现代控制理论实验报告中南大学

中南大学现代控制实验报告

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实验一 用MATLAB 分析状态空间模型

1、实验设备

PC 计算机1台，MATLAB 软件1套。 2、实验目的

① 学习系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；

② 通过编程、上机调试，掌握系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。

3、实验原理说明

线性系统数学模型的常见的形式有，输入输出模式数学模型（传递函数和微分方程）和状态空间模式数学模型（状态空间表达式或动态方程）。传递函数模型一般可表示为：

若上式中分子分母各项系数为常数，则系统称为线性定常系统(linear time invariant,LTI) 利用下列命令可轻易地将传递函数模型输入MATLAB 环境中。

>>num=[b0,b1,…,bn]; >>den=[1,a1,a2,…,an];

而调用tf()函数可构造出对应传递函数对象。调用格式为： >>G=tf(num,den);

其中(num,den)分别为系统的分子和分母多项式系数的向量，返回变量G 为系统传递函数对象。

线性定常系统的状态空间模型可表示为

表示状态空间模型的基本要素是状态向量和常数矩阵A ，B ，C ，D 。用类似的方法可将其输入MATLAB 环境，对单输入单输出系统，

)

()()()()()()()(1111110t a s t a s t a s t b s t b s t b s t b s g n n n n m m m m ++++++++=

----ΛΛDu

Cx y Bu Ax x +=+=?

>>A=[a11,a12,…a1n;a21,a22,…a2n;…;an1,an2,…ann]; >>B=[b1;b2;…;bn]; >>C=[c1,c2,…cn]; >>D=d;

调用ss()状态方程对象可构造状态方程模型，调用格式如下： >>ss(A,B,C,D)

对于两种模型之间的转换，则可分别调用tf()和ss()完成，即： >>G1=tf(G) >>G2=ss(G ’) 4、实验步骤

① 根据所给系统的传递函数或A 、B 、C 矩阵，依据系统的传递函数阵和状态空间表达

式之间的关系式，采用MATLAB 编程。

② 在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 题 已知SISO 系统的传递函数为

2432

58

()2639

s s g s s s s s ++=++++ （1）将其输入到MATLAB 工作空间； （2）获得系统的状态空间模型。 题 已知SISO 系统的状态空间表达式为

112233010100134326x x x x u x x ????????????????=+????????????????----????????&&&，[]123100x y x x ????=??????

（1）将其输入到MATLAB 工作空间； （2）求系统的传递函数。

题代码及结果

num=[1,5,8];

den=[1,2,6,3,9];

G=tf(num,den);

G1=ss(G)

a =

x1 x2 x3 x4 x1 -2

x2 4 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 1 0

b =

u1

x1 1

x2 0

x3 0

x4 0

c =

x1 x2 x3 x4 y1 0 1

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

题代码及结果

A=[0,1,0;0,0,1;-4,-3,-2]; B=[1;3;-6]; C=[1,0,0]; D=0; G=ss(A,B,C,D); G1=tf(G)

Transfer function: s^2 + 5 s + 3 ------------------------- s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

实验二 利用MATLAB 求解系统的状态方程

1、实验设备

PC 计算机1台，MATLAB 软件1套。 2、实验目的

① 学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； ② 通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； ③ 掌握利用MATLAB 导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。

3、实验原理说明

在MATLAB 中，调用expm(A)可求得矩阵指数 ；调用step()可求取阶跃输入时系统的状态响应；调用lsim()可求取零状态响应；调用initial()可求取零输入响应。它们的调用格式分别如下：

>>expm(A)

A

e

>>[y,t,x]=step(G) >>[y,t,x]=lsim(G,u,t) >>[y,t,x]=initial(G,x0) 4、实验步骤

（1）根据所给系统的状态方程，依据系统状态方程的解的表达式，采用MATLAB 编程。 （2）在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 题 已知SISO 系统的状态方程为

[]01323011x x u y x

????=+????--????=& （1）0u =，()101x ??

=?

?-??，求当t =时系统的矩阵系数及状态响应； （2）1()u t =，()000x ??=????

，绘制系统的状态响应及输出响应曲线；

（3）1cos3t

u e t -=+，()000x ??=????

，绘制系统的状态响应及输出响应曲线；

（4）0u =，()102x ??

=????

，绘制系统的状态响应及输出响应曲线；

（5）在余弦输入信号和初始状态()101x ??=????

下的状态响应曲线。 题 已知一个连续系统的状态方程是

0102541x x u ????

=+????--????

& 若取采样周期0.05T =秒

（1）试求相应的离散化状态空间模型；

（2）分析不同采样周期下，离散化状态空间模型的结果。

题代码及结果

(1).

>> A=[0,1;-2,-3];

>> expm(A*

ans =

>> x0=[1;-1];

>> x=expm(A**x0

x =

(2).

>>A=[0,1;-2,-3];B=[3;0];C=[1,1];D=0; >>G=ss(A,B,C,D);[y,t,x]=step(G);plot(t,x)状态响应：

plot(t,y)

输出响应：

(3).

A=[0,1;-2,-3];B=[3;0];C=[1,1];D=0;

t=[0:.04:4];u=1+exp(-t).*cos(3*t);

G=ss(A,B,C,D);[y,t,x]=lsim(G,u,t);plot(t,x)状态响应：

plot(t,y)

输出响应：

(4).

A=[0,1;-2,-3];B=[3;0];C=[1,1];D=0;

t=[0:.04:7];u=0;x0=[1;2];G=ss(A,B,C,D); [y,t,x]=initial(G,x0,t);plot(t,x)

plot(t,y)

输出响应：

(5).

A=[0,1;-2,-3];B=[3;0];C=[1,1];D=zeros(1,1); x0=[1;1];t=[0:.04:15]; u=cos(t);

G1=tf(G);

[y1,t,x1]=initial(G,x0,t); [y2,t,x2]=lsim(G,u,t);

y=y1+y2;

x=x1+x2;

plot(t,x);

状态响应：

题代码及结果

>>A=[0,1;-25,-4];B=[0;1]; >> [Gz,Hz]=c2d(A,B,

Gz =

Hz =

实验三系统的能控性、能观测性分析

1、实验设备

PC计算机1台，MATLAB软件1套。

2、实验目的

①学习系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；

②通过用MATLAB编程、上机调试，掌握系统能控性、能观测性的判别方法，掌握将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。

3、实验原理说明

由系统状态方程求能控性矩阵Uc，调用函数rank()可求得Uc的秩，从而判断系统的能控性，同理求得能观性矩阵Uo，用rank()求其秩，再判断系统的能观性。

4、实验步骤

①根据系统的系数阵A和输入阵B，依据能控性判别式，对所给系统采用MATLAB编

程；在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。

②根据系统的系数阵A和输出阵C，依据能观性判别式，对所给系统采用MATLAB编

程；在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。

③构造变换阵，将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。

题已知系数阵A和输入阵B分别如下，判断系统的状态能控性

??????????--=2101013333.06667.10666.6A ， ??

??

?

?????=110B

题 已知系数阵A 和输出阵C 分别如下，判断系统的状态能观性。

??

??

?

?????--=2101013333.06667.10666.6A ， []201=C

题 已知系统状态空间描述如下

[]021151202001110x x u y x

-????

????=+????????--????

=& （1）判断系统的状态能控性； （2）判断系统的状态能观测性；

（3）构造变换阵，将其变换成能控标准形； （4）构造变换阵，将其变换成能观测标准形；

题代码及结果

A=[,,;1,0,1;0,1,2];B=[0;1;1]; Uc=[B,A*B,A^2*B]; rank(Uc) ans = 3

题代码及结果

A=[,,;1,0,1;0,1,2];C=[1,0,2]; Uo=[C;C*A;C*A^2]; rank(Uo)

ans =

3

题代码及结果

A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0]; Uc=[B,A*B,A^2*B];

Uo=[C;C*A;C*A^2];

(1).判断能控性：

rank(Uc)

ans =

3

(2).判断能观性：

>> rank(Uo)

ans =

3

(3).构造变换阵，转化成能控标准型：A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0]; Uc=[B,A*B,A^2*B];

rank(Uc);

p1=[0,0,1]*inv(Uc);

P=[p1;p1*A;p1*A^2]

P =

>> Ac=P*A*inv(P)

Ac =

0 0

>> Bc=P*B

Bc =

(4).构造变换阵，转化成能观标准型：A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0]; Uo=[C;C*A;C*A^2];

rank(Uo);

T1=inv(Uo)*[0;0;1];

T=[T1,A*T1,A^2*T1]

T =

>> Ao=inv(T)*A*T

Ao =

0 0 -10

1 0 12

0 1 1

>> Co=C*T

Co =

0 0 1

实验四系统稳定性分析

1、实验设备

PC计算机1台，MATLAB软件1套。

2、实验目的

①学习系统稳定性的定义及李雅普诺夫稳定性定理；

②通过用MATLAB编程、上机调试，掌握系统稳定性的判别方法。

3、实验原理说明

根据李雅普诺夫第一第二方法判断系统的稳定性。

4、实验步骤

（1）掌握利用李雅普诺夫第一方法判断系统稳定性；

（2）掌握利用李雅普诺夫第二方法判断系统稳定性。

题某系统状态空间描述如下

[]021151202001110x x u y x

-????

????=+????????--????

=& （1）利用李雅普诺夫第一方法判断其稳定性； （2）利用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。

题代码及结果

(1)李雅普诺夫第一方法： %存为

%输入系统状态方程

A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=0; %设立标志变量，判断是否稳定 flag=0;

%求解零极点及增益 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1); %显示结果

disp('System zero-points,pole-points and gain are:'); z p k

%判断是否稳定 n=length(A); for i=1:n if real(p(i))>0 flag=1; end

end

if flag==1

disp('System is unstable');

else

disp('System is stable');

end

%运行

>> stability

System zero-points,pole-points and gain are: z =

p =

k =

1

System is unstable

(2)李雅普诺夫第二方法：

%存为

%系统状态方程模型

A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];

%选Q=I

Q=eye(3,3);

%求解矩阵P

P=lyap(A,Q);

%显示矩阵P的各阶主子式的值并判断是否稳定flag=0;

n=length(A);

for i=1:n

det(P(1:i,1:i))

if(det(P(1:i,1:i))<=0)

flag=1;

end

end

%显示结果

if flag==1

disp('System is unstable');

else

disp('System is stable');

end

%运行

>> stability2

ans =

ans =

ans =

System is unstable

实验五利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器

1、实验设备

PC计算机1台，MATLAB软件1套。

2、实验目的

①学习闭环系统极点配置定理及算法，学习全维状态观测器设计方法；

②通过用MATLAB编程、上机调试，掌握极点配置算法，设计全维状态观测器。

3、实验原理说明

采用直接计算反馈矩阵、Ackermann公式计算法、调用place函数法进行闭环系统极点配置。设计全维状态观测器。

4、实验步骤

（1）掌握采用直接计算法、采用Ackermann公式计算法、调用place函数法分别进行闭环系统极点配置；

（2）掌握利用MATLAB设计全维状态观测器。

题某系统状态方程如下