高中数学新苏教版精品教案《4.1.2 极坐标系》
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3
5 3 (-, +)
(, 2k+)
[-, +(2k+1)]
都是同一点的 极坐标.
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标： (1) P是点Q关于极点O的对称点； (2) P是点Q关于直线 的对称点. 2 (3) P是点Q关于极轴的对称点。 注意点M的极坐标具有多值性.
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q
5 6 ° O
M(-2, 5) 6
x • M (, )
° O
x
• M(-2, 5) 6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
2 F 3 • 5 6 B
2
4
•
•
D
• A
。 O
x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
11 6
(2) 已知点M的极坐标为(, 条件的点M的位置.
3
3
), 4
R, 说明满足上述
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如何规定(, 的位置规定： <0时，点M(, ) )对应的点的位置？ 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
高中数学 4.1 坐标系教案 苏教版选修44
4.1 坐标系4．1.1直角坐标系1.掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．课标解读2.对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果.1．直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴．数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定，x称为点P的坐标．2．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．3．空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系．空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点P 的坐标．1．建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．由坐标(x，y)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(x,0)，N(0，y)作x轴和y轴的垂线，两条直线的交点P即(x，y)所确定的点.建立适当的坐标系刻画点的位置正方形的边长等于4，试选择适当的坐标系，表示其顶点与中心的坐标．【自主解答】法一以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示．此时，其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为M(2,2)．法二以正方形的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平面直角坐标系，如图(2)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心为O(0,0)．法三以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(22，0)、B(0,22)、C(－22，0)、D(0，－22)，中心为O(0,0)．(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶点)选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标．【解】法一以直角三角形的两条直角边AC、BC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)．法二以斜边AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系．则A(－22，0)，B(22，0)，C(0，22)．建立坐标系解决证明问题用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高．【自主解答】如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0， 直线AC 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB 、AC 的距离分别为PD ＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋aba 2＋b 2，PE ＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－aba 2＋b 2.点C 到直线AB 的距离为CF ＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2aba 2＋b 2， 则PD －PE ＝2aba 2＋b 2＝CF .故所需证明命题成立．已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高，求证：BD ＝CE .【证明】 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )． 则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ， 即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式得：BD ＝|2ah |a 2＋h 2，CE ＝|2ah |a 2＋h 2.∴BD ＝CE .建立坐标系求轨迹方程如图4－1－1所示，过点P(2,4)有两条互相垂直的直线l1，l2，l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M满足的方程．图4－1－1【思路探究】法一设点→求斜率→斜率积为－1→整理得方程→检查有无不适合的点→结论法二 设M (x ，y )→寻求M 满足的条件→列方程→检查有无不适合的点→结论 法三：O ，A ，P ，B 四点共圆→PM ＝MO →求k OP 及OP 中点坐标→点斜式写出OP 的垂直平分线方程为所求【自主解答】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，因为M 为线段AB 的中点，所以点A 的坐标为(2x,0)，点B 的坐标为(0,2y )．因为l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， 所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，点A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 满足的方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )， 连接PM .因为l 1⊥l 2，所以PM ＝12AB .而PM ＝x －22＋y －42，AB ＝2x2＋2y2，所以2x －22＋y －42＝4x 2＋4y 2，化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求方程．法三 因为l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，点M 为线段AB 的中点，所以O ，A ，P ，B 四点共圆， 且该圆的圆心为M (x ，y )，所以PM ＝MO ，所以点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线． 因为k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，所以点M 满足的方程为y －2＝－12(x －1)，化简得x ＋2y －5＝0.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法．解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系；(2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化)；(4)化简(注意变形的等价性)；(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)．设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．【解】法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得OB2＋BC2＝OC2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (几何法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1， 所以(2x －1)2＋(2y )2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为：y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(教材第16页习题4.1第4题)据气象台预报，在A 市正东方300 km 的B 处有一台风中心形成，并以每小时40 km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km 以内的地区将受其影响．问：从现在起经过多少时间，台风将影响A 市，持续时间多长？(2013·郑州模拟)已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？【命题意图】本题主要考查合理建立直角坐标系，并能应用其解决实际问题的能力．【解】以A村为原点，直线BA为x轴，建立如图所示的坐标系．则点B坐标为(－1 000,0)，点W坐标为(－2002，2002)，由题意，管线m的斜率为k＝tan 30°＝33，所以管线m所在的方程为y＝33(x＋1 000)，化简得3x－3y＋1 0003＝0，即x－3y＋1 000＝0.点W 到该直线m 的距离为d ＝|－2006－2002＋1 000|3＋1＝|500－1002－1006|＝100(5－2－6)． 因为5－2－6＞1，所以d ＞100.故管线m 不会穿过禁区，故该计划不需要修改．1．已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是________． 【解析】 ∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m ＜0，－3－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12，m ＞－3.∴－3＜m ＜12.【答案】 (－3，12)2．点P (2，－3，－1)关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是________． 【解析】 ∵P (x ，y ，z )关于平面yOz 坐标平面对称的为点P ′(－x ，y ，z )， ∴点(2，－3，－1)关于yOz 平面的对称点为(－2，－3，－1)． 【答案】 (－2，－3，－1)3．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程是________． 【解析】 ∵BC ＝4，∴AB ＋AC ＝10－BC ＝6＞BC ，∴A 的轨迹为椭圆除去B 、C 两点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，故2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝32－22＝5.故轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．【答案】x 29＋y 25＝1(y ≠0) 4．点(－2，－3)关于直线3x ＋4y ＋5＝0对称的点的坐标为________． 【解析】 设所求对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＋2＝43，3×x －22＋4×y －32＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2825，y ＝2925.所求对称点坐标为(2825，2925)．【答案】 (2825，2925)1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意知，M 是PQ 的中点，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积．【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点． 【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【解】 如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6， ∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米． 即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA .故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)． 7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．我船直行到点C与不明船只相遇，设C(x,0)，∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x.∵两船速度相同，∴AC＝BC＝80－x.在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30. ∴点C的坐标为(30,0)．教师备选8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，AC＝25，BC＝4.所以当航天器离观测点A、B的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．4．1.2极坐标系课标解读1.了解极坐标系．2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k ∈Z)都可以看成点M的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4－1－2所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，图4－1－2公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.极坐标系中点的坐标写出下图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图4－1－3【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．在极坐标系中，点A 的极坐标为(3，π6)(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)极坐标与直角坐标的互化(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3).极坐标系的应用在极坐标系中，已知A (3，－π3)，B (1，2π3)，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332，∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B (4，3π2)、C (ρ，π6)．(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．(教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：(2，π4)，(6，－π3)，(－2，11π6)，(5，π)，(4，－3π2)，(－42，3π4)． (2013·镇江模拟)已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－22＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－22＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－22＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________． 【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cosθ1－θ2＝32＋－32－2×3×－3cos π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3＝36＋322.【答案】36＋3221．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为(－2，－5π6)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标．【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)．4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4、B (2，5π4)，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点． 又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)．6．已知A 、B 两点的极坐标分别是(2，π3)、(4，5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB ＝4＋16－2×2×4×cos5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P (4，π3)．(1)将极点移至O ′(23，π6)处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．教师备选8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5， BC ＝ 52＋432－2×5×43×cos 4π3－π2＝133，AC ＝52＋432－2×5×43cos2π3＋π6＝133， ∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.4．1.3球坐标系与柱坐标系1.球坐标系、柱坐标系的理解．课标解读2.球坐标、柱坐标与直角坐标的互化.1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.图4－1－42．直角坐标与球坐标间的关系若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4－1－5所示．x2＋y2＋z2＝r2，x＝r sin_θcos_φ，y＝r sin_θsin_φ，z＝r cos_θ.3．柱坐标系图4－1－6建立了空间直角坐标系O －xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .4．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4，则点M 的直角坐标为________．(2)设点M 的柱坐标为(2，π6，7)，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos3π4＝－ 2. 即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π6＝3，y ＝2×sin π6＝1，z ＝7.即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7)(1)已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)，则它的直角坐标为________． 【解析】 (1)由变换公式得：x ＝4cos π3＝2， y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4－1－7建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4－1－7【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，。
高中数学 4.1 坐标系 4.1.2 极坐标系同步测控 苏教版
4.1.2 极坐标系同步测控我夯基，我达标1.点P 的直角坐标为（-2，2），那么它的极坐标可表示为（ ） A.（2，4π） B.（2，43π） C.（2，45π） D.（2，47π）解析：方法一：因为点P （-2，2）在第二象限，与原点的距离为2，且OP 的倾斜角为43π,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解. 答案：B2.极坐标系中，与点（3，3π-）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ） A.（3，32π） B.（3，3π） C.（3，34π） D.（3，65π）解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差2kπ,k∈Z ）.答案：B3.将点P 的极坐标（2，34π）化为直角坐标是_______________. 解析：因为x=2cos 34π=-1,y=2sin 34π=-3,所以直角坐标为（-1，-3）.答案：（-1，-3）4.极坐标系中，点A 的极坐标是（3，6π），则 （1）点A 关于极轴对称的点的极坐标是；_______________ （2）点A 关于极点对称的点的极坐标是；_______________ （3）点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0，2π)）解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.关于极轴对称 关于极点对称关于θ=2π对称 答案：（1）（3，611π）（2）（3，67π）（3）（3，65π）5.已知两点的极坐标A （3，2π）、B （3，6π），则｜AB ｜=_____________，AB 与极轴正方向所夹的角为_____________.解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO ｜=｜BO ｜=3，∠AOB=3π，即△AOB 为正三角形.所以直线AB 与x 轴的夹角为6π,则AB 与极轴的正方向所夹的角为2π+3π=65π.答案：365π 6.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D （2，6π），E （4，43π），F（3.5，35π）所在的位置.思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ. 解：由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为（1，0），（4，2π），（5，34π）.点D ，E ，F 的位置如上图所示.7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0,0≤θ＜2π).思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A （440，47π）. 我综合，我发展8.已知点A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0且θ1+θ2=π，则A 、B 的位置关系是_____________. 解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x 2,y 2),则x 2=ρ2cosθ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1cosθ1,y 2=ρ2sinθ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sinθ1,∴A、B 关于x 轴对称，即在极坐标系内，A 、B 关于极轴对称. 答案：关于极轴对称9.在极坐标系中，已知两点A （3，3π-），B （1，32π），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，根据A ，O ，B 位置关系直接求解. 解：∵∠AOB=32π-（3π-）=π，∴A，O ，B 三点共线. ∴A、B 两点间的距离为｜AB ｜=3+1=4. 10.已知A 、B 两点的极坐标分别为（1，3π）、（2，32π），求A 、B 两点间的距离.思路分析：数形结合，由余弦定理求AB 的长. 解：∵｜OA ｜=1，｜OB ｜=2，∠AOB=32π-3π=3π， ∴由余弦定理得 ｜AB ｜2=12+22-2×1×2cos 3π=3. ∴｜AB ｜=3，即A 、B 两点间的距离为3. 11.在极轴上求与点A （24，4π）距离为5的点M 的坐标. 思路分析：题目要求的点M 在极轴上，可设点M （r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A 、M 两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M （r,0）, ∵A(24,4π)， ∴｜AM ｜=4cos28)24(22πr r -+=5,即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为（1，0）或（7，0）.12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.解：如下图所示，以AB 所在直线为极轴，点A 为极点建立极坐标系.则教学楼A （0，0），体育馆B （60，0），图书馆C （120，3π），实验楼D （603，2π），办公楼E （50，43π）. 我创新，我超越13.在直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为极点，以x 轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.解：由直角坐标的平移公式⎩⎨⎧-='-=',,00y y y x x x得⎩⎨⎧=-=-,sin ,cos 00θρθρy y x x 即⎩⎨⎧+=+=;sin ,cos 00θρθρy y x x⎪⎩⎪⎨⎧--=-+-=.tan ,)()(0020202x x y y y y x x θρ 14.如图,求A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）、C （ρ3，θ3）围成的△ABC 的面积.思路分析：根据已知条件知OA 、OB 、OC 的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=21absinθ间按求S △ABC . 解：S △ABC =S △ABO +S △BCO -S △ACO=21ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+21ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-21ρ1ρ3sin(θ3-θ1)=21［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.。
江苏省西亭高级中学高中数学《4.1.2 极坐标系(1)》教案 新人教A版选修44
江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）》教案教学目标：1．理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（ 建立极坐标系的四要素）；2．理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；3．已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．教学重点：极坐标系的理解与应用．教学难点：极坐标系的概念．教学过程：一、问题情境：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？练习如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：1．他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ 2．如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？二、探究新知：思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： 你会怎样描述图书馆．体育馆．办公楼．实验楼的相对位置？ 这些描述的对应位置是否惟一确定？（2）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ （3）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 探究结果：（1）方位描述与直角坐标描述，位置是惟一确定．（2）到达图书馆，该位置惟一确定．（3）正东方向60m 处与西北方向50m 处．重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标，为极坐标系的引入奠定基础．三、建构数学：（一）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点．引一条射线OX ，叫做极轴．再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）．这样就建立了一个极坐标系． （二）极坐标的表示与注意点：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标．特别强调：ρ表示线段OM 的长度，即点M 到极点O 的距离；θ表示从OX 到OM 的角度，即以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角．特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 ．们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角．③负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.办公楼 E 实验楼D C 图书馆B 体育馆 A 教学楼60m 50m 120m 60° 45° O M （ρ，θ） x θρ当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ．M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈四、数学应用：例1 写出下图中各点的极坐标：例2 在极坐标系中，1．已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； 2．已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈， 说明满足上述条件的点M 的所组成的图形．变式训练1．若ABC ∆的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A2．若A ．B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积．（O 为极点）例3．已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标．⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点．变式训练：1．在极坐标系中,与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 ．)6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A 2在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标．五、课堂练习：1．已知直角三角形两条直角边的长分别为6和8，选择两种不同的坐标系，表示它的顶点及外心的坐标．2．建立极坐标系，并画出点,6,4⎪⎭⎫ ⎝⎛πA ())32,3(,,1,3,5,45,3,2,2πππππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C B3．在极坐标系中，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛67,5,32,3,6,4,6,4ππππD C B A ，则AB=_________，AC=____________，AD=___________，BC=___________，BD=_____________．4．设点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πA ，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴．直线l ．极点的对称点的极坐标（限定(]ππθρ,,0-∈>）．5．（2006年上海高考题）在极坐标系中，设O 是极点，A ．B 两点的极坐标分别是(4,)3π．5(5,)6π-，则⊿OAB 的面积是 ．6．在极坐标系中，已知两点2(3,),(1,)33A B ππ-，求A ，B 两点间的距离．7．在极坐标系中，已知1122(,),(,)A B ρθρθ12(0,0)ρ>ρ>，求⊿AOB 的面积．六．回顾小结：1．建立一个极坐标系需要哪些要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向．2．极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种．是因为极角引起的．3．一点的极坐标有否统一的表达式？有．（ρ，2k π+θ）七．课后作业：。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义》2
曲线的极坐标方程的意义学习目标：1掌握极坐标方程的意义；2能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程；3通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义自主研习：1比较直角坐标系，思考以下问题：①直角坐标系建立可以描述点的位置,极坐标是否也有同样作用？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________②直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________③以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上试想：（1）以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程_________________来表示（2）是不是曲线上的每一个点的坐标都满足这个方程吗？2复习回顾：①直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？_______________________________________________________________________________②曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？_______________________________________________________________________________③求曲线方程的步骤？_______________________________________________________________________________④极坐标与直角坐标的互化关系式？____________________________________________________________________________3定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的____________________，这条曲线称为这个极坐标方程的____________________求曲线的极坐标方程的步骤是什么？，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r④证明或说明活动一：在极坐标系下求曲线方程例1（1）求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程；（2）求圆心在)0,3(A 且过极点的圆A 的极坐标方程．练习：（1）求经过点(3,)2A π且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程；（2）求经过点(3,)2A π且与极轴平行的直线l 的极坐标方程；（3）求圆心在(3,)2A π且过极点的圆A 的极坐标方程．活动二：曲线方程在直角坐标系和极坐标系下的互换例2．（1）化直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程；（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程．练习：1．将下列直角坐标方程化为极坐标方程．（1）2220x y ax +-= （2）26y x =2．将下列极坐标方程化为直角坐标方程．（1）sin()34πρθ+= （2）2cos 216ρθ=1．已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程．2．求圆心在)2,3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程．3．直角方程与极坐标方程互化（1）θρcos -= （2）θρtan 2= （3）02=-+y x4．已知方程0),(=θρf 是曲线C 的极坐标方程，那么点),(θρP 的坐标适合方程是点P 在曲线C 上的___________条件．5．在极坐标系中，3sin :=θρl ，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛6,2π到直线l 的距离为___________． 6．直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线l 的极坐标方程．7．在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹方程．8．已知圆θρcos 2:1=C ，圆02sin 32:22=+-θρρC ，试判断两圆的位置关系．。
高中数学 4.1 坐标系 4.1.2 极坐标系同步测控 苏教版选修44
4.1.2 极坐标系同步测控我夯基，我达标1.点P 的直角坐标为（-2，2），那么它的极坐标可表示为（ ） A.（2，4π） B.（2，43π） C.（2，45π） D.（2，47π）解析：方法一：因为点P （-2，2）在第二象限，与原点的距离为2，且OP 的倾斜角为43π,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解. 答案：B2.极坐标系中，与点（3，3π-）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ） A.（3，32π） B.（3，3π） C.（3，34π） D.（3，65π）解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差2k π,k∈Z ）.答案：B3.将点P 的极坐标（2，34π）化为直角坐标是_______________. 解析：因为x=2cos 34π=-1,y=2sin 34π=-3,所以直角坐标为（-1，-3）.答案：（-1，-3）4.极坐标系中，点A 的极坐标是（3，6π），则 （1）点A 关于极轴对称的点的极坐标是；_______________ （2）点A 关于极点对称的点的极坐标是；_______________ （3）点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0，2π)）解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.关于极轴对称 关于极点对称关于θ=2π对称 答案：（1）（3，611π）（2）（3，67π）（3）（3，65π）5.已知两点的极坐标A （3，2π）、B （3，6π），则｜AB ｜=_____________，AB 与极轴正方向所夹的角为_____________.解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO ｜=｜BO ｜=3，∠AOB=3π，即△AOB 为正三角形.所以直线AB 与x 轴的夹角为6π,则AB 与极轴的正方向所夹的角为2π+3π=65π.答案：365π 6.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D （2，6π），E （4，43π），F（3.5，35π）所在的位置.思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ. 解：由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为（1，0），（4，2π），（5，34π）.点D ，E ，F 的位置如上图所示.7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0,0≤θ＜2π).思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A （440，47π）. 我综合，我发展8.已知点A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0且θ1+θ2=π，则A 、B 的位置关系是_____________. 解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x 2,y 2),则x 2=ρ2cos θ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1cos θ1,y 2=ρ2sin θ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sin θ1,∴A、B 关于x 轴对称，即在极坐标系内，A 、B 关于极轴对称. 答案：关于极轴对称9.在极坐标系中，已知两点A （3，3π-），B （1，32π），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，根据A ，O ，B 位置关系直接求解. 解：∵∠AOB=32π-（3π-）=π，∴A，O ，B 三点共线.∴A、B 两点间的距离为｜AB ｜=3+1=4. 10.已知A 、B 两点的极坐标分别为（1，3π）、（2，32π），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，由余弦定理求AB 的长. 解：∵｜OA ｜=1，｜OB ｜=2，∠AOB=32π-3π=3π， ∴由余弦定理得 ｜AB ｜2=12+22-2×1×2cos 3π=3. ∴｜AB ｜=3，即A 、B 两点间的距离为3. 11.在极轴上求与点A （24，4π）距离为5的点M 的坐标. 思路分析：题目要求的点M 在极轴上，可设点M （r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A 、M 两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M （r,0）, ∵A(24,4π)， ∴｜AM ｜=4cos28)24(22πr r -+=5,即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为（1，0）或（7，0）.12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.解：如下图所示，以AB 所在直线为极轴，点A 为极点建立极坐标系.则教学楼A （0，0），体育馆B （60，0），图书馆C （120，3π），实验楼D （603，2π），办公楼E （50，43π）. 我创新，我超越13.在直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为极点，以x 轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.解：由直角坐标的平移公式⎩⎨⎧-='-=',,00y y y x x x得⎩⎨⎧=-=-,sin ,cos 00θρθρy y x x 即⎩⎨⎧+=+=;sin ,cos 00θρθρy y x x⎪⎩⎪⎨⎧--=-+-=.tan ,)()(0020202x x y y y y x x θρ 14.如图,求A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）、C （ρ3，θ3）围成的△AB C 的面积.思路分析：根据已知条件知OA 、OB 、OC 的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=21absin θ间按求S △ABC . 解：S △ABC =S △ABO +S △BCO -S △ACO=21ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+21ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-21ρ1ρ3sin(θ3-θ1)=21［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.。
江苏省西亭高级中学高中数学《4.1.2 极坐标系(2)》教案 新人教A版选修4-4
江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（2）》教案教学目标：1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式；2．会实现极坐标和直角坐标之间的互化．教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解． 教学难点：互化关系式的掌握．教学过程：一、问题情境：1．导入练习：在极坐标系中描出下列各点：(3,)6A π，(2,)2B π，(1,)2C -π，(3,)4D -π，3(2,)4E π，5(2,)4F -π，11(2,)4G π． 2．问题：极坐标系是怎样定义的？极坐标系与直角坐标系有何异同?二、新知探究：思考：平面内的一个点的直角坐标是)，这个点如何用极坐标表示?探究结果：在直角坐标系中，以原点作为极点， x点M 的直角坐标为)，设点M 的极坐标为(2==ρ，tan 1==θ三、建构数学直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 说明1．上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式．2．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2．3．互化公式的三个前提条件（1） 极点与直角坐标系的原点重合；（2） 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；（3） 两种坐标系的单位长度相同．四、数学应用：例1 把下列点的极坐标化成直角坐标： ⑴M )32,8(π， ⑵N 7(6,)4π 变式训练：在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离．例2 以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系．把下列点的极坐标化成直角坐标：⑴ P，⑵ Q (，⑶ R变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2)：)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3 在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A ．求A,B 中点的极坐标． 变式训练：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -． 判断P N M ,,三点是否在一条直线上． 五、课堂练习：1．若点P 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛67,6π，则将它化为直角坐标是___________． 2．若点P 的直角坐标是)5,5(-，则将它化为极坐标是___________．3．将下列各点的极坐标化为直角坐标：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6,3,27,6,0,12,4,10,3,8ππππE D C B A ，)135,5(︒--F ． 4．将下列各点的直角坐标化为极坐标：),6,0(),0,4(),3,33(),35,5(),2,2(E D C B A ---)3,3(--F ．5．在极坐标系中，已知三点)6,32(),0,2(,3,2ππP N M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-． （1）将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．6．在直角坐标系中，已知两点)2,2(),3,1(---Q P ，O 为原点．（1）将P ，Q 两点的直角坐标化为极坐标；（2）求△POQ 的面积．7．在极坐标系中，已知△ABC 三个顶点的极坐标为A(2，10°)，B(－4，220°)，C(3，100°)，（1）求△ABC 的面积;（2）求△ABC 的AB 边上的高．六、回顾小结：掌握极坐标和直角坐标的互化七、课后作业：。
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
(新)高中数学4_1坐标系4_1_2极坐标系课后训练苏教版选修4-41
4.1.2 极坐标系练习1．点M的极坐标为25,π3⎛⎫⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．2．点A的极坐标为π2,3⎛⎫--⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．3．点P的直角坐标为，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．4．已知两点的极坐标π3,2A⎛⎫⎪⎝⎭，π3,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．5．直线l过点π7,3A⎛⎫⎪⎝⎭，π7,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．6．在极坐标系中，若π3,3A⎛⎫⎪⎝⎭，7π4,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则△ABO的面积为__________．7．点π5,3A⎛⎫⎪⎝⎭在条件：(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M在直角坐标系中的坐标．9．在极坐标系中，(1)求7π5,36A⎛⎫⎪⎝⎭，43π12,36B⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离；(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭；(2)π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭；(3)(5，π)．参考答案1. 答案：52⎛- ⎝⎭解析：255cosπ32x ==-，25sin π3y ==，所以点M 的直角坐标为52⎛- ⎝⎭.2. 答案：(－1解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭，2πsin 2sin 232y ρθ===⨯=.所以点A 的直角坐标为(－1)．3. 答案：⎛ ⎝解析：ρ==tan3θ==， 又点P 在第一象限，得π6θ=，因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3， 即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，5π6ACx ∠=(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以ππ5π6.212OAB -∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636AOB ∠=-=， 所以△ABO 的面积为 12|OA |·|OB |·sin∠AOB 15π34sin 261134322⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝⎛⎭⎪⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )，则π2cos 4cos 6x ρθ-===∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==， 所以点π4⎫⎪⎭，的直角坐标为(1,1)． (2)π6cos 33x ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，π6sin 3y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．。
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极坐标系
一、教材分析
极坐标系是苏教版高中教材选修4-4第一章坐标系中第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系的
背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主
完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化，为后面学习简单曲线的极
坐标方程及参数方程奠定基础
二、学情分析
1有利因素
学生通过对《坐标系》第一节直角坐标系的学习对平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系有了更加深刻
的理解；学生通过平时的高中数学学习，已具备了一定的观察、归纳、分析和概括能力，另外极坐标系的思想已
经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该很容易接受，这些为本节课的学习打下了良好的基础
2不利因素
由于学生对极坐标系还不熟悉，加之负极径的理解能力要求较高，因此，本节学生学习起来有一定难度
三、教学目标分析
1知识与技能
理解极坐标系的有关概念；
掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：
会在极坐标系内描出已知极坐标的点；
会写出极坐标平面内点的极坐标；
掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化
2过程与方法
通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力
3情感态度与价值观
通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实
用性，体验数学的实际应用价值通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦
四、教学重难点
教学重点：认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化
教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系
五、教学方法
问题探究法
六、教学过程
一问题引入
1苏州市气象台2021年09月15日7:30发布台风警报：
今年第14号台风"莫兰蒂"台风级今天7点钟中心位于苏州南偏西方向大约760公里的福建省泉州市安溪县
境内，也就是北纬度、东经度
探讨：报道中是如何刻画台风中心的位置？
2一个路人在苏州乐园门口问路，去高新区美罗商城的路怎么走？
探讨：如何指路能够让路人快速地找到美罗商城？
设计意图：通过探讨两个现实问题的共同点是什么？了解建立极坐标系的必要性和便捷性
二建构新知
1极坐标系的定义
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线OX，再选定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方
向，这样就建立了一个极坐标系
其中点O称为极点，射线OX称为极径
2极坐标系内一点极坐标的规定
用表示线段OM的长度,表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，
）就叫做点M的极坐标一般地，规定≥0，
R
三例题示范
例1：说出下图中各点,,,,,,ABCDEFG的极坐标：
变题：在图上描出下列各点：(4,3)M，3(3,)2N，19(5,)6P
小结：由极坐标描点的一般步骤
1先按极角找到点所在射线； 2在此射线上按极径描点
四深化概念
探究一：在极坐标系中描出下列各点，你发现了什么？
)6,4(A， )62,4(B， )64,4(C， )2-6,4(D
问题1这些极坐标之间有何异同？极径相同，极角不同
问题2这些极角有何关系？极角的始边相同，终边也相同，即：它们是终边相同的角
问题3这些极坐标所表示的点有什么关系 它们表示同一个点
探究二：在极坐标系下，点与它的极坐标的对应情况如何？
问题4极坐标系内的点与有序数对),(是一一对应吗？
结论：
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M；
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标(,+2)()kkZ与之对应
极坐标系内的点与有序数对),(要建立一一对应关系，应附加什么条件？
结论：
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了
探究三：关于负极径的认识
问题5向量中，如果一个向量前加负号，表示原向量的相反向量，它与原向量的关系模相等、方向相反在极
坐标系中，极径通常取正值，但在有些情况下也允许取负值当<0时如何规定, 对应的点的位置？
结论：当<0时，点M, 的位置规定，点M在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
请大家试着描出极坐标是)6,2(的点？师生共同得出负极径的定义及描点的步骤
例2：在极坐标系中描出下列各点)0,4(A，)6,3(B，)2,2(C，)3,4(D
问题6极坐标系中根据极坐标描点的步骤是什么？（注意分正、负极径）
给定ρ，θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或
其反向延长线上描点
问题7极坐标系中极坐标),(有哪些统一表达式？
(,)(,+2)(,+(21))kk
，()kZ
探究四：极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别
直角坐标 极坐标
表示形式 (,)(,)xyxyR 0(,)(,)R≥
与平面内点的对应关系 ,xyR一一对应 0,0≤一一对应
点作平移变动较为方便 点作旋转变动较为方便
探究五：极坐标与直角坐标如何互化
cossinxy
例3：把下列点的极坐标化成直角坐标：
2
(8,)3A，7(6,)4B,3(8,)4C
变题：把下列点的直角坐标化成极坐标：
(6,2)A
，(6,2)B,(2,2)C
说明：直角坐标转化为极坐标时，注意极角的确定
五拓展阅读
edean ira），亦称“”当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等绕点O旋转，点P的轨迹
称为“阿基米德螺线”，其首次由阿基米德在著作《》中给出了定义
六课后作业
课本第16页练习第1，2，4，5，6，7题
七反思回顾
今天你学到了哪些数学知识和数学思想方法？（学生独立思考后回答，教师补充完善）