整式的乘除

整式的乘除概念总汇1、同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103· 102，33· 32到a 3· a 2到a m· a n，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据（2）同底数幂的乘法法则是： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m· a n= anm +（字母m ，n 表示正整数）当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即： a m · a n · a p = a pn m ++（字母m ，n ，p 表示正整数）说明：（1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。

两者不能混淆。

（2）、—a ²的底数a ，不是—a 。

计算—a ²·a ²的结果是—（a ²·a ²）=—a 4 ，而不是（—a 2+ 2）=a 4 。

（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算 2、幂的乘方（1）、幂的乘方的性质推导当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。

（2）、幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示就是（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）。

如（103 ）2=106说明：（1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。

（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。

3、积的乘方（1）积的乘方当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。

如（2×3）2 ，（abc）3 等等。

（2）积的乘方法则积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用字母表示就是（ab）n =a n b n （n为正整数）。

三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。

如（abc）n=a n b n c n。

说明：（1）用积的乘方的法则进行计算时，我们要认清“因式有几个？分别是什么？”特别是系数和负号这样的特殊因式不能搞错。

（2）在同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的混合运算中，要学会灵活正确的分析算式的每一部分和每一种运算，然后采取合理简捷的方法进行运算。

4、整式的乘法（1）整式的乘法有3种：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘。

其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则。

（2）单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余的字母连同它的指数不变，也作为积的因式（3）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表示为b·（p+q）=bp+bq或（p+q）·b=bp+bq（4）多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

用字母表示为（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn说明：（1）整式的乘法包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法三种。

其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则 （2）在学习多项式与多项式的乘法时，要熟练地掌握公式： （x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab这可以为以后学习乘法公式打下良好的基础 5、 同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减n m n m a a a -=÷（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）（2）规定任何不等于零的数的零次幂为1，即10=a （a ≠0） 说明：（1）始终抓住法则中的二个要素：判定同底，指数相减，并注意过程和运算结果的规范表示6、单项式除以单项式（1）一般地，单项式除以单项式有如下法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 说明：（1）计算的时候分三步：①系数相除②同底数幂相除③只在被除式里的幂不变 7、多项式除以单项式（1）多项式除以单项式有如下法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加方法引导1、幂的运算例1 下列计算错误的是 ( )(A )a 2·a 4=a 8 (B )2a 3÷a =2a 2 (C )(－a 3)2=a 6 (D )(a －1)2=2a1难度等级：A 解：选A【知识体验】根据同底数的幂的乘法法则，a 2·a 4=a 2+4=a 6，所以A 不对，根据单项式除法的运算法则，结合同底数幂的除法法则，2a 3÷a =2a 3-1=2a 2 ，所以B 是正确的；根据幂的乘方性质，(－a 3)2= a 3×2=a 6 ， (a －1)2= a－1×2= a －2=2a 1，所以C 、D 都是正确的 【搭配练习】在下列计算中,正确的是（ ）A .（ab 2）3=ab 6B .（3xy ）3=9x 3y 3C .（－2a 2）2=－4a 4D .（－2）－2=41例2 计算x 2y 3÷(xy )2的结果是( )A ．xyB ． xC ．yD . xy 2 难度等级：A 解：C【知识体验】利用单项式除法的运算法则，结合积的乘方运算性质，可以解得，x 2y 3÷(xy )2= x 2y 3÷x 2y 2 = y ，故选C .【搭配练习】计算：（-2y 5）2÷（2y 3）例3 若a a –3=1,则a 等于（ ）A .1，0；B .1，3；C .1，-1；D .1，-1，3.难度等级：B 解：D【知识体验】此题貌似简单，实际上要想解对并非易事，应该对可能出现的各种情况都考虑到，即采用分类讨论思想.【解题技巧】(1)因为任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，所以，当a ≠0，并且a -3=0时，a a–3=1能成立，解得a =3;(2)因为1的任何次幂都等于1，所以当a =1时，a a –3=1也能成立；(3)因为-1的偶数次幂等于1，所以当a =-1时，a -3=-1-3=-4，则a a –3=1也能成立.综合以上三种情况，可知a =3, 1或者-1. 故选D . 【搭配练习】若(2x +1)0=1，则( )A .x ≥－21 B .x ≠－21 C .x ≤－21 D .x ≠21例4 计算：(1)(a ＋2b )(3a －7b )； (2)(16x 2y 3z +8x 3y 2z )÷8x 2y 2 难度等级：A解：（1）(a ＋2b )(3a －7b )=3a 2-7ab +6ab -14b 2=3a 2-ab -14b 2.（2）(16x 2y 3z +8x 3y 2z )÷8x 2y 2=2yz +xz .【知识体验】（1）题是利用多项式乘法法则进行计算；（2）题利用多项式除以单项式的法则进行运算【解题技巧】在计算的过程，要按照计算的顺序，遇到符号问题时，要进行细节处理，无论是乘法或是除法，在乘或除的时候一定要连同每一项的符号；剩下的就是同底数幂的乘法或除法了。

【搭配练习】 计算1、(－2ax )2·(－25 x 4y 3z 3) ÷(－12 a 5xy 2)2、(13 a n +2+2a n +1) ÷(－13 a n －1)2、巧用幂的运算简化计算例5(1) 计算：2011201231()(3)103-⋅。

(2) 已知3×9m ×27 m ＝321，求m 的值。

(3) 已知x 2n ＝4，求(3x 3n )2－4(x 2) 2n 的值。

难度等级：B解：（1）20122011313103⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛-()31331313133131033133131033133131031200112001120112011120112011=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2） ∵()m mm 22339==()m mm 333327==∴mm2793⨯⨯mmm mm 5132132133333+++==⨯⨯=∴215133=+m即1+5m =21 ∴m =4(3) 已知x 2n ＝4，求(3x 3n )2－4(x 2)2n 的值∵42=nx∴()()nnx x 222343-()()5124841494449494933323223246=⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⋅-⋅=-=nn n n x x x x【知识体验】第一道题目使用的是同底数幂的乘法法则a m · a n= a n m +（m 、n 都是正整数）；把题目变得简单，后两道题目使用的是同底数幂的乘法，幂的乘方（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）；积的乘方（ab ）n =a n b n （n 是正整数）。

从公式表面来看，公式是从左到右进行的，但按照等式来说，等式从左到右，和从右到左的转化都是等价的，所以公式是可以逆用的【解题技巧】在看到和公式相似的式子时，要从基本出发，找到题目和公式的联系，遇到较大的数字或指数，肯定是可以利用基本的变形来使式子变得简单 【搭配练习】 1、已知：693273=⋅m m，求m .2、若52=nx,求()()nn x x 222343-的值.3、已知1324-=x x，求x 的值。

例题讲解(一）题型分类全析 1、整式乘除类型题例1：下列计算正确的是( )（A ）()()()()442x x x x x -=-=-⋅-⋅- （B ）()42222x x x x x x x -=⋅⋅-=⋅-⋅-（C ）()()()9432x x x x =-⋅-⋅- （D ）()()()1053x x x x x -=⋅-⋅-⋅-难度等级：A【思维直现】本题要在四个选项中，选出正确的一个，那就需要把四个式子都计算一遍。