数学分析 第十九章 课件 含参变量的积分
数学分析
数学分析有理数无理数集合函数绝对值不等式三角形区域邻域确界原理确界上确界下确界开区间闭区间有界集自变量因变量符号函数定义域值域复合函数反函数初等函数常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数单调函数奇函数偶函数周期函数数列极限收敛数列发散数列唯一性有界性保号性保不等式性Mathematical analysisRational numberirrationalA collection offunctionThe absolute valueinequalitytriangleareaneighborhoodWorld indeed principleWorld indeedsupremuminfimumOpen intervalClosed intervalBounded setThe independent variablesThe dependent variableSymbolic functiondomaindomainComposite functionInverse functionElementary functionConstant functionPower functionExponential functionLogarithmic functionTrigonometric functionsInverse trigonometric functionBounded functionMonotonic functionOdd functionEven functionsPeriodic functionSequence limitConvergent sequenceDivergent seriesuniquenessboundednessProtecting,Protecting the inequality保不等式性迫敛性四则运算法则子列单调数列单调有界定理自然对数致密性定理柯西收敛准则函数极限单侧极限局部有界性海涅定理无穷小量有界量高阶无穷小量等价无穷小量无穷大量渐近线连续性可去间断点跳跃间断点分段函数介值性定理一致连续性导数和微分单侧导数导函数极大值极小值费马定理稳定点链式法则光滑曲线高阶导数莱布尼茨公式微分可微函数高阶微分微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理Protecting the inequalityForced convergence propertyFour algorithmsThe child columnsMonotone sequenceMonotony is definedNatural logarithmCompactness theoremCauchy convergence criteriaFunction limitUnilateral limitLocal boundednessHeine theoremdimensionlessA bounded amountHigh order dimensionlessEquivalent infinite smallinfinityasymptotecontinuityTo go discontinuitiesJump discontinuity pointPiecewise functionIntermediate value theoremUniform continuityDerivative and differentialUnilateral derivativeDerived functionThe maximumminimumFermat's theoremThe stable pointThe chain ruleSmooth curveHigher derivativeLeibniz formuladifferentialDifferential functionHigh order differentialDifferential mean value theoremRoller's theoremLagrange mean value theorem导数极限定理达布定理柯西中值定理不定式极限泰勒公式佩亚诺型余项泰勒多项式麦克劳林公式极值凸性拐点凸函数凹函数詹森不等式实数的完备性区间套定理魏尔斯特拉斯聚点定理有限覆盖定理开覆盖无限开覆盖有限开覆盖上极限下极限最大聚点最小聚点不定积分原函数换元积分法分部积分法有理函数待定系数法三角函数有理式欧拉变换定积分分割模积分和黎曼和黎曼可积牛顿—莱布尼茨公式The derivative limit theoremDarboux theoremCauchy mid-value theorem are obtained Infinitive limitTaylor formulaMore than jarno typeTaylor polynomialMcLaughlin formulaThe extremeconvexityInflection pointConvex functionConcave functionJensen's inequalityCompleteness of real NumbersNested interval theoremChris whales, lars accumulation point theorem Limited covering theoremOpen coverThe infinite open coverLimited open coverOn the limitUnder the limitThe biggest accumulation pointThe week-long pointIndefinite integralThe functionIntegral method in yuanDivision of integral methodRational functionMethod of undetermined coefficients Trigonometric function rational expression Euler transformationDefinite integralsegmentationdieIntegral andRiemann andRiemann integralNewton-Leibniz formula可积条件充要条件可积函数类振幅狄利克雷函数黎曼函数积分第一中值定理积分第二中值定理积分型余项上积分下积分施瓦茨不等式闵可夫斯基不等式弧长曲率微元法反常积分无界函数瑕积分绝对收敛柯西判别法狄利克雷判别法阿贝尔判别法阿基米德性数项级数敛散性级数收敛比式判别法根式判别法积分判别法交错级数绝对收敛级数条件收敛级数函数列一致收敛性内闭一致收敛函数项级数收敛域魏尔斯特拉斯判别法Integrable conditionNecessary and sufficient condition Integrable function classThe amplitudeDirichlet functionRiemann functionThe first mean value theorem for integrals Second mean value theorem for integrals More than integral typeThe integralThe integralSchwartz inequalityMinkowski inequalityArc lengthThe curvatureThe micro element methodImproper integralUnbounded functionDefect integralAbsolute convergenceCauchy criterionDirichlet criterionAbel criterionArchimedeanitySeveral seriesDivergence sexThe series convergenceThan type criterionRadical criterionIntegral criterionAlternating seriesAbsolutely convergent series Conditions of convergent series Function columnUniform convergenceWithin the closed uniform convergence Series expressed by function terms Convergence domainChris whales, criterion收敛区间收敛半径傅里叶级数周期三角级数收敛定理按段光滑贝塞尔不等式多元函数余集边界开集闭集连通性闭域点集直径区域有界点集累次极限重极限有界闭域微分学偏导数连续可微法线内函数外函数全微分方向导数梯度凸区域中值公式中值定理黑赛矩阵隐函数显函数隐函数定理隐含数组一一映射逆映射切平面法线Convergence rangeRadius of convergenceFourier seriescycleTrigonometric seriesConvergence theoremAccording to the period of smoothBessel inequalityMultivariate functionI setThe borderOpen setClosed setconnectivityClose your domainPoint setThe diameter ofareaA bounded set of pointsThe iterated limitWeight limitBounded closed regionDifferential calculusPartial derivativeContinuously differentialnormalWithin the functionOutside the functionTotal differentialDirectional derivativeThe gradientConvex regionThe median formulaMean value theoremThe black race matrixImplicit functionExplicit functionThe implicit function theoremImplicit arrayOne-to-one mappingThe inverse mappingThe tangent planenormal含参量积分欧拉积分伽玛函数贝塔函数曲线积分重积分可求面积二重积分三重积分格林公式单连通区域复连通区域极坐标变换被积函数积分变量柱坐标变换球坐标变换反常二重积分无界区域曲面积分高斯公式斯托克斯公式向量场梯度场散度场旋度场向量函数微分学Integral containing parametersEuler integralThe gamma functionBeta functionCurvilinear integralDouble integralAsk for the areaDouble integralTriple integralGreen's theoremSimply connected regionAfter connected areaPolar coordinate transformationintegrandThe integral variableColumn coordinate transformationThe ball coordinate transformationAbnormal double integralUnbounded regionSurface integralGauss formulaStokes formula of vector fieldGradient fieldThe divergence fieldThe curl fieldVector function differential calculus专业名词集锦矩阵{数} matrix; array矩阵变换法matrix transform method;矩阵表示matrix notation; matrix representation;矩阵表示法matrix representation;矩阵代数matrix algebra; algebra of matrices;矩阵定理matrix theorem;矩阵法matrix method; matrix technique;矩阵范数matrix norm;矩阵方程matrix equation;矩阵方法matrix method;矩阵分块partitioning of matrix;矩阵分数matrix fraction;矩阵分析matrix analysis;矩阵符号matrix notation;矩阵函数matrix function; function of a matrix;矩阵环matrix ring;矩阵迹traces of matrix;矩阵计算matrix computation; matrix calculation; matrix calculus; 矩阵记号matrix notation;矩阵阶order of a matrix;矩阵解法matrix solution;矩阵列rectangular array;矩阵论matrix theory;矩阵群matrix group;矩阵特征根characteristic root of a matrix;矩阵特征值matrix eigenvalue;矩阵微分方程matrix differential equation;矩阵元素{数} matrix element;矩阵运算matrix operation;矩阵组set of matrices正则{数} {物} canonical; regular正则边界regular boundary;正则变换regular transformation;正则表示regular representation;正则参数regular parameter;正则点regular point;正则方程式regular equation;正则分布canonical distribution;正则函数regular function;正则化regularization;正则矩阵regular matrix;正则空间regular space;正则扩张regular extension;正则理想regular ideal;正则列regular column;正则奇点regular singular point; regular singularity;正则群regular group;正则-P群regular P-group;正则算子regular operator;正则微分方程regular differential equation;正则系统canonical system;正则形式canonical form;正则性regularity;正则映射regular mapping;正则值regular value;正则坐标canonical coordinates微分{数} differential:全微分total differential;偏微分partial differential;二项式微分binomial differential; differentiation微分包含differential inclusion;微分表示differential representation;微分参数differential parameter;微分-差分方程differential-difference equation;微分代数differential algebra;微分动力系统differentiable dynamical system;微分动态规划differential dynamic programming;微分多项式differential polynomial;微分方程（式）{数} differential equation;微分方程解法solution of differential equation;微分方程组simultaneous 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functions of bounded variation;有界变数 bounded variable;有界表示 bounded representation;有界泛函 bounded functional;有界函数 bounded function;有界集 bounded aggregate; bounded set; limited set;有界量 bounded quantity;有界区域 bounded domain;有界数集 bounded set of numbers;有界算子 bounded operator;有界投影 bounded projection;有界性 boundedness;有界序列 bounded sequence线性{数}linear;linearity线性表示：linear expression线性常微分方程：linear ordinary differential equation；线性代数：linear algebra；线性代数方程：linear algebraic equation；线性代数方程组：simultaneous linear algebraic equations；线性度量空间：linear metric spaces；线性泛函：linear functional；线性赋范空间：linear normed spaces；线性空间：linear space；线性偏微分方程：linear partial differential equation；线性算子：linear operator；线性微分方程：linear differential equation；线性无关组：linearly independent quantities；线性相关：linear correlation；线性子空间：linear subspaces；解solution通解：general solution特解：particular solution；particular integral；初值：初值定理：initial-value theorem；初值方法：initial-value method；初值问题：initial-value problem；初值参数：initial parameter；纯量纯量函数：scalar function；纯量积：scalar product；纯量矩阵：scalar matrix算子：operator空间：space（子空间：subspace）范数：norm矩阵：matrix度量：metric。
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
一类含参变量的广义积分的计算
收稿 日期 ：０ ８ ０ — ２ ２０— １ ０
作者简介 ： 学明（９ １ ）男， 钱 １８一 ， 汉族 ， 江苏无锡人 ， 士， 硕 助教 ， 主要从 事高等数学、 分变换教 学研 究。 积
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，
成立。
（） １
若记 ， ） ，ｆ （ ＝ （ｅ ）
则有，） ｒ （ ｄ。 （ ＝ 甜 ｏ ， ＝ ，） ）
（） ２
从上面两式可 以看 出， １式和 （） （） ２ 式定义 了一个变换对 ， 即对于任一 已知函数 ｆ ）通过指定的积分运 （， ｔ 算 ， 以得到一个与之对应的函数 Ｆ ∞）而 Ｆ ∞） 可 （ ， （ 通过类似的积分运算 ， 可以回复到ｆ ） （ 。它们具有非常优 ｔ 美 的对称形式。由于它们是从 Ｆｕ ｅ级数得来的 ， ｏｒ ｒ ｉ 因此我们给出如下定义 ：
这样 ， ｔ和 Ｆ ∞） ｆ ） （ 通过指定的积分运算可 以相互表达 ， （ 构成一个 Ｆｕ ｅ变换对。 ｏｒ ｒ ｉ ３Ｆ ｕ ｅ变换 的两 条性 质 ． ｏｒ ｒ ｉ 在下面的计算 中我们将用到 Ｆｕ ｅ变换的两条重要性质——线形性质和位移性质 。 ｏｒ ｒ ｉ
线 性 若厂 ，＝ 国（－， ， ，． ∑口 ｆ＝ ， ｃ， （ 性 质 （ （ ｋ １… 则厂［ （ ∑ａ Ａ ） ３ ） 】 ） ２ ） ， ） 】 Ｆ ｏ ）
积 。 对 某 含 变 的 义 分 言如 分 但 于 些 参 量 广 积 而 ，
Ｆ ｕｉｒ ｏ ｒ 变换的概念 ｅ
（ ） ｔ在任意有限区间［ ，］ １ｆ ） （ ａｂ 上满足狄利克雷条件，
ｄ和Ｊｉｃｉｔ 等 该 法 显 无 为 ＝ｎ ｃ ，方 就 得 能 力 － ｏ ｓ ｓｄ — ￣ｎ ｘ
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第25章含参变量的积分1．解答下列问题：（1）求极限（2）求极限（3）设，令试证明（4）设上连续，则对任意的，方程有连续解且惟一．（5）设f（x，y）是R2上单变量连续的函数，试证明存在R2上连续函数列，使得解：（1）作函数f如下：易知f（x，y）在[0，1]×[0，1]上连续，从而可得（2）令，则有因为F是a的连续函数，所以得到（3）设，令，则对任给，存在，使得当时有从而可得：当时有（4）依题设知，可设，并令，以及作易知．此外有依据归纳法，不难导出从而可知在[a，b]上当时是一致收敛列，若记其极限为，则，且有为证φ的惟一性，假设是方程的另一连续解，则令，易知，以及不妨设，则有由此得到（令证毕．（5）（i）不妨假定否则可用代替．此时，若有，则因，故当n充分大时．从而得到（ii）作函数，且设定注意到，用有界收敛定理可知；又有易知在R2上连续，则有由此即可得证．2．解答下列问题：（1）试求（2）试求解：（1）注意到与均在[0，π／2]上连续，故可得令，则．因此又知若k>0，则；若k<0，则而由题设知，从而可得．最后有（2）（i）令，易知，从而令，则在上连续．（ii）由，以及，令可知在上连续．从而有由此又得因为，所以，即3．设，求解：令，则．从而可得由此即知4．解答下列问题：（1）设，求F''（x），其中（2）设f（u，v）具有连续偏导数，求，其中（3）设f（u，v）具有连续偏导数，试证明，其中解：（1）改写原式为，则（满足求导条件）（2）易知满足积分号下求导条件，有，故可得。
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子.关键词: 区域;收敛;一致收敛前言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.1.定义定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(),c f x y dy +∞⎰ (1)都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(),c I x f x y dy +∞=⎰，[],x a b ∈, (2)称式(1)为定义在[],a b 上的含参量x 的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.2.含参量反常积分一致收敛性的判别法定义2 若含参量反常积分(1)与函数()I x 对任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得当M N >时,对一切[],x a b ∈,都有()(),M c f x y dy I x ε-<⎰,即 (),M f x y dy ε+∞<⎰,则称含参量反常积分(1)在[],a b 上一致收敛于()I x .或简单的说含参量积分(1)在[],a b 上一致收敛.定义3 设函数()y x f ,在区域[][),,R a b c d =⨯上有定义，若对x 的某些值, y d =为函数()y x f ,的瑕点，则称(),dc f x y dy ⎰ (3) 为含参量x 的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。
若对每一个x ∈[],a b ，积分(3)都收敛，其积分值x 在[],a b 上一致收敛的定义是定义4 对任给正数ε,总存在某正数d c δ<-,使得当0ηδ<<时,对一切[],x a b ∈,都有(),dd f x y dy ηε-<⎰,则称含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛.定理1（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[],a b 一致收敛的充要条件是：对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当12,A A M >时,对一切[],x a b ∈,都有()21,A A f x y dy ε<⎰.例1 证明含参量反常积分 0sin xy dy y+∞⎰ (4) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>),但在(0,)+∞内不一致收敛.证 做变量代换u xy =,得sin sin A Ax xy u dy du y u +∞+∞=⎰⎰, (5) 其中0A >.由于0sin u du u+∞⎰收敛,故对任给正数ε,总存在正数M ,使当A M >时,就有'sin A u du uε+∞<⎰. 取A M δ>,则当M A δ>时,对一切0x δ≥>,由(5)式有sin A xy dy yε+∞<⎰, 所以(4)在0x δ≥>上一致收敛. 现在证明(4)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存在某一正数0ε,使对任何实数()M c >,总相应地存在某个A M >及某个[],x a b ∈,使得0sin A xy dy y ε+∞≥⎰. 由于非正常积分0sin u du u+∞⎰收敛,故对任何正数0ε与M ,总存在某个(0)x >,使得 00sin sin Mx u u du du u u ε+∞+∞-<⎰⎰. 即0000sin sin sin Mx u u u du du du u u u εε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (6) 现令001sin 2u du uε+∞=⎰,由(5)及不等式(6)的左端就有 000sin sin 2M Mx xy u dy du y uεεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(4)在(0,)+∞内不一致收敛.定理2 含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =）,函数项级数在[],a b 上一致收敛.例2 证明：若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,又在[,)a b 上收敛,但在x b =处发散,则在[,)a b 上不一致收敛.证 用反证法,假如积分在[,)a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当',A A M >时对一切[,)x a b ∈恒有'(,)A A f x y dy ε<⎰. 由假设(,)f x y 在'[,][,]a b A A ⨯上连续,所以'(,)A Af x y dy ⎰是x 的连续含数.在上面不等式中令x b →,得到当'A A M >>时,'(,)A A f b y dy ε≤⎰. 而ε是任给的,因此(,)c f x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾,所以积分(,)c f x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法 设有函数()g y ,使得(),()f x y g y ≤,,a x b c y ≤≤≤<+∞.若()c g y dy +∞⎰收敛,则(,)c f x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos 1xy dx x +∞+⎰ (7) 在(,)-∞+∞上一致收敛.证 由于对任何实数y 都有及反常积分收敛,故由魏尔斯特拉斯M 判别法,含参量反常积分(7)在(,)-∞+∞上一致收敛.狄利克雷判别法 设(i) 对一切实数N c >,含参量正常积分对参量x 在[],a b 上一致有界,即存在正数M ,对一切N c >及一切[],x a b ∈,都有(,)N c f x y dy M ≤⎰; (ii) 对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 是单调递减且当y →+∞时,对参量,(,)x g x y 一致地收敛于0,则含参量反常积分在[],a b 上一致收敛.阿贝尔判别法 设(i)(,)c f x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛;(ii) 对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 是单调的单调函数,对参量,(,)x g x y 在[],a b 上一致有界.则含参量反常积分在[],a b 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分0sin xy x e dx x+∞-⎰ (8) 在[]0,d 上一致收敛.证 由于反常积分收敛(当然对于参量y ,它在[]0,d 上一致收敛),函数(,)xy g x y e -=对每一个[]0,y d ∈关于x 单调,且对任何0y d ≤≤,0x ≥,都有 (,)1xy g x y e -=≤.故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(8)在[]0,d 上一致收敛.例5 证明0xy xe dy +∞-⎰(i)在[,]a b (0)a >上一致收敛;(ii)在[0,]b 上不一致收敛.证 (i) (,),[0)x a b y ∀∈∈+∞,有0xy ay xe be --≤≤,而0ay be dy +∞-⎰收敛(0)a >.故xy xe dy+∞-⎰在[,]a b(0)a>上一致收敛.(ii) 因在0x=处不连续,而xyxe-在0,0x b y≤≤≤<+∞内连续,由连续性定理知,xy xe dy+∞-⎰在0x b≤≤上不一致收敛.结束语本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编,数学分析(下册)．北京:高等教育出版社,2001．[2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉：崇文书局,2003．[3] 武汉大学数学系编,数学分析[M], 武汉大学数学系,1999．[4] 吉林师范大学数分教研室编,数学分析讲义[M],吉林师大数学系，2003．。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
第十八章含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分一 一致收敛的定义定义1 设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，称()(,)aI y f x y dx +∞=⎰含参变量的无穷积分。
定义2设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，若()000 , A A a εε∀>∃=>, 当0',A A A >时,对一切[],y c d ∈，成立'(,)A Af x y dx ε<⎰或(,)Af x y d x ε+∞<⎰。
就称含参无穷积分(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
定义3设(,)baf x y dx ⎰对于[],c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在。
若()000 , 0εδδε∀>∃=>,当00,'ηηδ<<时，对一切[],y c d ∈，成立'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰，就称含参无穷积分(,)baf x y dx ⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分(,)af x y dx +∞⎰收敛。
定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()F x ，使得()(),,,f x y F x a x c y d ≤≤<+∞≤≤如果积分()aF x dx +∞⎰收敛，那么(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
例：证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx x xy在+∞<<∞-y 内一致收敛。
三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理定理 2 设函数),(y x f 在[ ,; , ]a c d +∞上连续，(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，那么()(,)aI y f x y dx +∞=⎰是[],c d 上的连续函数。
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析课程
偏微分方程是描述多个相关变量之间相互依赖的变化规律的数学模型，如热传导方程、 波动方程等。
解法与性质
偏微分方程的解法包括分离变量法、傅里叶变换法等。解的性质包括边界条件、初值条 件和整体解与局部解的关系。
差分方程与离散动力系统
定义与分类
差分方程是描述离散时间系统中状态变 化的数学模型，如离散的马尔可夫链、 离散的Lorenz系统等。
07
微分方程与差分方程
常微分方程
定义与分类
常微分方程是描述一个或多个变量的函数随时间变化的数学模型。根据变量的个数和方程的形式，可 以分为线性与非线性、一阶与高阶等类型。
解法与性质
通过分离变量法、变量代换法、积分因子法等技巧，求解常微分方程。解的性质包括唯一性、存在性 和延展性。
偏微分方程初步
VS
解法与性质
差分方程的解法包括递推法、迭代法等。 解的性质包括周期性、稳定性、吸引子等 。离散动力系统的研究有助于理解连续动 力系统的行为和性质。
THANKS
幂级数的性质
幂级数具有形式简单、可 微可积等性质，在数学分 析中有着广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在近似计算、函数 逼近等领域有重要应用。
傅里叶级数
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是无穷级数的一种， 通过三角函数系来表示一个周期
函数。
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有正交性、完备性 等性质，是分析周期函数的重要
傅里叶级数、泰勒级数等。
无穷积分
01
02
03
04
定义
无穷积分是指对无穷区间上的 函数进行积分，得到一个有限
的数值。
条件
无穷积分需要满足一定的条件 ，如可积性、绝对可积性等， 以确保积分的值是有限的。
《数学分析》教学大纲(288学时,16学分)
《数学分析》教学大纲(288学时,16学分)一、课程目标1、课程性质数学分析是数学系的一门重要基础课，它是一系列后继课程如微分方程，微分几何，复变函数，实变函数，泛函分析，概率论以及相关课程如普通物理，理论力学等不可缺少的基础。
学习这门课程的基本内容与方法对于培养学生的分析思维能力与实际工作能力有着重要的作用。
本课程的基本内容包括：实数与极限理论，一元及多元函数的微分学与积分学，级数理论。
2、教学方法:课堂讲授和练习结合为主3、课程学习目标和基本要求通过教学与练习，要求学生掌握微积分的基本概念，基本理论,基本思想方法和基本运算，并获得运用这些知识的能力。
4、课程学时：本课程的安排三学期授课，分为数学分析(上)、(中)、(下)，总学时为90+108+90，学分为5+6+55、课程类型：专业基础课二．教学内容1、集合与映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合运算的交换律、结合律、分配律，笛卡儿乘积，映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合以及反函数，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性与凸性。
2、极限与连续：数列极限的定义，数列极限的唯一性，收敛数列的有界性，极限的四则运算，极限的不等式，单调有界原理，数e，无穷小量与无穷大量，函数极限的定义，与数列极限性质相平行的函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，单侧极限与无穷远处的极限，复合函数的极限，两个重要的极限，无穷小量与无穷大量的阶，函数的连续与间断，单侧连续，函数连续的局部性质，连续函数的四则运算，反函数与复合函数的连续性。
间断点的分类，初等函数的连续性，函数连续的整体性质。
一致连续的概念和cantuo定理.3、导数与微分：导数及其几何意义，导数的四则运算，反函数与复合函数的求导，参数方程所表示的函数与隐函数的求导，基本初等函数的导数，可导与连续的关系，单侧导数，高阶导数，Leibniz公式。