万有引力定律教案

知识点5 万有引力定律

1．开普勒行星运动定律

（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．

（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．

（3）开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．

2．万有引力定律

（1）万有引力定律的内容与公式

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比．

122m m F G r

=，其中11226.6710N m /kg G -=⨯ （2）适用条件：适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可以视

为质点；均匀球体也可视为质量集中于球心的质点，r 是球心间的距离．

3．天体运动

（1）基本方法：将天体运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，因此可以根据万有引力定律、牛顿第二定律及向心力公式来求解各类问题．

222224πMm v r F G m mr m r r T

ω==== （2）估算天体的质量M 和密度ρ

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R 和周期T ，

由2224Mm G m R R T π=得23

24R M GT π=，323300343

M M R V GT R R πρπ===（0R 为天体的半径）； 若卫星沿天体表面绕天体运行，则有0R R =，故2

3GT πρ=． （3）当卫星做稳定的匀速圆周运动时，卫星a 、v 、ω、T 、r 间的关系如下：

知识点睛

22

2222214πGM ma a a r r v m v v r Mm F G F r m r m r T T T

ωωω⎧→=→⎪⎪⎪→=⎪⎪===⎨⎪=→⎪⎪⎪→=⎪⎩万向∝ 4．天体上的重力和重力加速度

在质量为M 、半径为R 的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为m 的物体的重力加速度g 可以认为是由万有引力产生的，2M g G

R

=．特殊的，在地球上，赤道半径略大于极半径，故赤道处重力加速度比两极的重力加速度小．

5．三种宇宙速度

（1）第一宇宙速度（环绕速度）

卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度17.9km/s v =，此值为人造卫星在地面附近做匀速圆

周运动所必须具有的速度，叫第一宇宙速度．同时它也是发射卫星的最小速度，小于这个速度，不可能发射卫星．

（2）第二宇宙速度（脱离速度）

卫星或飞船要想脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的

最小发射速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2km/s ．

（3）第三宇宙速度（逃逸速度）

地面上的物体发射出去，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的

最小发射速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7km/s ．

（4）注意区别人造卫星的发射速度和运行速度

人造卫星的发射速度和运行速度是两个不同的概念．所谓发射速度是指被发射物在地面附近离开

发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定高度，进入运行轨道．注意：发射速度不是应用“多极运载火箭”发射时，被发射物离开地面发射装置时的初速度，这是因为多级火箭在高空还要消耗燃料，不断供应能量．要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行．如果使人造卫星在距离地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度．

所谓运行速度，是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．当卫星“贴着”地面

运行时，运行速度等于第一宇宙速度．根据v =动r 越大），运行速度越小．实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度．人造卫星的发射速度与运行速度之间的大小关系是：11.2km/s 7.9km/s v v >>发射运行≥．

6．地球同步卫星

（1）六个“一定”

①位置一定（必须位于地球赤道的上空）

②周期（T ）一定，24h T = ③角速度（ω）一定，2πT

ω= ④向心加速度（a ）的大小一定，2

()GM a R h =+ ⑤距离地球表面的高度（h ）一定，由万有引力定律、牛二定律、向心力公式可得：

222

4()()Mm R h G m R h T π+=+（h 为同步卫星距地球表面的高度），

故35800km h R R ===．

⑥环绕速度（v ）一定， 3.08km/s v ===．

【例1】 一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球

引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为 ．

【例2】 处理卫星问题方法：把天体运动看成 ， 提供向心力，

即222224πMm v r F G m m r m r r T

ω====万，由该式可知，r 越大，卫星线速度越 ，角速度越 ，周期越 。

【例3】 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为行星是密度均匀的球体．要确定该行星的密

度，只需要测量（ ）

A ．飞船的轨道半径

B ．飞船的运行速度

C ．飞船的运行周期

D ．行星的质量

【例4】 据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km ，运动周期127分钟．若还知

道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）

A ．月球表面的重力加速度

B ．月球对卫星的吸引力

C ．卫星绕月球运行的速度

D ．卫星绕月运行的加速度

【例5】 宇宙飞船在半径为1R 的轨道上运行，变轨后的半径为2R ，12R R >. 宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，

则变轨后宇宙飞船的（ ）

A ．线速度变小

B ．角速度变小

C ．周期变大

D ．向心加速度变大

【例6】 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为行星是密度均匀的球体．要确定该行星的密

度，只需要测量（ ）

A ．飞船的轨道半径

B ．飞船的运行速度

C ．飞船的运行周期

D ．行星的质量

【例7】 （2009北京高考理综）已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响.

（1）推导第一宇宙速度1v 的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T .