011第十一章 动量定理

第11章 动量定理

应用质点运动微分方程求解动力学问题，求微分方程的积分通常是比较麻烦的，特别是对于质点系动力学问题，若要分别确定每个质点的运动，就是必须求微分方程组的积分，这在大多数情况下是非常困难的，一般无法求得精确解。

对于某些动力学问题，往往不必求出各质点的运动情况，而只需要知道质点系整体的运动特征就够了。例如，刚体只需确定质心的运动和绕质心的转动。能够表征质点系运动特征的量有动量、动量矩和动能，这些量与力的作用量之间的关系，即为动量定理、动量矩定理和动能定理，统称为动力学的普遍定理。

动力学的基本定律都可以作为牛顿定律的推导结果，但必须指出这些反映力学现象各个不同方面的普遍性质的定理是前人分别发现的独立的基本规律，但为了讲述的方便，我们仍从牛顿定律出发来推导这三个定理。

§11-1 动量与冲量的概念

例1.图示各均质物体重Q ，物体尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如图示。试计算各物体的动量。

图11-1

解：由c M =P v （a ）2

C l

v ω=，2C C Q Ql P Mv v g g

ω===，方向同C v （b ）0C v =,0C P Mv == （c ）C v R ω=,C C Q Q

P Mv v R g g

ω==

=，方向同C v

（d ）C v v =,C Q P Mv v g

==

,方向同 v 例2.椭圆规尺AB 的质量为2m ，曲柄OC 的质量为1m ，滑块A 和B 的质量均为2m ，OC AC BC l ===，曲柄与尺为均质杆。设曲柄以匀角速度ω转动。求此椭圆规机构的动量的大小与方向。

图11-2

解：取坐标系Oxy 如图所示，机构各部分质心的坐标为 0A x =，2sin A y l t ω= 2cos B x l t ω=，0B y = cos C x l t ω=，sin C y l t ω= cos 2D l x t ω=，sin 2

D l y t ω= 整个机构质心G 的坐标为

1222111212452cos 32322i i

A B C D G

i m m m x m x m x m x m x l x t m

m m m m ω++++=

==⋅++∑∑

1222111212452sin 32322

i i

A B C D G i

m m m y

m y m y m y m y l

y t m

m m m m ω++++=

=

=⋅++∑∑

将G x ，G y 分别对时间求一次导数，得

121245sin 322

G m m l x

t m m ω

ω+=-⋅+

121245cos 322

G m m l y t m m ωω+=⋅+

则整个机构质心G 的速度

121245322

G m m l v m m ω

+==

⋅+

设G v 与水平方向的夹角为θ，则

tan G G

y

ctg t x θω=

=- 故 090t θω=+

显然，G v 的方向垂直于OC ，如图所示。

于是，该椭圆机构的动量

()()

11

2122124532453222

G m m l l P Mv m m m m m m ωω

+==+⋅

⋅=++ 方向与G v 相同。

本题还可用下面更简便的方法解得

112(22)OC ACB D C m m m =+=++P P P v v

而

2

D l v ω= 方向垂直于OC C v l ω= 方向垂直于OC 所以

11212112()(54)2

2

P m l m m l m m l ωωω=++=+

方向垂直于OC 。

例3 如图所示的椭圆规，OC AB BC l ===，曲柄OC 与连杆AB 质量不计，滑块,A B 的质量均为m ，曲柄以角速度ω转动。试求系统在图示位置时的动量。

图11-3

解：方法一 利用式（1），有

A B m m =+P v v

用点的运动学方法求,A B 两点的速度A v 与B v 的大小

2sin A y l ϕ= 2cos 2cos Ay v l l ϕ

ϕωϕ== 2cos B x l ϕ= 2sin 2sin Bx v l l ϕ

ϕωϕ=-=- 将该式代入式（1），得系统动量为

2(sin cos )m l ωϕϕ=-+P i j 方法二 利用式（3）,有

c M =P v

系统的质量为2M m =，质心在C 点，C 点的速度可表示为 (sin cos )C l ωϕϕ=-+v i j 则有

2(sin cos )m l ωϕϕ=-+P i j

与方法一的结果相同。

§11-2 动量定理

例1.已知：锤重300N Q =， 1.5m H =，自由落下，锻件发生变形历时0.01s τ=，求锻锤对锻件的平均压力m N

图11-4

解：研究对象：锤，建立坐标系如图。受力分析：Q ，m N

。由质

点动量定理的积分形式

2

1

21t x x x t mv mv F dt -=⋅⎰

注意1t =

100()()m Q t N ττ-=⋅++-⋅ 解得

1()

16.9KN m Q t N ττ

+=

=

m N 是工件对锻锤的平均反力，则由作用力与反作用力定律，锻锤对工件的平均压力也是16.9KN 。

例2.质点A 的质量为M ，沿倾角为α的斜面向上运动，初速度为

0v ，质点与斜面间的动滑动摩擦系数为f ，求停止前所经过的时间。

图11-5

解：以质点A 为研究对象并受力分析，受有重力P 、斜面支承力N 和摩擦力F ，且F N f =，建立图示坐标系。质点沿斜面作直线运动，计算初始及停止时质点的动量

00M =p v ，0=p （1） 列质点积分形式的动量定理

0()t -=++⋅p p P N F （2） 将上式投影到y 轴和x 轴上，得

0(cos )N Mg t α=- （3） 00(sin )Mv F Mg t α-=-+ （4）

由式（3）得 cos N Mg α=，所以cos F Mgf α=代入式（4）得 0

(cos sin )

v t g f αα=

+

本题也可由质点的运动微分方程求解，即

(sin )Mx

F Mg α=-+ （5） 即

(cos sin )x g f αα=-+

（6） 对式（6）进行积分，即可求得t 。由此可见，用动量定理解质点动力学问题比牛顿第二定律较为直接，较为方便。

例3.炮弹的质量为M ，发射速度为0v ，仰角为α，不计空气阻力，求炮弹的运动规律。