2018西城高三数学二模考试答案解析理科
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2018西城高三二模
数学（理科）参考答案及评分标准
2018.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．π，65 10．6 11．1
3
12．2n -+（答案不唯一） 13．1
[,3]2
14．D
注：第9题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为函数tan y x =的定义域是π{|π,}2
x x k k ∈≠+∈R Z ，
所以()f x 的定义域为π
{|π,}2
x x k k ∈≠+∈R Z ． ……………… 4分
（Ⅱ）()(1tan )sin 2f x x x =+⋅
sin (1)sin 2cos x
x
x =+
⋅
……………… 5分 2sin 22sin x x =+ ……………… 6分
sin2cos21x x =-+ ……………… 7分
π
)14
x -+． ……………… 8分
由()2f α=，得πsin(2)4α-= ……………… 9分
因为 0πα<<，所以π
π7π
24
44
α-<-<， ………………10分 所以 ππ244α-=，或π3π
244α-=． ………………11分
解得 π4α=，或π
2
α=（舍去）． ………………13分
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形，
所以 //DF CE ． …… 2分
因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分
所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．
因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，
所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．
如图建立空间直角坐标系A xyz -． ……………… 5分 由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C
，E
，F ． 所以 (2,2,0)BC −−→=-
，(0,BF −−→
=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，
则 0,0,
BC BF −−
→−−
→
⎧⋅=⎪⎨
⎪⋅=⎩n n
即
220,
30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
令1y =，则1x =
，z =
=n ． ……………… 7分 平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ……………… 8分 则
cos ,||||⋅〈〉=
n v n v n v 所以 二面角C BF A --
． ………………10分 （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分
解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，
则 0,0,AC AE −−
→−−
→
⎧⋅=⎪⎨
⎪⋅=⎩
m m
即
1111
220,
30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
令11y =，则11x =-
，1z =
(1,1,=-m ． ………………13分
因为 0⋅≠m n ，
所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，
从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分 解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→
=，其中[0,1]λ∈．
设 222(,,)G x y z
，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以 222x λ=-，22y λ=+
，2z =，从而
(22,2,
)G λλ-+，
所以
(22,2)AG λλ−−→
=-+． ………………13分 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ． 所以有
22211λλ-+==， 因为 上述方程组无解，所以假设不成立．
所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4
100408.5
⨯
=人．… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，
10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分
（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，
有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．
则 2
9217C 9
(A)C 34
P ==， ……………… 8分
所以 25
(A)1(A)34
P P =-=
． ……………… 9分 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分 当0 4.5X =时，判断错误的概率为21
100
． ………………13分 18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x
=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分