2017年山东省枣庄市高考数学二模试卷(理科)
2017年高三数学二模(理科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。
【真卷】2017年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）
2017年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则z 1+z 2等于（等于（ ） A ．4i B ．﹣4i C ．2D ．﹣22．（5分）已知命题p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则下列命题一定是真命题的是（的是（ ） A ．pB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．qD ．（￢p ）∨（￢q ）3．（5分）若集合M={x |x 2﹣x ＜0}，N={y |y=a x （a ＞0，a ≠1）}，R 表示实数集，则下列选项错误的是（则下列选项错误的是（ ） A ．M ∩N=MB ．M ∪N=RC ．M ∩∁R N=φD ．∁R M ∪N=R4．（5分）函数f （x ）=cosx ，（﹣＜x ＜）的图象大致是（）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知二次函数f （x ）=ax 2﹣2x +c 的值域为的值域为[[0，+∞），则的最小值为（为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）《算学启蒙》值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、括面积、体积、体积、体积、比例、比例、比例、开方、高次方程等问题，开方、高次方程等问题，《算学启蒙》《算学启蒙》中有关于中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a ，b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．（5分）已知圆，圆分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则轴上的动点，则||PM |+|PN |的最小值为（的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．10D ．138．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为9π，则它的表面积是（，则它的表面积是（ ）A ．27πB ．36πC ．45πD ．54π9．（5分）某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料，生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如右表所示：已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元，生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元，现有A 种原料20吨，B 种原料36吨，C 种原料32吨，在此基础上安排生产，则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为（和的最大值为（ ）A B C 甲 2 4 2 乙448A ．17万元万元B ．18万元万元C ．19万元万元D ．20万元 10．（5分）已知函数f （x ）=，若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1＜x 2＜x 3），则的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣∞，0）D ．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11．（5分）已知△ABC ，AB=，则△ABC 外接圆的直径为 ．12．（5分）某公司未来对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元） 4 5 6 7 8 9 销量y （件） 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为，当产品销量为76件时，产品定价大致为大致为元． 13．（5分）已知△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB 和AC 的中点，若，则x +y= ．14．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个（用数字作答）15．（5分）抛物线x 2=2my （m ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线有两个交点A ，B ，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，且，函数y=f（x）的图象过点．（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x ）的图象，已知，求的值．17．（12分）在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=BC=1，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF，M，N分别是EF、BC的中点．（1）求证：BD⊥平面MAN；（2）已知直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣BE﹣C 的余弦值．18．（12分）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收入（单位：百元）[10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）频数 25 100 150 155 50 20赞成人数10 70 120 150 35 15 （1）从月收入在）从月收入在[[60，70）的20人中随机抽取3人，求3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率；（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）数列分）数列{{a n}的前项和记为S n，a1=t，点（a n+1，S n）在直线上n ∈N+．是等比数列？并求数列{{a n}的通项公式；为何值时，数列{{a n}是等比数列？并求数列（1）当实数t为何值时，数列（2）若f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），在（1）的结论下，令，求{{c n}的前n项和T n．，求20．（13分）已知椭圆，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为，O为坐标原点，OBF三角形的周长为．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标． 21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2e x，且f（x）在x=x0处取得极小值，函数g（x）=1+kx﹣lnx．（1）若曲线y=g（x）在点（e，g（e））处切线恰好经过点P（x0，f（x0）），求实数k的值；（2）讨论函数g（x）的极值；（3）已知函数F（x）=min{f（x），g（x）|（min{p，q}表示p，q中最小值），若在（0，+∞）上函数F（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．2017年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则z 1+z 2等于（等于（ ） A ．4i B ．﹣4i C ．2 D ．﹣2 【解答】解：===﹣1+2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴z 2=﹣1﹣2i 则z 1+z 2=﹣2． 故选：D ．2．（5分）已知命题p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则下列命题一定是真命题的是（的是（ ） A ．pB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．qD ．（￢p ）∨（￢q ）【解答】解：∵命题p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， ∴p ，q 一真一假，当p 真，q 假时，命题（￢p ）∧（￢q ），B 为假命题，命题（￢p ）∨（￢q ）为真命题；当p 假，q 真时，命题（￢p ）∧（￢q ），B 为假命题，命题（￢p ）∨（￢q ）为真命题；故命题（￢p ）∨（￢q ）一定为真命题； 故选：D3．（5分）若集合M={x |x 2﹣x ＜0}，N={y |y=a x （a ＞0，a ≠1）}，R 表示实数集，则下列选项错误的是（则下列选项错误的是（ ） A ．M ∩N=MB ．M ∪N=RC ．M ∩∁R N=φD ．∁R M ∪N=R【解答】解：∵集合M={x |x 2﹣x ＜0}=（0，1），N={y |y=a x （a ＞0，a ≠1）}=（0，∴M ∩N=M ，M ∪N=（0，+∞），∁R N=（﹣∞，0]，∁R M=（﹣∞，0]∪[1，+∞）， ∴M ∩∁R N=∅，∁R M ∪N=R 故选：B ．4．（5分）函数f （x ）=cosx ，（﹣＜x ＜）的图象大致是（）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：﹣＜x ＜时，y=cosx 是偶函数，并且y=cosx ∈（0，1]，函数f （x ）=cosx ，（﹣＜x ＜）是偶函数，cosx ∈（0，1]时，f （x ）≥0．∴四个选项，只有C 满足题意． 故选：C ．5．（5分）已知二次函数f （x ）=ax 2﹣2x +c 的值域为的值域为[[0，+∞），则的最小值为（为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：f （x ）=ax 2﹣2x +c 的值域为的值域为[[0，+∞）， ∴a ＞0，△=4﹣4ac=0，∴=+a ≥6（当a=3时成立），故选B ．6．（5分）《算学启蒙》值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、体积、比例、开方、括面积、体积、比例、开方、高次方程等问题，高次方程等问题，《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a ，b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=8，b=2，n=1 a=12，b=4不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=2，a=18，b=8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=3，a=27，b=16 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=4，a=40.5，b=32 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=5，a=60.75，b=64 满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为5． 故选：B ．7．（5分）已知圆，圆分）的最小值为（别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则轴上的动点，则||PM|+|PN|的最小值为（A．7 B．8 C．10 D．13【解答】解：圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（﹣6，﹣5），半径为2，圆C2的圆心坐标（2，1），半径为1，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：﹣3=7．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几），则它的表面积是（何体的体积为9π，则它的表面积是（A．27π B．36π C．45π D．54π【解答】解：几何体为圆柱中挖去一个半球，圆柱底面半径和高均为r，半球的半径为r，∴几何体的体积V=π×r2•r﹣==9=9ππ，∴r=3．=π×2r×r=2πr2=18π，S底=π×r2=9π，S半球==2πr2=18π，∴S侧=18π+9π+18π=45π．∴几何体的表面积为S表面积故选：C．9．（5分）某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料，生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如右表所示：已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元，生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元，现有A种原料20吨，B种原料36吨，C 种原料32吨，在此基础上安排生产，则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为（和的最大值为（ ）AB C 甲 242 乙 4 4 8A ．17万元万元B ．18万元万元C ．19万元万元D ．20万元 【解答】解：设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x ，y 吨，则x ，y 满足的条件关系式为：，再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z ，则z=2x +3y ． 由约束条件作出可行域如图：联立，解得A （8，1），作出直线2x +3y=0，平移至B 时，目标函数z=2x +3y 有最大值为19．∴当生产甲种肥料8吨，乙种肥料1吨时，利润最大，最大利润为19万元． 故选：C ．10．（5分）已知函数f （x ）=，若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1＜x 2＜x 3），则的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣∞，0）D ．（1，+∞） 【解答】解：函数f （x ）=，∴函数fʹ（x）=，故当x＜0时，函数为增函数，且f（x）＜，当0≤x＜1时，函数为增函数，且0≤f（x）＜，当x≥1时，函数为减函数，且0＜f（x）≤，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则f（x1）=f（x2）=f（x3）∈（0，），即﹣＜x1＜﹣，故==1+∈（﹣1，0），故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11．（5分）已知△ABC，AB=，则△ABC外接圆的直径为外接圆的直径为 2 ．【解答】解：∵AB=，∴由余弦定理可得：BC===，∵设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得：R===， ∴△ABC外接圆的直径为2．故答案为：2．12．（5分）某公司未来对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元） 4 5 6 7 8 9销量y（件） 90 84 83 80 75 68由表中数据，求得线性回归方程为，当产品销量为76件时，产品定价大致为大致为 7.5 元．【解答】解：=6.5，=80， ∴=80﹣（﹣4）×6.5a=106， ∴回归方程为=﹣4x +106． y=76时，76=﹣4x +106，∴x=7.5， 故答案为7.5．13．（5分）已知△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB 和AC 的中点，若，则x +y= 4 ．【解答】解：∵O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB 和AC 的中点，∴=+=+=+（﹣），++=0∴=2﹣， 同理可得=2﹣， ∴2=2+2﹣（+）， ∴=2+2﹣（++）=2+2，∴x=y=2， ∴x +y=4， 故答案为：4．14．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 91 个（用数字作答） 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、取出的3个数字中不含0，先在1，2，3，4，5，6，7中任取3个数，有C 73=35种取法， 把最大的数放在十位，剩下的2个数全排列，放在百位、个位，有A 22=2种情况，则此时一共有35×2=70个“伞数”， ②、取出的3个数字中含有0，需要在1，2，3，4，5，6，7中任取2个数，有C72=21种取法，把最大的数放在十位，0放在个位，剩下的数放在百位，有1种情况，则此时一共有21×1=21个“伞数”，则一共有70+21=91个“伞数”，故答案为：91．15．（5分）抛物线x2=2my（m＞0）的焦点为F，其准线与双曲线3 ．，则双曲线的离心率为有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为【解答】解：由题意，F（0，），准线方程为y=﹣，代入双曲线，可得x=±，∵准线与双曲线有两个交点A，B，∠AFB=120°，∴=，∴m=2n，∴双曲线的离心率为=3．故答案为3．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，且，函数y=f（x）的图象过点．（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，已知，求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵向量，且，∴y=2sin（ωx+）cosωx=3sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+，…4分∴f（x）=sin（2ωx+）+，∵函数y=f（x）的图象过点．∴sin（ω+）=0，∴ω+=kπ，可得：ω=（k∈Z），∵0＜ω＜2，∴ω=1，…6分∴f（x）=sin（2x+）+，∴T=…7分（2）g（x）=f（x﹣）=sin（2x﹣）+，…9分∴g（）=sin（α﹣）+=，解得sin（α﹣）=，…10分∴cos（2α﹣）=1﹣2sin2（）=…12分17．（12分）在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=BC=1，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF，M，N分别是EF、BC的中点．（1）求证：BD⊥平面MAN；（2）已知直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）连结DN，∵N为BC的中点，CD=BC，∴CD=CN，∵∠DCN=60°，∴△DNC为正三角形，∴∠DNC=60°，DN=DC ， ∵∠ABC=60°，AB=DC ， ∴AB ∥DN ，AB=DN ，∴四边形ABND 为平行四边形，又AB=BN ，∴平行四边形ABND 为菱形， ∴BD ⊥AN ，设AN ∩BD=H ，则H 为BD 中点， ∵M 为EF 中点，BF ∥DE ，∴MN ∥DE ， ∵DE ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD ，∴MH ⊥BD ， ∵MH ∩AN=H ，MH 、AN ⊂平面MAN ， ∴BD ⊥平面MAN ．解：（2）∵∠ABC=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°， 又AB=AD=1，∴∠ADH=30°，∴∠BDC=120°﹣30°30°=90°=90°， ∴BD ⊥CD ，且BD=，∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠DHE 是直线BE 与平面ABCD 所成的角，∴∠DBE=45°，∴DE=BDtan ，以点D 为原点，直线DB 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （，0，0），C （0，1，0），A （，﹣，0），E （0，0，），=（，，0），=（﹣），=（﹣），设平面ABE 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，﹣，1），设平面BCE 的一个法向量=（a ，b ，c ）， 则，取a=1，得平面BCE 的一个法向量=（1，，1），∴cos ＜＞===﹣，由图形知二面角A﹣BE﹣C为锐角，∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．18．（12分）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收[10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） 入（单位：百元）频数 25 100 150 155 50 2010 70 120 150 35 15 赞成人数）从月收入在[[60，70）的20人中随机抽取3人，求3人中至少2人对对该（1）从月收入在措施持赞成态度的概率；（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从20人中任意选取3人，共有中取法，且这种取法的可能性相同，恰有2人持赞成态度的概率p1==，恰有3人持赞成态度的概率P2==，∴3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率p=p1+p2==．（2）∵500人中持赞成的频率p 3==，∴可估计市民对该项政策持赞成态度的概率为p=， X 的可能取值为0，1，2，3，且X ～B （3，）， P （X=0）==， P （X=1）==， P （X=2）==， P （X=3）==，∴X 的分布列为：X 0 1 2 3 PEX==．19．（12分）数列分）数列{{a n }的前项和记为S n ，a 1=t ，点（a n +1，S n ）在直线上n∈N ++．（1）当实数t 为何值时，数列为何值时，数列{{a n }是等比数列？并求数列是等比数列？并求数列{{a n }的通项公式； （2）若f （x ）=[x ]（[x ]表示不超过x 的最大整数），在（1）的结论下，令，求，求{{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由题意得S n =a n +1﹣1，∴Sn﹣1=a n﹣1，两式相减得a n =a n +1﹣a n ， 即a n +1=3a n ，∴当n ≥2时，数列时，数列{{a n}是等比数列，要使n ≥1时，数列时，数列{{a n }是等比数列， 则只需要=3，∵a 1=a 2﹣1， ∴a 2=2a 1+2，∴=3，解得t=2，∴实数t=2时，数列时，数列{{a n}是等比数列，a n=2•3n﹣1， （2）∵b n=f（log3a n）+1=[log3（2×3n﹣1）]，∵3n﹣1＜2×3n﹣1＜3n，∴n﹣1＜log3（2×3n﹣1）＜n，∴b n=n﹣1+1=n，∴c n=a n+=2×3n﹣1+=2×3n﹣1+（﹣），∵{a n}的前n项和为=3n﹣1，{}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣∴T n=3n﹣1+﹣═3n﹣﹣20．（13分）已知椭圆，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为，O为坐标原点，OBF三角形的周长为．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）由题意可得：=tan，a+b+c=3+，又a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=，c=1．∴椭圆E的方程为+=1．（2）证明：A（2，0）．设直线l的方程为：my+t=x，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，∴y1+y2=，y1•y2=，（*）∵以PQ为直径的圆经过点A，∴⊥，∴•=0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2=0，化为：（m2+1）y1y2+（mt﹣2m）（y1+y2）+（t﹣2）2=0，把（*）代入可得：（m2+1）•+（mt﹣2m）•+（t﹣2）2=0，化简可得：t=2或．t=2舍去．代入直线l的方程：my+t=x，可得：my+=x．可得直线l经过定点：．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2e x，且f（x）在x=x0处取得极小值，函数g（x）=1+kx﹣lnx．（1）若曲线y=g（x）在点（e，g（e））处切线恰好经过点P（x0，f（x0）），求实数k的值；（2）讨论函数g（x）的极值；（3）已知函数F（x）=min{f（x），g（x）|（min{p，q}表示p，q中最小值），若在（0，+∞）上函数F（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）fʹ（x）=（x2﹣1）e x，令fʹ（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1， 令fʹ（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，f（x）在x=1处取极小值，f（1）=0，故P（1，0），由gʹ（x）=k﹣，故gʹ（e）=k﹣，且g（e）=ke，则y=g（x）在点（e，g（e））处切线y﹣ke=（k﹣）（x﹣e），由P（1，0）在切线方程，代入切线方程解得：k=﹣1，故实数k的值﹣1；（2）g（x）=1+kx﹣lnx．（x＞0），gʹ（x）=k﹣，当k≤0时，gʹ（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）无极值，当k＞0时，由gʹ（x）=0，解得：x=，当x∈（0，）时，gʹ（x）＜0，当x∈（，+∞）时，gʹ（x）＞0，则g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，此时g（x）存在极小值g（）=2+lnk，无极大值，（3）由（2）可知：k≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减，g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，故k≤0，不符合题意，k＞0时，g（x）极小值=g（）=2+lnk，即为g（x）的最小值，（i）当g（）=0时，则k=e﹣2，g（x）只有一个零点，不满足题意，（ii）当k＞e﹣2，g（）＞0时，g（x）在（0，+∞）上无零点，不满足题意；（iii）当0＜k＜e ﹣2时，g（）＜0，又g（1）=1+k＞0，故g（）•g（1）＜0，∴g（x）在（1，）上有一个零点，设为x1，即g（x1）=0，由＞e 2，取x=，则g（）=1+k﹣，下面证明g（）=1+k﹣＞0，令h（x）=x﹣lnx2，x＞2，∴hʹ（x）=1﹣＞0，故h（x）在（2，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（2）=2（1﹣ln2）＞0，即x＞lnx2，∴e x＞x2，令x=，则＞，∴g（）=1+k﹣＞1+k•﹣=1＞0，∴g（）•g（）＜0，∴g（x）在（，）上有一个零点，设为x2，则g（x2）=0∵g（1）=k+1，f（x1）＞0，f（x2）＞0，故F（x）=min{f（x），g（x）}中，有：F（1）=f（1）=0＜g（1）=1+k，F（x1）=g（x1）=0＜f（x1），F（x2）=g（x2）=0＜f（x2），即函数F（x）有三个零点；综上，满足题意的k的取值范围是（0，e﹣2）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；的长；（2） 当∠APB＝90°时，若AB=45，四边形APBC的面积是36，求△ACB的周长.PC BA2.已知：如图，B 、C 、E 三点在一条直线上，AB ＝AD ，BC ＝CD . （1）若∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝23，求∠A 的值；的值； （2）若∠BAD ＋∠BCD ＝180°，cos ∠DCE ＝35，求AB BC 的值.EDABC3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°， （1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。
2017届山东省枣庄市第三中学高三全市“二调”模拟考试数学（文）试卷
2017届山东省枣庄市第三中学高三全市“二调”模拟考试数学（文）试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若集合，且，则集合可能是（）A．B．C．D．2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的平均数等于乙的中位数4. 已知命题；命题，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．5. 已知是奇函数，当时，，设，则（）A．B．C．D．6. 若函数为偶函数，则（）A．的最小正周期为，且在上为增函数B．的最小正周期为，且在上为增函数C．的最小正周期为，且在上为减函数D．的最小正周期为，且在上为减函数7. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8. 在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A．B．C．D．9. 下列四个图中，函数的图象可能是（）A．B．C．D．10. 如图，已知过双曲线的右顶点作一个圆，该圆与其渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率为（）C．D．A．B．二、填空题11. 已知是第二象限角，，则__________．12. 已知向量与满足，若，则与的夹角是__________．13. 某程序框图如图所示，若运行程序后输出为__________．14. 已知正实数满足，则的最小值为______.15. 已知函数在上单调递减，且方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．三、解答题16. 某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中的值和频率分布直方图中的值；（2）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取人，再从人中选人，求这人成绩在的概率.17. 在锐角中, 内角、、所对的边分别为、、且.（1）求；（2）若的外接圆半径为，求面积的最大值.18. 已知数列的前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19. 如图，在直角梯形中，平面.（1）若是的中点，求证: 平面平面；（2）若是的中点，求证: 平面.20. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点, 点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点,求的取值范围.21. 已知函数，.（1）若直线与函数的图象相切，求的值；（2）设，对于，都有，求实数的取值范围.。
(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学理
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数y =的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ，则A ∩B=( )A.(1，2)B.(1，2]C.(-2，1)D.[-2，1)解析：由4-x2≥0，解得：-2≤x ≤2，则函数y =的定义域[-2，2]，由对数函数的定义域可知：1-x ＞0，解得：x ＜1，则函数y=ln(1-x)的定义域(-∞，1)， 则A ∩B=[-2，1). 答案：D.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z=a+3i ，z z ⋅=4，则a=( ) A.1或-1C.解析：由z a =，则z 的共轭复数z a =，由()()234z z a a a⋅=-=+=，则a 2=1，解得：a=±1，∴a 的值为1或-1. 答案：A.3.已知命题p ：∀x ＞0，ln(x+1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧￢q C.￢p ∧q D.￢p ∧￢q解析：命题p ：∀x ＞0，ln(x+1)＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题.∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题. 答案：B.4.已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤++≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z=x+2y 的最大值是( )A.0B.2C.5D.6解析：画出约束条件3035030x y x y x -+≤++≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示；由30350x x y ++⎨⎩+⎧＝＝解得A(-3，4)，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y 的最大值为z max =-3+2×4=5.答案：C.5.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+，已知10101122516004ii i i xy b ===∑∑＝＝，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170解析：由线性回归方程为4y x a =+，则101011112251601010i i i i x x y y ====∑∑＝＝，， 则数据的样本中心点(22.5，160)，由回归直线方程样本中心点，则4160422.570a y x =-=-⨯=， ∴回归直线方程为470y x =+， 当x=24时，42470166y =⨯+=，则估计其身高为166. 答案：C.6.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为( )A.0，0B.1，1C.0，1D.1，0解析：当输入的x 值为7时，第一次，不满足b 2＞x ，也不满足x 能被b 整数，故b=3；第二次，满足b 2＞x ，故输出a=1； 当输入的x 值为9时，第一次，不满足b 2＞x ，也不满足x 能被b 整数，故b=3；第二次，不满足b 2＞x ，满足x 能被b 整数，故输出a=0. 答案：D7.若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是( )A.()21log 2a ba ab b++＜＜ B.()21log 2a b a b a b ++＜＜ C.()21log 2a b a a b b ++＜＜D.()21log 2a ba b a b ++＜＜解析：∵a ＞b ＞0，且ab=1， ∴可取a=2，12b =. 则()()22221111524log log 2log 1222822a b a a b b +===+=⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∈，，，， ∴()21log 2a b a b a b++＜＜. 答案：B.8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518 B.49 C.59 D.79解析：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有2936C =种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有115420C C =种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率205369P ==. 答案：C.9.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是( ) A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A解析：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a.答案：A.10.已知当x∈[0，1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )A.(0，1]∪[+∞)B.(0，1]∪[3，+∞)C.(0∪[+∞)D.(0∪[3，+∞)解析：根据题意，由于m为正数，y=(mx-1)2为二次函数，在区间(0，1m)为减函数，(1m，+∞)为增函数，函数y m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，在区间[0，1]上，y=(mx-1)2为减函数，且其值域为[(m-1)2，1]，函数y m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有1m＜1，y=(mx-1)2在区间(0，1m)为减函数，(1m，1)为增函数，函数y m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m-1)2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是(0，1]∪[3，+∞).答案：B.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知(1+3x)n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=____.解析：(1+3x)n的展开式中通项公式：()133rr r r rr n n T C x C x +==.∵含有x 2的系数是54，∴r=2.∴22354n C =，可得26n C =，∴()162n n -=，n ∈N*. 解得n=4. 答案：4.12.已知12e e ，123e e -与12e e λ+的夹角为60°，则实数λ的值是____.解析：12e e ，是互相垂直的单位向量， ∴121e e ==，且120e e ⋅=；12e -与12e e λ+的夹角为60°，∴)()121212123c ||os60e e e e e e e λλ-+=-⨯⨯︒⋅+，即()222222211221122112213132322e e e e e e e e e e e λλλλ+-⋅-=-⋅+⨯+⋅+⨯，12λ=，λ=解得λ=3.答案：3.13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为____.解析：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V 1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积2211144V ππ=⨯⨯⨯=， 则该几何体的体积11222V V V π=+=+.答案：22π+.14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为____.解析：把x 2=2py(p ＞0)代入双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，可得：a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0，∴222A B pb y y a+=， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴2422A B p p y y ++⨯=⨯， ∴222pb p a=，∴2b a =.∴该双曲线的渐近线方程为：y x =.答案：y x =.15.若函数e xf(x)(e ≈2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为____.①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x 3 ④f(x)=x 2+2.解析：对于①，f(x)=2-x，则()()·22xx x x e g x e f x e -⎛⎫ ⎝==⎪⎭＝为实数集上的增函数；对于②，f(x)=3-x，则()()·33xx x xe g x ef x e -⎛⎫⎝==⎪⎭＝为实数集上的减函数；对于③，f(x)=x 3，则g(x)=e x f(x)=e x ·x 3，g ′(x)=e x ·x 3+3e x ·x 2=e x (x 3+3x 2)=e x ·x 2(x+3)，当x ＜-3时，g ′(x)＜0，∴g(x)=e xf(x)在定义域R 上先减后增；对于④，f(x)=x 2+2，则g(x)=e x f(x)=e x (x 2+2)，g ′(x)=e x (x 2+2)+2xe x =e x (x 2+2x+2)＞0在实数集R 上恒成立，∴g(x)=e xf(x)在定义域R 上是增函数. ∴具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④.三、解答题16.设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0＜ω＜3，已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[344ππ-，]上的最小值.解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据06f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的值； (Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x ∈[344ππ-，]时g(x)的最小值.答案：(Ⅰ)函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= sin coscos sinsin 662x x x πππωωω⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 22x x ωω-=3x πω⎛⎫-⎪⎝⎭，又0663f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴63k ππωπ-=，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3， ∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到43y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，∴函数()12y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭； 当34]4[x ππ∈-，时，[2123]3x πππ-∈-，，∴sin 11[22]x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴当x=-4π时，g(x)取得最小值是32=-.17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点.(Ⅰ)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(Ⅱ)当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C 的大小.解析：(Ⅰ)由已知利用线面垂直的判定可得BE ⊥平面ABP ，得到BE ⊥BP ，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；(Ⅱ)法一、取EC的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.答案：(Ⅰ)∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；(Ⅱ)解法一、取EC的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，====∴AE GE AC GC取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角.=又AM=1，∴EM CM在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12，∴EC＝EMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意得：A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(13)，C(-10)，故()()()203130203AE AG CG -＝，，，＝，，，＝，，. 设()111m x y z ＝，，为平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＝，得11112300x z x -⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，取z 1=2，得()3m＝； 设()222n x y z ＝，，为平面ACG 的一个法向量， 由00n AG n CG ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＝，可得22220230x x z ⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，取z 2=-2，得()3-3-2n＝，，. ∴1cos 2m nm n m n ⋅=＜，＞＝. ∴二面角E-AG-C 的大小为60°.18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率.(Ⅱ)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX. 解析：(1)利用组合数公式计算概率；(2)使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望. 答案：(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则()48510518C P M C ==.(II)X 的可能取值为：0，1，2，3，4，∴()565101042C P X C ===，()41645105121C C P X C ===，()326451010221C C P X C ===，()23645105321C C P X C ===，()14564101442P X C C C ===. ∴XX 的数学期望0123424221212142EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式；(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n+1(x n+1，n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n+1所围成的区域的面积T n .解析：(I)列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；(II)从各点向x 轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【解答】解：(I)设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0， 由题意得1121132x x q x q x q +⎧⎨-⎩＝＝，两式相比得：2132q q q +-＝，解得q=2或13q =-(舍)，∴x 1=1，∴x n =2n-1.(II)过P 1，P 2，P 3，…，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ， 记梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ， 则()12122122n n n n n b n --++=⨯=+⨯， ∴T n =3×2-1+5×20+7×21+…+(2n+1)×2n-2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1，②①-②得：-T n=32+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=()()()111 21231212122 2122nn nn n----+-+⨯=-+-⨯-.∴()21212nnnT-⨯+=.20.已知函数f(x)=x2+2cosx，g(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)，其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(Ⅱ)令h(x)=g(x)-a f(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 解析：(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx，可得f′(π)=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.(II)h(x)=g(x)-a f(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)，可得h′(x)=2(x-sinx)(e x-a)=2(x-sinx)(e x-e lna).令u(x)=x-sinx，则u′(x)=1-cosx≥0，可得函数u(x)在R上单调递增.由u(0)=0，可得x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出.答案：(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx，∴f′(π)=2π.∴曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为：y-(π2-2)=2π(x-π).化为：2πx-y-π2-2=0.(II)h(x)=g (x)-a f(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)+e x(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(e x-a)=2(x-sinx)(e x-e lna).令u(x)=x-sinx，则u′(x)=1-cosx≥0，∴函数u(x)在R上单调递增.∵u(0)=0，∴x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.(1)a≤0时，ex-a＞0，∴x＞0时，h′(x)＞0，函数h(x)在(0，+∞)单调递增；x＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)在(-∞，0)单调递减.∴x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.(2)a＞0时，令h′(x)=2(x-sinx)(e x-e lna)=0.解得x1=lna，x2=0.①0＜a＜1时，x∈(-∞，lna)时，e x-e lna＜0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；x∈(lna，0)时，e x-e lna＞0，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(0，+∞)时，e x-e lna＞0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增.∴当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当x=lna时，函数h(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′(x)≥0，∴函数h(x)在R上单调递增.③1＜a时，lna＞0，x∈(-∞，0)时，e x-e lna＜0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；x∈(0，lna)时，e x-e lna＜0，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(lna，+∞)时，e x-e lna＞0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增.∴当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].综上所述：a ≤0时，函数h(x)在(0，+∞)单调递增；x ＜0时，函数h(x)在(-∞，0)单调递减.x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.0＜a ＜1时，函数h(x)在x ∈(-∞，lna)是单调递增；函数h(x)在x ∈(lna ，0)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].当a=1时，lna=0，函数h(x)在R 上单调递增.a ＞1时，函数h(x)在(-∞，0)，(lna ，+∞)上单调递增；函数h(x)在(0，lna)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为2，焦距为2.(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)如图，动直线l：12y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k2，且124k k =M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.解析：(Ⅰ)由题意得关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得a ，b 的值，则椭圆方程可求； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M 的半径r ，则123r AB =＝.由题意设知214k k ＝.得到直线OC 的方程，与椭圆方程联立，求得C 点坐标，可得|OC|，由题意可知，1sin21SOT rOC r OCr∠=++＝.转化为关于k 1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT 的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k ±＝. 答案：(Ⅰ)由题意知，2222222c a c a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩＝＝＝，解得a=2，b=1.∴椭圆E 的方程为2212x y +＝； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立221122x y y k x ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝()22114210k x x +--＝. 由题意得△=64k 12+8＞0.()12122111221x x x x k +-+＝. ∴121AB x =-. 由题意可知圆M 的半径r 为123r AB =＝.由题意设知，124k k ＝，∴21k 因此直线OC 的方程为1y . 联立22112x y y x⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，得22212211811414k x y k k ++＝，＝.因此，OC=由题意可知，1sin21SOT rOCr OCr∠=++＝.而21OCr=＝令t=1+2k12，则t＞1，1t∈(0，1)，因此，1 OCr=≥.当且仅当112t＝，即t=2时等式成立，此时12k±＝.∴1sin22SOT∠≤，因此26SOTπ∠≤.∴∠SOT的最大值为3π.综上所述：∠SOT的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为12k±＝.。
【山东省枣庄】2017学年高考二模数学年(文科)试题
山东省枣庄市2017年高考二模数学（文科）试卷答 案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1~5．CABDD 6~10．DAACB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．1412．1[1,]5-13．DCO BCD S S △△1415．4三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（1）应从“文学社”、“围棋社”、“书法社”中抽取的人数分别是：1,2,3．（2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为： 1213141516,,,,,,,),(,),A A A A A A A A A A ()()()(2324252634,,,,,,,,,A A A A A A A A A A ()()()()()3536454656,,,,,,,,,A A A A A A A A A A ())()()()共15种．②事件A 包含：13141516(,),(,),(,),(,),A A A A A A A A 23242526(,),(,),(,),(,),A A A A A A A A 共8个基本事件． 因此，事件A 发生的概率8()15P A =．17．解：函数()2sin sin )f x x x x =-．化简可得：2π()cos 2sin 2cos212sin(2)16f x x x x x x x =-+-=+-． （1）ππ(,)63x ∈-上时， 可得：ππ5π2(,)666x +∈-． 1πsin(2)126x ∴-<+≤． 故得函数()f x 在ππ(,)63-上的值域为(21]-，． （2）π()2sin(2)1,6f x x =+- ()0,f C = 即π1sin(2)62C +=． 0π,C <<π5π266C ∴+=． 得：π3C =． sin sin sin B A C =， 可得sin()sin sin A C A C +=， ππsin()sin sin .33A A ∴+=得：1)sinA =那么：tan A == 18．解：（1）证明：如图，连接11A B AB M 交于，则1M A B 为中点，连接DM ，D BC 为棱的中点，1D AC ∴∥， 又11AC ADB ⊄平面，1DM ADB ⊂平面 11A D C A B ∴平面∥，（2）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面，可得1AD BB ⊥∵D 为棱BC 的中点，AB AC =，∴11AD BCC B ⊥面，即1AD BC ⊥，在矩形11BCC B 中，11112,BB B C BC DB BB=∴== 111111DBB BB C BDB B BC ∴⇒∠=∠△∽△，111BB D BC B ∠=∠，即11190C BB BB D ∠+∠=︒．11BC DB ∴⊥，且1=AD DB D ，11BC ADB ∴⊥平面．19．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11=a ，且124,,2a a a +成等比数列．2214•(2)a a a ∴=+，即2(1)1(=132)d d +⨯++， 解得2d =或1-．其中1d =-时，20a =，舍去．=2d ∴，可得12(12=)1n a n n +-=-．2(121)2n n n S n +-==． （2）n (1)(1)(21)22n n a n n b ---==．∴当n 为偶数时，232212162n n n n b b ++-==．当n 为奇数时，(2n 3)2(21)21216n n n b b -++--==． ∴数列{}n b 的奇数项是以12为首项，116为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列． ∴数列{}n b 的前2n 项和 2212132411[1()]8(161)8216)...)=(1616)11611811(.6..(n n n n n n n T b b b b b b --⨯-⨯-=+++++++=⨯---+． 20．解：（1）()(e )x f x x a =-'，①0a ≤时，e 0x a ->，令()0f x '>，解得：0x >，令()0f x '<，解得：0x <，故()f x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增；②1a >时，令e =a x ，解得：ln x a =，则ln 0a >，令()0f x '>，解得：ln x a >或0x <，()0,0ln ,f x x a '<<<令解得：故()f x 在(,0)-∞递增，在(0,ln )a 递减，在(ln ,)a +∞递增；③=1a 时，()0f x '≥，()f x R 在递增；④01a <<时，ln 0a <，令()0f x '>，解得：>0<ln x x a 或，令()0f x '<，解得：ln 0a x <<，故()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,0)a 递减，在(0+)∞，递增； （2）由（1）0a ≤时，11()(0)1a f x f -=-=-≤极小值，； 1a >时，10a ->，()f x 在(1,ln )a a -递减，在(ln ,)a +∞递增，21()(ln )ln ln 2f x f a a a a a a ∴=--极小值=； 1a =时，(x)f 在(1,)a -+∞递增，无极小值点；01a <<时，110a -<-<，()f x 在(1,0)a -递减，在(0+)∞，递增，故()(0)1f x f ==-极小值．21．解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上，2=4=22=2=1a a c c ，，焦距，．则2223b a c =-=， ∴椭圆的标准方程：22143x y +=； （2）（ⅰ）由12||||sin ,1122||||sin S EA ED AED S EB ED BED ∠∠==， 12||sin ||si ,n S S EA AED EB BED λλ=∠=∠， 由||sin sin ||EA AED BED EB λ=∠=∠．则， 由πAED BED AED BED ∠+∠<∴∠=∠，， 因此直线EA 和ED 的倾斜角互补，由题意可知直线EA 和EB 的斜率存在，分别设为1212,0k k k k +=则,，由题意可知，直线l 的方程1y kx =+，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22(34880)k x kx ++-=， 由0∆>恒成立，设11)(,A x y ，22)(,B x y ，(0,)E m ，122834k x x k +=-+，122834x x k =-+， 121212121211y m y m kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+， 121212112(1)()2(1)x x k m k m x x x x +=+-+=+-， 2(1)(3)k k m k m =+-=-，由120k k +=，则(3)0k m -=，对任意k ∈R 恒成立，则3m =，∴存在点E 点坐标为(0,3)；（ⅱ）由2λ=时，1122,22S S S S ==， 为EAD EBD △与△都以E 为顶点，又有相同的高，则12||||S AD S DB =， ||2||AD DB ∴=，则2AD DB =， 设11(x ,)A y ，22)(,B x y ，(0,1)D ，则11(,1)AD x y =--，22(x 1)DB y =-,，由2AD DB =，则1122,)(12,(1)x y x y =---，122x x ∴-=，即122x x =-，代入解得：22834k x k -=-+，222834x k =-+， ∴22834k x k +=，222434x k =+， ∴22284()3434k k k =++，解得：12k =±， ∴直线l 的方程为：112y x =+或112y x =-+．山东省枣庄市2017年高考二模数学（文科）试卷 解 析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：由i (i)(12i)2(12)i 12i (12i)(12i)5a a a a ++-++-==++-为纯虚数， 得20120a a +=⎧⎨-≠⎩，解得2a =-． 故选：C ．2．【考点】1D ：并集及其运算．【分析】求函数2(log 1)y x =-的定义域可得集合A ，解不等式可得集合B ，由集合并集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数2(log 1)y x =-，有10x ->，解可得1x >，即函数2(log 1)y x =-的定义域为（1，+∞），A 为函数2(log 1)y x =-的定义域，则(1,)A =+∞，集合{|1)(2)(}{|}012[12]B x x x x x =+≤=≤=-≤--， 则1)[,A B -=+∞；故选：A ．3．【考点】21：四种命题．【分析】写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断真假性．【解答】解：原命题“若1x >，则23x x <”，则它的逆命题：若23x x <，则1x >，为假命题；否命题：若1x ≤，则23x x ≥，为假命题；逆否命题：若23x x ≥，则1x ≤，为真命题．其中真命题的个数是：1．故选：B ．4、【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化简，由()2f α=，()2f β=，且||αβ- 的最小值是π2 ，可知函数(x)f 的最小值周π2T = ，可得ω的值．【解答】解：函数π()sin 2sin()3f x x x x ωωω==+．由()2f α=，()2f β=，且||αβ- 的最小值是π2， ∴ 函数(x)f 的最小值周π2T =． 2π 4.π2ω∴== 故选：D ．5、【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】求得向量a 的模，由向量垂直的条件：数量积为0，化简，再由数量积的定义和向量的平方根为模的平方，解方程可得向量夹角的余弦值，进而得到向量的夹角．【解答】解：向量a ，b 满足a =（1，﹣1），|b |=1，且b ⊥（a +b ），可得|a，b •（a +b ）=0，即为2•0a b b +=，即有|a |•|b |•cos ＜a ，b ＞+|b |2cos ＜a ，b ＞+1=0， 则cos a <，22b ≥-， 由0a ≤，πb ≤， 可得a 与b 的夹角为3π4． 故选：D ．6、【考点】BA ：茎叶图．【分析】由茎叶图，知甲的成绩是75，83，85，85，92，乙的成绩是74，84，84，85，98，由此能够求出结果．【解答】解：由茎叶图，知甲的成绩是75，83，85，85，92，乙的成绩是74，84，84，85，98，故185x =，284x =，故12x x >， 而甲的平均数是17583858592845++++=（）， 乙的平均数是17484848598855++++=（）， 故11811116429.65y =++++=（）， 2158.45y == ， 故12y y < ， 故选：D ．7、【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，可得当圆与直线210mx y m --+=切于(2,1)P 时，圆的半径最大，求出圆的半径可得半径最大的圆的标准方程．【解答】解：直线210mx y m --+= 过定点(21)P ，，如图，∴ 当圆与直线210mx y m --+= 切于P此时圆的标准方程为225x y +=．故选：A ．8、【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱台的三视图，得出该四棱台的结构特征是什么，由此计算它的体积即可．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是上下底面都是正方形的棱台如图： 根据图中数据得到棱台的体积为22221(2112)373⨯++⨯⨯=；故选A ．9、【考点】3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件求出函数的周期是4，结合函数奇偶性和周期性的性质求出函数在一个周期内的值(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，然后进行整体计算即可．【解答】解：由(2)(2)f x f x +=-得(4)()f x f x +=，则函数是周期为4的周期函数，(x)f 是定义在R 上的奇函数，∴ 当0≤x≤1时，f x =（），则(0)0(1)1f f ==，，当x=0时，(0)0f =，(1)1f =，(3)(34)(1)(1)1f f f f =-=-=-=-，(4)(0)0f f == ，则在一个周期内(1)(2)(3)(4)10100f f f f +++=+-+= ，则(1)(2)(3)(4)](5)(1)1f f f f f f ++++==，故选：C ．10、【考点】3O ：函数的图象．【分析】令()()0f x f x +-=，根据图象判断方程的根的个数，得出结论．【解答】解：若(x)f =330ln 01ln 1x x x x x x x ⎧-≤⎪-<<⎨⎪≥⎩，，，， 令()()0f x f x +-=，若01x <<，则3ln 30x x x --+=，即3ln 3x x x =-+，作出ln y x =与33y x x =-+的函数图象，由图象可知两函数在(0,1)上无交点，若1x ≥，则3ln 30x x x -+=，即3ln 3x x x -=，作出ln y x =与33y x x =-的函数图象，由图象可知两函数在(1,)+∞上有1个交点，所以，(x)f 只有1对“和谐点对”．故选B ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、【考点】CF ：几何概型．【分析】由已知利用数量积公式得到满足条件的x 的不等式，利用求解长度比求概率．【解答】解：由已知得到事件“0a b ≥”发生的x 的不等式为210x -≥，即12x ≥， 所以在区间[﹣1，1]上随机地取一个数x ，则事件“0a b ≥”发生的概率为：11121+14-=；故答案为：14． 12、【考点】7C ：简单线性规划． 【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数2y k x =+（）的图象是过点(2,0)P ，且斜率为k 的直线l ，故由图即可得出其范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，因为函数2y k x =+（）的图像是过点(20)P -，，且斜率为k 的直线l ， 由图知，当直线l 过点1122B （，） 时， k 取最大值112=15+22，当直线l 过点(1,1)C --时，k 取最小值1112-=--+， 故实数k 的取值范围是[﹣1，15 ]． 故答案为：[﹣1，15] 13、【考点】F3：类比推理．【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中在ABC 中，AB AC ⊥ ，点D 是点A 在BC 边上的射影，则2•AC CD CB =，我们可以类比这一性质，推理出若在三棱锥A BCD -中，BA ACD ⊥平面，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，即可得到答案【解答】解：由已知在平面几何中，在ABC 中，AB AC ⊥，点D 是点A 在BC 边上的射影，则2•AC CD CB =，我们可以类比这一性质，推理出：在三棱锥A BCD -中，BA ACD ⊥平面，O A BCD 点是点在平面内的射影，则2•ACD DCO BCD S S S =（） ． 故答案为•DCO BCD S S .14、【考点】KC ：双曲线的简单性质． 【分析】先求双曲线的渐近线，再利用条件渐近线与抛物线214y x =+相切得方程只有一解，运用判别式为0，从而得出a ，b 的关系，进而求出离心率． 【解答】解：双曲线C ：22221(0,0)y x a B a b-=>>的渐近线为a y x b =±， 所以其中一条渐近线可以为a y x b=， 又因为渐近线与抛物线214y x =+只有一个交点， 所以214a x xb =+只有一个解， 所以21()404a b -⨯= 即2()1a b=，即22a b =， 222c a b =+，所以222c a =，所以离心率e c a=． 15、【考点】57：函数与方程的综合运用；52：函数零点的判定定理．【分析】根据对称关系得出1t = ，根据命题为真求出m 的范围，根据(x)f 的函数图像判断出零点个数．【解答】解：(x)f 的图像关于12x =-对称，且(0)0f =， (1)010||f t -∴-=+=，即，解得1t =．()f x ∴=1|1|,21||,2x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩， [1,)x ∀∈+∞对，e 2e xm x >是真命题，e 2e xm x∴<恒成立，,)[1x ∈∞+． 令e ()2e xh x x =，则122222e e 2e 2e (1)()04e 4e x x x e x x h x x x +--'==≥， ()1,)h x ∴+∞在[ 上单调递增，1)(12()min h x h ∴==， 102m ∴<<．作出(x)f 的函数图像如图所示：由图像可知()y f x y m ==与有4个交点，()()g x f x m ∴=- 有4个零点．故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（2）列举可得从6名人员中随机抽取2名的所有结果共15种；事件A 包含上述8个，由概率公式可得．17、【考点】HT ：三角形中的几何计算；GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，ππ()63x ∈-,上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到(x)f 的值域．（2）根据()0f C =求出角C ，sin sin sin sin()B A C A C ==+利用和与差公式，即可求tan A 的值． 18、【考点】LW ：直线与平面垂直的判定；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图，连接11A B AB M 交于，可得1DM AC ∥ ，即可证得11AC ADB ∥平面 ，（2）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面，可得1AD BB ⊥，即可得1AD BC ⊥ ，在矩形11BCC B 中，由111BDB B BC ∽，可得11190C BB BB D ∠+∠=°．即可得1111BC DB BC ADB ⊥⊥，平面.19、【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式． 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由11a =，且1a ，2a ，42a +成等比数列．可得：2214 a (2)a a =+，即211132d d +=⨯++（）（），解得d ．经过验证可得d ，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）n (1)(1)(21)22n n a n n b ---==．∴当n 为偶数时，232212162n n n n b b ++-== ．当n 为奇数时，(2n 3)2(21)21.216n n n b b -++--==可得数列{}n b 的奇数项是以12为首项，116为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．利用求和公式即可得出． 20、【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，求出函数的极小值即可．21、【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由2a =，1c =，2223b a c -==，即可求得椭圆方程；（2）（i ）根据三角形的面积公式，求得sin sin AED BED ∠=∠，则A E D B E D ∠=∠，可得120k k += ，设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得m 的值，求得点E 的坐标： （ii ）由（i ）可知：2AD DB =，根据向量的数量积的坐标运算及韦达定理即可求得k 的值，求得直线l 的方程．Q。
山东省数学高考二模试卷(II)卷
山东省数学高考二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设为虚数单位,则复数（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·衡水月考) 已知函数，对于实数，“”是“ ”的（）.A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2017·上饶模拟) 设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A .B .C .4. （2分）(2018·荆州模拟) 已知，若，则（）A . -5B . -20C . 15D . 355. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）A . 31B . 32C .D .6. （2分）(2012·天津理) 如图所示，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则离心率为（）A .B .D .7. （2分） (2017高一下·淮北期末) 已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x= 处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A . 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B . 偶函数且它的图象关于点对称C . 奇函数且它的图象关于点对称D . 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称8. （2分）设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f （x））=2at2+at，则正实数a的最小值是（）A . 1B .C .D .9. （2分）已知：┓p且q为真，则下列命题中的假命题是：（）①p；②p或q；③p且q；④┓qA . ①④B . ①②③C . ①③④D . ②③④10. （2分） (2015高一上·娄底期末) 如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°二、填空题 (共7题；共8分)11. （1分） (2016高二上·上海期中) 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．12. （1分）(2013·广东理) 若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=________．13. （1分） (2017高二上·静海期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．14. （1分）设y=tx（t为参数）则圆x2+y2﹣4y=0的参数方程为________．15. （2分） (2019高二上·张家口月考) 将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是的概率为________，向上的点数之和不小于的概率为________.16. （1分） (2015高三上·连云期末) 已知| |=| |= ，且• =1，若点C满足| +|=1，则| |的取值范围是________．17. （1分）如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1﹣x2的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N．则△MON面积的最小值为________三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分）(2016·江西模拟) 已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且．（1）求角C的值；（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．19. （5分）(2017·四川模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．20. （10分） (2018高三上·长春期中) 已知函数（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值.（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.21. （10分）(2017·赣州模拟) 设离心率为的椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ，F2 ，点P是E上一点，PF1⊥PF2 ，△PF1F2内切圆的半径为﹣1．（1）求E的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．22. （10分） (2018高二下·驻马店期末) 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
[精品]2017年山东省青岛市高考数学二模试卷及解析答案word版(理科)
2017年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}，B={x|y=log2（x+2）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣2＜x≤3}B．{x|x＞3}C．{x|x≥3}D．{x|x＜﹣2}2．（5分）设复数z=﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．64005．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．116．（5分）已知x=﹣3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，则f（0）=（）A．0 B．C．D．7．（5分）已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺9．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6 种10．（5分）设F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为．12．（5分）已知向量，的夹角为120°，，，则=．13．（5分）曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．14．（5分）已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|=．15．（5分）若函数f（x）对定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=，a=3，求△ABC面积的最大值．17．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，DAA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB 1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．19．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+﹣x，m∈R且m≠0．（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}，B={x|y=log2（x+2）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣2＜x≤3}B．{x|x＞3}C．{x|x≥3}D．{x|x＜﹣2}【解答】解：全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}={y|y≤3}，∴∁U A={y|y＞3}，又B={x|y=log2（x+2）}={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，∴（∁U A）∩B={x|x＞3}．故选：B．2．（5分）设复数z=﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴=﹣2+i+=﹣2+i+=．∴复数的虚部为．故选：A．3．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为=5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．6．（5分）已知x=﹣3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，则f（0）=（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵x=1，x=﹣3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，∴f（x）的周期T═2×（1+3）=8，∴ω=，∵f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，∴函数f（x）在[﹣3，1]递增，∴f（1）=1，∴ω+φ=2kπ+，φ=2kπ+，f（0）=sin（+2kπ）=，故选：D．7．（5分）已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由z=x+my得y=﹣x+，∵m＞1，∴目标函数的斜率k=﹣∈（﹣1，0），作出不等式组对应的平面区域如图：由平移可知当直线y=﹣x+，经过点A时，目标函数取得最大值，此时z=x+my=3，由，解得A（，），同时，A也在直线x+my=3上，代入得+m=3，解得m=4，故选：C．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．9．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6 种【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为：=36﹣6=30故选B10．（5分）设F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为M（，），由M，到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d==|OF|=，解得：2c=3b=3，即9a2=5c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为（﹣∞，﹣6）∪．【解答】解：由不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0，可得（2x+1）2＞（5﹣x）2，即3x2+14x ﹣24＞0，解得x＜﹣6或x．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪．12．（5分）已知向量，的夹角为120°，，，则=1．【解答】解：由已知向量，的夹角为120°，，，所以，所以=3，即4﹣2+2=3，解得=1；故答案为：1．13．（5分）曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．【解答】解：令2sinx=1（0≤x≤π），即sinx=，可得x=或．∴曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），因此，围成的封闭图形的面积为S=（2sinx﹣1）dx=（﹣2cosx﹣x）=（﹣2cos﹣）﹣（﹣2cos﹣）=2﹣．故答案为：2﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|= 3．【解答】解：由圆x2+y2﹣x=0，即（x﹣）2+y2=可知，圆心为F（，0），半径为，抛物线y2=2x，得到抛物线焦点为F（，0），如图：|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=1，则|AB|+|CD|=|AD|﹣1．设A（x1，y1）、D（x2，y2），∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在抛物线上，由已知可知，直线l方程为y=x﹣，由消去y，得4x2﹣12x+1=0，∴x1+x2=3．∴|AD|=3+1=4，因此，|AB|+|CD|=4﹣1=3．故答案为：3．15．（5分）若函数f（x）对定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是m≤0．【解答】解：f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0]上的值域为（0，1]，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上的值域为（﹣∞，m），∵f（x）是单纯函数，∴（﹣∞，m）∩（0，1]=∅，∴m≤0．故答案为：m≤0．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=，a=3，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sin2x+cos2x）﹣cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=得：sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=，由余弦定理知a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∴S=bcsinA≤×9×=，∴△ABC面积的最大值为．17．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率…（2分）则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以…（6分）（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，…（10分）所以…（12分）18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，DAA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ABB 1A1为矩形，AB=2，，D是AA1的中点，∴∠BAD=90°，，，从而，，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）∴，∴，从而AB1⊥BD…（4分）∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，从而又，∴，，，，∴，，∵G为△AB1C的重心，∴，…（8分）设平面ABC的法向量为，，由可得，令y=1，则z=﹣1，，所以．…（10分）设直线GD与平面ABC所成角α，则=，所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为…（12分）19．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）在公差d不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．可得（a1+d）2=2a1+7d，且a32=a1a11，即（a1+2d）2=a1（a1+10d），解得a1=2，d=3，则a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n=（﹣1）n=（﹣1）n=•（﹣1）n•=•（﹣1）n•（+），∴T n=b1+b2+b3+…+b n=[﹣（+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）]=[﹣1+（﹣1）n•）]．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵四边形A 1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，∴，即ab=2 ①由题意可得直线A2B2方程为：，即bx+ay﹣ab=0，∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为，∴圆心O到直线A2B2的距离为，即②…（3分）由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：…（5分）（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N （x2，y2），由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③由韦达定理：…（7分）∵直线OM，ON的斜率之积等于，∴，∴，∴2m2=4k2+1满足③…（9分）∴，又O到直线MN的距离为，，所以△OMN的面积…（12分）若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则，，又∵M在椭圆上，，∴，所以△OMN的面积S===1．综上可知，△OMN的面积为定值1．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+﹣x，m∈R且m≠0．（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，g（x）=﹣lnx+x2﹣x+log2（3k﹣1），x＞0，所以，令g'（x）=0，解得x=1或（舍去），当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，所以y=g（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，所以y=g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x=1是y=g（x）的极小值点，y=g（x）的最小值为g（1）=log2（3k﹣1）…（3分）当log2（3k﹣1）=0，即时，函数y=g（x）有一个零点，当log2（3k﹣1）＞0，即时，函数y=g（x）没有零点，当log2（3k﹣1）＜0，即时，函数y=g（x）有两个零点…（6分）（Ⅱ）由已知，令f'（x）=0，解得，由于，①若m＜0，则，故当x≥1时，f'（x）≤0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以，又因为，则不成立…（8分）②若，则，故当时，f'（x）≤0；当时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，则，因此当时，恒成立…（11分）③若，则，故当x≥1时，f'（x）≥0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递增，故，令，化简得m2﹣4m+2＞0，解得，所以…（13分）综上所述，实数m的取值范围是…（14分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
2017年山东省潍坊市实验中学高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年山东省潍坊市实验中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|3x﹣x2＞0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）等于（）A．（﹣3，1]B．（﹣∞，1]C．[1，3）D．（3，+∞）2．（5分）若z＝1﹣i，则复数z+在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知，则sinαcosα等于（）A．B．C．D．4．（5分）的值为（）A．B．πC．D．15．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．847．（5分）某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）设m，n，t都是正数，则三个数（）A．都大于4B．都小于4C．至少有一个大于4D．至少有一个不小于49．（5分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．210．（5分）已知点F1是抛物线C：x2＝4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．12．（5分）将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是．13．（5分）二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）已知＝（2λsin x，sin x+cos x），＝（cos x，λ（sin x﹣cos x））（λ＞0），函数f（x）＝•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝AA1，∠BAA1＝∠BAC＝60°，点O是线段AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面OA1C；（Ⅱ）若AB＝2，A1C＝，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．18．（12分）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．19．（12分）对于数列{a n}、{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1﹣（n+1）＝S n+a n+n，a1＝b1＝1，b n+1＝3b n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C1：的离心率为，且与y轴的正半轴的交点为，抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点．（1）求椭圆C1与抛物线C2的标准方程；（2）过（1，0）的两条相互垂直直线与抛物线C2有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值．21．（14分）已知函数g（x）＝x2+ln（x+a），其中a为常数．（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）若g（x）存在两个极值点x1，x2，求证：无论实数a取什么值都有．2017年山东省潍坊市实验中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|3x﹣x2＞0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）等于（）A．（﹣3，1]B．（﹣∞，1]C．[1，3）D．（3，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A＝（0，3），∵B＝（﹣∞，1），∴∁U B＝[1，+∞），则A∩（∁U B）＝[1，3），故选：C．2．（5分）若z＝1﹣i，则复数z+在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z＝1﹣i，则复数z+＝1﹣+＝1﹣+＝1﹣+＝．对应点（，）在第四象限．故选：D．3．（5分）已知，则sinαcosα等于（）A．B．C．D．【解答】解：由，两边平方可得：1﹣2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝．故选：A．4．（5分）的值为（）A．B．πC．D．1【解答】解：＝﹣cos x＝﹣cosπ+cos＝1．故选：D．5．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立．∴α，β是两个不同平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．84【解答】解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥，其中P A⊥底面ABCD，作BE⊥CD，垂足为E 点，底面由直角梯形ABED与直角三角形BCE组成．则V＝＝．故选：B．8．（5分）设m，n，t都是正数，则三个数（）A．都大于4B．都小于4C．至少有一个大于4D．至少有一个不小于4【解答】解：假设三个数都小于4，∵m，n，t都是正数，则m+≥4，n+≥4，t+≥4，则三个数的和不小于12，与小于12矛盾．因此假设不成立，∴三个数中至少有一个不小于4．故选：D．9．（5分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．10．（5分）已知点F1是抛物线C：x2＝4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．【解答】解：设直线F2A的方程为y＝kx﹣1，代入x2＝4y，可得x2＝4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4＝0，∴△＝16k2﹣16＝0，∴k＝±1，∴A（2，1），∴双曲线的实轴长为AF2﹣AF1＝2（﹣1），∴双曲线的离心率为＝+1．故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，k＝1S＝2，不满足条件S＞10，k＝2，S＝6不满足条件S＞10，k＝3，S＝15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．12．（5分）将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点（，0），则ω的最小值是2．【解答】解：将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sinω（x﹣）．再由所得图象经过点（，0），可得sinω（﹣）＝sinω＝0，∴ω＝kπ，k∈z．故ω的最小值是2．故答案为：2．13．（5分）二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于7．【解答】解：展开式的通项为前三项的系数为1，，∴解得n＝8所以展开式的通项为令＝0得r＝2所以展开式的常数项为故答案为：714．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max＝8故答案为：[7，8]．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【解答】解：①f（x）＝，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）＝|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）＝log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y＝x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）已知＝（2λsin x，sin x+cos x），＝（cos x，λ（sin x﹣cos x））（λ＞0），函数f（x）＝•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数＝λsin2x﹣λcos2x＝2λ（sin2x﹣cos2x）＝2λsin（2x﹣），因为f（x）的最大值为2，所以解得λ＝1，则．由，可得：，，所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z．（Ⅱ）由．可得2b2﹣ab＝b2+c2﹣a2，即b2+a2﹣c2＝ab，解得，即．因为，∴，．因为恒成立，则恒成立，即m≤﹣1．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝AA1，∠BAA1＝∠BAC＝60°，点O是线段AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面OA1C；（Ⅱ）若AB＝2，A1C＝，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接OC，OA1，A1B．∵CA＝CB，∴OC⊥AB．∵CA＝AB＝AA1，∠BAA1＝∠BAC＝60°，故△AA1B、△ABC都为等边三角形，∴OA1⊥AB，CO⊥AB，∴OA、OA1、OC两两垂直，以O为原点，OA、OA1、OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝AA1＝2，则B（﹣1，0，0），C1（﹣1，，），O（0，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），＝（0，），＝（0，），＝（0，0，），设平面OA1C的法向量＝（1，0，0），∵＝0，且BC1⊄平面OA1C，∴BC1∥平面OA1C．解：（Ⅱ）∵AB＝2，A1C＝，∴B（﹣1，0，0），C（0，0，），A1（0，），＝（1，0，），＝（1，），设平面BCA1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得，平面ABC的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣A1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为．18．（12分）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为X，求X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为A，B，C，D．由题意知A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得：P（F）＝1﹣P（CD）…（3分）＝…（4分）（II）X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…（5分），，，，．所以，X的分布列是：…（12分）X的数学期望…（13分）19．（12分）对于数列{a n}、{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1﹣（n+1）＝S n+a n+n，a1＝b1＝1，b n+1＝3b n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由S n+1﹣（n+1）＝S n+a n+n，∴S n+1﹣S n＝a n+2n+1，∴a n+1﹣a n＝2n+1，∴a2﹣a1＝2×1+1，a3﹣a2＝2×2+1，a4﹣a3＝2×3+1，…a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1）+1，n≥2，以上各式相加可得：a n﹣a1＝2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），∴a n＝2×+（n﹣1）+1＝n2，n≥2，∴a n＝n2，n≥2，当n＝1时，a1＝1显然成立，故a n＝n2，n∈N*；∵b n+1＝3b n+2，即b n+1+1＝3（b n+1），b1+1＝2，∴数列{b n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，b n+1＝2×3n﹣1，∴b n＝2×3n﹣1﹣1；（2）由（1）可知：c n＝＝＝，∴T n＝c1+c2+…+c n＝+++…+，T n＝+++…+，∴T n＝2++++…+﹣，＝2+﹣，＝﹣，∴T n＝﹣，数列{c n}的前n项和T n，T n＝﹣．20．（13分）已知椭圆C1：的离心率为，且与y轴的正半轴的交点为，抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点．（1）求椭圆C1与抛物线C2的标准方程；（2）过（1，0）的两条相互垂直直线与抛物线C2有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值．（1）设半焦距为c（c＞0），由题意得，∴，【解答】解：∴椭圆C1的标准方程为．设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则，∴p＝4，∴抛物线C2的标准方程为y2＝8x．（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线l1的斜率为k，直线l1方程为y＝k（x﹣1），则另一条直线l2的方程为，联立得k2x2﹣（2k2+8）x+k2＝0，△＝32k2+64＞0，设直线l1与抛物线C2的交点为A，B，则，同理设直线l2与抛物线C2的交点为C，D，则，|CD|＝＝4∴四边形的面积＝＝，令，则t≥4（当且仅当k＝±1时等号成立），．∴当两直线的斜率分别为1和﹣1时，四边形的面积最小，最小值为96．21．（14分）已知函数g（x）＝x2+ln（x+a），其中a为常数．（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）若g（x）存在两个极值点x1，x2，求证：无论实数a取什么值都有．【解答】解：（1）∵g（x）＝x2+ln（x+a），∴函数的定义域为（﹣a，+∞）∴g′（x）＝2x+，令2x+＞0，2x2+2ax+1＞0，当4a2﹣8≤0时，即﹣≤a≤时，g′（x）≥0，即函数g（x）在（﹣a，+∞）单调递增，当4a2﹣8＞0时，即a＞，或a＜﹣时，令g′（x）＝0，解得x＝，或x＝，①若a＞，当g′（x）＞0时，即x＞，或﹣a＜x＜，函数g（x）单调递增，当g′（x）＜0时，即＜x＜，函数g（x）单调递减，②若a＜﹣，g′（x）＞0，即函数g（x）在（﹣a，+∞）单调递增，综上所述：当a≤时，即函数g（x）在（﹣a，+∞）单调递增，当a＞时，函数g（x）在（，+∞）或（﹣a，）上单调递增，在（，）上单调递减，（2）由（1）可知，当a＞时，函数g（x）在（，+∞）或（﹣a，）上单调递增，在（，）上单调递减，x1+x2＝﹣a；x1•x2＝，＝＝a2﹣﹣ln2，g（）＝g（﹣）＝+ln；故﹣g（）＝（a2﹣﹣ln2）﹣（+ln）＝﹣ln﹣ln2﹣；令f（a）＝﹣ln﹣ln2﹣，则f′（a）＝a﹣＝，∵a＞，∴＞0；∴f（a）＝﹣ln﹣ln2﹣在（，+∞）上增函数，且f（）＝0，故﹣ln﹣ln2﹣＞0，故无论实数a取什么值都有．。
2017年山东省烟台市高考数学二模试卷(理科)
2017年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|y=lg（x﹣2）}，B={y|y=2x，x≥0}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．[1，2]D．（1，2）2．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=0.6x+1.1 B．y=3x﹣4.5 C．y=﹣2x+5.5 D．y=﹣0.4x+3.34．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=1+log m x（m＞0且m≠1）的图象恒过点M，若直线（a＞0，b＞0）经过点M，则a+b的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）△ABC内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“acosA=bcosB”是“A=B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）周期为2，且满足，若，则f（5a）=（）A．B．C．D．8．（5分）关于x，y的不等式组，表示的区域为D，若区域D内存在满足t≤3x﹣y的点，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，5]D．[5，+∞）9．（5分）已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．C．ba c＞ab c D．log a c＞log b c10．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称f（x）为“局部奇函数”，已知f（x）=4x﹣m2x+1+m﹣3为定义R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．二、填空题（本大题共有5个小题，每题5分，满分25分）11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值是．12．（5分）若的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为．13．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，，则=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，y0）到其焦点的距离为5，双曲线（b＞0）的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线垂直于直线AM，则其离心率为．15．（5分）函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则=．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知向量，向量，函数．（1）求f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式及其图象的对称中心．17．（12分）如图△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，AD⊥BD，AC⊥BC，平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=1，．（1）证明：DE⊥AB；（2）求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．18．（12分）在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响．（1）求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；（2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n，n∈N*（1）证明数列{a n﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；+1（2）设b n=4log2（a n+1）+3，，求数列{（﹣1）n b n b n+1+c n}的前2n 项和．20．（13分）已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+﹣ax（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=lnx+f（x），若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g （x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．21．（14分）已知点C为圆的圆心，，P是圆上的动点，线段FP的垂直平分线交CP于点Q．（1）求点Q的轨迹D的方程；（2）设A（2，0），B（0，1），过点A的直线l1与曲线D交于点M（异于点A），过点B的直线l2与曲线D交于点N，直线l1与l2倾斜角互补．①直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；②设△AMN与△BMN的面积之和为S，求S的取值范围．2017年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2017•烟台二模）集合A={x|y=lg（x﹣2）}，B={y|y=2x，x≥0}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．[1，2]D．（1，2）【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}=[1，+∞）；∴∁R A=（﹣∞，2]，∴（∁R A）∩B=[1，2]．故选：C．2．（5分）（2017•烟台二模）已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵z（1+i）=1+3i，∴，则．故选：A．3．（5分）（2017•烟台二模）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=0.6x+1.1 B．y=3x﹣4.5 C．y=﹣2x+5.5 D．y=﹣0.4x+3.3【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A，B；再根据回归直线方程经过样本中心（，），把=2，=1.5，代入C、D中，满足1.5=﹣2×2+5.5，C方程成立，D方程不成立．故选：C．4．（5分）（2017•烟台二模）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知半球的半径为1，四棱锥的底面为边长为2的正方形，棱锥的高为3，∴几何体的体积V=+=4+．故选：A．5．（5分）（2017•烟台二模）已知函数y=1+log m x（m＞0且m≠1）的图象恒过点M，若直线（a＞0，b＞0）经过点M，则a+b的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由已知得到指数函数过定点（0，1），得到函数y=1+log m x（m＞0且m≠1）的图象恒过点M（1，1），又直线（a＞0，b＞0）经过点M，所以=1，所以（a+b）（）=2+≥2=4；当且仅当a=b时等号成立；故选：C．6．（5分）（2017•烟台二模）△ABC内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“acosA=bcosB”是“A=B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由A=B⇒a=b⇒acosA=bcosB，反之不成立，例如取，∴“acosA=bcosB”是“A=B”的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）（2017•烟台二模）已知定义在R上的函数f（x）周期为2，且满足，若，则f（5a）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，f（x）在R上周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．∴f（）=f（）=+a．f（）=f（）=||=，∵，即+a=，可得a=则f（5a）=f（3）=f（1）=f（﹣1）=﹣1+=．故选B8．（5分）（2017•烟台二模）关于x，y的不等式组，表示的区域为D，若区域D内存在满足t≤3x﹣y的点，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，5]D．[5，+∞）【解答】解：由已知得到平面区域如图：区域D内存在满足t≤3x﹣y的点，即区域D内存在满足t≤（3x﹣y）max，由题意，当直线y=3x﹣z经过图中A（2，1）时，使得3x﹣y最大，最大为2×3﹣1=5，所以t≤5；故选：C．9．（5分）（2017•烟台二模）已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．C．ba c＞ab c D．log a c＞log b c【解答】解：∵0＜c＜1，a＞b＞1，故c a＜c b，故A不成立；故ac＞bc，ab﹣bc＞ab﹣ac，即b（a﹣c）＞a（b﹣c），即，故B不成立；a c﹣1＞b c﹣1，ab＞0，故ba c＜ab c，故C不成立；log c a＜log c b＜0，故log a c＞log b c，故D成立，故选：D．10．（5分）（2017•烟台二模）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）=﹣f（x0），则称f（x）为“局部奇函数”，已知f（x）=4x﹣m2x+1+m﹣3为定义R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m﹣8=0在t≥2时有解，则g（t）=t2﹣2m⋅t+2m﹣8，其对称轴为t=m，①若m≥2，有△=4m2﹣4（2m﹣8）=4（m2﹣2m+8）≥0恒成立，即m≥4时，满足题意，②若m＜4，要使t2﹣2m⋅t+2m﹣8=0在t≥2时有解，令g（t）=t2﹣2m⋅t+2m﹣8，则有解得﹣2≤m＜2，综上：m≥﹣2，即m的取值范围是[2，+∞）；故选：B．二、填空题（本大题共有5个小题，每题5分，满分25分）11．（5分）（2017•烟台二模）执行如图所示的程序框图，输出的S的值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=1，i=1执行循环体，S=，i=2满足条件i≤3，执行循环体，S=，i=3满足条件i≤3，执行循环体，S=，i=4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为．故答案为：．12．（5分）（2017•烟台二模）若的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为﹣30．【解答】解：由题意可得c n2=c n3，∴n=5．则的展开式的通项公式为通项为C5r（﹣3）r•x，令=1，解得r=1，展开式中x的系数为C53（﹣3）=﹣30，故答案为：﹣30．13．（5分）（2017•烟台二模）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，，则=4．【解答】解：=（+）（+），=（+）（+），=（+）[+（﹣）]，=（+）（+），=++•，=++2×1×=4，故答案为：414．（5分）（2017•烟台二模）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，y0）到其焦点的距离为5，双曲线（b＞0）的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线垂直于直线AM，则其离心率为．【解答】解：由抛物线的定义可知：M（1，y0）到其焦点的距离为5，即1+=5，则p=8，抛物线的标准方程y2=16x，则M（1，4）或M（1，﹣4），假设M（1，4），A（﹣1，0），则AM的斜率为k==2，双曲线的渐近线方程y=±bx，由双曲线C的一条渐近线垂直于直线AM，则﹣b×2=﹣1，故b=．则c===，双曲线的离心率e==，故答案为：．15．（5分）（2017•烟台二模）函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则=2．【解答】解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设出切点为（θ，﹣sinθ），π＜θ＜，则f（x）=sinx的导函数f′（x）=﹣cosx，∴f′（θ）=﹣cosθ=，可得：θ=tanθ，sin2θ=2sinθcosθ．则===2sin2θ+2cos2θ=2．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）（2017•烟台二模）已知向量，向量，函数．（1）求f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式及其图象的对称中心．【解答】解：向量，向量，（1）f（x）=====令，得，∴f（x）的单调减区间为，k∈Z．（2）由（1）知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，因此，令，得，k∈Z∴函数y=g（x）图象的对称中心为，k∈Z．17．（12分）（2017•烟台二模）如图△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，AD⊥BD，AC⊥BC，平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=1，．（1）证明：DE⊥AB；（2）求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：设AB的中点为F，连结DF，CF，∵△ABC与△ABD为等腰直角三角形，AC=BC，AD=BD，∴AB⊥DF，AB⊥CF，又DF∩CF=F，∴AB⊥平面CFD，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DF⊂平面ABC，DF⊥AB，∴DF⊥平面ABC，又EC⊥平面ABC，∴DF∥EC．∴DF与EC可确定唯一确定的平面ECFD．又DE⊂平面ECFD，∴DE⊥AB；（2）以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，2），A（﹣2，0，0），，，．设平面ABE的法向量=（x1，y1，z1），则，即，令y1=1，得=（0，1，﹣2），设平面DBE的法向量=（x2，y2，z2），则，即，令x2=1，得，设二面角D﹣BE﹣A平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴二面角D﹣BE﹣A的余弦值为．18．（12分）（2017•烟台二模）在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响．（1）求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；（2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．【解答】解：（1）设学生甲得分X的所有取值为﹣15，0，15，30，，，，．∴甲得分X的分布列为EX=﹣15×+=12．（2）记事件A：“甲得分不少于15分”，记事件B：“乙得分不少于15分”．，．所以甲、乙两人中至少有一人得分大于等于15分的概率为：．19．（12分）（2017•烟台二模）在数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n，n ∈N*﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（1）证明数列{a n+1（2）设b n=4log2（a n+1）+3，，求数列{（﹣1）n b n b n+1+c n}的前2n项和．【解答】解：（1）由a n=3a n+1﹣2a n，得a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n），+2又a1=1，a2=3，所以a2﹣a1=2﹣a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以{a n+1所以，所以．（2）∵，∴=4n+3，，记数列{（﹣1）n b n b n+1}的前n项和为S n，则S2n=（﹣b1b2+b2b3）+（﹣b3b4+b4b5）+…+（﹣b2n﹣1b2n+b2n b2n+1）=．记数列{c n}的前n项和为T n，则T2n=c1+c2+…+c2n═==．所以数列{（﹣1）n b n b n+1+c n}的前n项和为．20．（13分）（2017•烟台二模）已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+﹣ax（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=lnx+f（x），若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g （x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1），令h（x）=（x﹣1）（x﹣a+1）=0，得x1=1，x2=a﹣1，当a﹣1＞1，即a＞2时，在（0，1），（a﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，在（1，a﹣1）上f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（0，1），（a﹣1，+∞），减区间为（1，a﹣1）；当a﹣1=1，即a=2时，在（0，+∞）上f'（x）＞0，此时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2时，在（0，a﹣1），（1，+∞）上f'（x）＞0，在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（0，a﹣1），（1，+∞），减区间为（a﹣1，1）；当a﹣1≤0，即a≤1时，在（1，+∞）上f'（x）＞0，在（0，1）f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（1，+∞）上单增，减区间为（0，1）．（2）∵，∴，∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程x2﹣ax+a=0（x＞0）的两个不相等实根，∴△=a2﹣4a＞0，且x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），得，整理得，将x1+x2=a，x1x2=a代入得，因为a＞4，所以于是对∀a＞4恒成立，令，则，所以φ'（a）＜0，在（4，+∞）单减，所以φ（a）＜ln4﹣2﹣1=ln4﹣3，因此λ≥ln4﹣3．21．（14分）（2017•烟台二模）已知点C为圆的圆心，，P是圆上的动点，线段FP的垂直平分线交CP于点Q．（1）求点Q的轨迹D的方程；（2）设A（2，0），B（0，1），过点A的直线l1与曲线D交于点M（异于点A），过点B的直线l2与曲线D交于点N，直线l1与l2倾斜角互补．①直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；②设△AMN与△BMN的面积之和为S，求S的取值范围．【解答】解：（1）由题意．∴点Q的轨迹是以点C，F为焦点，焦距为，长轴为4的椭圆，所以，所以点Q的轨迹方程是．（2）①设l1的方程为y=k（x﹣2），联立方程，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，设l1与椭圆除A（2，0）外的另一个交点M（x1，y1），则，，代入l1的方程得，∴，∵l1，l2倾斜角互补，∴l2的方程为y=﹣kx+1，联立方程组，得（1+4k2）x2﹣8kx=0，设l2与椭圆除B（0，1）外的另一个交点N（x2，y2），则，，代入l2的方程得，∴，∴直线MN的斜率为．②设直线MN的方程为，联立方程，得x2+2bx+2b2﹣2=0，由△=（2b）2﹣4×（2b2﹣2）=8﹣4b2＞0，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴．设d1，d2分别为点A，B到直线MN的距离，则，═，当时，S=，当﹣1≤b≤1时，S=，当时，S=，∴S的取值范围为．参与本试卷答题和审题的老师有：742048；sxs123；zhczcb；changq；沂蒙松；左杰；豫汝王世崇；danbo7801；w3239003；whgcn；铭灏2016；zlzhan；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月4日。
(完整版)2017年高考真题——理科数学(全国II卷)+Word版含解析【KS5U+高考】
2017 年一般高等学校招生全国一致考试课标 II 理科数学【试卷评论】【命题特色】2017 年高考全国新课标II 数学卷，试卷构造在保持稳固的前提下，进行了微调，一是撤消试卷中的第Ⅰ卷与第 II 卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是依据中学教课实质把选考题中的三选一调整为二选一．试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技术的观察，着重数学在生活中的应用．同时在保持稳固的基础上，进行适量的改革和创新，与 2016 年对比难度稳中有降．详细来说还有以下几个特色：1．知识点散布保持稳固小知识点会合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大、概率统计一大一小、立体几何两小一大、圆锥曲线两小一大、函数导数三小一大 (或两小一大 )．2．着重对数学文化与数学应用的观察教育部2017 年新订正的《考试纲领（数学）》中增添了数学文化的观察要求．2017 高考数学全国卷II 理科第 3 题以《算法统宗》中的数学识题为背景进行观察，理科19 题、文科 18题以养殖水产为题材，切近生活．3．着重基础，表现核心修养2017 年高考数学试卷整体上保持必定比率的基础题，试卷着重通性通法在解题中的运用，此外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有波及．【命题趋向】1．函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热门，函数性质要点是奇偶性、单一性及图象的应用，导数要点观察其在研究函数中的应用，着重分类议论及化归思想的应用．2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积联合在一同观察，解答题一般分 2 步进行观察．3．分析几何知识：分析几何试题一般有 3 道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会波及，双曲线一般作为客观题进行观察，多为简单题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行观察，运算量较大，可是近几年高考适合控制了运算量，难度有所降低．4．三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮番出现，若解答题为数列题，一般比较简单，要点观察基本量求通项及几种乞降方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般拥有小巧活的特色．【试卷分析】一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．3 i1．1 iA．12i B．12i C．2i D．2i 【答案】 D2．设会合A1,2,4， B x x24x m 0 ．若A I B 1，则BA．1,3B．1,0C．1,3D．1,5【答案】 C【分析】试题剖析：由 AI B1得 1 B ，即x 1 是方程x24x m0 的根，所以1 4m0, m3 ， B1,3，应选 C．【考点】交集运算、元素与会合的关系【名师点睛】会合中元素的三个特征中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的会合，在求出字母的值后，要注意查验会合中的元素能否知足互异性．两个防备：①不要忽略元素的互异性；②保证运算的正确性．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A．1 盏B．3 盏C．5 盏D．9盏【答案】 B4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．36【答案】 B【分析】试题剖析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为 4 的圆柱，其体积 V132 4 36，上半部分是一个底面半径为3，高为 6 的圆柱的一半，其体积V21(326) 27，故该组合体的体积V V1V2362763．应选B．2【考点】三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图复原为空间几何体的实质形状时，要从三个视图综合考虑，依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线．在复原空间几何体实质形状时，一般是以正视图和俯视图为主，联合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的要点是由三视图确立直观图的形状以及直观图中线面的地点关系和数目关系，利用相应体积公式求解．2x3y305．设x，y知足拘束条件2x3y30 ，则 z2x y 的最小值是y 3 0A．15B．9C．D．【答案】 A6．安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由 1 人达成，则不一样的安排方式共有A．12 种B．18 种C．24 种D．36种【答案】D【分析】试题剖析：由题意可得，一人达成两项工作，其余两人每人达成一项工作，据此可得，只需把工作分红三份：有C24种方法，而后进行全摆列，由乘法原理，不一样的安排方式共有C24 A 3336 种．应选D．【考点】摆列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（ 1）解摆列组合问题要按照两个原则：①按元素(或地点 )的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．详细地说，解摆列组合问题常以元素(或地点 )为主体，即先知足特别元素(或地点 )，再考虑其余元素 (或地点 )．（2）不一样元素的分派问题，常常是先分组再分派．在分组时，往常有三种种类：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各样分组种类中，不一样分组方法的求解．7．甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位优秀，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩．依据以上信息，则A．乙能够知道四人的成绩B．丁能够知道四人的成绩C．乙、丁能够知道对方的成绩D．乙、丁能够知道自己的成绩【答案】 D8．履行右边的程序框图，假如输入的a 1 ，则输出的 SA．2B．3C．4D． 5【答案】 B2 22C :a 2b 29．若双曲线 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线被圆 x 2y 2 4 所截得的弦x y长为 2，则 C 的离心率为A ． 2B ． 3C ． 22 3D ．3【答案】 A【分析】试题剖析： 由几何关系可得， 双曲线x 2y 2 1 a 0, b0 的渐近线方程为bx ay 0 ，a 2b 2圆心 2,0到渐近线距离为d22 123 ，则点 2,0 到直线 bx ay0 的距离为2b a 02b ，db 23a 2 c即 4(c 2 a 2 ) 3 ，整理可得 c 24a 2 ，双曲线的离心率 ec 24 2 ．应选 A ．c 2a 2【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的地点关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率 (或离心率的取值范围 )，常有有两种方法：①求出a ，c ，代入公式 ec；②只需要a依据一个条件获得对于 a ，b ，c 的齐次式，联合 b 2＝c 2－ a 2 转变为 a ，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 的方程 (不等式 )，解方程(不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．10．已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC 120 ，AB 2 ，BC CC1 1，则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为315103 A．B．C．D．2553【答案】 C11．若x2是函数 f ( x) ( x2ax1)e x 1的极值点，则 f ( x) 的极小值为A．1B．2e3C．5e3D． 1【答案】 A【分析】试题剖析：由题可得 f (x)(2 x a)e x 1(x2ax 1)e x 1[ x2(a2) x a 1]e x 1，由于 f(2) 0，所以 a 1 ，f ( x) ( x2x1)e x 1，故 f ( x)( x2x2)e x 1，令 f ( x) 0 ，解得x 2 或 x 1 ，所以 f ( x)在( , 2),(1,) 上单一递加，在 ( 2,1)上单一递减，所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 1 1)e1 11，应选A．【考点】函数的极值、函数的单一性【名师点睛】（1）可导函数 y＝ f(x)在点 x0处获得极值的充要条件是 f ′(x0)＝ 0，且在 x0左边与右边f ′(的符号不一样学*；（）若f(x)在，内有极值，那么f(x) x)2(a b)在(a，b)内绝不是单一函数，即在某区间上单一增或减的函数没有极值．12．已知△ABC是边长为uuur uuur uuur2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA ( PB PC )的最小是A．23C．4D．1 B．32【答案】 B解等问题，而后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次， X 表示抽到的二等品件数，则DX____________．【答案】 1.96【分析】试题剖析：由题意可得，抽到二等品的件数切合二项散布，即X ~ B 100,0.02 ，由二项散布的希望公式可得DX np 1 p 100 0.02 0.98 1.96 ．【考点】二项散布的希望与方差【名师点睛】判断一个随机变量能否听从二项散布，要看两点：①能否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率能否均为p；②随机变量能否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且 p X k C n k p k 1 p n k表示在独立重复试验中，事件 A 恰巧发生 k 次的概率．14．函数f ( x) sin2x 3 cos x3( x[0, ]) 的最大值是____________．42【答案】 115．等差数列a的前 n 项和为S n，a33， S4n 1n10 ，则____________．k 1S k2n【答案】1n【分析】16．已知F是抛物线C :y28x 的焦点，M是C上一点，FM的延伸线交y 轴于点N．若M 为 FN 的中点，则 FN ____________．【答案】 6【分析】试题剖析：以下图，不如设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l 与点B， NA l 与点A，由抛物线的分析式可得准线方程为x2，则AN2, FF' 4 ，在直角梯形AN FF '3，由抛物线的定ANFF' 中，中位线BM2义有： MF MB 3 ，联合题意，有 MN MF 3，故 FN FM NM33 6 ．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在分析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转变．假如问题中波及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．所以，波及抛物线的焦半径、焦点弦问题，能够优先考虑利用抛物线的定义转变为点到准线的距离，这样就能够使问题简单化．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22、23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（ 12 分）△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c，已知sin A C8sin 2B．2（1）求cosB；（2）若a c 6，△ABC的面积为2，求b．【答案】（ 1）cosB 15；（ 2）b 2．17“边转角”“角转边”，此外要注意a c, ac, a2c2三者之间的关系，这样的题目小而活，备授命题者的喜爱．18．（ 12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机抽取了100 个网箱，丈量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频次散布直方图以下：（ 1）设两种养殖方法的箱产量互相独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，预计 A 的概率；（ 2）填写下边列联表，并依据列联表判断能否有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥ 50kg旧养殖法新养殖法（ 3）依据箱产量的频次散布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值（精准到0.01）．附：，n(ad bc)2K 2(a b)(c d)( a c)(b d)【答案】（ 1）0.4092；（2 ）有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg．【考点】独立事件概率公式、独立性查验原理、频次散布直方图预计中位数【名师点睛】（1）利用独立性查验，能够帮助我们对平时生活中的实质问题作出合理的推测和展望．独立性查验就是观察两个分类变量能否有关系，并能较为正确地给出这类判断的可信度，随机变量的观察值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．（2）利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．19 ．（ 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面，1ABC 90o,E是 PDABCD AB BC AD , BAD2的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角 M AB D 的余弦值．【答案】（ 1）证明略；（ 2）10．5【考点】判断线面平行、面面角的向量求法【名师点睛】（1）求解此题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不必定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要仔细仔细、正确计算．（2）设 m，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有 |cos θ|＝|cos<m，n>|= m n．求解时必定要注意联合实质图形判断所求角m n 是锐角仍是钝角．20．（ 12 分）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：x2y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点 P 2uuur uuuur 知足 NP2NM ．（ 1）求点 P 的轨迹方程；uuur uuur（ 2）设点 Q 在直线x3上，且OP PQ 1 ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F．【答案】（ 1）x2y 2 2 ；（2）证明略．【考点】轨迹方程的求解、直线过定点问题【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件成立x，y 之间的关系 F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的种类，求曲线方程．（3）定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入 (有关点 )法：动点 P(x，y)依靠于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x， y)的轨迹方程．21 ．（ 12 分）已知函数 f ( x) ax 2 ax x ln x ，且 f ( x)0 ．（ 1）求 a ；（ 2）证明： f ( x) 存在独一的极大值点 x 0 ，且 e 2f ( x 0 ) 2 2 ．【答案】（ 1） a1；（2）证明看法析．（ 2）由（ 1）知 f xx 2 x x ln x ， f ' ( x) 2x2ln x ．设 hx2x2 ln x ，则 h' ( x)2 1．x当 x(0, 1) 时， h' ( x)0 ；当 x( 1,) 时， h' ( x)0 ，22所以 h x在 (0,1) 上单一递减，在 ( 1, ) 上单一递加．2 2又 h e20， h( 1)0 ， h 10 ，所以 h x 在 (0,1) 有独一零点 x 0，在[1, ) 有2 2 2独一零点 1，且当 x0, x 0 时， h x0 ；当 x x 0,1 时， h x 0 ，当 x 1,时， h x0 ．由于 f ' (x) h x ，所以 xx 0 是 f x 的独一极大值点．由 f ' ( x 0 )0 得 ln x 02 x 0 1 ，故 f x 0 x 0 1 x 0 ．由x00,1得 f x0 1 ．4由于 x x0是f x 在（0，1）的最大值点，由e10,1，f '(e1) 0 得 f ( x0 ) f (e 1 ) e 2．所以e2f x022 ．【考点】利用导数研究函数的单一性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单一性、极值(最值 )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考取，对导数的应用的观察都特别突出．导数专题在高考取的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的观察主要从以下几个角度进行：（ 1）观察导数的几何意义，常常与分析几何、微积分相联系；（ 2）利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单一性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值 )，解决生活中的优化问题；（4）观察数形联合思想的应用．（二）选考题：共10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22．选修 4―4：坐标系与参数方程]（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．（ 1） M 为曲线C1上的动点，点P 在线段 OM 上，且知足| OM | |OP | 16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为(2,) ，点B在曲线 C2上，求△OAB面积的最大值．3【答案】（ 1）224 x 0 ；（2） 2 3 ．x 2y（ 2）设点 B 的极坐标为B ,B 0 ，由题设知 OA 2,B 4cos，于是△ OAB 的面积S1OA B sin AOB 4cos| sin() | 2 |sin(2) 3 |23.2332时， S 获得最大值2 3 ，所以△OAB面积的最大值为 2 3 ．当12【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值【名师点睛】此题观察了极坐标方程的求法及应用。
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2017年山东省枣庄市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（ ）
A．2 B． C．﹣2 D． 2．（5分）已知全集U={x|y=log2（x﹣1）}，集合A={x||x﹣2|＜1}，则∁UA=（ ） A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（1，3） D．（﹣∞，1] 3．（5分）已知命题“若x＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=2，f（β）=2，且|α﹣β|的最小值是，则正数ω的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5分）已知在平面直角坐标系xOy内的四点A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 6．（5分）如图是某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的数学成绩（百分制）的茎叶图，甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1，x2，得分的方差分别为y1，y2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜x2，y1＜y2 B．x1＜x2，y1＞y2 C．x1＞x2，y1＞y2 D．x1＞x2，y1＜y2
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为圆心且与直线mx﹣y﹣2m+1=0
（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ） A．x2+y2=5 B．x2+y2=3 C．x2+y2=9 D．x2+y2=7 8．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x﹣2）；当0≤x≤1时，f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）等于（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同
一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=则此函数的“和谐点对”有（ ） A．0对 B．1对 C．2对 D．4对
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是 ． 12．（5分）若直线y=k（x+2）上存在点（x，y）∈{（x，y）|x﹣y≥0，x+y≤1，y≥﹣1}，则实数k的取值区间为 ． 13．（5分）有两对夫妇各带一个小孩到动物园游玩，购票后排成一队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为 ．（用数字作答）
14．（5分）已知椭圆C：的长轴长为4，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为7，则b的值为 ．
15．（5分）已知min{{a，b}=f（x）=min{|x|，|x+t|}，函数f（x）的 图象关于直线x=﹣对称；若“∀x∈[1，+∞），ex＞2mex”是真命题（这里e是自然对数的底数），则当实数m＞0时，函数g（x）=f（x）﹣m零点的个数为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（）． （1）求函数f（x）在（）上的值域； （2）在△ABC中，f（C）=0，且sinB=sinAsinC，求tanA的值． 17．（12分）已知等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a4+2成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点． （1）求证：CD∥平面POA； （2）若PO⊥底面ABCD，CD⊥PB，AD=PO=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．
19．（12分）某公司有A、B、C、D、E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6．已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、
D两辆汽车每天出车的概率均为，五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下： 工作日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 限行车牌尾号 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9 例如，星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行． （1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率； （2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望． 20．（13分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|﹣1． （1）求抛物线C的方程； （2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点． （i）证明点P在△NAB的外接圆上； （ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax有极值1，这里e是自然对数的底数． （1）求实数a的值，并确定1是极大值还是极小值； （2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求实数m的取值范围． 2017年山东省枣庄市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2017•枣庄二模）若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（ ） A．2 B． C．﹣2 D．
【解答】解：由为纯虚数， 得，解得a=﹣2． 故选：C．
2．（5分）（2017•枣庄二模）已知全集U={x|y=log2（x﹣1）}，集合A={x||x﹣2|＜1}，则∁UA=（ ） A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（1，3） D．（﹣∞，1] 【解答】解：全集U={x|y=log2（x﹣1）}=（1，+∞）， 集合A={x||x﹣2|＜1}={x|﹣1＜x﹣2＜1}={x|1＜x＜3}=（1，3）， 则∁UA=[3，+∞）， 故选：B
3．（5分）（2017•枣庄二模）已知命题“若x＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：原命题“若x＞1，则2x＜3x”， 则它的逆命题：若2x＜3x，则x＞1，为假命题； 否命题：若x≤1，则2x≥3x，为假命题； 逆否命题：若2x≥3x，则x≤1，为真命题． 其中真命题的个数是：1． 故选：B．
4．（5分）（2017•枣庄二模）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=2，f（β）=2，且|α﹣β|的最小值是，则正数ω的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．
由f（α）=2，f（β）=2，且|α﹣β|的最小值是， ∴函数f（x）的最小值周T=． ∴．
故选：D． 5．（5分）（2017•枣庄二模）已知在平面直角坐标系xOy内的四点A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5）， 可得=（2，2），=（﹣1，3）， •=2×（﹣1）+2×3=4， ||==， 则向量在向量方向上的投影为： ==． 故选：A．
6．（5分）（2017•枣庄二模）如图是某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的 数学成绩（百分制）的茎叶图，甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1，x2，得分的方差分别为y1，y2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜x2，y1＜y2 B．x1＜x2，y1＞y2 C．x1＞x2，y1＞y2 D．x1＞x2，y1＜y2
【解答】解：由茎叶图，知甲的成绩是75，83，85，85，92，
乙的成绩是74，84，84，85，98， 故x1=85，x2=84，故x1＞x2， 而甲的平均数是（75+83+85+85+92）=84，
乙的平均数是（74+84+84+85+98）=85， 故y1=（81+1+1+1+64）=29.6， y2=（121+1+1+0+169）=58.4， 故y1＜y2， 故选：D．
7．（5分）（2017•枣庄二模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为圆心且与直线mx﹣y﹣2m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ） A．x2+y2=5 B．x2+y2=3 C．x2+y2=9 D．x2+y2=7 【解答】解：直线mx﹣y﹣2m+1=0过定点P（2，1），如图，
∴当圆与直线mx﹣y﹣2m+1=0切于P时，圆的半径最大为．