人教版高中数学B版配套教学设计必修第一册第二章最新完整版

2.1.1 等式的性质与方程的解集

教学课时：1课时 教学目标：

1、 使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；

2、 训练学生掌握用集合呈现方程的解集；

3、 使学生学会用“十字相乘法”分解因式；

4、 让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养. 教学重点：

从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集. 教学难点：

熟练使用“十字相乘法”分解因式. 教学过程： 一、复习回顾： 【学生活动1】

1.自己阅读书P42 —《本章导语》；

2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子. 【设计意图】

使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：

（1） 勾股定理：222c a b =+； （2） 费马大定理：(2,n

n

n

x y z

n n +=>且为整数）没有正整数解；

（3） 三角形两边之和大于第三边：,,a c b a b c b c a +>+>+>； （4） 任何实数的平方非负：20x ≥. 【学生活动2】

3.回忆初中学习过哪些等式的性质；

4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；

5.与同伴进行交流.

【设计意图】

回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美. 二、讲授新课： （一）等式的性质：

【学生活动3】

6.回答书中P43 — “尝试与发现”中的问题；

7.与同伴交流分类的标准. 【设计意图】

分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类. （二）恒等式

含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.

1、 平方差公式：2

2

()()a b a b a b -=+-

2、 两数和的完全平方公式：2

2

2

()2a b a ab b +=++ 【学生活动4】

8.计算：2

()a b -和2

()a b c ++；

9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与2

2

2

()2a b a ab b +=++ 的关系是什么？

10.用发现的结论继续完成下面的计算：

（1）2

()a b c -+；（2）2

()a b c --；（3）2

()a b c +- 【设计意图】

借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式2

2

2

()2a b a ab b +=++中， 用b -替换b ，有：2

2

2

()2a b a ab b -=-+

用b c +替换b ：2

2

2

2

2

2

()2()()222a b c a a b c b c a b c ab ac bc ++=++++=+++++ 例1 化简2

2(21)(1)x x +--．

解 （方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即

22(21)(1)x x +-- 22441(21)x x x x =++--+

236x x =+．

（方法二）可以将21x +和1x -分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即

22(21)(1)x x +--

[(21)(1)][(21)(1)]x x x x =++-+--

23(2)36x x x x =+=+．

【设计意图】引导学生对比两种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养. 例2 （1）计算：(6)(1)x x -+

（2）分解因式：2

56x x ++

【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式. 【练习1】（1）计算：(2)(3)x x --

（2）分解因式：2

56x x +-

答案：例2（1）2

56x x --；（2）(2)(3)x x ++ 练习1（1）256x x -+；（2）(6)(1)x x +-

（三）方程的解集

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）. 一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集. 例3 求方程2

560x x ++=的解集． 解 因为2

56(2)(3)x x x x ++=++，

所以原方程可以化为(2)(3)0x x ++=， 从而可知20x +=或30x +=， 即2x =-或3x =-， 因此方程的解集为{2,3}--

【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.

【练习2】求下列方程的解集：

（1）2

560x x -+=；（2）2

120x x --=；（3）2

210x x -+= 答案：（1）{2,3}（2）{4,3}-（3）{1}

【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习. 例4 求关于x 的方程2ax =的解集，其中a 是常数． 解 当0a ≠时，在等式2ax =两边同时乘以

1a ，得2x a =，此时解集为2a ??

????

． 当0a =时，方程变为02x =，这个方程无解，此时解集为?． 综上，当0a ≠时，解集为2a ??

????

；当0a =时，解集为?．

【设计意图】此题可根据学生情况选做；熟悉分类讨论的方法；学会无解的表达为空集. 三、归纳总结： 1.等式的性质 2.恒等式

3.十字相乘法分解因式

4.方程的解集

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（1）

教学课时：第1课时

教学目标：

5、学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解；

6、通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想；

7、引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法；

8、结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提

升数学抽象、数学运算的学科素养.

教学重点：

配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.

教学难点：

对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化.

教学过程：

一、提出问题：

《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.

问题二十的译文：今有正方形小城，其边长是未知数，城墙各边正中都开有一门.出北门，20步处有一棵树，出南门14步，转向西走1775步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是多少.

根据题中的描述可

作出示意图，如图所

示，其中A点代表北

门，B处是木，C点

代表南门，而且

20

CD=，1775

DE=，求正方形的边长.

AB=，14

【设计意图】

1.以《九章算术》中的例子作为一元二次方程的引入，意在展示我国古代数学成就和我国数学文化悠久的历史，引导师生共同学习祖先留给我们的珍贵文化遗产，并激励学生将有关数学文化发扬光大.

附.《九章算术》，我国古代数学专著，是《算术十书》（唐汉之间出现的十部算书）中最重要的一部，其作者已不可考，一般认为它是经过历代各家的增补修订而逐渐发展成为现今定本的.魏晋是刘徽为《九章算术》作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍，大思农中丞耿寿昌皆以善算命世.苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”.可见《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的删补方才最后成书的，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成. 2.学生对于实际问题抽象得到的方程用上节课复习的十字相乘法求解有一定的困难，这就为引入配方法做好了准备.

二、自主探索

面对我们用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程，我们该如何下手去研究呢？ 提出问题：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？

【设计意图】从最简单的、容易得到解集的一元二次方程出发，逐步一般化，引出配方法. 注意我们所想解决的是一类问题，而不是一个具体问题，所以我们首先研究的是可以化为

2x t =的形式的一元二次方程的解集，其中t 为常数.

【学生活动1】

1.独立完成P48的第一个探索与发现；

2.学生独立完成后相互交流下各自的答案. 一般地，方程2

x t =：

一般地，方程()2

x k t -=：

【设计意图】

对于大部分学生而言，答案不是问题，能否真的懂得“尝试与发现”想得到的内容才是关

键，还有就是在发现过程中所蕴含的从特殊到一般的数学研究方法.书上之所以分成两个“尝试与发现”想必原因如此，交流过程中教师一定要帮助学生梳理下这类问题的研究方法：从特殊问题入手研究一类问题，然后适度放开限制条件，尝试把问题向已经掌握的特殊问题进行转化，最后彻底放开，结合前面的经验，把一般问题都转化为特殊问题进行解决.切忌不要变成背默填空的形式. 【学生活动2】

3.结合前面教师的讲解，学生尝试独立完成第二部分的“尝试与发现”；

4.相互交流，谈谈“尝试与探究”的结果与初中所学的公式法求解的关系以及判别式研究方程根的情况的异同.

一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠化为()2

x k t -=的形式，过程如下：

从而可知，2

4b ac ?=-的符号情况决定了上述方程的解集情况：

（3）当2

40b ac ?=-<时，方程的解集为?. 【设计意图】

本课时的主旨内容在此，数学探索过程远比数学求解过程重要的多，也是数学学习最想

带给学生的最核心的“知识”，经历探索过程，体会数学的学习中从特殊到一般的研究方式和

数学问题间相互转化的研究方法.

三、例题讲解

分析：面对一个有根号的方程，如何去掉根号化为一个普通方程是我们解决问题的关键.

式是能否通过完全平方的方式去掉根号呢？

所以2

212y y -+=， 所以()2

12y -=，

方程两边平方得：2

214x x x -+=， 化简得：2

610x x -+=，

所以，2

698x x -+=， 所以，()2

38x -=，

【设计意图】

对于初中掌握的比较好的同学，这个问题初三就可以解决，这里提出这个问题我想是基

于两方面的考虑（如果学生没有想到，不建议讲方法二），一个是突出换元法，另一个是关注使用换元法的限制条件（讲方法二的时候虽然不是换元法，但也要关注限制条件）.数学是一门追求严谨的科学，对于可能遇到的问题，尤其是变形中遇到的问题，一定要做好预案，这个预案可以是方式方法上的，如书上所强调的更换字母同时提出限制条件，也可以是思想上的，比如不更换字母，那么我们需要在一开始就想好我们对求解的未知数的限制.

四、课堂练习

1. 求下列方程的解集： （1）4

2

20x x --=；

【设计意图】巩固换元法求解一元二次方程，在求解的计算过程中，鼓励学生使用十字相乘法和配方法的求解方式

的实数根，求实数m 的取值范围. 参考答案： (1,0)

(0,1)-

【设计意图】以本节课所学内容为背景，进一步深化第一章的集合的相关内容，结合具体的问题，巩固方程根的判别.

3. （课本第80页A组第15题）

如图，要在长25m的墙EF的一边，

通过砌墙来围一个矩形花园ABCD，

与围墙平行的一边BC上要预留3m

宽的入口（如图中MN所示，入口不

用砌墙），用能砌46m长墙的材料砌

299m？

墙，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为2

【设计意图】再次体会数学抽象解决实际数学问题，学以致用.

五、归纳总结：

1.配方法从特殊到一般求解一般一元二次方程的过程；

2.借助换元法转化为一元二次方程进行求解处理过程中的注意事项；

3.中国古代数学专著《九章算术》赏析.

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系（2）

教学课时：第2课时 教学目标：

9、 结合学生已经学习掌握的相关知识，推导得到一元二次方程的根与系数的关系； 10、 训练学生借助韦达定理，解决相关问题；

11、

让学生在利用韦达定理求解相关代数数值的过程中，体会代换的思想，训练学生数

学抽象、数学运算的学科素养. 教学重点：

韦达定理的推理过程. 教学难点：

结合韦达定理，借助代换的思想求解代数式的值. 教学过程：

一、提出问题，解决问题：

问题1：我们知道，当一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的解集不是空集时，这个方程

当一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的解集不是空集时两根和与两根积的值呢？

【学生活动1】

1.学生自主通过计算完成课本第110页上面的“尝试与发现”；

2.让学生对结论的结构特征进行分析；

问题2：我们得到的两根之和、两根之积都是由方程的系数确定的，这一结论对两根相等的情况也是适用的，那么能否结合它们与系数的关系，换一种方式得到两根和与两根积的值呢？

分析：除了对方程求解的传统做法，我们能否把方程的两根视为已知量，寻找它们与系数的关系呢？

解：设方程()2

00ax bx c a ++=≠有两根12,x x ，则原方程可改写为

12()()0a x x x x --=，

展开得：2

1212()0ax a x x x ax x -++=，

与原方程比较可知对应系数应该相等， 即1212()a x x b

ax x c

-+=??

=?，

注.一元二次方程根与系数关系的关系也称为“韦达定理”.

弗朗索瓦·韦达（Fran?ois Viète,1540~1603），法国杰出数学家.年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步.他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)，在欧洲被尊称为“代数学之父”.在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权.

(来自百度百科https://https://www.360docs.net/doc/e68376691.html,/item/韦达/174387?fr=aladdin)

对于学有余力的学生，还可以引导他们尝试探索一元三次方程的根与系数的关系. 【设计意图】

根与系数关系的“尝试与发现”，是对学生以往所学一元二次方程相关知识的深化和小结.到此为止，总结了初中所学的一元二次方程的三种常用解法：十字相乘法、配方法、公式法.引入韦达定理，是面对求相关代数式值时不求解的经典做法，但要注意方程根的存在情况.对于理解能力相对较强的学生补充的比较系数法对韦达定理的推理，重点不是方法，而是对韦达定理结构特征的分析，正式基于这种分析，才顺理成章的去比较对应系数.

二、例题讲解，深化理解 例（课本50页例2）

已知一元二次方程2

2340x x +-=的两根为1x 与2x ，求下列各式的值： （1）2

2

12x x +；

12x -.

思考：我们都可以采用什么样的方法求出所求代数式的值？

解：由一元二次方程根与系数关系，得

（1）由上有

（2）因为

补充

（4）3

3

12x x +.

（4）

【设计意图】前两问鼓励学生尝试求解求值，同时对比韦达定理的求解过程，注重比较不同解法的优劣.而在此基础上提出后两问，想必在前期比较的基础上，一个是问题的复杂程度有变化，学生不太可能选择求解后求值；一个是在比较后，学生会发现处理类似问题韦达定理会相对容易.这个时候，不但要关注结果的求解，而其中的整体代换的思想帮助孩子结合所求向已知靠拢就显得尤为的重要.

三、课堂练习，巩固所学 1.（课本P51页练习B 第2

题）

1x 与2x ，求下列各式的值：

（1）22

1212x x x x +；

12123

, 2.2

x x x x +=-=-

参考答案：（1

）；（2

）

2. （课本P51页练习B 第3题）

已知关于x 的方程2

210x x m -+-=的两根同号，求实数m 的取值范围. 参考答案：1,2]（.

四、归纳总结：

1.韦达定理的内容（为什么只给出两条？）

2.使用韦达定理要注重的细节.

2.1.3方程组的解集

教学课时：1课时

教学目标： 12、 帮助学生掌握方程组解集的写法； 13、 使学生理解消元思想；

14、

让学生经历求解方程组的过程，逐步提升学生的代数推理能力.

教学重点：

方程组解集的书写，求解方程组. 教学难点： 方程组的解法. 教学过程： 一、复习回顾：

求下列方程的解集，并回答其中元素的个数： （1）22410x x +-= （2）410x -= （3）40x y -= 【设计意图】

为后面方程组解集的书写做铺垫。

二、讲授新课： （一）方程组的解集

【定义】在方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 例1 求方程组40

3x y x y -=??

-=?

的解集。

解：40

3

x y x y -=??

-=?①②

将①-②可以消去y ，得到1x =-，

代入②式可得到：4y =-，从而得出这个方程组的解为(,)(1,4)x y =--. 因此，方程组的解集为：{}(1,4)--. 【说明】

从定义直接理解解集的书写可能会有一定的困难，因为两个无限集如何取交集不易理解。

建议从一次函数与二元一次方程的关系入手，结合图形理解交集。

另外可以向学生强调以下几点： （1）解(,)(1,4)x y =-是1

4x y =-??

=-?

的简写形式； （2）解集也可以用描述法书写，更为简洁;

（3）二元一次方程组的解集中的元素可以看成是点，也可以看成为有序的二元数组； （4）例题中用了“加减法”消元，也可以用“代入法”消元. 【练习】

（1）1,

3x y x y -=??

+=? （2）21,423x y x y -=??-=?

【设计意图】

一方面练习解集的书写，另一方面让学生了解到解集的多种情况。可以和学生一起总结归纳“二元一次方程组的解集的几何解释”如下：

例2 书P52—“情境与问题”

《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何．

解：设上禾实一秉x 斗，中禾实一秉y 斗，下禾实一秉z 斗

根据题意，可列方程组：

3239,2334,2326.x y z x y z x y z ++=??

++=??++=?

将①-②可以消去z ，得到：5x y -=，即：5y x =- ④ 将②×3-③可以消去z ，得到：5776x y += ⑤

将④代入⑤可以消去y ，得到：374

x =. 从而得出这个方程组的解为371711

(,,)(,,)444

x y z =.

因此，方程组的解集为：371711(,,)444??

???

?. 【设计意图】

通过例2的分析，希望学生明确以下几点： （1）对实际问题的分析与解决，同时渗透数学文化；

（2）明确解决方程组的核心思想是“消元”，学会化归、转化思想； （3）类比二元方程组解集的书写，明确三元方程组解集的书写形式.

例3 求方程组225

1

x y y x ?+=?=+?的解集.

解：2251

x y y x ?+=??

=+??①②

将②代入①，整理得：220x x +-= ， 解得：1x =，或2x =-.

利用②可知，1x =时，2y =；2x =-时，1y =-. 所以原方程组的解集为：{}(1,2),(2,1)--.

例4 求方程组2222

2

(1)(2)1x y x y ?+=??-+-=?? 的解集. 解：22

22

2

(1)(2)1

x y x y ?+=??-+-=??①②

由①-②整理得：230x y +-=，即：32x y =-③

将③代入①，可得：2

51270y y -+=， 可解得：1y =，或7

5

y =

. 利用③可知，1y =时1x =；75y =

时，15

x =. 因此，方程组的解集为：17(1,1),(,)55?

??

??

?. 【设计意图】

例3、例4的主要目的，依然是要学生体会解方程组的核心思想：消元.至于几何意义，不建议在此处补充加深.

【信息技术求解方程及方程组】

利用免费数学软件GeoGebra 介绍如何利用软件解决数学问题.

三、归纳总结： 如何求解方程组的解集： 1）明确解集元素（n 元数组）； 2）解决的基本思想：消元； 3）解决的基本手段：代入、加减.

2.2.1不等式及其性质第1课时

教学课时：1课时

教学目标：

15、使学生能在实际问题中找到不等关系，并能列出不等式和不等式组，抽象成数学问

题；

16、引导学生运用对比联想，得到不等式的简单性质，并学会用综合法证明不等式；

17、使学生掌握“作差法”比较两个数或两个代数式的大小；

18、让学生对不等式性质进行直观解释和逻辑证明，逐步提升学生的代数推理能力，发

展直观想象和逻辑推理素养.

教学重点：

引导学生运用对比联想，得到不等式的简单性质，并学会用综合法证明不等式；掌握做差法比较两个数或两个代数式的大小.

教学难点：

不等式性质的直观解释和逻辑证明.

教学过程：

一、复习回顾：

【学生活动1】

1.自己阅读书P58 —情境与问题；

2.再举出两个描述不等关系的实例；

3.回忆前面学习过哪些不等号，思考书P58想一想.

【设计意图】

通过实际问题引入，选取贴近学生实际生活的素材，通过高速公路上车速的限定范围创设情境，并且让学生通过模仿，类比写出客车和货车行驶速率满足的不等式.使学生能在实际问题中找到不等关系，并能列出不等式和不等式组，抽象成数学问题.

根据学生的实际认知水平回顾不等式的概念，并可以补充更多相关的实例，激发学生的学习兴趣.

【学生活动2】

4.怎样理解两个实数之间的大小；

5.对比等式，不等式会有哪些类似性质；

6.与同伴进行交流讨论

【设计意图】

将实际的不等关系写成对应的不等式时，需要用到相应的数学符号，为后面学习不等式性质做铺垫；借助数轴，让学生观察实数的大小与数轴上点的运动的关系，体会数轴上点的运动引起实数大小的变化规律，进而直观感受到比较大小的变化规律，进而直观感受到比较较大小的原则，这有助于学生从形的角度思考问题，体现数形结合的数学思想方法. 二、讲授新课：

（一）不等式的性质及证明

对于任意两个实数a ，b,如果a >b ，那么a -b 是正数；如果a

(1)0;(2)0;(3)0

a b a b a b a b a b a b >?->=?-=

常用的不等式的基本性质：