极坐标与参数方程知识讲解
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程极坐标和参数方程是解析几何中的两种常见的坐标系统。
它们在描述曲线、曲面和图形等数学问题中具有重要的应用。
本文将就极坐标和参数方程的定义、特点以及应用做详细介绍。
一、极坐标1.1 定义极坐标是用一个有序的有序对(r, θ)来表示平面上的点P。
其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与X轴正半轴的夹角。
极坐标可以看做是极径和极角的一种表示方式。
1.2 特点极坐标的主要特点在于其描述了点P与原点之间的极径和极角关系，而不是点的直角坐标。
极坐标有助于描述某些特殊的图形特征，如圆、扇形和螺旋线等。
1.3 转换关系极坐标与直角坐标之间存在一定的转换关系。
对于平面上一点P(x,y)，其转换为极坐标(r,θ)的关系如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、参数方程2.1 定义参数方程又称参数表示法，是用参数的形式描述平面上点的坐标。
对于平面上点P，可以使用一组参数t来表示其坐标(x,y)，即P(x(t),y(t))。
参数方程可以看做是x和y的函数表达。
2.2 特点参数方程的主要特点在于可以通过参数的变化来描述点的轨迹和运动规律。
参数方程常用于描述曲线、线段和曲面等几何形体，同时也在物理学和工程学中广泛应用。
2.3 转换关系直角坐标和参数方程之间也存在转换关系。
对于平面上一点P(x,y)，其对应的参数方程为：x = x(t)y = y(t)三、极坐标与参数方程的应用3.1 几何图形的描述极坐标和参数方程可以更直观地描述某些几何图形。
比如，圆的极坐标方程为(r,θ) = (a, θ)，其中a为半径；直线可用参数方程表示，利用参数t可以描述直线的起点、终点和运动方向。
3.2 物理学中的应用极坐标和参数方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，带电粒子在磁场中的运动可通过参数方程来描述；振动系统中的物体位置随时间的变化也可以通过参数方程来表示。
3.3 工程学中的应用工程学中常常需要处理复杂的曲线和曲面。
极坐标系与参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标系与参数方程知识点总结极坐标系和参数方程是数学中的两种常用的描述曲线的方法。
它们可以用来描述平面内的曲线，其优点是能够更简洁地描述某些特殊形状的曲线，且能够涵盖直角坐标系不能完全表示的曲线。
下面将对极坐标系和参数方程进行详细的介绍和总结。
一、极坐标系：极坐标系是一种用极角和极径来表示平面上的点的坐标系统。
其中，极径表示原点与点之间的距离，极角表示极径与一个固定轴之间的夹角。
极坐标系的坐标表示通常用 (r,θ) 表示，其中 r 是极径，θ是极角。
在极坐标系中，曲线方程可以用极坐标 (r,θ) 表示。
例如，直线的极坐标方程可表示为 r = a / cos(θ - α)，其中 a 是直线与极径轴的交点到原点的距离，α是直线与极径轴的夹角。
另外，许多曲线在极坐标系中的方程具有简洁的形式。
例如，圆的极坐标方程是 r = a，椭圆的极坐标方程是 r = a / (1 - εcosθ)，其中 a 是椭圆焦点到原点的距离，ε是椭圆的离心率。
极坐标系的优点是能够更简洁地表示某些特殊形状的曲线，如圆、椭圆和螺线等。
然而，极坐标系也有一些限制，例如不能表示某些直线和许多多重曲线。
因此，在具体问题中选择使用直角坐标系还是极坐标系要根据具体情况来定。
二、参数方程：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
其中，参数是一个实数变量，曲线上的每个点都可以由参数的函数表示。
参数方程通常以向量形式表示，例如(x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。
通过参数方程，可以更灵活地描述曲线。
例如，直线的参数方程可以表示为 x(t) = a + mt，y(t) = b + nt，其中 a、b 是直线上的一个点的坐标，m、n 是直线的斜率。
另外，许多曲线在参数方程中具有简洁的形式，如抛物线的参数方程是 x(t) = a + t，y(t) = b + t²。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
极坐标与参数方程知识讲解
参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==） 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程知识讲解修订版
极坐标与参数方程知识讲解修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程数学讲义
极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22=的参数方程为()为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==2224.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
极坐标与参数方程有什么区别和联系
极坐标与参数方程有什么区别和联系一、引言极坐标和参数方程是数学中常见的两种表达方式，它们在描述曲线、方程和函数等问题时有着自己独特的优势和应用场景。
本文将详细介绍极坐标和参数方程的概念、特点以及它们之间的区别和联系。
二、极坐标极坐标是一种表示平面上点位置的方式，使用极径和极角来表示点的坐标。
其中，极径表示点到极点的距离，极角表示点与固定方向的夹角。
在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r, θ)，其中r为极径，θ为极角。
极径可以是实数，而极角则是一个弧度值。
极角逆时针增加，范围通常为[0, 2π]或[-π, π]。
极坐标的一个重要特点是可以简洁地描述圆形、螺旋线等曲线。
例如，直线在极坐标系中可以用极角表示，而圆可以用一个常数的极径和极角范围描述。
三、参数方程参数方程是一种用参数表示的方程形式，通过引入参数，可以将平面上的点的坐标表示为参数的函数。
参数方程一般用一对方程表示(x=f(t), y=g(t))，其中x和y表示点的坐标，而f(t)和g(t)则是关于参数t的函数。
相比于直角坐标系下的方程，参数方程引入了参数t，使得曲线上的每个点可以用单独的参数值来表示。
参数方程可以灵活地描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。
参数方程的参数范围可以是实数，也可以是一个有限或无限的区间。
参数方程通常具有较好的可变性，可以轻松地改变曲线的形状和位置。
四、极坐标与参数方程的区别和联系极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的方式，它们在表示方式、使用场景和计算方法上存在一定的差异和联系。
1.表示方式的不同：–极坐标使用极径和极角表示点的位置，而参数方程使用参数表示点的坐标。
2.使用场景的不同：–极坐标主要适用于描述圆形、螺旋线等以某个点为中心的曲线。
–参数方程适用于描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆等。
参数方程的引入可以更灵活地改变曲线的形状和位置。
3.计算方法的不同：–极坐标下，点的坐标可以通过极径和极角的关系计算得到。
极坐标与参数方程知识点总结
第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参数方程和极坐标系一、 知识要点一曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点Mx ,y 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数．二常见曲线的参数方程如下： 1．过定点x 0,y 0,倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= t 为参数其中参数t 是以定点Px 0,y 0为起点,对应于t 点Mx ,y 为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义,有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在x 0,y 0,半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= θ为参数3．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == θ为参数 或 θθsin cos a y b x ==中心在点x0,y0焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的双曲线：θθtg sec b y a x == θ为参数 或 θθec a y b x s tg ==5．顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== t 为参数,p ＞0直线的参数方程和参数的几何意义过定点Px 0,y 0,倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x t 为参数．极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向通常取逆时针方向;对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对ρ, θ就叫做点M 的极坐标;这样建立的坐标系叫做极坐标系;2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应惟一点P ρ,θ,但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P ρ,θ极点除外的全部坐标为ρ,θ＋πk 2或ρ-,θ＋π)12(+k ,∈k Z ．极点的极径为0,而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ＜π2或ρ<0,π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a5、极坐标与直角坐标互化公式：例题参数方程例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ,以分点Mx ,y 分21M M 所成的比λ为参数,写出参数方程;2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233t 为参数的倾斜角是3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x t 为非零常数,α为参数表示的曲线是4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x θ为参数,则椭圆上一点 P 25,32-的离心角可以是 A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 例3. 将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y t x 222,②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ,③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ,④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ,⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．例4. 直线3x －2y ＋6=0,令y = tx ＋6t 为参数．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x （1） 若t 为参数,ϕ为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离；（2） 若ϕ为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率; 例6. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点,使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大． 例7. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ,使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短或最长．例8.已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=ty t x 4231与双曲线y-22-x 2=1相交于A 、B 两点,P 点坐标P-1,2;求：1|PA|.|PB|的值； 2弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离;例9.已知A2,0,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动,且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程;例10.已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+y-62=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值,并求出此最大值;例11.已知直线l 过定点P-2,0,与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点;1若P 为线段AB 的中点,求直线l 的方程；2若l 绕P 点转动,求AB 的中点M 的方程.例12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P,使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由;例题极坐标系例1讨论下列问题：1．在同一极坐标系中与极坐标M －2, 40°表示同一点的极坐标是 A －2, 220° B －2, 140° C 2,－140° D 2,－40°2．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A 4,0°, B －4,－120°, C 23＋2, 30°,则△ABC 为 ;A 正三角形B 等腰直角三角形C 直角非等腰三角形D 等腰非直角三角形3．在直角坐标系中,已知点M －2,1,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,当极角在－π,π 内时,M 点的极坐标为 A 5,π－argtg －21B －5,argtg －21C －5,π－argtg 21D 5,－π＋argtg 21例2..把点)4,3(),6,5(ππ--B A 的极坐标化为直角坐标;例3.把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标;例4.已知正三角形ABC 中,顶点A 、B 的极坐标分别为)2,3(),0,1(πB A ,试求顶点C 的极坐标;例5.化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程; 例6.化圆锥曲线的极坐标方程θρcos e i ep-=为直角坐标方程;例7.讨论下列问题：1．在极坐标系里,过点M 4,30°而平行于极轴的直线 的方程是 A θρsin ＝2 B θρsin ＝－2 C 2cos =θρ D 2cos -=θρ2．在极坐标系中,已知两点M 14,arcsin 31,M 2－6,－π－arccos －322,则线段M 1M 2的中点极坐标为 A －1,arccos 322 B 1, arcsin 31C －1,arccos －322D 1,－arcsin 313. 已知P 点的极坐标是1,π,则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ; A ρ=1 B ρ＝cos θ C ρcos θ=－1 D ρcos θ=14. 若ρ>0,则下列极坐标方程中,表示直线的是 ; A θ=3π B cos θ=230≤θ≤π C tg θ=1 D sin θ=10≤θ≤π 5. 若点A －4, 67π与B关于直线θ=3π对称,在ρ>0, －π≤θ<π条件下,B 的极坐标是 ;6. 直线ρcos θ－4π=1与极轴所成的角是 ;7. 直线ρcos θ－α=1与直线ρsin θ－α=1的位置关系是 ;8. 直线y =kx ＋1 k <0且k ≠－21与曲线ρ2sin θ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是 ;A 0B 1C 2D 3 例8.讨论下列问题；1. 圆的半径是1,圆心的极坐标是1, 0,则这个圆的极坐标方程是 ; A ρ＝cos θ B ρ＝sin θ C ρ＝2cos θ D ρ＝2sin θ2. 极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是 ; A 2 B 2 C 1 D22 3. 在极坐标系中和圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程是 A ρsin θ=2 B ρcos θ=2 C ρsin θ=4 D ρcos θ=4 4．圆ρ＝D cos θ－E sin θ与极轴相切的充分必要条件是 AD ·E ＝0 BD 2＋E 2＝0 CD ＝0,E ≠0 DD ≠0,E ＝05．圆=ρ23sin θ－2cos θ的圆心的极坐标为 ; 6. 若圆的极坐标方程为ρ=6cos θ,则这个圆的面积是 ; 7. 若圆的极坐标方程为ρ=4sin θ,则这个圆的直角坐标方程为 ; 8. 设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的极坐标为－4, 0,则这个圆的极坐标方程为 ; 例9.当a 、b 、c 满足什么条件时,直线θθρsin cos 1b a +=与圆θρcos 2c =相切例10.试把极坐标方程cos 62sin 32cos =-+θθρθρm 化为直角坐标方程,并就m 值的变化 讨论曲线的形状;例11.过抛物线y 2=2px 的焦点F 且倾角为θ的弦长|AB|,并证明：||1||1FB FA +为常数学; 例12.设椭圆左、右焦点分别为F 1、F 2,左、右端点分别为A 、A ’,过F1作一条长度等于椭圆短轴弦MN,设MN 的倾角为α.1若椭圆的长、短轴的长分别为2a,2b,求证：;cos 2b a a +=α2若|AA ’|=6,|F 1F 2|=24,求α.例13.求椭圆12222=+by a x的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值;。