必修5不等式题型总结
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：
若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b
c d
>）；
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>
4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11
a b
>。如
练习一、：
（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；
③22,0b ab a b a >><<则若； ④b
a b a 1
1,0<<<则若；
⑤b
a
a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；
⑦b c b a c a b a c ->
->>>则若,0； ⑧11
,a b a b
>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______
（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______
（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a
c
的取值范围是______
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21
log log 21+t t a a 和的大小
（2）设2a >，1
2
p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小
（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这
17字方针。如
（1）下列命题中正确的是
A 、1y x
x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是
2-D 、4
23(0)y x x x
=-->的最小值是2-
（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______
；
（3）正数,x y 满足21x y +=，则y
x 1
1+的最小值为______
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解
因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧
六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一
个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如 练习三：
（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（2）不等式(0x -≥的解集是____
（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x >g 的解集为______
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解
因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
练习四：（1）解不等式25123
x
x x -<---
（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02
>-+x b
ax 的解集为____________
八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2
1
|2|432|+-≥-x x
（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +-> （4）两边平方：如
若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如
（1）若2
log 13
a <，则a 的取值范围是__________（2）解不等式
2()1ax x a R ax >∈-
十一．含绝对值不等式的性质：
a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.
如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+
十二．(难点)不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用
函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______
（答：)
1,+∞）
；
（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
（答：1a <）；
（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____
（答：（712-,31
2
+））；
（4）若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：
3
[2,)2
-）； （5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
（答：1
2
m >-）
2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；
若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____（答：1a >）
3). 恰成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a
;
例1 解不等式：()0122
>+++x a ax
分析：本题二次项系数含有参数，()044222
>+=-+=?a a a ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=?
a a a
解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a
a a x 24
222++--=
∴当0>a 时,解集为??
?
???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或
当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为????
??
>21|x x
当0 ? ???????+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|> 例3 解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵162-=? a ∴当()4,4-∈a 即0 ????? ≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 16 22---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ? ???????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解 因,012>+m ()()2 223414)4(m m -=+--=?，所以当3±=m ，即0=?时，解集为???? ??=21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为?? ? ???????+--+-+>1321322 222m m x m m x x 〈或； 当33>- 三、按方程02 =++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例5 解不等式)0( 01)1(2 ≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1 (<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a a 1=，可得：1±=a ，∴当1- a 1 < ，故原不 等式的解集为???? ?? < 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为? ?? ???< 。 例6 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()02452 22>=--=?a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a f 时，即23a a p ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<或 一元二次不等式 1．(1)解不等式 121 ≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (2)不等式11<-x ax 的解集为}21|{> 1=a ） 2．解下列关于x 的不等式： （1）01)1(2<++-x a a x （2）)23(0) 3)(2(-≠≠<-+-a a x x a x ，且 } 1|{01,1)3(1)2(} 1 |{10,1)1(a x a x a a a a x a x a a <<<<->Φ±=<<<<-<时，或当时，当时，或当 } 3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当 （3）01)1(2 <++-x a ax （4）0)2)(2(>--ax x } 11 |{1)5(1)4(}1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< x x a x x a x a x x a 时，当时，当时， 当时，当或时，当 } 2,2 |{,1)5(} 2|{,1)4(}2 ,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22 | {,0)1(><>≠=><<<<=<< x x a x x a a x x x a x x a x a x a 或时当时当或时当时当时当 （5）012<++x ax （6）)(11 R a a x x ∈-<- Φ ≥-+-<<---<<-<=--->-+-< <时，当时，当时，当或时，当4 1 )4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(} 2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a a a x a a x x a } 1,1|{0)3(}1|{0)2(}11 | {0)1(a a x x x a x x a x a a x a -><<<=<<->或时，当时， 当时，当 3．（1）若不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（22≤<-a ） （2）若不等式13 64222 2<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.（31< 4．（1）已知}0)1(|{},023|{2 2≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若 A B ，求实数a 的取值范围.；（2>a ）②若A B ?，求实数a 的取值范围.；（21≤≤a ） ③若B A I 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.（1≤a ） （2）已知}03 1 | {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-=I 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. （31<≤a ） (3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|22-≤ +-a a x 与0)13(2)1(32 ≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ?，求实数a 的取值范围. （31,1≤≤-=a a 或） （4）设全集R U =，集合}3|12||{},01 |{<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A =Y ， 求实数a 的取值范围. （12≤≤-a ） （5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2 222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ， 若C B A ?)(I ，求实数a 的取值范围.（ 21≤≤a ） 一元二次不等式及其解法 1．二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ??--a b ac a b 4422，． 2．二次函数的解析式的三种形式： 2()f x ax bx c =++（一般式）； 12()()()f x a x x x x =-?-（零点式）； n m x a x f +-=2)()(（顶点式）． 3．一元二次不等式的解法 一元二次不等式2 0ax bx c ++>()200ax bx c a ++<≠或的解集： 设相应的一元二次方程2 0ax bx c ++=0a ≠的两根为x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 4．解一元二次不等式的步骤： (1)将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2 >0(或<0)(a >0)； (2)计算判别式?，分析不等式的解的情况； (3)写出解集． 5．讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题： (1)注意对称轴a b x 2- =与区间[]q p ,的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴2b a -在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴2 b a -在区间之内；③对称轴2b a -在区间右边． （2）函数 ()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性．要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响． 6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． 三、典型例题选讲 题型1：考查一元二次函数的性质 例1 函数 2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是（ ） A ．0b ≥ B ．0b ≤ C ．0b > D ．0b < 解：∵函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞的对称轴为2 b x =- ， ∴函数2([0,)y x bx c x = ++∈+∞）是单调函数? -(0,)2 b ?+∞?02b -≤，?0b ≥．故选A ． 归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2b a -∞-和[,)2b a -+∞，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b 的范围． 例2 已知二次函数的对称轴为2x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析． 解：∵二次函数的对称轴为2x =2()(2)f x a x b =++，∵()f x 截x 轴上的弦长为4， ∴ ()f x 过点(2,0) 和(2,0)， ()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=??+=-?，解之得122 a b ?=? ??=-?， ∴ 21 ()(22 f x x =-． 归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化． 题型2：简单不等式的求解问题 例3 求下列不等式的解集． （1）01442 >+-x x ； （2）0322 >-+-x x 解法一：因为21 0144,0212= ==+-=? x x x x 的解是方程．所以，原不等式的解集是? ?? ???≠21x x ． 解法二：整理，得0322 <+-x x ． 因为032,02=+- x x 方程无实数解，所以不等式0322<+-x x 的解集是?．从而，原不等式的解集是?． 归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察． 例4 不等式022 <-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 解法一：设022 =-+bx ax 的两根为1x 、2x ，由韦达定理得： ?????? ?-=?-=+a x x a b x x 22121 由题意得????????-=-+-=-21221a a b ∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42 >-?-=?a b ． 解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式： 0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故1=a ，1-=b ． 归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 {}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>?， 022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系． 题型3：含参不等式的求解问题 例5 解关于x 的不等式01)1(2 <++-x a ax ． 证：分以下情况讨论 (1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x ，即不等式的解集为{| 1}x x > (2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ① ①当0 (>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或a x 1 <．即不等式的解集为1{|1}x x x a ><或；②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x a x ．②，∵a a a -= -111， ∴当10<a ，此时②的解为a x 1 1<<．即不等式的解集为1{|1}x x a <<；当1=a 时，11=a ，此时②的解为?． 当1a >时， 11a <，即不等式的解集为1 {|1}x x a <<． 归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ?? ?? ??? ?????? ????????>=<<><≠=∈11100000 a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0 <++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解． 题型4：一元二次不等式的应用 例6 （1）已知函数()?? ?≥-<+-=0 1 01 x x x x x f ，则不等式()()111≤+++ x f x x 的解集是（ ） A ． {}121|-≤≤-x x B ．{}1|≤x x C ．{}12|-≤x x D ．{}1 212|-≤≤--x x 解：依题意得11010 (1)()(1)1x x x x x x x x +<+???? ++-++?≥≤? ≤或 所以1 1 11R x x x x ≥-∈?<-????≤? ?≤? 或1111x x x ≤≤<-??≤-或，选C ． （2）若函数f (x ) =12 22 --+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为_______． 解：Q 函数 ()f x =R ，∴对一切x R ∈都有2 221x ax a +-≥恒成立，即220x ax a +-≥恒成立， 0∴?≤成立，即2440a a +≤，10a ∴-≤≤，故选A ． 归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查， 一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一． 例7 已知函数 21 sin sin 42 a y x a x =-+- +的最大值为2，求a 的值． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24 a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =，当112a -≤ ≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=， 得2a =-或3a =（舍去）．当12a >，即2a >时，函数22 1()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-上单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =；当12a <-，即2a <-时，函数22 1()(2)24 a y t a a =--+-+在 [1,1]-上单调递减，由max 11 1242y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得，a 的值为2a =-或10 3 a =． 归纳小结：令sin t x =，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]-的三种位置关系的讨论就可求得a 的值．此题中要注意0a <的条件． 例8 设不等式2 220x ax a -++≤的解集为M ，如果M ?[1,4]，求实数a 的取值范围？ 解：M ?[1,4]有两种情况：其一是M =?，此时?＜0；其二是M ≠?，此时?=0或?＞0，分三种情况计算a 的取值范围．设2()22f x x ax a =-++，有?=2(2)4(2)a a --+=24(2)a a --，当?＜0时，－1＜a ＜2，M =??[1,4]；当?=0 时，a =－1或2；当a =－1时M ={1 }-?[1,4]；当a =2时，m ={2}?[1,4] 当?＞0时，a ＜－1或a ＞2．设方程()0f x =的两根1x ，2x ，且1x ＜2x ，那么M =［1x ，2x ］，M ?[1,4]?1≤x 1＜x 2 ≤ 4???>?≤≤>>?0,410)4(,0)1(且且a f f ，即30 1870 0 12a a a a a -+>??->??>? ?<->?， ，，或， 解得2＜a ＜718，∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718 )． 一元二次不等式解法应试能力测试 1．不等式0x 2x 62 <--的解集是( ) A ．}2x 23|x {<<- B ．}23x 2|x {<<- C ．}2x 2 3 x |x {>-<或 D ．}23x 2x |x {>-<或 2．设集合M ＝{x|0≤x<2}，}03x 2x |x {N 2 <--=，则有M ∩N ＝( ) A ．{x|0≤x<1} B ．{x|0≤x<2} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0≤x ≤2} 3．对于任意实数x ，不等式0)2a (ax 2ax 2 <+-+恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤0 B ．－1≤a<0 C ．－1 D ．－1 4．不等式0)6x )(4x (22 ≤--的解集为( ) A ．{x|－2≤x ≤2} B ．{x|x ≤－2或x ≥2} C ．{x|－2≤x ≤2或x ＝6} D ．{x|x ≥2} 5．已知}Z x 04x 3x |x {A 2 ∈≤--=，，}Z x 06x x 2|x {B 2∈>--=，，则A ∩B 的非空真子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．7 D ．8 6．已知}0q px x |x {A 2 ≤++=，}01 x 3 x | x {B >+-=，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x|3 <++的解集是{x|－7 8．不等式ax <++同解，则( ) A ．a ＝0且b ≤0 B ．b ＝0且a>0 C ．a ＝0且b>0 D ．b ＝0且a<0 1．不等式035|x |3x 22 >--的解为_______________． 2．使函数| x |313x 2x y 2 -+--=有意义的x 的取值范围是_______________． 3．已知}02x 3x |x {A 2 ≤+-=，}0a x )1a (x |x {B 2≤++-=，若B A ≠?，则a 的取值范围是_______________； 若B A ?，则a 的取值范围是_______________． 4．关于x 的不等式0b x x a <+-(a ＋b>0)的解集是_______________． 1．为使周长为20cm 的长方形面积大于2 cm 15，不大于2 cm 20，它的短边要取多长？ 2．解不等式x 21 |x 2x |2 < -． 3．解关于x 的不等式04x )1a (2ax 2 >++-(a>0)． 4．k 为何值时，关于x 的不等式 13 x 6x 4k kx 2x 222<++++对一切实数x 恒成立． 参考答案 一、 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 提示：因为A ∩B ＝{3，4} 6．A 提示：因B ＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A ＝{x|－1≤x ≤4}∴－1，4是0q px x 2 =++的两根，∴p ＝－3，q ＝－4． 7．C 8．A ，提示：因01x x 2 <++的解为?，只有a ＝0且b ≤0时，ax 二、 1．x<－5或x>5 提示：原不等式化为035|x |3|x |22 >--，∴|x|>5 2．{x|－3 1．设长方形较短边长为x cm ，则其邻边长(10－x)cm ，显然0 5x 55x 10 5x 105或 ∴55x 105-≤<- ． 2．当x ≤0时，不等式无解，当x>0时，不等式化为x 21|2x |x < -，即2 1 |2x |<- 解得：25x 23<< 3．原不等式化为(ax －2)(x －2)>0 ，∵a>0，∴0)2x )(a 2x (>--，当a ＝1时，2a 2=，∴0)2x (2 >-，∴{x|x ∈R 且x ≠2}，当a ≠1时：若a>1，则2a 2<，∴}2x a 2x |x {><或，若0 >，∴}22|{a x x x ><或． 4．∵3x 6x 42++恒正，∴不等式化为3x 6x 4k kx 2x 22 2++<++，即0)k 3(x )k 26(x 22>-+-+恒成立 ∴⊿0)k 3(8)k 26(2 <---=，∴03k 4k 2<+-，∴1 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注： 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值； （2）若 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值. 变式1：若 变式2： 变式3：求函数 类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值 变式1：求函数 不等式知识总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等） 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 1 1 a b c ++≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ． 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 基本不等式的应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a,，则ab b a 22 2 (2)若R b a,，则2 2 2 b a ab （当且仅当b a 时取“=”）2. (1) 若* ,R b a ，则 ab b a 2 (2) 若 * ,R b a ，则a b b a 2（当且仅当 b a 时取“=”） (3)若 * ,R b a ，则2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”） 3.若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”） 若0x ，则11122-2x x x x x x 即或 (当且仅当b a 时取“=”） 4.若0ab ，则2a b b a (当且仅当b a 时取“=”）若0ab ，则 22-2a b a b a b b a b a b a 即 或 (当且仅当b a 时取“=”） 5.若R b a,，则2 ) 2 (2 2 2 b a b a （当且仅当b a 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋ 1 x 解：（1）y ＝3x 2 ＋ 1 2x 2≥23x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x · 1x ＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋ 1x = －（－x －1 x ）≤－2x · 1x =－2 ∴值域为（－∞，－ 2]∪[2，+∞） 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54 x ，求函数142 45 y x x 的最大值。 解：因45 0x ，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45 x x 不是常数，所以对42x 要进行拆、凑项， 5,5 404 x x ， 1142 5 43 45 5 4y x x x x 231 当且仅当15454x x ，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max 1y 。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 高一数学必修5不等式知识点总结 精品文档 高一数学必修5不等式知识点总结 不等式是高一数学必修5非常重要的概念，有哪些知识点需要了解?下面学习 啦小编给大家带来高一数学必修5不等式知识点，希望对你有帮助。 高一数学必修5不等式知识点不等式(inequality) 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x+2y?2xy，sinx?1， ex>0 ，2xx是超越不等式。 通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)?G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。 不等式的最基本性质有:?如果x>y，那么yy;?如果x>y，y>z;那么x>z;?如果x>y，而z为任意实数，那么x+z>y+z;? 如果x>y，z>0，那么xz>yz;?如果x>y，z 由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有: 柯西不等式:对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有 (x1y1+x2y2+…+xnyn)2?(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)。 排序不等式:对于两组有序的实数x1?x2?…?xn，y1?y2?…?yn，设yi1， yi2，…，yin是后一组的任意一个 1 / 7 精品文档 排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin， L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S?M?L。 根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有:?不等式F(x)F(x)同解。?如果不等式F(x) 0与不等式同解;不等式F(x)G(x) 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号―>‖― ―?‖―?‖连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式. 如:甲大于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.所以,A最大. 不等式是不包括等号在内的式子比如:(不等号大于等于号，小于等于号)只要用这些号放在式子里就是不等式咯.. 1.符号: 不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。 .确定解集: 比两个值都大，就比大的还大; 比两个值都小，就比小的还小; 比大的大，比小的小，无解; 比小的大，比大的小，有解在中间。 2 / 7 精品文档 三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。 .另外，也可以在数轴上确定解集: 把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24 22 1a a a x +- --= a a a x 24 22 2++ --= ∴当0>a 时,解集为?? ? ???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?? ???> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 高中数学必修五典题精讲 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜ 3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=6 1时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ )(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+ x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0. 高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一） 第一节不等关系与不等式 [知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a ＞b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a ＜b . 2．不等式的基本性质 1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用． 高频考点 1. 比较两个数(式)的大小 [例1]已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5 a 5的大小． [自主解答]当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5 a 5； 当q ＞0且q ≠1时， S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5 )q 4(1－q ) ＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5. 由题悟法 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． [注意]用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 以题试法 1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝????a －122＋3 4>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质 (2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 必修五第三章 不等式 一．不等关系与不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >． 例1 对于实数判断下列命题真假：,,,c b a （1）若;,bc ac b a <>则 (2);,2 2b a bc ac >>则若 (3)22,0b ab a b a >><<则若 (4) .0,0,1 1, <>>>b a b a b a 则若 例2（1）.已知x ∈R,则22+x 与2的大小关系是?( ). A.22 +x >2 B.222 ≥+x C.22 +x <2 D.222≤+x （2）.2)2(-≥n m 等价的是( ). A.2)2(-≤n m B.m n ≥-2)2( C.m n ≤-2)2( D.2)2(-n 2012.3.26 1.两实数大小的比较 ?? ? ??<-?<=-?=>-?>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一.不等式(淮上陌客） 2.不等式的性质：8条性质. 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式： 3.基 本不等式定理 ? ???? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab ) b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式11 22a b a b --+≤≤≤+??? ? << >> ≠>)0a (b x )0a (a b x )0a (b ax 一元二次不等式的求解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)( – 2)>0 （2）x 2 – (2 )3 >0； （3）2x 2 +2 > 0； 注:解形如2>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??? ??用图象 分离参数后用最值函数、、、3 21 例1．已知关于x 的不等式 22(3)210x a x a +-+-??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0)())((21>---n a x a x a x 基本不等式练习题 一、单项选择 1. 已知0x >，函数4y x x =+的最小值是（ ） A ． 4 B ．5 C ． 6 D ．8 3. 在下列函数中，最小值为2的是（ ） A x x y 1+= B x x y -+=33 C )101(lg 1lg <<+=x x x y D )2 0(sin 1sin π<<+=x x x y 4. 已知)0,0(135>>=+y x y x ，则xy 的最小值是 （ ） A ．15 B ．6 C ．60 D ．1 5. 已知 1,1x y >> 且16xy =，则22log log x y ?（ ） A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3 D ．有最大值4 6. 若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．ab b a 222>+ B ．ab b a 2≥+ C ．ab b a 211>+ D ．2≥+b a a b 7. 若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ） A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0( 8. 已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+.若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则 19m n +的最小值为( ) A 83 B 114 C 145 D 176 9.设0=+b a b a ,则ab 的最大值为( ) ① b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+ab ab 恒成立的序号为 23.(,)x y 在直线23x y +=上移动，则24x y +的最小值为 24.知0,0,8x y x y xy >>++=，则x y +的最小值是__________． 25.)21(,2 10x x x -<<则的最大值是_________. 26.＞0，则= y 24x x +的最大值是___________. 27.实数,x y 满足2244x y x y +=+,则88x y +的取值范围是________ 28.知b a ,都是正实数，函数b ae y x +=2的图像过点（0,1），则b a 11+的最小值是 . 29.实数,a b 满足221a b +=且 c a b <+，恒成立，则c 的取值范围是____________． 30.若x 、y 为正整数，且满足4161x y +=，则x y +的最小值为_________； 31.)0,0(1>>=+b a b a ，则 b a 11+的最小值为 32.y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ． 三、解答题 33.知,a b 是不相等的正常数，实数,(0,)x y ∈+∞. （Ⅰ）求证：222 ()a b a b x y x y ++≥+，并指出等号成立的条件； （Ⅱ）求函数211(),(0,)122 f x x x x =+∈-的最小值，并指出此时x 的值． 34.制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．高中数学必修五基本不等式题型(精编)
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