(完整版)公开课极坐标和直角坐标的互化
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点的极坐标和直角坐标的互化公开课获奖课件
解: ( 3)2 （ 1）2 2
tan 1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 7
6
所以, 点M极坐标为 (2, 7 )
6
第12页
练习: 已知点直角坐标, 求它们 极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
第13页
2
1长、度已。知A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB
1
第7页
极坐标与直角坐标互化关系式:
设点M直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
互化公式三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系原点重叠; 2. 极轴与直角坐标系x轴正半轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相似.
y
M
ρ
θ
y
Ox
x
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
第8页
知识回忆
正弦、余弦、正切三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ
0 64
01
2
22
132
22
0
3 3
1
2 3 5
32 3 4 6
31
2
32
2
2
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
第9页
例题分析
例1. 将点M (5, 2 )极坐标化成直角坐标.
3
解:
x 5cos 2 5
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
tan 1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 7
6
所以, 点M极坐标为 (2, 7 )
6
第12页
练习: 已知点直角坐标, 求它们 极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
第13页
2
1长、度已。知A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB
1
第7页
极坐标与直角坐标互化关系式:
设点M直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
互化公式三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系原点重叠; 2. 极轴与直角坐标系x轴正半轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相似.
y
M
ρ
θ
y
Ox
x
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
第8页
知识回忆
正弦、余弦、正切三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ
0 64
01
2
22
132
22
0
3 3
1
2 3 5
32 3 4 6
31
2
32
2
2
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
第9页
例题分析
例1. 将点M (5, 2 )极坐标化成直角坐标.
3
解:
x 5cos 2 5
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
极坐标与直角坐标的互化(公开课)
解：因为A点的坐标为（0， 4），B点的坐标为（ 3 2 67 2 所以 AB （0 ） （4 0） 2 2 3 ， 0） 2
练习：
解： x 3, y 1 2 2 ( 3) (1) 3 1 2 y 1 3 tan x 3 3 M的直角坐标在第三象限 7 点M 的极坐标为（2， ） 7 6 6
A(0, 2), B(4,0), C (2,5)
4、极坐标（，）与平面内的点 一一对应
4
C
D
A X
O B
5 3
问题：
7 y 6 5 C 4 3 2A 1 ' B -6 -5 -4 -3 -2 -1-1O 1 2 3 4 5 6 x -2 -3 ' -4 -5 -6
M
O X
2、已知D点极坐标 （2， ） 为 ，口答其他各 4 点的极坐标。
2
C D
3、写出下列各 点的直角坐标
7 y 6 C 5 4 3 A 2 1
4
A
X
'
B
O
B
5 A(4, 0), B(5, ), C (3， )。 3 2
5 3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 -3 ' -4 -5 -6
x
y
x
通过上边两条式子，我们可以实现 极坐标与直角坐标的互化
2 例1、将点M的极坐标(5, 3 )
，化成直角
坐标。
2 解： 5， ， 3 2 5 x cos 5cos 3 2 2 5 y sin 5sin 3 3 2 5 5 点M 的直角坐标为（ ， 3） 2 2
练习：
解： x 3, y 1 2 2 ( 3) (1) 3 1 2 y 1 3 tan x 3 3 M的直角坐标在第三象限 7 点M 的极坐标为（2， ） 7 6 6
A(0, 2), B(4,0), C (2,5)
4、极坐标（，）与平面内的点 一一对应
4
C
D
A X
O B
5 3
问题：
7 y 6 5 C 4 3 2A 1 ' B -6 -5 -4 -3 -2 -1-1O 1 2 3 4 5 6 x -2 -3 ' -4 -5 -6
M
O X
2、已知D点极坐标 （2， ） 为 ，口答其他各 4 点的极坐标。
2
C D
3、写出下列各 点的直角坐标
7 y 6 C 5 4 3 A 2 1
4
A
X
'
B
O
B
5 A(4, 0), B(5, ), C (3， )。 3 2
5 3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 -3 ' -4 -5 -6
x
y
x
通过上边两条式子，我们可以实现 极坐标与直角坐标的互化
2 例1、将点M的极坐标(5, 3 )
，化成直角
坐标。
2 解： 5， ， 3 2 5 x cos 5cos 3 2 2 5 y sin 5sin 3 3 2 5 5 点M 的直角坐标为（ ， 3） 2 2
直角坐标与极坐标的互化公开课
极坐标和直角坐标的
互化
知识回顾 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做 极点
。
引一条射线OX，叫做 极轴 。 再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)
及 它的正方向（通常取 逆时针 方向）。
这样就建立了一个 极坐标系 。
对于平面上任意一点M,极 点O与点M之间的距离叫做 ,以极轴为 点M 的 ，记为 极径 始边，射线OM为终边的角 叫做点M 的 ，记为 .有序 极角 （， ） M的极坐标。 数对 就叫做
问题解析
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
问题解析
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
y 1 3 tan , x 3 3
问题解析
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
思考
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y ρ
y
θ
x
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标 是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ). 则
问题解析 （2）求点F (3, 3) 关于直线y=x的对 称点 F 的极坐标.
解：(2)在直角坐标系中，点F (3, 3)
关于直线y=x的对称点为 F (
3,3) .
根据直角坐标与极坐标的
互化公式，得
( 3 ) 2 (3) 2 2 3 5
3
所以，点
F 的极坐标为 ( 2 3 , 5 )
互化
知识回顾 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做 极点
。
引一条射线OX，叫做 极轴 。 再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)
及 它的正方向（通常取 逆时针 方向）。
这样就建立了一个 极坐标系 。
对于平面上任意一点M,极 点O与点M之间的距离叫做 ,以极轴为 点M 的 ，记为 极径 始边，射线OM为终边的角 叫做点M 的 ，记为 .有序 极角 （， ） M的极坐标。 数对 就叫做
问题解析
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
问题解析
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
y 1 3 tan , x 3 3
问题解析
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
思考
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y ρ
y
θ
x
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标 是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ). 则
问题解析 （2）求点F (3, 3) 关于直线y=x的对 称点 F 的极坐标.
解：(2)在直角坐标系中，点F (3, 3)
关于直线y=x的对称点为 F (
3,3) .
根据直角坐标与极坐标的
互化公式，得
( 3 ) 2 (3) 2 2 3 5
3
所以，点
F 的极坐标为 ( 2 3 , 5 )
极坐标系与直角坐标的互化 课件
解 结合坐标系及直角坐标的特点知，
(1)2
3，π2.
(2)
2，32π.
(3)32π，0.
类型三 极坐标与直角坐标互化的应用
例3 已知A，B两点的极坐标为6，π3 坐标.
和8，43π
，求线段AB中点的直角
引申探究 1.若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标. 解 由例 3 知，AB 中点的直角坐标为－12，－ 23， ∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1. 又 tan θ＝yx＝ 3，∴θ＝43π， ∴极坐标为1，43π.
2.若本例条件不变，求AB的直线方程. 解 因为 A 点的极坐标为6，π3， 所以 xA＝6×cos π3＝3，yA＝6×sin π3＝3 3，
所以 倾斜角为π3，故斜率 k＝ 3， 故直线 AB 的方程为 y－3 3＝ 3(x－3)，即 3x－y＝0.
引申探究
1.若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？
解 (1)4，23π＋2kπ(k∈Z).
(2)2
2，116π＋2kπ(k∈Z).
(3)3
22π，π4＋2kπ(k∈Z).
极坐标不惟一.
2. 若 点 的 直 角 坐 标 为 (1)(0,2 3 ) ， (2)(0 ， － 2 ) ， (3) 32π，0化 为 极 坐 标 (ρ≥0,0≤θ<2π).
y
tan θ = __x__(x≠0).
类型一 点的极坐标化直角坐标
例1 把下列点的极坐标化为直角坐标.
(1)A2，76π；
解
由公式xy＝ ＝ρρscions
θ， θ，
得
x＝2cos 76π＝－ 3，y＝2sin 76π＝－1，
∴点 A 的直角坐标为(－ 3，－1).
点的极坐标与直角坐标的互化课件
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
① ②
①＋②并化简得 ρ2＝12， 由于 ρ>0，解得 ρ＝2 3， 再代入①得 cos(θ－π4)＝0， ∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， ∴θ＝34π＋kπ，k∈Z， 由于 0≤θ<2π，令 k＝0,1 分别得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2 3，34π)或(2 3，74π)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)，由于△ABC 为等边三角形，
故有|BC|＝|AC|＝|AB|.
∴(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2
＝(x－ 2)2＋(y－ 2)2
极坐标和直角坐标的互化 课件
极坐标和直角坐标的互化
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
极坐标和直角坐标的互化 课件
(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？ (注：射程公式 s v02sin 2 )
g
【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐
标？
2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？
探究提示：
1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加6上 即2得, .向量
OB
的坐标即终点B的直角坐标.
2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二
极坐标和直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化公式 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐 标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式：
图示
直角坐标(x,y)
极坐标(ρ,θ)
x _ρ__c_o_s__θ___， y _ρ__s_i_n__θ___
x2 y2
2，且tan角θ的xy终边1，经
当θ∈［0,2π)时， 由于，θ∈R,
4
故点的极坐标为 (
2, 4
2k ), k
Z.
答案： (
2, 4
2k ), k
Z
2.(1)由
x2 y2
2，t且an角θ的y 终－边1，经过
x
点(1,－1)，
当θ∈［0,2π)时，
7， 4
故点的极坐标为 (
2, 7 ). 4
2.将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2,0).(2)(2, 2 ).(3)(3, 3 ).
3
2
(4)(4,－3 ).(5)(5,6).(6)(4, ).
2
12
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
最新公开课极坐标和直角坐标的互化PPT课件
33
2、独到：独具慧眼——风景
教师的教育智慧常常表现在对教材有真知灼见， 能够于平凡中见新奇，发人之所未发，见人之所未 见。他的课如同一首诗、一幅画、一段旋律、一项 发明，是独一无二的创造，学生听这样的课就像是 在独享一片风景。
首创性 独创性
独到的对立面是平庸，平庸的特征是从众。平庸者
只肯定别人肯定的，也只否认别人否认的。至于那些应
练习5 课本P15 第3题
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
例4、把下列极坐标方 成程 直化 角坐标方程：
(1)2cos 3sin 10 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
③ 地图 ④ “合同法” 19
6、绝招：教学特长中的特长
名师常常身怀绝招，绝招使其教学锦上添花， 如虎添翼，叫人赞口不绝。
教师的绝招是教师教学特长中的特长，是对某种 教学技艺的精益求精、千锤百炼，以至达到炉火纯青 的地步，是一种令人叹为观止、甚至望而生畏、无人 相匹的境界
智慧怎么来的：
① 多想出智慧
庸 师：想——我想听到开花的声音。
活泼——河里的水很活泼。
悄悄——我们听不懂小鱼的悄悄话。
丢——上街时，毛毛把爸爸丢了。
爬——牵牛花像个小弟弟，爬在树上。
淘气——风很淘气，把水逗笑了。
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(
5
,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
A(4, )
3
D(1,)
B(3, )
2、独到：独具慧眼——风景
教师的教育智慧常常表现在对教材有真知灼见， 能够于平凡中见新奇，发人之所未发，见人之所未 见。他的课如同一首诗、一幅画、一段旋律、一项 发明，是独一无二的创造，学生听这样的课就像是 在独享一片风景。
首创性 独创性
独到的对立面是平庸，平庸的特征是从众。平庸者
只肯定别人肯定的，也只否认别人否认的。至于那些应
练习5 课本P15 第3题
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
例4、把下列极坐标方 成程 直化 角坐标方程：
(1)2cos 3sin 10 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
③ 地图 ④ “合同法” 19
6、绝招：教学特长中的特长
名师常常身怀绝招，绝招使其教学锦上添花， 如虎添翼，叫人赞口不绝。
教师的绝招是教师教学特长中的特长，是对某种 教学技艺的精益求精、千锤百炼，以至达到炉火纯青 的地步，是一种令人叹为观止、甚至望而生畏、无人 相匹的境界
智慧怎么来的：
① 多想出智慧
庸 师：想——我想听到开花的声音。
活泼——河里的水很活泼。
悄悄——我们听不懂小鱼的悄悄话。
丢——上街时，毛毛把爸爸丢了。
爬——牵牛花像个小弟弟，爬在树上。
淘气——风很淘气，把水逗笑了。
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(
5
,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
A(4, )
3
D(1,)
B(3, )
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24
2
半径为 5 的圆。 2
5.极坐标方程 sin2 2 cos 0
表示的曲线是__抛__物__线_
6.以 (
2,
4
)为圆心，2
为半径的圆极坐标方程
( C)
A. (sin cos) B. sin cos
C. 2(sin cos) D. 2(sin cos)
3. 3 的直角坐标方程是
是
则该点直角坐标为（_0_，__2）__
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为_极__点__, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位
(x, y)
? M极坐标
(ρ,θ)
M直角坐标
(x, y)
知识回顾 3、任意角的三角函数的定义
设是一个任意角,角的终边上任意一点P(x, y),
例4、把下列极坐标方程化成直角坐标方程：
(1)2 cos 3 sin 1 0 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
练习6 课本P15 第4题
高考链接
4 解： tan
y tan 3
y ,即y
x( y
0)
x
4x
课堂小结
1.点M的直角坐标 (x, y)与极坐标 (ρ,θ)的互化关系
2、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcosθ，y = ρsinθ代入再化简即可 3、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcosθ，ρsinθ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ； 4.在极坐标系下不易处理的问题，将它转化到直
? M极坐标
M直角坐标
(ρ,θ)
(x, y)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)极坐标是(ρ,θ) 极化直 x=ρcosθ, y=ρsinθ
直化极 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x 其中角θ的值由该点的象限决定
通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标
时,取 0, 0,2
4 2
思路:在极坐标系下不易处理的问题，将它转化
到直角坐标系下来处理会更好。
4.极坐标方程 sin 2 cos所表示的
曲线是
解：因给定的不恒等于零,得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程x2 y2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点(1, 1 )为圆心，
x
直角坐标所在象限，确 定的值)
类型三 点的直角坐标与极坐标的应用
练习3在极坐标系中,点A(2,
6
)与B(2,
7
6
)
之间的距离为（ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
练习4
在极坐标系中，已知点A(2,
),
B(3,
2
),
333
3
则 AB __7__,求SAOB __2___
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
即x与y的关系式
即ρ与θ的关系式
例3 把下列直角坐标方程化为极坐标方程
（1）y=3
(2) x思路：将直角坐标方程化成极坐标方程，只要 将 x 用ρcosθ，y用ρsinθ ,x2 +y2用ρ2代入再化 简即可
练习5 课本P15 第3题
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(5,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
B(3, )
4
思路:利用x=ρcosθ, y=ρsinθ计算
类型二 点的直角坐标化为极坐标
例2 将点M的直角坐标 ( 3,1)化成极坐标
解： ( 3)2 (1)2 3 1 2,
tan y 1 3
x 3 3
点M在第三象限，
7
点M的极坐标为（2，7
6
）
6
思路：第一步：求极径 x2 y2
第二步 : 求极角.(先求 tan y .再根据该点的
x
直角坐标所在象限，确 定的值)
练习2将下列点的直角坐标化为极坐标.
思路：第一步：求极径 x2 y2
第二步 : 求极角.(先求 tan y .再根据该点的
极坐标与直角坐标 的互化
知识回顾
O
X
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做 极点 ;
引一条射线OX，叫做 极轴 ;
再选定一个长度单位和角度单位及 _它__的__正__方__向__ (通常取 逆时针 方向）, 这样就建立了一个 极坐标系 。
M的极坐标是 _(ρ_,_θ_)__
极径 极角
O
·M
它与原点的距离是r(其中r
(1)角的正弦值 sin y r
x (2)角的余弦值 cos r
(3)角的正切值 tan y x
x2 y2 ),那么:
.
y
P(x, y)
r
O
x
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为_极__点__, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位 (x, y)
1.(13年广东模拟)在极坐标系中,曲线
cos sin 1与 sin cos 1,
则两曲线交点的极坐标为_1_, 2__ 2.(11年安徽)在极坐标系中（, 2， ）到圆 2 cos
3
的圆心的距离为 ____3_
3.(10年广东模拟)已知直线的极坐标方程为
sin
2
2 ,则极点到该直线的距离_2__
X
平面内的一个点既可以用直角坐标表示， 也可以用极坐标表示
互化前提:把直角坐标系的原点作为极__点___, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并在两种坐标系中 取相同的长度单位
思考1 平面内的一个点的直角坐标是 A(1, 1),则该点极坐标为_(_2_,_4_) ___
思考2 平面内的一个点的极坐标
角坐标系下来处理会更好。