浙江省稽阳联谊学校高2020届高2017级高三下学期5月联考数学试题及参考答案解析

2020年高考数学模拟试卷(5月份)

一、选择题(共10小题).

1.已知全集U ＝{﹣2,﹣1,0,1,2},A ＝{﹣2,0,1},B ＝{﹣1,0},则()U

A B ＝( )

A.{﹣2,﹣1,1,2}

B.{2}

C.{1,2}

D.{0}

【参考答案】B 【试题解析】

根据并集和补集的定义,计算即可.

由A ＝{﹣2,0,1},B ＝{﹣1,0},所以A ∪B ＝{﹣2,﹣1,0,1}； 又全集U ＝{﹣2,﹣1,0,1,2},所以()U

A B ＝{2}.

故参考答案：B.

本题考查了并集和补集运算,属于简单题.

2.已知i 为虚数单位,其中()12i z i +=-,则该复数z 的共轭复数是( ) A.

255

1i + B.

2155

i - C.2155

i -

+ D.2155

i -

- 【参考答案】C 【试题解析】

把已知等式变形,再由复数的

运算法则得21

55

z i =--,由共轭复数的概念即可得解. 由题意得()()()122112121255

i i i z i i i i ---=

==--++-, ∴2155

z i =-

+. 故参考答案：C.

本题考查了复数的运算与共轭复数的求解,属于基础题.

3.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )

A.

323

π

B.16643

π

-

C.6416π-

D.

163

π

【参考答案】A 【试题解析】

由三视图还原几何体,可知该几何体为圆柱挖去一个圆锥,底面半径均为2,高为4,再由圆柱体积减去圆锥体积求解. 由三视图还原几何体如图,

该几何体为圆柱挖去一个圆锥,底面半径均为2,高为4. 则该几何体的体积V 2

2

13224243

3

π

ππ=??-??=. 故参考答案：A.

本题考查了根据三视图求体积,还原几何体是解题的关键,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

4.若实数x,y满足约束条件

340

340

x y

x y

x y

-+≥

?

?

--≤

?

?+≥

?

,则z＝3x﹣2y的最大值是( )

A.0

B.2

C.4

D.5 【参考答案】D

【试题解析】

由题意作出可行域,转化目标函数为

3

22

z

y x

=-,平移直线,数形结合求解即可.

【详解】由题意作出可行域,如图：由0340x y x y+=??--=?,解得()1,1B-, 目标函数z＝3x﹣2y可转化为322z y x=-,平移直线322z y x=-, 数形结合可得当直线经过B时,z取得最大值,此时max325

z x y

==

-. 故参考答案：D.

本题考查了简单的线性规划,属于基础题.

5.已知函数f(x)＝ax+b的图象如图所示,则函数h(x)＝log a(﹣x+b)

图象是( )

A. B.

C. D.

【参考答案】D

【试题解析】

先由一次函数的图象得0＜a＜1,﹣1＜b＜0,结合对数函数的单调性可排除B、C,结合h(0)无意义可排除A,即可得解.

由函数f (x)＝ax+b的图象可知,0＜a＜1,﹣1＜b＜0,

所以函数y＝log a x单调递减,所以函数h(x)＝log a(﹣x+b)单调递增,故排除B、C；

因为﹣1＜b＜0,所以h(0)＝log a b无意义,可排除A.

故参考答案：D.

本题考查了对数函数图象的识别,考查了对数函数性质的应用,属于基础题.

6.设a＞0,b＞0,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【参考答案】A

【试题解析】

a+b≥2可知()2

2

2

a b

+

≥,而

()2

22

2

a b

a b

+

+≥,可得a2+b2≥2.反之不成立,可以通过举反例

说明. ∵a+b≥2

所以

()2

22

a b +≥,

又因为()2

222

a b a b ++≥

,

∴a 2+b 2≥2.,故充分.

反之不成立,例如a =b ＝0.,故不必要. ∴“a +b ≥2”是“a 2+b 2≥2”的充分不必要条件. 故参考答案：A.

本题主要考查逻辑条件的判断,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 7.设0＜a 1

＜,随机变量X 的分布列为：

则当a 在10,3??

???

增大时,( )

A.D (X )增大

B.D (X )减小

C.D (X )先增大后减小

D.D (X )先减小后增大

【参考答案】C 【试题解析】

根据公式D (X )＝E (X 2

)﹣(EX )2

求出方差,结合二次函数的单调性即可得出结论. 由题意可得,随机变量X 的数学期望1111()211223333E X a a a ??

=-?

-?+?-+?=- ???

, 随机变量X 2的数学期望22

222111((2)(1)1233)3E X a a ??

=-?

+-?+?-+?= ???

3, ∴随机变量X 的方差D (X )＝E (X 2)﹣(EX )2221111

(2)4()3363

a a =

--=--+,

∴当a 在103?? ???

，增大时,D (X )先增大后减小, 故参考答案：C.

本题主要考查离散型随机变量的期望和方差以及二次函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.

8.已知椭圆C ：22

22x y a b

+=1(a ＞b ＞0),F 1,F 2为椭圆的左右焦点,过F 2的直线交椭圆与A 、B 两

点,∠AF 1B ＝90°,2223AF F B =,则椭圆的离心率为( ) A.25

B.

5 C.

310

D.

1010

【参考答案】B 【试题解析】

由向量的关系可得线段的关系,设|F 2A |＝3x ,则|F 2B |＝2x ,由椭圆的定义可得|F 1A |＝2a ﹣3x ,|F 1B |＝2a ﹣2x ,再由∠AF 1B ＝90°,由勾股定理可得x 的值,进而求出|AF 1|,|AB |的值,进而求出∠F 1AB 的余弦值,由半角公式求出sin 122∠=F AF c

a

,进而求出离心率. 如图所示：

因为2223AF F B =, 设|F 2A |＝3x ,|F 2B |＝2x ,|

所以F 1A |＝2a ﹣3x ,|F 1B |＝2a ﹣2x , 因为∠AF 1B ＝90°,

所以(5x )2＝(2a ﹣3x )2+(2a ﹣2x )2, 解得3

a

x =

,

则|F2A|＝a,|AB|

5

3

a

=,|F1B|

4

3

=a,|F1A|＝a,

所以可得A为短轴的顶点,

在△ABF1中,cos∠F1AB13 5

AF

AB

==,

所以c

a

=sin121

1cos5

225

∠-∠

==

F AF F AF

,

则

5

5

e=.

故参考答案：B.

本题主要考查椭圆的定义,焦点三角形以及离心率的求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.

9.如图,△ABC中,AB⊥BC,∠ACB＝60°,D为AC中点,△ABD沿BD翻折过程中,直线AB与直线BC所成的最大角、最小角分别记为α1,β1,直线AD与直线BC所成最大角、最小角分别记为α2,β2,则有( )

A.α1＜α2,β1≤β2

B.α1＜α2,β1＞β2

C.α1≥α2,β1≤β2

D.α1≥α2,β1＞β2

【参考答案】D

【试题解析】

翻折到180°时,AB,BC所成角最小,β1＝30°,AD,BC所成角最小,β2＝0°,翻折0°时,AB,BC 所成角最大,可知α1＝90°,翻折过程中,可知AD的投影可与BC垂直,从而AD,BC所成最大角α2＝90°,推导出α1＝90°,β1＝30°,α2＝90°,β2＝0°.

翻折到180°时,AB,BC所成角最小,可知β1＝30°,

//

AD BC,AD,BC所成角最小,β2＝0°,

翻折0°时,AB,BC所成角最大,可知α1＝90°,

翻折过程中,可知AD的投影可与BC垂直,

所以AD,BC所成最大角α2＝90°,

所以α1＝90°,β1＝30°,α2＝90°,β2＝0°. 故α1≥α2,β1＞β2. 故参考答案：D.

本题主要考查翻折问题,直线与直线的位置关系,还考查了空间想象,逻辑推理的能力,属于中档题.

10.已知数列{a n }满足,a n +1＝a n +1,a 1＝a ,则一定存在a ,使数列中( ) A.存在n ∈N *,有a n +1a n +2＜0

B.存在n ∈N *,有(a n +1﹣1)(a n +2﹣1)＜0

C.存在n ∈N *

,有1255044n n a a ++????

-

- ???????＜ D.存在n ∈N *,有1233022n n a a ++????

-- ????

???

＜ 【参考答案】C 【试题解析】

由函数1y x =+y ＝x 有两个交点(0,0),(1,1),对a 分类判断A,B 错误；由a 1＞1时,a 2一定小于

32,则之后均小于3

2

,判断D 错误；举例说明C 正确.

因为a n +1＝a n +1,

所以()1,n n a a +在函数1y x =+,

因为1y x =+y ＝x 有两个交点(0,0),(1,1), 如图所示：

可知当a 1＜0时,数列递减,∴a n ＜0； 当0＜a 1＜1时,数列递增,并且a n 趋向1；

当a 1＞1时,数列递减,并且a n 趋向1,则可知A,B 错误；

又当x ＞1时,2

2131311112422y x x x x x x x ????=+-+=+-++--= ? ????

?＜, 则当a 1＞1时,a 2一定小于

32,则之后均小于3

2

,∴D 错误； 对于C,可取132a =

,得257a -=151044a -=>25755527044a -=---=<,

所以1255044a a ?

???

-

- ???????

＜,满足要求. 故参考答案：C.

本题主要考查数列递推式的应用,数列的函数特性,还考查了推理论证的能力,属于难题. 二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.

11.双曲线2

2

13

y x -=的焦距是__________；渐近线方程是__________.

【参考答案】 (1).4 (2).3y x = 【试题解析】

1,3a b ==所以2c =焦距为4,令2

2

03

y x -=,解得渐近线方程为3y x =.

12.已知角α的终边过点(﹣1,2),则tan α＝______,sin2α＝_______.

【参考答案】 (1).﹣2 (2).45

- 【试题解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义,二倍角的正弦公式,得出结论. 解：由定义知tan α＝﹣

2,sin cos αα==, 则4225

sin sin cos ααα==-, 故答案为：﹣2；45

-

. 本题考查了任意角的三角函数的定义,二倍角的正弦公式,需熟记公式,属于基础题.

13.5

展开式中常数项是_______,最大的系数是_____. 【参考答案】 (1).5

4 (2).52

【试题解析】

由题意利用二项定理展开式的通项公式求得展开式中常数项,从而代入检验得到系数最大的项.

根据二项定理展开式的通项公式可得1556

1512r

r r r T C x

-+??= ????

?,

令

15506

r

-=,求得=3r ,

可得常数项为

3

2

3

45

54

T C ==,

展开式中各项的系数为

112T =,112515=22

T C ?? ????=,223515=22T C ?? ????=,33455=412T C ?? ????=,454

5125=16T C ??= ????,5

6121=32

T ??

= ???；

因而系数最大的项是23=T T 的系数,最大为251

13152=2

T T C ??== ????,

故答案为：

54；52

. 本题考查了二项定理展开式通项的应用,最大项系数的求法,属于基础题. 14.已知△ABC 中,AB ＝3,BC ＝5,D 为线段AC 上一点,AB ⊥BD ,3

4

AD CD =,则AC ＝_____,△ABC 的面积是_____.

【参考答案】5892

【试题解析】

由题意设AD ＝3x ,CD ＝4x ,在△ABC 中,由余弦定理可求x 的值,可求AC 的值,进而可求sin A ,利用三角形的面积公式即可求解. 设AD ＝3x ,CD ＝4x ,31cos ,3A x x

=

= 在△ABC 中,由余弦定理可知2

125499237x x x

=+-???

, 可知58x =

可得：cos 8

758,5A A C x ==

=, 可得：58

sin A ∠=

, 可得：S △ABC 1

2=

bc sin A 1935822

58=?=. 5892

.

本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于基础题.

15.已知函数f (x )＝x 2+2x +a (a ＜0),若函数y ＝f (f (x ))有三个零点,则a ＝______. 【参考答案】

15

-- 【试题解析】

令22t x x a ++＝,由()0f t ＝

,可得11t a =-±-,再根据()()y f f x ＝有三个零点,结合

()f x 的图象得到111a a ---=﹣,解方程得到a 的值.

解：令()2

2211t x x a x a ++++＝＝﹣,由()0f t ＝可知,11t a =-±-,

∵()t f x ＝,()()y f

f x ＝有三个零点,

∴()11a f x -±-=有三解,

由图象()f x 的图象,可知()11a f x -+-=有两个解,()11a f x ---=有一个解,则

111a a ---=-,

∴15

2

a --=

.

故答案为：

15

--. 本题考查函数零点个数的应用,考查换元法在解一元二次方程中的应用,考查数学结合的能力,属于难题.

16.某学校高一学生2人,高二学生2人,高三学生1人,参加A 、B 、C 三个志愿点的活动.每个活动点至少1人,最多2人参与,要求同年级学生不去同一活动点,高三学生不去A 活动点,则不同的安排方法有_____种.(用数字作答) 【参考答案】40 【试题解析】

以高三学生是否单独去志援点分为两类,每一类中先安排高三学生,再安排高一、高二学生,由乘法原理算出两类安排方法,相加即可.

若高三学生单独去志愿点,则有1222228C A A =种,若高三学生与其它年级学生合去志愿点,按先

分组再分到志愿点的

思路,有1121

4222C A C C =32种,

则共有83240+=种安排方法. 故答案为：40.

本题考查分类计数原理的运用,以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法,再逐级安排,考查乘法原理,属于中档题.

17.如图,已知矩形ABCD 中,AD ＝1,AB 2=

,E 为边AB 的中点,P 为边DC 上的动点(不包括端

点),DP DC λ=(0＜λ＜1),设线段AP 与DE 的交点为G ,则AG AP ?的最小值是_____.

31 【试题解析】

由图可得△AGE 与△PGD 相似,可得

12AG AE GP DP λ==,表示出112AG AP λ

?=+(1+2λ2

),换元,构造函数,利用不等式即可得到答案

因△AGE 与△PGD 相似,所以

12AG AE GP DP λ==, 则()

2211121212AG AP AP λλλ

?=

=+++, 令()1213t t λ=+<<,

则2231

22

t t AG AP t -+?==(t 3t +)﹣1≥1,当且仅当t =,

即()1

012

λ-=

∈，取到.

1.

本题主要考查平面向量数量积的运算,考查数形结合思想,三角形相似的性质等,属于难题. 三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知函数()sin sin 3f x x x π?

?=++ ??

?.

(1)求函数f (x )的周期与2f π??

???

的值； (2)若0,

2x π??∈????

,求函数()2y f x =的取值范围.

【参考答案】(1)2π,32；(2)3,34??

????

【试题解析】

(1)先结合正弦的两角和公式与辅助角公式将函数化简为正弦型函数,于是可得周期,再把

x 2

π=

代入运算即可得解；

(2)先结合正弦函数的图象与性质算出函数()f x 的值域,进而得()2

y f x =的值域.

(1)()3226f x sinx x π?

?=

+=+ ??

?,

∴函数()f x 的周期为2π,

233232f sin ππ??

== ???

. (2)∵02x π??

∈????

，,∴2663x π

ππ??+

∈????

，, ∴33362sin x π???

?+∈?

? ????，, 于是()2

334y f

x ??

=∈?

???

，. 本题主要考查了三角函数式的化简,正弦型函数的最小正周期以及值域问题,将函数化为

()sin y A ωx φ=+形式是解题的关键,属于基础题.

19.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,△PAD 为等边三角形,AB ＝AD 1

2

=CD ＝2,∠BAD ＝∠ADC ＝90°,∠PDC ＝60°,E 为BC 的中点.

(1)证明：AD ⊥PE .

(2)求直线PA 与平面PDE 所成角的大小. 【参考答案】(1)证明见解析；(2)60° 【试题解析】

(1)取AD 的中点O ,连结PO ,EO ,通过PO ⊥AD ,EO ⊥AD ,推出AD ⊥面PEO ,即可证明AD ⊥PE ； (2)以O 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,连HQ ,求出平面PDE 的法向量,然后利用空间向量的数量积求解直线PA 与平面PDE 所成角. (1)证明：取AD 的中点O ,连结PO ,EO ,

由PO ⊥AD ,EO ⊥AD ,PO ∩EO ＝O 可知：AD ⊥面PEO ,且PE ?面PEO , 则AD ⊥PE .

(2)以O 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,

作PQ ⊥CD ,PH ⊥OE ,连HQ ,因PH ⊥平面ABCD ,知HQ ⊥CD , 由∠PDC ＝60°知DQ ＝1,OH ＝DQ ＝1,由3PO =在Rt △PHO 中,可知2PH =

,则(102P ，, A (0,﹣1,0),D (0,1,0),E (3,0,0),

则()()(11

2310112PD DE PA =--=-=--，，，，，，，, 设平面PDE 的一个法向量为()n x y z ，，=,

则30

0020x y n DE n PD x y z -=???=?????=-+=???

,令1x =,得(132n =，， 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ,则3

,2

，θ??=??==

PA n sin cos PA

n PA n

, 则直线PA 与平面PDE 所成角为60°.

本题主要考查了线线垂直的证明,空间向量的应用之求线面角,属于中档题. 20.已知数列{a n }满足,a n +2＝3a n +1﹣2a n ,a 1＝1,a 2＝3,记b n 131

n n ++=,S n 为数列{b n }的前n 项和.

(1)求证：{a n +1﹣a n }为等比数列,并求a n ； (2)求证：S n 737

n +≤

. 【参考答案】(1)证明见解析；a n ＝2n ﹣1,n ∈N *；(2)证明见解析 【试题解析】

(1)将题干中递推公式进行转化可得()2112n n n n a a a a +++--＝,从而可证得数列{a n +1﹣a n }是以

2为首项,2为公比的等比数列,则有11222n n

n n a a -+-=?=,n ∈N *.然后根据此递推公式的特

点运用累加法可计算出数列{a n }的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式,然后运用数学归纳法证明不等式成立,注意在具体证明过程中运用分析法证明根式不等式成立,综合即可证得不等式成立. 证明：(1)依题意,由a n +2＝3a n +1﹣2a n ,可得：

()21111322n n n n n n n a a a a a a a +++++-=--=-,

∵a 2﹣a 1＝3﹣1＝2,

∴数列{a n +1﹣a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,

∴11222n n

n n a a -+-=?=,n ∈N *.

故a 1＝1,

a 2﹣a 1＝21, a 3﹣a 2＝22,

…

a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1,

各项相加,可得

a n ＝1+21+22+…+2

n ﹣1

1212

n -==-2n ﹣1,n ∈N *. (2)由(1)知,b

n 1n +=

=下面用数学归纳法证明不等式成立, ①当n ＝1时,S 1＝b

111

24

+=

=,

∵右边24=

-

,

要证明：

4≤-

≤

, 两边平方,

可得22≤,

化简整理,得7,

∵)2

＝40＜72

＝49,

∴

4≤-

, 即当n ＝1时,不等式成立.

②假设当n ＝k 时,不等式成立,即S k ≤

,

则当n ＝k +1时,1k k S S +=+

≤,

要证明：S k +12

22k +≤

-

,

+≤,

+≤

,

化简,

两边平方,可得2

≤()2

,

化简整理,3k +7, 两边平方,可得(3k +4)(3k +10)≤(3k +7)2, 化简整理,得9k 2+42k +40≤9k 2+42k +49, ∵40＜49,

∴9k 2+42k +40≤9k 2+42k +49成立,

+≤成立,

即：S k +1≤

成立, ∴当n ＝k +1时,不等式也成立. 综上所述,可得

737n n S +≤

-对n ∈N *

成立,故得证. 本题考查递推法证明等比数列,考查数学归纳法、分析法在证明数列不等式中的应用,属于中档题.

21.已知抛物线()2

:0C y ax

a =>上的点(),1P

b 到焦点的距离为

5

4

.

(1)求a 的值；

(2)如上图,已知动线段AB (B 在A 的右边)在直线:2l y x =-上,且2AB =

现过A 作

C 的切线,取左边的切点M ,过B 作C 的切线,取右边的切点为N ,当//MN AB ,求A 点的横

坐标t 的值.

【参考答案】(1)1；(2)0. 【试题解析】

(1)求出抛物线的准线方程,利用抛物线的定义把点(),1P b 到焦点的距离转化为到准线的距离,由此可求a 的值；

(2)设出M 和N 的坐标,利用导数求出过M 和N 的切线方程,由t 表示出A 、B 的坐标,把

A 、

B 代入切线方程后求出M 和N 的坐标,由两点式写出MN 所在直线的斜率,由斜率等于1,即可求出t 的值.

(1)抛物线2

:C y ax =即2

1x y a

=

,准线方程为：14y a =-,

点(),1P b 到焦点的距离为5

4,15144

a ∴+

=,1a ,

因此,抛物线C 的方程为2y

x ；

(2)设(

)

2

11,M x x 、(

)

2

22,N x x ,

2y x =,2y x '∴=,所以,直线AM 的斜率为12AM k x =, ∴切线AM 的方程为()21112y x x x x -=-,即2112y x x x =-,

同理可得切线BN

的

方程为：2

222y x x x =-,

由于动线段AB (B 在A 的右边)在直线:2l y x =-上,且AB =

故可设(),2A t t -、()1,1B t t +-,

将点(),2A t t -代入切线AM 的方程,得2

1122t x t x -=-,即2

11220x tx t -+-=,

1x t ∴=

=,

同理可得211x t t =+=+22211221

MN

x x k x x x x -==+-,当//MN AB 时,1MN k =,得121x x =+, 11t t ∴+=,2t ∴=2t ∴=

,

得0t =1=-(舍去),0t ∴=.

本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了直线与抛物线的位置关系,涉及抛物线切线方程的求解,考查计算能力,属于难题.

22.已知函数()f x x =-函数()ax

g x ke =,a R ∈,k ∈R .

(1)求函数()f x 的单调区间；