第五章 其他常用单元的刚度矩阵

第五章其他常用单元的刚度矩阵

除了前面讲的一维、二维杆单元及三角形单元之外，有限元法中还根据分析对象的不同采用许多其他单元，如三棱圆环单元、等参数单元、平面四边形单元、四面体单元、六面体单元等等。鉴于学时所限，只介绍三棱圆环单元和等参数单元的刚度矩阵的求法，对其他单元同学们可查阅有关书籍。

第一节三棱圆环单元的刚度矩阵

机器中许多零件如飞轮、缸体等在几何形状上具有共同点，即它们都是某一平面图形绕平面内某一轴线旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。当回转体承受的载荷和支撑条件相对于该轴线也对称时，分析求解这类零件的应力、应变问题，称为轴对称问题。

轴对称问题中，回转体内各点只有轴向和径向两个方向的位移，一个三维问题就简化为二维问题。对这类零件的离散化可以在子午面内进行，最常用的是三角形截面的轴对称单元，简称为三棱圆环单元。如图4-1所示。

1.位移模式及形状函数

由于轴对称的特点，不再用直角坐标系（x,y,z）,而用柱面坐标系（r,θ,z）描述物体。物体内任意一点只有沿r和z 方向的位移u和w，而无θ方向的位移。当纵剖面上三角形单元(e)的三个节点总码分别为I、j、k时，如图4-1所示，

相应的节点位移向量为

{}{}

T

k k

j

j

i

i

e w u w u w u =)

(ϕ

与弹性力学平面问题中的三角形单元一样，采用线性位移模式，则

z

r z r w z r z r u 654321),(),(αααααα++=++=

与平面问题的推导步骤完全相同，可以得到与平面问题相似的结果：

{}

[]

{})()

()

()

(),(),(),(),(e e e e z r N z r w z r u z r ϕϕ=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=

其中形状函数为：

[]z

r r z z r z r

z r N kj jk j k k j

++-∆=)(21),(1 []z r r z z r z r z r N ik ki k i i k ++-∆=)(21),(2

[]z

r r z z r z

r z r N ji ij i j j

i

++-∆

=

)(21),(3

2.应变与位移的关系（几何矩阵）

轴对称问题中表示应变与位移关系的几何方程与弹性力学平面问题相似，所不同的是：单元内一点在径向产生的位移u ，会在圆周方向引起相应的应变θ

ε。一个半径为r 的圆

环，周长为2πr ，环上的各点都沿各自的径向产生位移u 后，其圆周长度变成

)

(2u r +π。因此，在圆周方向的应变为

r

u r

r

u r =-+=

πππεθ22)(2

由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θ

r v 和r

v θ均为

零。将应变写成向量的形式，则{}⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎬

⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r

u rz z r γεεεεθ

根据上式，可推导出几何方程{}[]{})

(e B ϕε=

其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡∆=

ij

ji

ki

ik

jk

kj

ji ik kj k j i

ij kj jk

z r z r z r r r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000)

,(0)

,(0),(00021

3.弹性方程和弹性矩阵[D]

依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为

[])(1θσσσε+-=

z

r r u E [])(1z r

u E σσσεθθ+-= []

)(1θσσ

σε+-=

r

z

z u E

rz

rz E

r τμ)

1(2+=

所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}

T

rz z

r

τσσσ

σθ=

弹性矩阵[]⎥⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-----+=2210

0010

10

1)

21)(1(μμμ

μ

μ

μ

μμμ

μμμE

D

4.单元刚度矩阵[])

(e k

与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为

[][][][]dV B D B k V

T e ⎰=

)

(

在柱面坐标系中，drdz

dV π2=

将drdz

dV

π2=代入[]

[][][]dV B D B k V

T

e ⎰=

)

(，则[][][][]rdrdz B D B k T

e ⎰⎰

=π

2)( 即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。

与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素（如

r

z r N i )

,(等）是坐标r 、z 的函

数，不是常量。因此，乘积[][][]B D B T

不能简单地从式

[][][][]rdrdz B D B k T

e ⎰⎰

=π

2)

(的积分号中提出。如果对该乘积逐项求积分，将是一个繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐标值代替几何矩阵[B]内的r 和z 的值。用[]B 表示在形心),(z r 处计算出的矩阵[B]。其中

3

)

(,3

)

(k j i k j i z z z z r r r r ++=

++=

只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：

[]

[]

[][][]

[][]∆==⎰⎰r B D B

rdrdz

B D B

k T

T

e ππ22)

(式中∆——三角形的面积。

由式[]

[]

[][][]

[][]∆==⎰⎰r B D B

rdrdz

B D B

k T

T

e ππ22)

(可以看出，两轴对

称的三角形单元，当形状、大小及方位完全相同而位置不同时，其刚度矩阵也不相同。距离主轴线越远的单元，其刚度