分块矩阵行列式计算的若干方法(本科毕业原创论文)

分块矩阵行列式计算的若干方法

摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工

具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱=

B

C D

A 方法，即（1）当矩阵A 或

B 可逆时；

（2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成

两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。

关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位

矩阵

Several Measures Of Block Matrix In Computing

Determinant

Zhouxu

(Hunan Normal University Mathematics and Applied Mathematics Grade 2004)

Abstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, is

also a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is very important in proving and applying the linear e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example, this article discussed the methods of computing ︱H ︱=

B

C D

A with using block matrix. That is:(1)A and

B are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its value

Key words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ；

determinants ； computation ；unit matrix

1．引言

1.1矩阵分块的意义

在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

矩阵的分块是处理矩阵问题的一种重要方法，把一个高阶矩阵分成若干个低阶矩阵，在运算中把低阶矩阵当做数一样处理，这样高阶矩阵就化为低阶矩阵，常能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的。分快矩阵在求行列式的值中起着重要的作用。对矩阵进行分块是处理高阶矩阵或具有特殊结构的矩阵时常用的方法。同样，对高阶行列式或具有特殊结构的矩阵进行分块也往往是计算行列式和证明行列式等式的有效手段。分块矩阵可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化。而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题。而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。在查阅了大量资料后，通过参考了文献[2]，[3]，[4]，[5]的定理后，我感觉所给出的定理还不能很广泛的应用到更多的问题当中去，于是我便提出想法，看能不能在这些定理的基础之上，将其推广或者将其进行变型在遇到类似的问题时能更快更简洁的给出解答。另外我还给出了一些其