这只昆虫爬行的路程为因为295>，所以这只昆虫爬行的最短路程为10．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）A．12cm B C D11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到C¢点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．B．14cm C．4)cm D．10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是（）A B C．10D【答案】C【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是8和6，◎类型4 圆柱(锥)中的最值问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，圆柱的底面半径为6pcm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）A．B．cm C．cm D．10cm14．（2022春·全国·八年级假期作业）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．20C．18D．30则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M∴CE=MH=9cm，EH=CM=4∴DE=DH－EH=12－4=8cm∴BE=DE+DB=8+4=12cm，15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）A．cm B．C．D．10cm16．（2019·全国·八年级专题练习）如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长12m，高5m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要（）A．12m B．13m C．17m D．20m【答案】B【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题△中，这样就可利用转化到Rt ABC。
2020人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理：小专题(一)：利用勾股定理解决最短路径问题
小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题【例】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.【方法指导】几何体中最短路径基本模型如下：1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_____________cm . （杯壁厚度不计）2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm,3dm,3dm ，点A 和点B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____________.3.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm .（1）点1A 到点2C 之间的距离是多少？（2）若一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，则爬行的最短路程是多少？【例】解：需要爬行的最短路程是15cm . 变式训练1.202.30dm3.解：（1）Q 长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，222222124117(cm).C 5(17)A C A ∴=+=∴=+=42(cm).（2）如图1所示，22215552(cm)A C =+=.如图2所示，22219182(cm)A C =+=.如图3所示，222164213(cm).5221382,A C =+=<<∴Q 一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，爬行的最短路程是52cm .。
专题3-3 勾股定理的简单应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC ＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理求最短路径问题优秀教学案例
4.教师针对学生的评价结果，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
本章节的教学策略立足于情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价四个方面，旨在全面提高学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，灵活运用教学策略，让每个学生在课堂中都能得到充分的发展。
3.培养学生关爱生活、关注社会的情怀，使学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生诚实守信、团结协作的品质，提高学生的人际沟通能力。
本章节的教学目标立足于知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度，全面培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的证明方法及其应用，能运用勾股定理解决简单的实际问题。
2.引导学生了解最短路径问题的背景，掌握利用勾股定理求解最短路径的方法，并能应用于实际情境。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
（二）过程与方法
1.通过情境创设、问题引导，让学生经历探索、发现、总结的过程，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
2.运用讨论、探究、实践等教学方法，引导学生动手操作、动脑思考，提高学生解决问题的能力。
3.注重培养学生团队协作能力和沟通能力，让学生在讨论和合作中发现问题、分析问题、解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极的学习态度，树立学生自信心。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，让学生体验到成功的喜悦。
勾股定理的应用(最短路径问题)
试一试：
1.小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明 量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？ 你能解释这是为什么吗？（1英寸=2.54厘米） 2.有 一棵树直立在地上，树高20尺，粗3尺，有一根 葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这 根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）
2
C B 1 C
B 2 C
例4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？ C A
A C
D
B
解: 由题意可得：AC=5， BC=3×3+3×1=12，根据勾股定 理得：AB2=AC2+BC2
一.最短路程问题
例1.一圆柱体的底面周长为20cm,高AB 为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C， 试求出爬C中， CD=4，AD=20÷2=10， 根据勾股定理得：
B
C
D B C
2 2 2 2
Ｄ
B
AB
AC BC 12 5 13
答:从A点爬到B点，最短线路是13.
小
结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路： • １、立体图形中路线最短的问题，往往是把 立体图形展开，得到平面图形．根据“两点 之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股 定理计算出最短距离． • ２、在解决实际问题时，首先要画出适当的 示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构 建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实 际问题．
勾股定理最短路径
勾股定理最短路径勾股定理是一个十分有趣的数学理论，它给出了如何求一个直角三角形的斜边长的方法。
而当我们将这个定理应用于求解最短路径问题时，它又能为我们提供非常有价值的思路。
首先需要了解的是，什么是最短路径问题。
这是一个常见的计算机科学问题，它在很多实际应用场景中都非常有用。
比如在地图导航软件中，我们需要根据起点和终点，找到一条最短路线，以帮助人们快速到达目的地。
类似的，当我们在网络中传输数据时，也需要考虑选择一条最短路径，以保证网络传输效率。
那么，在最短路径问题中，勾股定理可以起到什么作用呢？我们知道，勾股定理可以计算直角三角形的斜边长，也就是说，如果我们在地图上画一个直角三角形，那么它的斜边长就可以使用勾股定理计算得到。
而在地图导航软件或者其他最短路径问题中，我们也可以将地图或网络抽象成一个由许多个点和边组成的图形，我们只需要找到起点和终点之间的最短路径，就可以得到我们要求的答案。
在具体求解问题时，我们可以使用Dijkstra算法等一些经典的最短路径算法来寻找起点和终点之间的最短路径。
而在这些算法中，勾股定理可以帮助我们在计算距离时，更准确地确定每个点之间的距离，从而更容易得到最优解。
例如，在寻找地图上两个城市之间的最短路径时，我们可以将这两个城市看作直角三角形的直角点，使用勾股定理计算这两个城市之间的直线距离，作为它们之间的距离，在最短路径算法中进行求解。
总的来说，勾股定理在最短路径问题中的应用是十分广泛的，它能够提供有价值的思路和方法，帮助我们更准确地计算距离和寻找最优解。
当然，在具体应用时还需要根据实际情况进行微调和改进，综合应用各种算法和工具，才能得到最好的结果。
为了总结本文中的内容，我们可以提出以下几点建议：1. 在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两个点之间的直线距离，作为它们之间的距离，从而在最短路径算法中起到作用。
2. 在具体使用时，可以根据实际情况进行微调和改进，综合应用各种算法和工具，以得到最好的结果。
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题，那就是勾股定理和蚂蚁的最短路径问题。
听起来可能有点儿复杂，但其实这就像是咱们日常生活中的那些小烦恼——你在找东西的时候，总是希望能走最短的路，是吧？所以，咱们先来看看勾股定理是个什么玩意儿。
1.1 勾股定理简介首先，勾股定理可不是老古董，它可是几千年来数学界的经典！简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角两边的平方和等于斜边的平方。
用公式表达就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
你想，假如你是一只蚂蚁，正在两棵树之间穿梭，勾股定理就能帮你找到最省力的路径。
1.2 蚂蚁的烦恼说到蚂蚁，它们可是小小的工作狂。
想象一下，蚂蚁小明今天有任务，它得从一块糖走到它的家。
可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。
小明希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。
谁不想走得快点儿呢？2. 应用场景2.1 实际问题中的应用假设咱们有两棵树，它们之间的距离是一个直角三角形的直角边。
小明想直接往家走，但前面有个石头挡住了路。
通过勾股定理，他可以算出如果绕过去，究竟要走多远。
比如，直角边长是3米和4米，按照勾股定理算一算，斜边就是5米。
这说明如果小明选择直接走，节省的可不仅仅是时间，还有力气呢！2.2 找到最优路径想象一下，小明的朋友小红也是一只勤劳的蚂蚁。
她从另一棵树出发，也想回家。
小红可聪明了，直接用勾股定理计算出最短路径，这样她就能比小明早到家，甚至还有时间享受一下美味的糖果。
这时，咱们就能发现，应用勾股定理不仅能帮蚂蚁找到最短路径，还能让它们在生活中游刃有余。
3. 结尾3.1 数学的美数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。
无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。
成都市东湖中学八上数学勾股定理的应用(第3课时)-- -最短路线问题
如何找最短路线？怎么求？
RtABB中，AB
C B 沿AB剪开， 摊开
AB2 BB2
B
A
A 其中AB是圆柱的高，B
是底面圆的周长 B
B
O
B C
c
4
.
A D A D
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
AB 2 AA2 A' B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
若已知圆柱体高为12cm，底面半径 为3cm，π取3，则:
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A 12
’
3
O
B
A’
3π
B
侧面展开图 12
A
你学会了吗?
A
如果食物在点B呢?
B
牧童 A
北
M
B小屋
如图：圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为 18cm,在杯子内壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 1 A 为多少? M 蚂蚁A A C蜂蜜 H C
练习：
有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂 蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处 请 同 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
解题思路
• 1、 • 2、 • 3、 • 4、 • 5、 展 ------- （立体 找 -------- 起点， 路线 连-------算-------- 利用勾股定理 答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理在最短路径问题中的应用
标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用
导言：
最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。
数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。
本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。
一、勾股定理概述
1.1 勾股定理定义
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。
它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。
二、最短路径问题介绍
2.1 最短路径问题的定义
最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。
这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用
3.1 最短路径问题的建模
在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。
对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边
的长度作为两个节点之间的距离。
3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法
基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长
度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。
3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用
通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题
中的应用。
假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点
A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。
4. 总结与回顾
通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。
勾
股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最
短路径问题的求解提供了便利。
通过建立一个适当的数学模型，我们
可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。
个人观点与理解：
勾股定理在最短路径问题中的应用，为我们提供了一个简单而有效的
方法来求解最短路径。
在实际应用中，最短路径问题经常出现，并涉
及到诸如导航系统、网络路由等方面。
勾股定理在解决最短路径问题
时的应用，不仅减少了计算的复杂性，同时也提高了计算的效率。
深
入理解勾股定理在最短路径问题中的作用，对我们解决实际问题非常
有帮助。
参考文献：
1. [最短路径 (维基百科)](
2. [勾股定理(维基百科)](在现实生活中，我们经常需要找到最短路径，无论是为了导航到目的地还是为了计划行程。
最短路径问题可以通过
建立数学模型来解决，特别是利用勾股定理，可以提供便利和效率。
最短路径问题涉及确定两个点之间的最短路径。
在解决这个问题时，
我们需要考虑路径上各个点之间的距离，以选择最短的路径。
勾股定
理是一个简单且广为人知的数学定理，它用于计算直角三角形的边长
关系。
通过将勾股定理应用于最短路径问题中，我们可以简化计算，
并获得准确的结果。
在最短路径问题中，我们可以将路线表示为一个图，其中每个点表示
一个位置，而每个边表示两个位置之间的距离。
勾股定理告诉我们，
对于一个直角三角形，边长a、b和c之间存在一个关系：a² + b² =
c²。
通过将这个式子引入到最短路径问题中，我们可以计算两个点之
间的距离，并找到一条连接它们的最短路径。
为了使用勾股定理解决最短路径问题，我们可以利用图论和最短路径算法。
图论研究图中节点和边之间的关系，而最短路径算法帮助我们找到连接两个节点的最短路径。
通过将勾股定理应用于算法中，我们可以计算每个节点之间的距离，并选择最短的路径。
举个例子来说，假设我们想从一个城市到另一个城市旅行，而我们只有有限的预算和时间。
我们可以将城市表示为图中的节点，而道路则表示为边。
通过利用勾股定理应用于最短路径算法中，我们可以计算每个城市之间的距离，并找到最短并且符合我们的预算和时间限制的路径。
勾股定理在最短路径问题中的应用给我们提供了一种简单而有效的方法来解决实际问题。
通过建立数学模型，并将勾股定理引入最短路径算法中，我们能够减少计算的复杂性，同时提高计算的效率。
这对于解决各种实际应用中的最短路径问题非常有帮助，如导航系统、网络路由等。
勾股定理在最短路径问题中的应用是非常有用的。
它为我们解决最短路径问题提供了便利和效率。
通过建立适当的数学模型，并利用勾股定理在最短路径算法中的应用，我们能够轻松地找到连接两个点之间
的最短路径。
加深对勾股定理在最短路径问题中的理解，对我们解决实际问题是非常有帮助的。