大学物理波动方程和波的能量

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三、波函数的物理意义
1.振动方程与波动方程的区别
x A cos(t )
振动方程是时间 t 的函 数 波动方程是坐标 x 和时间 t 的函数，表示的是参与波 动的一系列的质点任意时 刻的振动位移。
x o
x f (t )
t
y f ( x ,t )
y
o
20
x
2x y A cost
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代入相应的量
v 2 10 3 400 sin(400t 20x)
加速度为：
v a 2 10 3 (400 ) 2 cos(400t 20x) t
x=1m代入得
v 0.8 sin 400t (m / s)
a 320 2 cos(400t )( m / s 2 )
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4.振动与波动的区别 振动是表示一个质点的运动。
波动是表示一系列质点按照确定的规律依次作的振 动运动。
5.判断质点振动方向
u△t
t后的波形图
传播方向
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七：平面简谐波的波函数 和简谐振动类似，可以用数学公式来描述波的传播。 该公式应体现波传播到的任意位置，在任意时刻的振 动。 y=f(x,t) 设 ：振源在原点,振动方程为 y(0,t)=Acosωt 经过 △t 时刻后波以速度 u 向右移动了 u△t 位于x处的质点做简谐振动，时间上比 x=0 点迟 y △t=x/u y(x,t)
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一、机械波
机械振动在弹性介质中传播形成机械波。 1、简谐波
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。
各种复杂的波都可以由不同频率的简谐波叠加获得。 2.简谐波的特点 各质点只在各自的平衡位置附近振动；
各质点振动频率相同，只是初相不同，波的传播是位 相的传播。
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二源自文库机械波的产生条件
1、振源 2、传播介质（弹性） 三、波的分类 1、横波：各质点振动方 向与波的传播方向垂直。
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例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u F为绳索或弦线中张力;
F
为质量线密度

1.5 10 2 kg/ m , F 6N , t=0的波形如图所示 已知：
求：振幅，波长，波速和波的周期、波函数及质元振动速度表 达式
由图可见：A=0.04m、λ=0.4m、
F 6 u 20 m / s 2 1.5 10
·· ·· · · · · · · · ·· · · t = T/4 · · · · · · · · ··
· ·· · ·· · · · ·· · · · · · · t= T/2 · · · · · ·· ·
·· · · · · · · · · · · · · · 3T/4 · · · · ·· t= · ·· · ··· · · · · · ·· ·t = T · ·· ·· ···· · ·· · ·
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波长—λ :振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距 离是一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称 为波长，用λ 表示。 波速—u:单位时间振动状态(或振动相位)所传播的距 离称为波速，也称之相速 。 频率—ν ：单位时间内质点振动的次数。ν =1/T 波的周期——T：波传过一个波长的时间，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周 期T。 由上面的定义得： uT= λ (1) u= νλ (2) 波在介质中的传播速度是由介质的性质决定的，可以 9 证明：
波线
波面
在各向同性均匀介质中， 波线与波阵面垂直. 球面波、平面波见右图。 五、波长、波速、频率和周期
y=Acos(ωt -π/2)
波线
波面
先看一个波的传播过程：设振源的振动方程
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y=Acos(ωt -π/2)
u
0 · · 4 · · · · · · · ··· t = 0 · · · 8 · 12 · 16 ·20 · · · · · · ·
y
o o
t T /2
x
y t 3T / 4
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x
求解初值问题时，建议用矢量图法。
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在固体中 横波 u G / 纵波 u Y /
G 切变弹性模量， Y 是杨氏模量
•液体和气体中 纵波
u B/
密度。
B 容变弹性模量。
六、 注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。 2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。 3、波在不同介质中频率不变。
第五章
§5.4波动
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2-1、波动学基础
波动是自然界最常见的一种运动形式。例如
机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。
电磁波：无线电波、光波、x射线等，其传播无需介 质。 物质波：近代物理发现实物粒子也具有波性，即物质 波。 各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生干涉、衍射等现象。以有限的速率传播。
y 4 10 cos( t 2)m 100
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波速不变。波动方程应该如何写？
y 4 10 2 cos( t 5x 2)m x>0 100 y 4 10 cos( t 5x 2)m x<0 100
2
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如果波形图对应的时间不是t =0,而是t >0,如何写 出波函数？
例1：已知波函数
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y 2 10 cos(400t 20x ) m
求：A、、、u。x=1m处质元的速度，加速度？ 解：由公式易见 A=2×10-3m 再由 ω=2πν=400π 得 ν=200Hz x 3 y 2 10 cos 400 t m 将上式改写为 20 得： u=20m/s 由 =uT=u/ ν=20/200=0.1m 速度和加速度的公式如下： y A sin(t 2x / ) v t
=Acosω(t-△t)
初位相不为0时：
2 , 代入 T
x y( x, t ) A cos[ (t ) ] u
t x y A cos 2 T
Tu
1 T
y
x y A cos2 t 2x y A cos[2 t ]
u△t
· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · ·· ·· · 0 x · ·· ·· · · · · ·· · · · = Acosω(t-x/u） · · · X
当振源的初位相不为0时
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x y( x, t ) A cos[ (t ) ] u
t x y A cos2 T
上面的式子表示一个平面等幅波的运动方程。
这种波也称为行波
举例：1.已知波函数求各物理量
2.已知各物理量求波函数
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x y A cos2 t 2x y A cos[ t ]
y
o
x 0
t
y
x /4
2.当
x d
o
（常数）时 ， y f (t )
t
y
x /2
o o
为距离波源为 d 处 一点的振动方程。
t
y x 3 / 4
t
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3.当
tc
y
o
t0
t T /4
（常数）时 ， y f (x )
x x
y
o
为某一时刻各质点 的振动位移，波形 的“拍照”
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2 2 2x y A cos( t ) T 2
y
0.04m
u
0.2m 0.4m
X
4 10 2 cos( t 5x 2)m 100 17
因为： y y( x, t ) A sin[ (t x ) ] v 0 t u 所以 v y y ( x, t ) 12.6 cos( t 5x)( m / s) 100 t 显然与波速u=20m/s 不同。 上例中条件是已知t=0时刻的波动方程。 如果t=0时,波源x=0点的振动方程为：

其中2πx/λ表 示由于坐标产 ut 生的位相滞后 · · · ···· ·· · · · · ·。 · · ·· · x · · · · · ·
· · ·· · ·· · ·
0
· · ·· · · · ·· · · · · · · · ·· ·· · · · ·· ·· · X
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上面的式子表示沿 x 轴正向传播的波，当波沿负 x 轴方向传播时 u 取负值。
传播方向
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2.纵波
各质点振动方向与波 的传播方向平行。 传播方向
纵波是靠介质疏密部变化传播的，如声波，弹簧波 为纵波。
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四、波阵面、波射线、波前
波面（或相面、波阵面） —某时刻介质内振动位相相同的点组成的面 称为波面。 波线（或波射线) —由波源发出的，指向波的传播方向的射 线称之为波射线或波线。 波前—某时刻处在最前面的波面。