2019届三湘名校教育联盟高三第一次大联考数学(文)试题含答案
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学(理)试题
○…………外○…………内绝密★启用前湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-…，{1,0,1,2,3}B =-，则()U A B ð的子集个数为（） A ．2B ．4C ．8D ．162．若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ） A ．23钱 B ．1钱 C ．43钱 D ．53钱 4．已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A ．B ．…○…………线…………○……※※…○…………线…………○……C．D．5．已知，均为单位向量，，则A．B．C．D．6．ABC∆内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ABC∆为锐角三角形”是“222a b c+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在ABC∆中，1AB=，3AC=，1AB BC⋅=，则ABC∆的面积为（）A．12B．1 C D8．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．设4log3a=，8log6b=，0.10.5c-=，则（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．c b a>>10．定义在R上的奇函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-，且当[0,1]x∈时，()(32)f x x x=-，则29(2f=（）A．1-B．12-C．12D．111．设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩…，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞12．若(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1x kx x ++>+恒成立，则整数k 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________． 14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.15．已知()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数，则ab=__________． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当nS 取最大值时，n 的值为______. 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+． （1）求A ；（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，DAB π∠=，求tan C ．19．已知函数()()cos sin 4f x x x α=+-，0απ<<，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12y x b =+. （1）求α与b 的值；（2）求()f x 的最大值及单调递增区间.20．已知数列{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．已知函数()2xf x e ax a =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≤时，()2f x ≥，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()ln 1,f x x ax a =-+∈R ． （1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，直线AB 的斜率为k ，若120x x k ++>恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】 【分析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进行计算可得. 【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞，∴(){1,3}U C A B =-，∴子集个数为4．故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题. 2．C 【解析】 【分析】先由复数的除法得1322z i =-+，再求其共轭复数即可得解. 【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-. 1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解． 【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ，又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,故选C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求 ，代入即可求解． 【详解】解： ， 均为单位向量，且 ，，， 则，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 6．A【分析】由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】当△ABC 为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时222a b c +>成立，当222a b c +>成立时，由余弦定理可得cos C ＞0，即C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定，故ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得sin A =，再利用面积公式即可得解. 【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =.所以sin 3A ==.所以ABC ∆的面积为11sin 132232AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8．D 【解析】利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律，得出结论． 【详解】解：函数，故将函数 的图象向右平移个单位，可得 的图象， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数 的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b << ,通过指数函数的性质可得1c > .【详解】2log a =，2log b =，660-<，∴1a b <<，0.121c =>，故选D ．【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题. 10．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-．【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题. 11．B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x …时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a …．故选B ． 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12．C 【解析】 【分析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立, 即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得. 【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=，令g (x )x 1l n (x 1)(x 0)=--+>，则()01xg x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)a a =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；当0x a <<时，g(x)0<，()0h x '<，∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈，故整数k 的最大值为3．故选C ．【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题. 13．16【解析】 【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图:结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰．【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.14．45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15．2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得. 【详解】 由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax ax axax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，2ab=． 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16．674 【解析】【分析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】由()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，可得()*112,n n n n SS S S n n N ---=≥∈. 所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0nS <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674. 【点睛】本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.17．（1）41n a n =-（2）()343nn +【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可； （2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.（2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题. 18．（1）23π；（2. 【解析】 【详解】分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解； （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BCC =,①，在Rt ABC 中， ()sin 30cC BD+=,②，联立①和②可得解. 详解：（1）由已知条件和余弦定理得：222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即： 222a b c bc --=则2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<，23A π∴=. （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()sin 30cC BD+=,② 由①②可得：()sin 30sin CC +=即：1cos 22sin C C C =,化简可得：tan C =点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．（1）3πα=,4b =（2）最大值12，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+，由()1'02f =得3πα=，从而得解； （2）由1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】（1）()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+，()1'02f =，3πα=，()04f =，4b =.（2）()21sin cos 2f x x x x =11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当2232x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.20．（1）2nn a =（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2n n a =；（2）由2nn b n =⋅，利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =. 当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--， ∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2n n a =， ∵1n =也适合，∴2nn a =. （2）2nn b n =⋅，∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅， 两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】 【分析】（1）求函数导数得()'xf x e a =+，分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单调性；（2）令()xh x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-，讨论0a =，0a >和10a -≤<时，利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】（1）()'xf x e a =+，若0a ≥，则()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；若0a <时，由()'0f x >得()ln x a >-，由()'0f x <得()ln x a <-，∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增.（2）当0x ≤时，22x e ax a +++≥，即0x e a x a ++≥，令()x hx e a x a =++，则()00h ≥，1a ≥-，当0a =时，()0xh x e =>，满足题意；当0a >时，()'0xh x e a =+>，∴()h x 在(],0-∞上递增，由xy e =与()1y a x =-+的图像可得()0h x ≥在(],0-∞上不恒成立；当10a -≤<时，由()'0xh x e a =+=解得()ln x a =-，当()ln x a <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()ln 0a x -<≤时，()'0h x >，()h x 单调递增.∴()h x 在(],0-∞上的最小值为()()ln h a -，∴()()()ln ln 0h a a a -=-≥，解得10a -≤<.综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.22．（1）(0,1)（2）(-∞ 【解析】 【分析】(1)求导得1()f x a x'=-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点, 当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11()ln 0f a a=>，解得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e < 得到()f x 在11(,)e a上有1个零点；根据1()0f a >,22f ()0e a <,得到()f x 在221(,)ea a上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,分离变量变成min 1(2)a x x+…,最后用基本不等式求得最小值,代入即得. 【详解】 （1）1()f x a x'=-，0x >， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点； ②当0a >时，在区间1(0,)a 上，()0f x '>；在区间1(,)a+∞上，()0f x '<．∴()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a +∞是减函数，11()ln0f a a=>，解得01a <<，此时2211e e a a<<，且1()110a a f e e e =--+=-<，∴()f x 在11(,)e a 上有1个零点；2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a=--+=--<<， 令2()32ln e F a a a =--，则222222()0e e a F x a a a-'=-+=>，∴()F a 在(0,1)上单调递增，∴2()()130F a F e <=-<，即22f ()0e a <，∴()f x 在221(,)ea a上有1个零点．∴a 的取值范围是(0,1)． （2）由题意得22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-，∴2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-， ∴2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数，∴1()20m x x a x'=+-…在(0,)+∞上恒成立，∴min 1(2)a x x +…，∵0x >，∴12x x +=…当且仅当12x x =时，即x =取等号，∴a …∴a 的取值范围是(-∞． 【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.。
2019届高三理科数学第一次大联考试题附答案
2019届高三理科数学第一次大联考试题附答案姓名准考证号(在此卷上答题无效）绝密★启用前三湘名校教育联盟•2019届高三第一次大联考理科数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={ <0}，B={ >1},则=A. (1,3)B. (1,6)C. (2,3)D. (2,6)2.已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为A.-2B.-1C.1D.23.设向量，则下列结论中正确的是A.a//bB.(a+b)丄bC.(a-b)丄bD.|a-b|=|b|4.已知x，y满足约束条件,则的最小值为A. B. 1 C. D.25.“”是“函数为奇函数”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.487.设,则A. a<b〈cB. b<a<cC.c〈a〈bD. c<b〈a8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为9.过双曲线C: (a>b>0)的一个焦点F向其一条渐近线引垂线，垂足为E，0为坐标原点，若△OEF的面积为1，其外接圆面积为，则C的离心率为A. B. C.2 D.10.设>0，>0,将函数的图像向左平移个单位长度得到图像C1，将函数的图像向右平移个单位长度得到图像C2，若C1与C2重合，则A. B. C. D.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为A. B. C. D.12.已知函数，若且，则的最小值为A. B. C. D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南名校联盟2019届高三五月大联考文科数学试题及参考答案
姓名________________ 准考证号________________（在此卷上答题无效）绝密★启用前湖南名校联盟·2019届高三五月大联考文科数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|23}A x a x a =-<<+，{|(1)(4)0}B x x x =-->，若A B R ⋃=，则a 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞B.(1,3)C.[1,3]D.[3,)+∞2.复数31iz i-=+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3618S S +=，则5S =（ ） A.5B.9C.10D.144.已知x ，y 满足约束条件31021010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++⎩…，则z y x =-的最大值为（ ）A.1-B.13C.2D.35.已知双曲线2221(0)2y x a a -=>的一条渐近线方程为y =，则双曲线的焦点坐标为（ ）A.(B.(C.(0,D.(0,6.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数.在区间[2,5]上任取实数x ，则[][3]x x =的概率为（ ）A.14B.13C.12D.237.函数()ln x x e e y x-+=的图像大致为（ ）A. B. C. D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.20213ππ+B.16213ππ+C.1613ππ+D.1213ππ+9.设3log 24a =，9log 64b =，512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.c b a >>10.执行如图所示程序框图，输出的结果是（ ）A.1213-B.1011-C.1011D.121311.已知三棱锥P ABC -的顶点都在半径为53的球面上，1AB =，3BC =，2AC =，则三棱锥P ABC-体积的最大值为（ ） 3B.133312.已知函数2()333()xf x ae x x a Z =-+-∈在区间(0,2]上有零点，则a =（ ） A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(2,1)a =-r ，(0,1)b =r ，()3a kb b +⋅=r r r，则k =________.14.将函数()cos()||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于原点对称，则ϕ=_______. 15.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S .若数列{}n a 与12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭都是公比为q 的等比数列，则4S =________.16.已知直线2y x b =+与抛物线24x y =相切于点A ，F 是抛物线的焦点，直线AF 交抛物线于另一点B ，则||BF =________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知,,a b c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，且2222cos2a bc B b c +⋅=+. （1）证明：2A B =； （2）若3a =，1b =，求ABC △的面积.18.（12分）某科研单位到某大学的光电信息科学工程专业招聘暑期实习生，该专业一班30名同学全部报名，该科研单位对每个学生的测试是光电实验，这30名学生测试成绩的茎叶图如图所示.（1）求男同学测试成绩的平均数及中位数；（2）从80分以上的女同学中任意选取3人，求恰有2人成绩位于[80,90)的概率；（3）若80分及其以上定为优秀，80分以下定为合格，作出该班男女同学成绩“优秀”、“合格”的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为该次测试是否优秀与性别有关？ 附：()2P K k … 0.15 0.10 0.05 0.01k2.072 2.7063.841 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.（12分）如图，ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，24AB CD ==，10BC AD ==BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面BDEF ； （2）若D 到平面ACE 的距离为233，求几何体ABCDEF 的体积. 20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为22，连接其四个顶点构成的四边形的面积为23（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是C 上关于原点对称的两点，且A ，B 不在x 轴上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得直线MA 与直线MB 的斜率积MA MB k k ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 21.（12分）已知函数()2()2ln f x ax x x x =-+. （1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a y a θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，0a ≠），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（1）写出1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）若在1C 上至少存在一点P 到2C 的距离为1，求a 的取值范围.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数22()f x x a x b =-++.（1）若2a b =，(1)10f <，求a 的取值范围；（2）若3a b +=，证明：9()2f x ….高三文科数学参考答案13.4 14.6π 15.40 16.5417.解析：（1）由已知及余弦定理得2222cos22cos b c a bc B bc A +-==， ∴cos cos2A B =，2A B =.（2）由（1）及正弦定理得sin 2sin a b B B =，∴cos B =6B π=，3A π=，∴2C π=，∴ABC △的面积为1122⨯=. 18.解析：（1）1(697476787982838585868891929597)8415x =++++++++++++++=， 中位数是85.（2）设成绩位于[80,90)的三个女同学为a ，b ，c ，90以上的两个女同学为A ，B .从中任取3人的情形有：,,,,,,,,,abc abA abB acA acB aAB bcA bcB bAB cAB ，共10种情形， 满足条件的有6种， 故概率为35. （3）22⨯列联表为2230(101055) 3.333 2.70615151515K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为该次测试成绩是否优秀与性别有关.19.解析：（1）如图，设AC BD O =I ，过C 向AB 作垂线交于H ， 则1BH =，3AH =，3CH =，32AC =，∵2AB AOCD OC==，22AO BO ==，∴222AO BO AB +=，∴AC BD ⊥. ∵DE BD ⊥，平面BDEF ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE AC ⊥.∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接OE ，由（1）知平面ACE ⊥平面ODE ，过D 向OE 作垂线交于P ， ∴DP ⊥平面ACE ，∴DP 即为D 到平面ACE 的距离， 设DE a =，∴223232OD DE aOE a⋅==+，解得2a =，∴132232123V =⨯⨯⨯=.20.解析：（1）根据题意可得2c =，3ab =23a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）设()11,A x y ，()11,B x y --，(,0)M m ，则根据题意可得11MA y k x m=-，11MB y k x m -=--，∴211122111MA MBy y y k k x m x m x m -⋅=⋅=----， 又()222111111333y x x =-=-，∴()2211222211131333MA MB x x k k x m x m--⋅==-⋅--，∴当23m =时，13MA MB k k ⋅=-，此时点M 的坐标为(. 21.解析：（1）当12a =时，11()(2)ln 21(2)ln 22f x x x x x x ⎛⎫'=-+-+=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得2x >或120x e -<<；由()0f x '<得122ex -<<，∴()f x 的增区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，减区间为12,2e -⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由()0f x >得ln 2ln 1ax x x >-，若1x >，则21ln a x x x >-，设21()ln g x x x x =-，2222221ln (2ln 1)(ln 1)()ln ln x x x g x x x x x x++-'=-+=-， ∵1x >，∴2ln 10x +>，∴当x e >时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，此时()g x x e =处取得最大值1()g e e =，∴1a e>. 若1x =，不等式恒成立，a R ∈.若01x <<，则21ln a x x x <-，由以上知()g x 在12x e -=处取得最小值12g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时a <综上，a 的取值范围是1e⎛ ⎝.22.解析：（1）1C 的普通方程为222(1)x y a +-=，2C 的直角坐标方程为y =.（2）由（1）知1C 是圆心为(0,1)，半径为||a 的圆，且圆心(0,1)到直线y =的距离为12，∵在1C 上至少存在一点P 到2C 的距离为1， ∴必须满足1||12a +≥，即1||2a =，解得12a …或12a -„. 23.解析：（1）当2ab =时，22()4a f x x a x =-++，由(1)10f <得2211104a a -++<，当21a ≤时，22231121044a a a -++=-<恒成立，此时21a ≤；当21a >时，2225111044a a a -++=<，28a <，此时218a <<，综上可得28a <，(a ∈-.（2）∵222a b ab +…，∴()2222()9a b a b ++=…，2292a b +…， ∴()()2222229()2f x x a x b x ax b ab =-++--+=+厖.。
2019届湖南省三湘名校高三第二次大联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前
湖南省三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考
数学（文）试题
（解析版）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,则下列能正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为,,所以集合和只有一个公共元素0.故选A.
2.给出如下列联表
,参照公式,得到的正确结论是（）
A. 有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”
B. 有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“高血压与患心脏病无关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“高血压与患心脏病有关”
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给的列联表,利用公式求出这组数据的观测值,把观测值同临界值进行比较,即可得到结果.
【详解】由列联表中的数据可得的观测值,
,
根据参考数据：
,
有的把握认为高血压与患心脏病有关,
即有的把握认为高血压与患心脏病有关,故选B.
【点睛】本题考查独立性检验的应用,属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系,作统计判断.
3.设复数,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案.。
湖南省三湘名校(五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学(理)试卷(解析版)
2019届高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后取补集即可.【详解】=,全集则故选：C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则="( " )A. B. C. 0 D. 4【答案】C【解析】由题知，故，∴，故选择C。
2019届湖南省三湘名校教育联盟高三第一次大联考语文试题(解析版)
2019届湖南省三湘名校教育联盟高三第一次大联考语 文注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、选择题阅读下面的文字，完成下列小题。
天坛，不仅因世界上现存最大的祭天建筑群而著称，其形态各异、历史悠久的古柏群也 。
天坛名柏很多，以干纹奇特优美而驰名的“九龙柏”就是其中的代表。
“九龙柏”是明永乐十八年所植，如今巍然屹立在回音壁外西北侧，它高达18米，树干周长达3.8米。
它的奇特之处在于躯干上布满了突出的干纹，从上往下扭结纠缠，像数条巨龙绞身盘绕。
细细品味， 。
然而这既不是人工雕琢，也不是画工彩绘，却是树体本身天长日久 ！“九龙柏”之所以生长成这样，据林学家考证看，可能是因表皮细胞分裂不均造成的结果。
除了“九龙柏”，天坛还有“迎客柏”“问天柏”“莲花柏”“卧龙柏”等一大批有名柏树。
( )?这是因为，柏树常青长寿，其木质芳香，经久不朽，人们视其为吉祥昌瑞之树，在天坛大量种植。
每年定期为古树施肥复壮，在地面打孔通气，改良土壤，增加保护设施，加强树周施工监管……多措并举之下，近几年，天坛公园没有一棵古树病亡。
众多古树虽已数百岁高寿，至今仍是枝繁叶茂、苍翠挺立，把天坛点缀得 、生机盎然。
1．依次填入文中横线上的成语，全都恰当的一项是（ ） A ． 举世瞩目惟妙惟肖浑然天成美轮美奂 B ． 举世闻名栩栩如生巧夺天工美轮美奂C ． 举世闻名栩栩如生浑然天成古色古香D ． 举世瞩目惟妙惟肖巧夺天工古色古香2．文中画波浪线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（ ） A ． 据林学家考证，可能是因表皮细胞分裂不均造成的。
2019届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次大联考数学(理)试题Word版含答案
2019届湖南省三湘名校教育联盟第三次大联考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}32|31,|4120x A x B x x x +=<=-->，则()R C A B = A. [)3,2-- B.(],3-∞- C. [)()3,26,--+∞ D.()()3,26,--+∞2.已知命题:p ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >，则下列命题为真命题的是A. p 的逆命题B. p 是否命题C. p 逆否命题D. p 的否定3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭ A. 1 B. 1- C. 0 D. 24.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，输出n 的值为N,则在区间[]1,4-上随机选取一个数M,1M N ≥-的概率为A. 15B. 25C. 35D. 455.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数2i e 在复平面内位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三四象限D.第四象限6.函数cos ln x y x=-的图象大致是7.()9214x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为 A. 36 B. -144 C. 60 D.-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为 A.32π B. 3π C. 33π D. 83π 9.体育课排球发球项目考试的规则是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，则X 的期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是 A. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1011.如图，抛物线()220y px p =>和圆220x y px +-=，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A,B,C,D 四点，2AB CD ⋅=则p 的值为 22 D.22 12.已知函数()()33f x ax a x =+-在[]1,1-的最大值为3，则实数a 的取值范围是 A. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []3,3-D. []3,12- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3040S =，则38a a ⋅的最大值为 .14.已知实数,x y 满足2220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则z ax y =+的最小值为1，则a = .15.以40km/h 向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向向正东飘去，3min 后气球上升到1km 处，从探测船上观察气球的仰角为30，则气球的水平漂移速度是为 km/h.16.已知平面向量,a b 满足2a b ==，存在单位向量e ，使得()()0a e b e -⋅-=，则a b -的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()()sin sin ,0.3f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭（1）若()f x 在[]0,π上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求ω的取值范围； （2）若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且()003f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求ω的值.18.（本题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布子啊某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.（1）在答题卡上分别画出y 关于t 的散点图，z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并子啊两个模型下分别估计温度为的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.855.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19.（本题满分12分）已知三棱台111ABC A B C -中，11114,222,1AB BC AC AC AA CC ======,平面11ABB A ⊥平面11ACC A（1）求证：1BB ⊥平面11ACC A ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B --的大小为30，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为12,F F 是圆内一个定点，且122F F =，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD 与半径1PF 的交点为Q,当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线为E,以12F F 所在的直线为x 轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为12,A A （1A 在2A 的左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M,N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线12,A M A N交于点T ，求证：动点T 恒在定直线l '上，并求出l '的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x x x x a =--（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x ≤恒成立，且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(),1,a n n n Z ∈+∈的n 的值，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖南省三湘名校教育联盟2018年高2016级高三第一次大联考文科数学试题及参考答案
姓名 准考证号(在此卷上答题无效) 绝密★启用前三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷 上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,毎小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝R,集合 A ＝＝{145|2--x x x <0},B ＝{3<<3|x x - },则图中阴影部分表示的集合为 A.(－3,－2] B.(－2,3] C.(2,3] D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-,则λ A.－3 B.－1 C.1 D.24.函数2||ln ||)(xx x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列,数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ,且442=+b b ,则3a 的值为A.1B.2C.4D.166.设Z a ∈,函数 a x e x f x -+=)(,若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题,则a 的取值个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.8 B.16 C.24 D.488.在区间[－2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x =+2有交点的概率为21,则a ＝ A.41 B.21C.1D.2 9.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”。
[首发]湖南省三湘名校教育联盟2019届高三下学期第三次联考数学(文)试题含答案
三湘名校教育联盟2019届高三第三次大联考文科数学注意事项：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟.（2）作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.（3）考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.（4）考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上，并将考号二维码粘贴在答题卡上的指定位置.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为实数集R ，集合{}2|30A x x x =-<，{}|21x B x =>，则()R C A B =I （ ）A. (][),03,-∞+∞UB. (]0,1C. [)3,+∞D. [)1,+∞ 2. 已知i 为虚数单位，若复数()22ai z a R i +=∈-的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 2 B. 32 C. 23D. -2 3. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A. 1516B. 34C. 78D. 31324. 下图是民航部门统计的某年春节期间：中国民航出入境航线方面TOP 10出入境国家和地区的旅客量以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A. 东南亚仍是人们出境旅游的首选B. 台湾和澳门均有超过一成的同比增长C. 越南和美国排在人们出境旅游选择的前两位D. 中-韩航线虽依然位列出入境国家和地区第三甲，但旅客量却较去年出现负增长5. 已知向量()0,2OA =u u u r ，()1,OB t =u u u r ，且OA OB OA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则OA u u u r 与AB u u u r 的夹角为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 6. 已知等差数列{}n a 满足12a =，公差0d ≠，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则100S =（ ）A. 10000B. 10100C. 20000D. 204007. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）A. 34B. 23C. 12D. 138. 已知120172017a =，2018logb =2019logc =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >>D. c b a >> 9. 点F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点A ，B 是圆222x y a +=与双曲线C 的渐近线的两个交点，若ABF △是直角三角形，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B.C.D. 10. 函数()cos x f x x=的部分图象可能是（ ） A. B. C. D.11. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图象的一个对称轴方程可能为（ ）A. 0x =B. 2x =C. 10x =D. 14x =12. 小姜同学有两个盒子A 和B ，最初盒子A 有6枚硬币，盒子B 是空的.在每一回合中，她可以将一枚硬币从A 盒移到B 盒，或者从A 盒移走K 枚硬币，其中K 是B 盒中当前的硬币数.当A 盒空时她获胜.则小姜可以获胜的最少回合是（ ）A. 三回合B. 四合回C. 五回合D. 六回合第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =-，则2019a =______ . 14. 设关于x ，y 的不等式组42y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若()1,2A -，()3,0B ，()2,3C -中有且仅有两个点在平面区域Ω内，则实数k 的取值范围为______.15. 直线l 与抛物线C ：24y x =交于M ，N 两点，若OM ，ON 的斜率之积为12-，则MN 的最小值为______.。
湘潭市2019届高三上学期第一次模拟数学文科试卷及解析
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划求目标函数的最大值
问题，其中解答中准确作出约束条件所表示的平面区域，结合可行域，确定出目标函数的最优解是解 答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于基础题。 6.已知函数 f(x) = lnx − 2 + ln6 − x，则（ A. f(x)在2,6上单调递增 C. f(x)在2,6上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，设 t = (x − 2)(6 − x)，根据 t = (x − 2)(6 − x)的单调性与对称性判断 f(x)的单调性 与对称性. 【详解】f(x) = ln(x − 2) + ln(6 − x) = ln[(x − 2)(6 − x)] ，定义域为 (2,6) ，令 t = (x − 2)(6 − x) ，则 y = lnt , 二次函数 t = (x − 2)(6 − x)的对称轴为直线 x = 4， 所以 f(x)在(2,4)上单调递增， 在(4,6)上单调递减， A 错， C 也错，D 显然是错误的；当 x = 4 时，t 有最大值，所以 f(x)max = ln(4 − 2) + ln(6 − 4) = 2ln2，B 正确． 【点睛】该题考查的是有关复合函数图像的单调性，涉及到的知识点有对数的运算法则，对数函数的 定义域，二次函数的图象与性质，复合函数单调性法则，熟练掌握基础知识是解题的关键. 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ）
1+i3+4i i
=
3+4i+3i−4 i
=
−1+7ii −1
= 7 + i.
故选 A. 2.设集合 A = x|x + 14 − x > 0，B = x|0 < x < 9，则 A ∩ B 等于（ ） A. − 1,4 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，求得集合 A = x| − 1 < x < 4，B = x|0 < x < 9，再根据集合的交集运算，即可求解。 【详解】由题意，集合 A = x| − 1 < x < 4，B = x|0 < x < 9， 根据集合的交集运算，可得 A ∩ B = x|0 < x < 4，故选 C。 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合 A，再利用集合交集的运算是 解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 3.已知数列{an }是等比数列，其前 n 项和为Sn ，S2 = 3a2 ，则a1 +a2（ A.
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绝密★启用前
2019届三湘名校教育联盟高三第一次大联考
文科数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡。一、
选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合 A=={145|2xxx<0}，
B={3<<3|xx }，则图中阴影部分表示的集合为
A. (-3,-2] B. (-2,3]
C. (2,3] D.[3,7)
2.若复数z满足iiz7)2(的共轭复数z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3.已知向量)2,2(),2,1(ba,若|2||2|baba，则
A.-3 B. -1 C.1 D.2
4.函数2||ln||)(xxxxf的图像大致为
5.已知{na}是等比数列，数列{nb}满足Nnabn,log2 ，且442bb，则3a的值为
A. 1 B.2 C.4 D. 16
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6.设Za，函数 axexfx)(，若命题p：
“0))(),1,1(xfx”是假命题，则a的取值个数有
A. 1个 B. 2个
C.3个 D. 4个
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何
体的三视图，则该几何体的体积为
A.8 B.16 C.24 D.48
8.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线bxy与圆ayxx2有交点的概率为21，
则a =
A. 41 B. 21 C. 1 D.2
9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中
记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在
平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹
式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类
推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则
输出的S用算筹表示为
10. 将函数)2<|)(|cos()(xxf图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变），再把得到的图像向左平移6个单位长度，所得函数图像关于2x对称，则=
A. 125 B. 3 C. 3 D. 125
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为4，则正方体外接球的体积
为
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A. 68 B. 36 C. 332 D. 664
12.过抛物线xy42的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直
径的圆分别与y轴相切于点M，N，则|MN| =
A. 332 B. 3 C. 334 D. 32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知: yx,满足约束条件0120301yyxyx,则yxz2的最小值为 .
14.已知等差数列{na}的前n项和为nS, 1031531aaa,则9S的值为 .
15.已知F为双曲线1222byx的一个焦点，O为坐标原点,OF的中点M到C的一条渐近线的
距离为23，则C的离心率为 .
16.函数xxxfcos22sin)(在区间[0，]上的值域为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜2〗题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(―)必考题：共60分。
17.(12分）
已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且2222cos2cbBba.
（1）证明：A = 2B,
（2）若AbcBabcos)2(cos,1，求△ABC的外接圆面积。
18.(12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是梯形，AB//CD，CD=2AB，M是PC的中点。
（1）证明：BM//平面PMD；
（2）若PB = BC且平面PBC丄平面PDC，证明：PA=AD。
19.(12分）
随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐
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渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯。由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送
餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从
该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。
（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户.求该用户的送餐距离不超过3千米的概率；
（2）试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；
（3）若该外卖平台给送餐员的送餐贽用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，
2千米到4千米为中距离，每份5元；超过4千米为远距离，每份9元，若送餐员一天的目标
收 人不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
20.(12分）
已知椭圆C: 12222byax (a>b>0)的离心率为22,且过点(2,1).
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线：mxy22交C于A、B两点，0为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
21.(12 分）
已知函数xxxfln)(.
（1）证明：1)(xxf；
（2）若当ex1时，1)(2axaxxf，求实数a的取值范围.
(二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
直角坐标系xOy中，曲线C1: 1422yx，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C2是圆心极坐标为（3，)，半径为1的圆。
（1）求曲线C1的参数方程和C2的直角坐标方程；
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（2）设M，N分别为曲线C1、C2上的动点，求|MN|的取值范围.
23.[选修4 一5 :不等式选讲](10分）
已知函数 |2||12|)(xxxf.
（1）求不等式)(xf>0的解集；
（2）若关于x的不等式|5|3)3(|12|xxfm有解，求实数m的取值范围.
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