(新课标)2020年高考数学题型全归纳数列求和的若干常用方法
数列求和的若干常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列 有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧
?如某些特殊数列的求和可采用分部求和
法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法， 递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例 1.数列｛an ｝的前 n 项和 Sn 2a ° 1，数列｛bn ｝满 b l 3,b
n 1 3n b n
（n N ）
.
（I ）证明数列｛an ｝为等比数列；（n ）求数列｛bn ｝的前n 项和Tn 。
n
1 2 -- 2n =1 2
解析：（I ）
由S n
2a n 1, n N , S n 1 2a n 1 1
两式相减得: a n 1
2a n 1 2a n , a n 1 2a n ,n N .同 $
1 知a n 0
a n 1 a n 2,
同定义知
｛an ｝
是首项为1,公比为2的等比数列.
(n) a n 2n 1,b n 1 2n 1 b n b n 1
b n 2n 1
b 2 b 1
20,b 3 b 2
21,b 4 b 3
2 2,
b n
b n 1
2
，等式左、右两边分别相加得:
b n b 1
20 21
2n2
n 1
2 2,
T n
(20 2) (21 2)
(22
2)
(2n 1 2) (20 21 22 2n1) 2n
9n
的首项为1,前10项的和为145，求：比 a 4
a ?"
?
10 9 d
S 10
10a 1 —
—145
d 3
解析：首先由
2
a n a 1 (n 1)d
3n 2 a ? n 3 2n 2 a 2
a 4 a 2 2
n
3(2
2
2n ) 2n
32(1 2n
) 2n 3 2n 1
2n 6
1 2
二、裂项求和法
已知等差数列 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
则:
.裂项法的实质是将数列中的每项 （通项）分解,
2n 1.
1 1[ 1
n(n 1)(n 2)
2，n(n 1)
a n
例3.在数列｛an ｝中， 求数列｛bn ｝的前n 项的和
1 n 1
2 n 1
1
2
n a n
解析：?/
n 1 n 1
n 1
???数列｛bn ｝的
前
n 项和
1 S n
8[(1 )
(2 ￡)(3
2 2
3 3 4
1 8n
8(1 —)
—— n 1
——n 1
例4 .设｛ an ｝是正数组成的数列，其前 n 项和为Sn,并且对所有自然数 n , an 与2的等差
中项等于Sn 与2的等比中项.
（1）写出数列｛ an ｝的前三项；（2）求数列｛ an ｝的通项公式（写出推证过程）；
1 a n 1 a n
⑶令 bn = 2 a n
a
n 1 2 3
(n € N),求：b1+b2+…+bnn.
解析：(1)略；(2) an=4n-2.; (3)令 cn=bn-1.
1 1 1 ------- ---------- 1 --------------
2n 1 2n 1 2n 1
然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 .通项分解（裂项）如:
(1)
a n 1 n(n 1) 2
(2n) (2n 1)(2n 1)
1 1 1
1 2(
2 n 1 2n 1)
n b n 1
，又
2
n
a n
a n 1
2 1 1
b n
8( )
n n n 1 n n 1
2
2 2
1
1 、、
——)] n n 1
等。
评析: 般地，若数列 K 为等差数列,
且公差不为0 ,首项也不为0,则求和:
i 1
a i a i 1
t _
I —
i 1
-J ai \ ai 1
1
)
a
i 1则
i 1
a i a i 1
丄)
a n 1
n a￡n 1
下列求和:
也可用裂项求和法。
a n
(3)
(n
1)(n 2)]
1
a n 1 a n 2 1
2n 1 1 则 cn= 2 a n
a n 1
=2
2n 1
1 1 =2n 1 2n 1
2n 1 1 2n 1
b1+b2+ …+b-n=c1+c2+ …+cn
错位相减法
相减法。
a lg a
n
S n
2 1 (1 n na)a
(1 a)
例6 ?已知数列an 是等差数列，且a1 2
，a1
a 2 a 3
12
S n 2 3 4 32
(2n 2)3n 1 2n 3n ,①
四、组合化归法
解析：a n n(n 1)( 2n 4 3) 2n(n
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。
3 2
n(n 1)(n 2) 6G 2
, n(n 1) 2C n 1
a n 12C ； 2 6C [ 1
b n
a n lga n (n
N)
求数列bn 的前项和Sn o
解析:
a n n
a ,
b n
n a n lg a
S n
(a 2a 2 3a 3 na n ) lg a
aS
n
“ 2
3 (a 2a
3a 4
n 1
na ) lg a
①-②得：
(1
a)S n
(a 2
n
n 1 ..
a
a n a ) lg a
例5.已知
a
°，
a
解析：
n
n
(i)略；(n)解：由 b n a n 3
2n3
，得
(i)略；(n)令 b n
a n 3
(X R).求数列*前门项和的公式
设数列an 的等比数列，数列bn 是等差数列,
则数列的前项和Sn 求解，均可用错位
1
，数列an 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令
3S n 2 32
4 33
(2n 2) 3n 2n 3n 1.②
将①式减去②式，得
2S n
2(3 32
3n ) 2n 3n1
3(3n 1) 2n 3n
S n
所以
3(1 3n ) 2
例 7 ?求和：Sn 1 2 3
2 3 5
n(n 1)(2 n 1)
1)( n 2) 3n( n 1)
3 3
S n 12(C3 C4 C；2)6(C；C3 Cn 1)
1
12(C： C43 12C：3 6C；2 C；2)6(C；C32Cn
1)
12 (n 3)( n 2)( n 1)n 6(n 2)( n 1) n
S n ------------------------------------------ ----------------------------
4!
(n 3)(n 2)(n 1)n (n 2)(n 1)n
1n(n 1)2(n 2)
2
3!
评析：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。逆序相加法
例8?设数列an是公差为d，且首项为a
。
d的等差数列,
求和:
S n 1 a0C n a1C n a nCn
解析: 因为S n 1 a0C n a1
C n a n C n n
S n 1 a n C n a n 1C n a°C0a n C0a n 1C n a°C n n
2S n (a 。
S n 1
(a o a n)C°°
a n)(C；C
n 1
(a o a n) 2
1
(a1 a n 1 )C n
Cn) (a o a n)2
(a n a o)C：
n
评析：此类问题还可变换为探索题形:
已知数列K的前项和Sn (n 1)2 1是否存在等差数列bl使得a n b1 C n b2C n SC.对一切自然数n都成立。
递推法
例6.已知数列的前项和Sn与an满足: a n
,S n,S n
1
2 (n 2)成等比数列，且a 1，
求数列的前项和S n
o
解析：由题意：S n a n ( S n S n S n 1
Sn
1 S n (各
S n i)(S n 2)
1
12
n 1
1
2(S n 1 S n) S n S n 1
1
(n 1)2 2n 1
S n S,
2n 1