直角坐标和极坐标的转化 PPT
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湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
AB
1
1 2
2
0
3 2 2
3
小结： 1、极坐标化为平面直角坐标； 2、平面直角坐标化为极坐标.
谢谢！
任何朋友都是暂时的，只有利益是永恒的。敌人变成朋友多半是为了金钱，朋友变成敌人多半还是为了金钱。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 一份耕耘，份收获，努力越大，收获越多。 蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。 如果你很聪明，为什么不富有呢？ 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 成功永远属于一直在跑的人。 日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 勤学和知识是一对最美的情人。 如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。 能克服困难的人，可使困难化为良机。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 为中华之崛起而读书。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。
极坐标与平面直角坐标的互化
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
解:
因为点在第三象限， 所以 因此， 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标， 求它们 的极坐标.
例3 已知两点(2，π )，(3，π )
求两点间的距离.3 B 2
解：∠AOB = π
用余弦定理求6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1
),
其中
2、点 M(ρ，θ) 关于极点的对称点的一个坐标为(-ρ， θ) 或(ρ，π+θ) ；
3、点 M(ρ，θ) 关于极轴的对称点的一个坐标为(ρ， -θ) 或(-ρ，π-θ) ；
4、点 M(ρ，θ) 关于直线
的对称点的一个
坐标为(-ρ，-θ) 或(ρ，π-θ) ；
极坐标系与直角坐标的互化
问题：若点M的直角坐标为
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
点的极坐标与直角坐标的互化课件
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
① ②
①＋②并化简得 ρ2＝12， 由于 ρ>0，解得 ρ＝2 3， 再代入①得 cos(θ－π4)＝0， ∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， ∴θ＝34π＋kπ，k∈Z， 由于 0≤θ<2π，令 k＝0,1 分别得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2 3，34π)或(2 3，74π)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)，由于△ABC 为等边三角形，
故有|BC|＝|AC|＝|AB|.
∴(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2
＝(x－ 2)2＋(y－ 2)2
选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)
思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
极坐标和直角坐标的互化 课件
极坐标和直角坐标的互化
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
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(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤： 第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与 坐标原点的距离，即计算 ρ； 第二步，根据角 θ 的正切值 tan θ＝xy(x≠0)求出角 θ(若正切 值不存在，则该点在 y 轴上)，问题即解．
，
直面高考：（以高考题改编）
（2016年全国Ⅱ卷24）选修4—4；坐标系与参数方程，在直角坐 标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
把下列极坐标转化为直角坐标：
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合， 第一步 且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，
则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程
小结：
这节课你学会了什么？
x=ρcosθ y=ρsinθ
r 2 = x2 + y2
y
tanq = x (x 0)
x=ρcosθ y=ρsinθ
A( x , y ) (ρ,θ)
r 2 = x2 + y2
y
tanq = x (x 0)
思考：能否把篮球场、尚学楼、科启楼、食堂的直角坐标转化为极坐标？ 其中直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴，单位长度一样。
尚学楼 （0，5）
篮球场 （-1，1）
0
明哲楼
科启楼 （5，5）
要保持同解，不要出现增解或漏解
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
第三步
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
及 ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转化为直
角坐标方程
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐 标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐 标方程中的 x，y 分别用 ρcos θ，ρsin θ 代替即可得到相应极坐 标方程．
女宿舍楼
男宿舍楼
静动馆
食堂 （7，0））
例1、将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
解: x = r cosq = 5cos 2 = 5
32 y = r sinq = 5sin 2 = 5 3
32
所以, 点M的直角坐标为 ( 5,5 3) .
22
• 变式练习: 将下列几个极坐标转化为直角坐 标。
选修4-4坐标系与参数方程 第一讲坐标系
极坐标和直角坐标的转化
尚学楼 （0，100）
明哲楼
篮球场 （-20，20）
0
女宿舍楼 科启楼 （100，100）
男宿舍楼
静动馆
食堂
注意：极坐标的极点与直角坐标系的原点重 合，且极轴与x轴正半轴重合，并且单位长度 统一。则极坐标方程与直角坐标方程可以互 化。
一般的，如果一条曲线上任意一点都有一个
极坐标适合方程f (r ,q ) = 0 ；反之，极坐标 适合方程f (r ,q ) = 0的点都在曲线上．那么这
个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲 线称为这个极坐标方程的曲线.
既然极坐标可以和直角坐下列直角坐标方程转化成极坐标方程：
，
直面高考：（以高考题改编）
（2016年全国Ⅱ卷24）选修4—4；坐标系与参数方程，在直角坐 标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
把下列极坐标转化为直角坐标：
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合， 第一步 且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，
则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程
小结：
这节课你学会了什么？
x=ρcosθ y=ρsinθ
r 2 = x2 + y2
y
tanq = x (x 0)
x=ρcosθ y=ρsinθ
A( x , y ) (ρ,θ)
r 2 = x2 + y2
y
tanq = x (x 0)
思考：能否把篮球场、尚学楼、科启楼、食堂的直角坐标转化为极坐标？ 其中直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴，单位长度一样。
尚学楼 （0，5）
篮球场 （-1，1）
0
明哲楼
科启楼 （5，5）
要保持同解，不要出现增解或漏解
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
第三步
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
及 ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转化为直
角坐标方程
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐 标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐 标方程中的 x，y 分别用 ρcos θ，ρsin θ 代替即可得到相应极坐 标方程．
女宿舍楼
男宿舍楼
静动馆
食堂 （7，0））
例1、将点M的极坐标 (5, 2 ) 化成直角坐标;
3
解: x = r cosq = 5cos 2 = 5
32 y = r sinq = 5sin 2 = 5 3
32
所以, 点M的直角坐标为 ( 5,5 3) .
22
• 变式练习: 将下列几个极坐标转化为直角坐 标。
选修4-4坐标系与参数方程 第一讲坐标系
极坐标和直角坐标的转化
尚学楼 （0，100）
明哲楼
篮球场 （-20，20）
0
女宿舍楼 科启楼 （100，100）
男宿舍楼
静动馆
食堂
注意：极坐标的极点与直角坐标系的原点重 合，且极轴与x轴正半轴重合，并且单位长度 统一。则极坐标方程与直角坐标方程可以互 化。
一般的，如果一条曲线上任意一点都有一个
极坐标适合方程f (r ,q ) = 0 ；反之，极坐标 适合方程f (r ,q ) = 0的点都在曲线上．那么这
个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲 线称为这个极坐标方程的曲线.
既然极坐标可以和直角坐下列直角坐标方程转化成极坐标方程：