高考数学专题讲座直线与圆锥曲线
人教a版高考数学(理)一轮课件：9.9直线与圆锥曲线的位置关系
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
2015高考总复习数学(文)课件：12.5 直线与圆锥曲线的位置关系
【方法与技巧】当直线(斜率为 k)与圆锥曲线交于点 A(x1， y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝ 1＋k · |x1－x2|＝
2
1 1＋k2· |y1－y2|，而
|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联 立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根 之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．
2
2x x y－1 即 kMN＝－ ＝－2y＝ ， 2×2y x－2 即 x2＋2y2－2x－2y＝0. (3)设过点
1 1 P2，2的弦为
MN，点 P 为 MN 的中点，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， x1 2 2 ＋y1＝1， ⑤ 同样有 2 x2＋y2 ⑥ 2＝1. 2
∵|AM|＝4<R，∴点 A(－2，0)在圆 M 内．
设动圆 C 的半径为 r，圆心为 C，
依题意得 r＝|CA|，且|CM|＝R－r，
即|CM|＋|CA|＝8>|AM|. ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点，以 A，M 两点为焦点，长 轴长为 8 的椭圆． x2 y2 设其方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，
y＝kx＋m， 2 由x y2 －12＝1， 4 消去 y 化简整理，得(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0. 2km 设 E(x3，y3)，F(x4，y4)，则 x3＋x4＝ 2， 3－k Δ2＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0. ② → ＋BE → ＝0，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0. ∵DF 即 x1＋x2＝x3＋x4.
【互动探究】 1．椭圆 x2＋4y2＝4 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点 16 作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______. 25
高三数学第二轮专题讲座复习：直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)
高三数学第二轮专题讲座复习：直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积 命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0 由方程组⎩⎨⎧=+=x y m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0,解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2,∴|MN |=4点A 到直线l 的距离为d ∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128 ∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）,l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5由方程组24x y my x =+⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m ,∴S △=1211(5)||(522m y y m --=- ＝451()22m-≤=∴S △≤82,当且仅当51()(1)22m m -=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为例2已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法” 知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式 错解分析 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了技巧与方法 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化解 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k )①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点 ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点 综上知 当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点 (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴n m n n m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1 学生巩固练习 1 斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A 2B 554 C 5104D 5108 2 抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( )A x 3=x 1+x 2B x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C x 1+x 2+x 3=0D x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________4 已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值参考答案:1 解析 弦长|AB |=55422t -⋅⋅答案 C2 解析 解方程组⎩⎨⎧+==b kx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=a k ,x 1x 2=－a b ,x 3=－k b ,代入验证即可 答案 B3 解析 设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长 答案 18或504 解 (1)y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=22p ∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a 4p (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ),由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p ,则有x =222,2212121a x x y y y p a x x -+=+=+=+=p ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时，S 有最大值为2p 2。
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
高考数学复习专题直线与圆锥曲线问题的处理方法
高考数学复习专题直线与圆锥曲线问题的处理方法 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202012高考数学复习专题-直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)（基础知识）高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围 命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强 知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 错解分析 第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3故椭圆方程为92522y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59 因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得 54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上得22112222925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0)③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0 (当k =0时也成立)(以下同解法一)例2若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围 解法一 （对称曲线相交法）曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由2211y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠∴ 1y x a=-代入21y ax =-得 2110ax x a-+-=有两个不同的解，∴ 213(1)4(1)04a a a ∆=--->⇒>解法二 （对称点法）设抛物线21y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上则200200(1)1(2)()1y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解(1)-(2)得220000()y x a x y +=- 必有两个不同解 ∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解 即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解 ∴ 22()4(1)0a a a ∆=---+> ∵ 0a ≠， ∴ 34a >解法二 （点差法）设抛物线21y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21(1)x y a=+）内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由211222(1)1(2)1y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩(1)-(2)得 221212()y y a x x -=-∴ 1212012()2AA y y k a x x ax x x '-==+=- 由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a'=⇒=⇒==-⇒- 从而有 21113()(1)224a a a a <-+⇒>例3 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称 解 设椭圆22143x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆22143x y +=内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由22112222(1)3412(2)3412x y x y ⎧+=⎨+=⎩(1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()4()4AA x y y x x k x x y y y '-+==-=--+ 由00003113444AA x k y x y '=-⇒-=-⇒=由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ⇒=-=-⇒--从而有222()(3)41(4313m m m m --+<⇒<⇒∈ 例4 已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值解 可设直线l 的方程为4x my =+代入22y px =得 2280y pmy p --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121212122()8,16224y y y y y y p x x p p p =-=== 由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ = 即 12121680x x y y p +=-= ∴2p = 此时，抛物线的方程为24y x =。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(课件)
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
答案：A
2．[2023·合肥教学检测]直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛 物线C交于A，B两点．若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于
________．
答案：(1)B
反思感悟 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
答案：C
答案：A
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
关键能力—考点突破
关键能力—考点突破
考点一 直线与圆锥曲线的位置 [基础性]
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 ()
A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
答案：Dபைடு நூலகம்
答案：D
反思感悟 1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组， 消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为 交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点 (1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零 的情况． (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一： 可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
2024高考数学常考题型 圆锥曲线中定点定值定直线问题(解析版)
第23讲圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一：直线过定点问题①设直线为m kx y +=，根据题目给出的条件找出m 与k 之间的关系即可②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为()()n m x k f y +-=的形式，即可求出定点。
考点二：定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三：定直线问题①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的y x ,相同，然后再用韦达定理带入化简即可得y x ,的关系即为定直线【题型目录】题型一：直线圆过定点问题题型二：斜率面积等定值问题题型三：定直线问题【典型例题】题型一：直线过定点问题【例1】已知点()1,1P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，12PF F △的面(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A ，B 在椭圆C 上，直线PA ，PB 均与圆()222:01O x y r r +=<<相切，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（i ）证明：121k k =；（ii ）证明：直线AB 过定点.若10m k +-=，则直线():111AB y kx k k x =+-=-+，此时AB 过点P ，舍去.若330m k ++=，则直线():3333AB ykx k k x =--=--，此时AB 恒过点()3,3-，所以直线AB 过定点()3,3-.【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．【例3】已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，其中POQ △的面积为1（O 为原点），椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，求证：直线l 过定点．【例4】已知椭圆C ：221(0)x y a b a b+=>>过点()2,0A -．右焦点为F ，纵坐标为2的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程；(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．【例5】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【题型专练】1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为A 到右焦点F 的距离为3．(1)求椭圆C 的方程(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3.已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点2P ⎛ ⎝⎭在E 上.(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.4.焦距为2c 的椭圆2222:1x y a bΓ+=（a ＞b ＞0），如果满足“2b =a +c ”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆2222:1x y a b Γ+=（a ＞b ＞0）是“等差椭圆”，求b a的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A 为椭圆短轴的上顶点，P 为椭圆上异于A 点的任一点，Q 为P 关于原点O 的对称点（Q 也异于A ），直线AP 、AQ 分别与x 轴交于M 、N 两点，判断以线段MN 为直径的圆是否过定点？说明理由．题型二：斜率面积等定值问题【例1】动点M 与定点(1,0)A 的距离和M 到定直线4x =的距离之比是常数12．(1)求动点M 的轨迹G 的方程；(2)经过定点(2,1)M -的直线l 交曲线G 于A ，B 两点，设(2,0)P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +恒为定值．【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,1Q x 在椭圆上且位于第一象限，12QF F 121QFQF ⋅=-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上异于点Q 的两动点，记QM ，QN 的倾斜角分别为α，β，当αβπ+=时，试问直线MN 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例3】已知点()2,1P -在椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>上，C的长轴长为:l y kx m =+与C 交于,A B 两点，直线,PA PB 的斜率之积为14.(1)求证：k 为定值；(2)若直线l 与x 轴交于点Q ，求22||QA QB +的值.【例4】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的离心率23e =,且椭圆C 的右顶点与抛物线212y x =的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程．(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ,直线():1l y k x =-与椭圆C 交于E ,D 两点,且点E 的纵坐标大于0,直线12,A E A D 与y 轴分别交于()()0,,0,P Q P y Q y 两点,问:P Qy y 的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．【例5】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.【例6】已知P 为圆22:4M x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线段,PD D 为垂足，若点Q 满足DQ =.(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点Q 的轨迹为曲线C ，过点()1,0N -作曲线C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E F ､，过点N 作直线EF 的垂线，垂足为点H ，是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由..【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.【例7】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【点睛】方法点睛：探究性问题求解的思路及策略：(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1D ，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点D 关于原点对称的点为A ，过点()4,0B -且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ，求证PBBQ为定值.3．如下图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．4．如图，椭圆214x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，1F ，2F 的圆与y 轴正半轴交于点()10,A y ，经过点(3,0)B 且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：011y y =．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在点4,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，可使得直线MP 与MQ 的斜率之积为定值，该定值为920-．【分析】（1）设()00,P x y 、圆的方程222()(0)x y b r r +-=>，代入()3,0-、()00,x y 及()10,A y 可解得101y y =，即可证；（2）设(,0)(3)M m m ≠，由A ，P ，Q 三点共线AP AQ k k =得Q y ，即可表示出MP MQ k k ⋅讨论定值是否存在.【详解】（1）由2214x y +=可得()13,0F -，()23,0F 设()00,P x y ，则220044x y +=，设圆的方程为2220()(0)+-=>x y b r r ，代入()13,0F -及()00,x y ，得()2202220003b rx y b r⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减，得22220000000003443113222⎛⎫+--+-===- ⎪⎝⎭x y y y b y y y y ，所以圆的方程为022230+--=x y b y 即22001330x y y y y ⎛⎫++--= ⎪⎝⎭，令0x =，得2001330y y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，由10y >，可得101y y =，即011y y =．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.6．已知椭圆22Γ:1a b+=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.7．已知平面上一动点P 到()2,0F 的距离与到直线6x =的距离之比为3．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)曲线C 上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，平面上点()2,0E -，连结PE ，PF 并延长，分别交曲线C 于点A ，B ，若1PE EA λ= ，2PF FB λ=，问，12λλ+是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．8．已知椭圆2:14x C y +=，过点0,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，1l 与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2l 与椭圆交于()33,C x y ，()44,D x y 两点，且A ，B ，C ，D 任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线12y =-交直线AC ，BD 于P ，Q .(1)求证：1122341234k x x k x x x x x x =++；(2)PM QM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析9．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且离心率为12，椭圆C 的长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设,A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点B 作x 轴的垂线1l ，D 为1l 上异于点B 的一点，以线段BD 为直径作圆E ，若过点2F 的直线2l （异于x 轴）与圆E 相切于点H ，且2l 与直线AD 相交于点,P 试判断1PF PH +是否为定值，并说明理由.））可知()()()222,0,2,0,1,0A B F F H -=，112212PF PH PF PF F H PF PF +=+-=+()()2,0,E m m ≠则()2,2,D m 圆E 的半径为则直线AD 直线方程为(2)2my x =+，的方程为1,x ty =+10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，直线AB 与圆22:3O x y +=相切，切点为M ，且2AM MB =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线，交椭圆C 于E 、F 两点，试判断：PE PF ⋅是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.11．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.题型三：定直线问题【例1】已知如图，长为宽为12的矩形ABCD，以为,A B焦点的椭圆2222:1x yMa b+=恰好过,C D两点，(1)求椭圆M的标准方程；(2)根据（1）所得椭圆M的标准方程，若AB是椭圆M的左右顶点，过点(1,0)的动直线l交椭圆M与CD两点，试探究直线AC与BD的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.【例2】已知椭圆:C22221x ya b＋＝（0a b>>）的离心率为23，且⎭为C上一点.(1)求C的标准方程；(2)点A，B分别为C的左､右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点O，点M关于原点O的对称点为M'，若直线AM'与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上.【例3】已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线y =与C 交于A ，B 两点，且1ABF 的周长为4+ 2.(1)求C 的标准方程；(2)若(2,1)P 关于原点的对称点为Q ，不经过点P 且斜率为12的直线l 与C 交于点D ，E ，直线PD 与QE 交于点M ，证明：点M 在定直线上.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）将22y b =代入曲线C 的方程中求得||2AB a =，继而由三角形的面积公式得4ab =.再由椭圆的对称性和椭圆的定义得()22442a +=+，由此可求得C 的标准方程；（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，直线l 的方程为12y x m =+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，并消去y 得222240x mx m ++-=，得出直线PD 的方程，直线QE 的方程，联立直线PD 与直线QE 的方程，求得点M 的坐标，继而求得12M M y x =-，可得证.(1)解：将22y b =代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，解得22x a =±，则||2AB a =，所以1ABF 的面积为1222222ab a b ⨯⨯==，所以4ab =.①设C 的右焦点为2F ，连接2AF ，由椭圆的对称性可知12BF AF =，所以1ABF 的周长为()1112||||22AB AF BF AB AF AF a ++=++=+，所以()22442a +=+，②由①②解得22a =，2b =，所以C 的标准方程为22182x y +=.(2)解：设()11,D x y ，()22,E x y ，直线l 的方程为12y x m =+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，并消去y 得222240x mx m ++-=，【题型专练】1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①1k k 为定值；②点M 在定直线上.2.已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，左顶点为1A ，左焦点为1F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，M 为C 上一动点，11M AF △1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ，证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上.。
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高考复习 www.bnuschool.com 高考数学专题讲座 直线与圆锥曲线 主讲教师：孙福明（省常州高级中学 一级教师）
【试题预测】 直线与二次曲线是高中数学的重要内容，各种解题方法在这里表现的比较完整。它把代数、三角、几何有机地联系在一起，不仅综合与渗透力强，而且方法多变，能较好地考查学生的创新思维和创新能力。 从近几年的统计来看，直线与二次曲线约占总分的20%，是高考的热点内容。 纵观近几年高考试题中对直线和二次曲线的考查，主要体现在以下几个特点： 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考。 2、直线与二次曲线的普通方程、参数方程的互化常以选择题形式出现，属低档题，对称题常以选择题、填空题出现。 3、考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题。 4、有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力有降低要求的趋势。重视了圆锥曲线定义，重视平面几何知识在解题中的作用。 【例题】 例1、如图，直线与半径为1的圆F相切于C。动点P到直线的距离为d，已知
22d|PF|，且32≤d≤23。
（1）建立适当的直角坐标系，求点P运动形成的轨迹方程； （2）若点G满足FC2GF，点M满足PF3MP且线段MG的垂直平分线经过P，求△PGF的面积。 解析：（1）点P的轨迹 是以点F为焦点，为相应准线的椭圆弧。
由22ac22eace ①
又∵ 1cca2 ② 解①②得a=2，c=1 以CF所在直线x轴，以CF与圆F的另一个交点O为坐标原点，建立直角坐标系，设P（x，y）
∵ 32≤d≤23，即32≤2-x≤23
∴ 21≤x≤34 故所求的点P的轨迹方程为1y2x22（21≤x≤34） 高考复习 www.bnuschool.com （2）∵ FC2GF ∴ |GF|=2，G为椭圆的左焦点 又∵ 线段MG的中垂线经过点P，且PF3MP ∴ |PF|3|MP||PG| 又点P在椭圆上
∴ 22a2|PF||PG| ∴ 223|PG|,22|PF| 又∵ 2|GF| ∴ △PGF为Rt△，∠PFG=900
2222221SPGF
点拨：第一问应用了椭圆的第二定义确定曲线类型（定型），再建立坐标系（定位），简化了运算量。 第二问，灵活应用了椭圆的第一定义，使总是顺利解决。
例2、已知点P在双曲线19y16x22上，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求点P的横坐标。 解析：设双曲线的左右焦点为F1、F2，点P（x，y），P到右准线x=516的距离为d，由第二定义知|PF2|=ed 则|PF2|=|4x45||516x|45
同理，|PF1|=|4x45| 由题意得|4x45||4x45||516x|2 又由双曲线的范围知，x≤-4或x≥4 ∴ 4x45,4x45,516x同号
∴ 4x454x45)516x(2 ∴ 564x 点拨：涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离问题，用圆锥曲线的定义处理比较简单，应加强这方面的训练，同时要注意曲线的范围。实际上本题可把d，|PF1|，|PF2|中任一线段长作为研究对象，来判定点P是否存在。
例3、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使NPNM,PNPM,MNMP成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹是什么曲线？ 高考复习 www.bnuschool.com 解析：记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得：
)0,2(NMMN)y,x1(NPPN)y,x1(MPPM
∴ )x1(2MNMP )x1(2NPNM1yxPNPM22
于是NPNM,PNPM,MNMP是公差小于零的等差数列等价于
0)x1(2)x1(2)]x1(2)x1(2[211yx22
即 0x3yx22 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆 点拨：结合向量知识与代数知识，求轨迹是高考热点。 例4、以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m，交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。 解析：如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x12+2y12=m，x22+2y22=m
两式作差：21212121yyxx21xxyy（*） 又设AB中点M（x，y） ∵ PM⊥AB
∴ xy22x2y ∴ 所求轨迹方程为xy+2x-4y=0，轨迹在椭圆的内部 点拨：从整体分析入手，建立起弦AB的斜率与中点M（x，y）之间的关系式（*），是解决本题的关键，同时应注意轨迹方程中x、y的范围。关于交点问题，通常用考虑两次的观点，如本题，把A、B放在椭圆中得到一个结论；把A、B放在圆中又得到一个结论。由此得到与AB有关的等量关系。
例5、已知椭圆1y2x22的右准线与x轴相交于E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过线段EF的中点。 证明：法一：如图所示，由题设得半焦距c=1，右焦点为F（1，0），
右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），EF的中点为N（23，0） 若AB垂直于x轴 高考复习 www.bnuschool.com 则A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1） ∴ AC的中点为N（23，0），即AC过EF的中点N 若AB不垂直于x轴，由AB过点F，且BC∥x轴知点B不在x轴上 故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0 A（x1，y1），B（x2，y2）
则C（2，y2）且x1、x2满足二次方程1)1x(k2x222 即（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0
由韦达定理得22212221k21)1k(2xxk21k4xx 又x12=2-2y12＜2，得x123≠0 故直线AN与CN的斜率分别为3x2)1x(k2232yk1111，)1x(k2232yk222
∴ 3x2)3x2)(1x()1x(k2kk112121 ∵ 分子（x1-1）-（x2-1）（2x1-3）=3（x1+x2）-2x1x2-4=2k211[12k2-4（k2-1）-4（1+2k2）]=0 ∴ k1-k2=0，即k1=k2，故A、C、N三点共线 所以，直线AC经过EF的中点N 点拨：关键是用韦达定理推出k1=k2，这一步技巧性强，该方法希望能给同学以启示。 法二：如图所示，设直线AC与x轴的交点为N，过A作AD⊥，D为垂足，因为F是椭圆的右焦点，是右准线，BC∥x轴，即BC⊥，根据椭圆的几何性质得
|BC||BF||AD|
|AF|e（e是椭圆的离心率）
∵ AD∥FE∥BC ∴ |AB||BF||CA||CN||AD||EN|，|AB||AF||BC||FN|
即得|FN||AB||BC||AF||BC|e|AB||AD||AB||BF||AD||EN| ∴ N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N 点拨：利用椭圆的第二定义结合有关平面几何性质也是解决几何量的常用方法，该题引用了e但与e的大小无关，即将题中的椭圆换成双曲线、抛物线结果仍成立。 例6、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个焦点是F，M是椭圆上任意点，|MF|的最大值与最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且
|M1M2|=3104，试求椭圆的方程。 解析：∵ |MF|max=a+c，|MF|min=a-c ∴ （a+c）（a-c）=a2-c2=b2=4 高考复习 www.bnuschool.com 设椭圆方程为14yax222 ① 设过M1、M2的直线方程为y=-x+m ② ②代入①得（4+a2）x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 ③ 设M1（x1，y1），M2（x2，y2）的中点M（x0，y0）
则22210a4ma)xx(21x ∵ a2＞4 ∴ m=0
∴ x1+x2=0，x1x2=22a4a4
|M1M2|=3104a4a162)k1](xx4)xx[(22221221 解得：a2=5 ∴ 椭圆方程为14y5x22 点拨：M1、M2的中点在对称轴上，且直线M1M2与直线垂直，根据椭圆的对称性，直线M1M2一定过原点。
例7、设椭圆1byax2222（a＞b＞0）上有点P（x1 ,y1），使∠OPA=900，求ba的取值范围（A为长轴右端点）。 解析：设P（x1，y1） ∵ ∠OPA=900 ∴ O、P、A三点确定的圆方程为：x12+y12-ax1=0
由1byax0axyx2212212121消去y1得（b2-a2）x12+a3x1-a2b2=0 ∴ [（b2-a2）x1+ab2]（x1-a）=0 ∵ x1≠a ，∴ x1=222baab
又x1＜a，∴ abaab222，∴2ba 点拨：本题思维的全过程是两次转化：（1）两曲线有公共点；（2）方程组有解，而椭圆是有范围的，故方程组解应在这个范围内，二次曲线中常借助二次曲线的范围求某一参数的范围。
例8、如图，已知△OFQ的面积为S，且OF·FQ=1， （1）若21＜S＜2，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围；
（2）设|OF|=c（c≥2），S=43c。若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，