初中数学竞赛教程

七年级

第一讲有理数（一）

一、【能力训练点】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m n

（0,,n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）；

②四则运算的封闭性（0不作除数）；

③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质： ①(0)

||(0)

a a a a a ≥⎧=⎨

-≤⎩②非负性2(||0,0)a a ≥≥

③非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和

为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

1．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（）

A.相反数

B.倒数

C.绝对值

D.平方

2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求

220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（） A.2a B.2a - C.0D.2b

4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么

,,a b b c c a

b c c a a b

------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，

b

a

，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac

=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？

7.若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

第二讲有理数（二）

一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义

①|||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。②||a b -表示数a 、b 对应的

两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】：

1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-2．试化简|1||2|x x +--

3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 6.如果0abc ≠，求

||||||

a b c a b c

++

的值。 7.x 是什么样的有理数时|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-等式成立？

第三讲有理数（三）

一、【能力训练点】： 1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：

①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

1．计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118

⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2．1111111111

(1)()(1)23

1996234

199723

1997

---

-

⨯++++

-----

1111

()2341996

⨯+++

+

3．计算：222222222131411

2131411n n S n ++++=++++----

4.比较1234248162

n n n

S =+++++与2的大小。

5.计算（1）1111142870130208++++（2）22

2

1335

99101

++

+

⨯⨯⨯ 第四讲代数式（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式；（2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1.求代数式的值： （1）已知

25a b a b -=+，求代数式2(2)3()

2a b a b a b a b -++

+-的值。 （2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。 （3）已知113b

a

-=，求

222a b ab

a b ab

---+的值。

（4）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式

31Px qx ++的值。

（5）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。 （6）已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。 （7）当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。

2.已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后，不含有y 的项，求2m n +的值。

3.当250(23)a b -+达到最大值时，求22149a b +-的值。

4.若,,a b c 互异，且

x y a b b c c a

Z

==---，求x y Z ++的值。