一次函数中的动点问题
中考数学之一次函数中的动点问题与实际问题(解析版)
专题一次函数中的动点问题与实际问题【例题精讲】题型一、角度问题例1. 【2019·莆田市期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足√m−6+（n-12）2=0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，-2），点P为射线AB上一点，且∠CEP=45°，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵√m−6+（n-12）2=0，∴m=6，n=12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y=kx+b，则：b=12，6k+b=0，解得：k=-2，b=12，∴直线AB解析式为y=-2x+12，∵直线AB点C（a，a），∴a=-2a+12，∴a=4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图所示，设直线CD解析式为y=12x+n，边点C（4，4）代入得到n=2，即直线CD解析式为y=12x+2，∴点D坐标（-4，0）．（3）如图，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，∵∠CEF=45°，∴CE=CF，过C 作x 轴垂线l ，分别过F 、E 作FM ⊥l ，EN ⊥l ，则△FMC ≌△CNE ，则FM =CN =6，CM =EN =4，即F 点坐标为（-2,8），由E (0,-2)，得直线EF 的解析式为：52y x =--联立52y x =--，y =-2x +12，得：x =143-，y =643-， 即点P 坐标为：（143-，643-）. 题型二、面积问题例1. 【2019·高密市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣2，6），且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求k 、b 的值；（2）请直接写出不等式kx +b ﹣3x ＞0的解集．（3）若点D 在y 轴上，且满足S ⊥BCD ＝2S ⊥BOC ，求点D 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）当x ＝1时，y ＝3x ＝3，⊥点C 的坐标为（1，3）．将A （﹣2，6）、C （1，3）代入y ＝kx +b ，得：263k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩；（2）由kx+b﹣3x＞0，得：kx+b＞3x，⊥点C的横坐标为1，⊥x＜1；（3）在y＝﹣x+4中，当y＝0时，x＝4；x=0时，y=4，⊥点B的坐标为（4，0），直线AB与y轴交点为：F（0,4）.过点C作CE⊥y轴于E，则E(0,3)，⊥S⊥BCD＝2S⊥BOC，⊥S⊥BDF－S⊥CDF=2S⊥BOC，即12×DF×OB－12×DF×CE=2×12×OE×OB，1 2×DF×4－12×DF×1=2×12×3×4，解得：DF=8，⊥F(0,4),⊥D（0，﹣4）或D（0，12）．例2. 【2019·成都市期末】如图，已知直线y=kx+4（k≠0）经过点（-1，3），交x轴于点A，y轴于点B，F 为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，求证：FC=FD；（2）连接CD，若⊥FDC的面积为S，求出S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，11OC OG是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OF，⊥直线y=kx+4经过点（-1，3），⊥-k+4=3，解得：k=1，即直线AB的解析式为：y=x+4，当y=0时，x=-4；当x=0时，y=4；⊥A（-4，0），B（0，4），⊥OA=OB=4，⊥⊥AOB=90°，⊥⊥AOB是等腰直角三角形，⊥CBF=45°，⊥F为线段AB的中点，⊥OF=12AB=BF，OF⊥AB，⊥DOF=12⊥AOB=45°=⊥CBF，⊥⊥OFB=90°，⊥DF ⊥CF ，⊥⊥DFC =90°，⊥⊥OFD =⊥BFC ，⊥⊥BCF ⊥⊥ODF （ASA ），⊥FC =FD ；（2）解：⊥当0＜t ＜4时，连接OF ，由题意得：OC =t ，BC =4-t ，由（1）得：⊥BCF ⊥⊥ODF ，⊥BC =OD =4-t ，⊥CD 2=OD 2+OC 2=（4-t ）2+t 2=2t 2-8t +16，⊥FC =FD ，⊥DFC =90°，⊥⊥FDC 是等腰直角三角形，⊥FC 2=12CD 2，⊥S =12FC 2 =12×12CD 2 =21242t t -+；⊥当t ≥4时，连接OF ，由题意得：OC =t ，BC =t -4，由（1）得：⊥BCF ⊥⊥ODF ，⊥BC =OD =t -4，⊥CD 2=OD 2+OC 2=（t -4）2+t 2=2t 2-8t +16，⊥S =21242t t -+；综上所述，S 与t 的函数关系式为S =21242t t -+；（3）解：11OC OG +为定值12；理由如下：⊥当0＜t ＜4时，当设直线CF 的解析式为：y =mx +t ，⊥A （-4，0），B （0，4），F 为线段AB 的中点，⊥F （-2，2），把点F （-2，2）代入y =mx +t 得：-2m +t =2，解得：m =12（t -2），⊥直线CF的解析式为：y=12（t-2）x+t，当y=0时，x=22tt-，即G（22tt-，0），⊥OG=22tt-，⊥11OC OG+=122tt t-+=12；⊥当t≥4时，同⊥得：11OC OG+=122tt t-+=12；综上所述，11OC OG+为定值12．题型三、复杂实际问题例1. 【2019·泉州市晋江区期中】某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2＝米/分；（2）写出d1与t的函数关系式：（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？【答案】（1）40；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）乙的速度v2＝120÷3＝40（米/分），故答案为：40；（2）v1＝1.5v2＝1.5×40＝60（米/分），60÷60＝1（分钟），a＝1，d1＝()() 606001 606013t tt t-+≤<⎧⎨-≤≤⎩；（3）d2＝40t，⊥当0≤t＜1时，d2+d1＞10，即：﹣60t+60+40t＞10，解得：0≤t＜2.5，⊥当0≤t＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；⊥当1≤t≤3时，d2﹣d1＞10，即40t﹣（60t﹣60）＞10，当1≤t<52时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；综上所述：当0≤t＜2.5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．【刻意练习】1. 【2019·乐亭县期末】如图1，四边形ABCD中，AB⊥CD，⊥B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，⊥BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A.5B.√34C.8D.2√3【答案】B.【解析】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形， ⊥AC =AD ，⊥DE =CE =12CD ， 当S =15时，点P 到达点D 处，则15=12CD •BC ， 15=12（2AB ）•BC 3×BC =15，则BC =5，由勾股定理得AD =AC =√34，故答案为：B ．2. 【2019·卢龙县期末】如图，直线y 1=2x -2的图象与y 轴交于点A ，直线y 2=-2x +6的图象与y 轴交于点B ，两者相交于点C ．（1）方程组{2x −y =2,2x +y =6的解是______； （2）当y 1＞0与y 2＞0同时成立时，x 的取值范围为______；（3）求⊥ABC 的面积；（4）在直线y 1=2x -2的图象上存在异于点C 的另一点P ，使得⊥ABC 与⊥ABP 的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】（1）{x =2y =2 ；（2）1＜x ＜3；（3）（4）见解析.【解析】解：（1）如图所示：方程组{2x −y =2,2x +y =6的解为：{x =2y =2；故答案为：{x =2y =2；（2）如图所示：当y 1＞0与y 2＞0同时成立时， x 取何值范围是：1＜x ＜3； 故答案为：1＜x ＜3；（3）令x =0，则y 1=-2，y 2=6， ⊥A （0，-2），B （0，6）． ⊥AB =8． ⊥S ⊥ABC =12×8×2=8； （4）令P （x 0，2x 0-2），则S ⊥ABP =12×8×|x 0|=8， ⊥x 0=±2． ⊥点P 异于点C ， ⊥x 0=-2，2x 0-2=-6． ⊥P （-2，-6）．3. 【2019·莆田市期末】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）⊥8x+6y+5（20-x-y）=120，⊥y=20-3x，⊥y与x之间的函数关系式为y=20-3x．（2）由x≥3，y=20-3x≥3，即20-3x≥3，可得3≤x≤253，⊥x为正整数，⊥x=3，4，5．故车辆的安排有三种方案，即：方案一：甲种3辆乙种11辆丙种6辆；方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆；方案三：甲种5辆乙种5辆丙种10辆．（3）设此次销售利润为W百元，W=8x×12+6（20-3x）×16+5[20-x-（20-3x）] ×10=-92x+1920，⊥W随x的增大而减小，x=3，4，5，当x=3时，W最大=1644 百元.4. 【问题情境】已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+1x的图象性质．（1）结合问题情境，函数y＝x+1x的自变量x的取值范围是，如表是y与x的几组对应值．x (1)41312123m…y (1)443132122212313144…⊥直接写出m的值；⊥画出该函数图象，结合图象，得出当x＝时，y有最小值，y的最小值为；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．【答案】见解析.【解析】解：【数学模型】L与x的函数表达式为：L＝2（x+1x ）；【探索研究】（1）自变量x的取值范围是：x＞0；⊥当y＝144时，x＝4，⊥m的值为4；⊥当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x＝1时函数y＝x+1x（x＞0）的最小值为2；故答案为：L＝2（x+1x）；x＞0；1，2；（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．5. 【2018·辽阳市期末】为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买10个足球和若干件（不少于10件）对抗训练背心．甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价120元，对抗训练背心每件15元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠．（1）设购买对抗训练背心x件，在甲商店付款为y甲元，在乙商店付款为y乙元，分别写出y甲，y乙与x的关系式；（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？【答案】见解析．【解析】解：（1）y甲＝120×10+15（x﹣10）＝1050+15x（x≥10）；y乙＝120×0.9×10+15×0.9x＝13.5x+1080（x≥10）；（2）y甲＝y乙时，1050+15x＝13.5x+1080，解得x＝20，即当x＝20时，到两店一样合算；y甲＞y乙时，1050+15x＞13.5x+1080，解得x＞20，即当x＞20时，到乙店合算；y甲＜y乙时，1050+15x＜13.5x+1080，x≥4，解得10≤x＜20，即当10≤x＜20时，到甲店合算．6. 【2019·乐亭县期末】小明骑电动车从甲地去乙地，而小刚骑自行车从乙地去甲地，两人同时出发走相同的路线；设小刚行驶的时间为x（h），两人之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，，0）．根据图象进行探究：点B的坐标为（13（1）两地之间的距离为______km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求两人的速度分别是每小时多少km？（4）直接写出点C的坐标______．【答案】见解析.【解析】解：（1）实际距离是9千米，故答案为：9；（2）点B表示两人相遇.（3）两人的速度和为：9÷13=27 千米/小时=0.45千米/分钟，小刚的速度为：9÷1=9千米/小时=0.15千米/分钟，小明的速度=0.45-0.15=0.3千米/分钟；（4）两人相遇时用时：9÷（9+18）=13，即B（13，0）BC段用时为：9÷18-13=16，此时两人相距：（9+18）×16=4.5，所以C（12，4.5）．故答案为：（12，4.5）．7. 【2019·宜城市期末】某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）【答案】见解析. 【解析】解：（1）当1≤x ≤10时，设AB 的解析式为：y =kx +b ， 把A （1，300），B （10，120）代入得： {k +b =30010k +b =120， 解得：{k =−20b =320，即：y =-20x +320（1≤x ≤10），当10＜x ≤30时，同理可得：y =14x -20， 综上所述，y 与x 之间的函数表达式为：()()2032011014201030x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩ （2）当1≤x ≤10时，w =（10-6）（-20x +320）=-80x +1280， -80x +1280≤1040，解得：x ≥3， 即3≤x ≤10，日销售利润不超过1040元的天数一共8天； 当10＜x ≤30时，w =（10-6）（14x -20）=56x -80， 56x -80≤1040， 即10<x ≤20，⊥日销售利润不超过1040元的天数共10天；综上所述，日销售利润不超过1040元的天数共有18天；（3）由（2）知，当5≤x ≤10时，w =-80x +1280，当x =5时，w 取最大值，-80×5+1280=880， 当10＜x ≤17时，w =56x -80，当x =17时，w 取最大值，56×17-80=872， ⊥880>872，⊥第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元．8. 【2019·成都月考】一手机经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A 型手机x 部，B 型手机y 部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x ，y 的式子表示购进C 型手机的部数； （2）求出y 与x 之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．⊥求出预估利润P （元）与x （部）的函数关系式；（注：预估利润P =预售总额-购机款-各种费用） ⊥求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．【答案】见解析. 【解析】 解：（1）60-x -y ；（2）由题意，得：900x +1200y+1100（60-x -y ）=61000， 即，y =2x -50． （3）⊥由题意，得：P =1200x +1600y +1300（60-x -y ）-61000-1500， 即，P =500x +500．⊥购进C 型手机部数为：60-x -y =110-3x ，根据题意，得：8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得：29≤x≤34，⊥x为整数，k=500＞0，⊥P随x的增大而增大，⊥当x=34时，P有最大值，最大值为17500元，此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．9. 【2018·北师大附中期中】已知：如图，⊥MON=90°，在⊥ABC中，⊥C=90°，AC=3cm，BC=4cm，将⊥ABC 的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON于点D，记OA=x（当点O与A重合时，x的值为0），CD=y，小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表（补全表格）（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)
一次函数之动点问题(一)(北师版)(含答案)学生做题前请先回答以下问题：问题1：动点问题的特征是什么？主要考察运动的什么？问题2：一次函数背景下研究动点问题的思考方向是什么？①将函数信息转化为背景图形的信息；②分析运动过程，分段，找到起点和终点；③分析几何特征，表达，设计方案求解。
问题3：分析运动过程时，需要注意哪几个要素？一次函数之动点问题（一）（北师版）1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴交于点C，与直线交于点P。
动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AP—PC向点C匀速运动（点M不与点A，C重合），设△OMC的面积为S，运动时间为t秒，则S与t之间的函数关系式为()。
答案：B解题思路：本题考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△___的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=1/2*t*(8-t)。
2.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点。
动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿折线OA—AB运动。
设运动的时间为t秒，△OPD的面积为S，则S与t的函数关系式为()。
答案：C解题思路：本题同样考察一次函数之动点问题。
根据题目，我们可以将函数信息转化为背景图形的信息，分析运动过程，找到起点和终点，分析几何特征，表达，设计方案求解。
具体来说，我们可以通过计算△OPD的面积来得到S与t之间的函数关系式，即S=2t*(4-t)。
3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，D是AB的中点。
动点P从点A出发沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO-OB以相同的速度运动。
一次函数之动点问题(侧重图形运动、状态分析、分段)(人教版)(含答案)
一次函数之动点问题（侧重图形运动、状态分析、
分段）（人教版）
一、单选题(共3道，每道40分)
1.如图，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y=x交于点A，点P是直线OA上一动点，从点O 开始沿OA方向以每秒个单位长度的速度向点A运动（点P不与点O，A重合），作PQ∥x
轴交直线y=-x+4于点Q，以PQ为边，向下作正方形PQMN．当点P从点O运动向点A的过程中，设运动时间为t秒，记正方形PQMN与△OAB重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题
2.如图，过A（8，0），B两点的直线与直线交于点C，平行于y轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC，OC于点D，E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．
（1）C点坐标是( )，根据S表达的不同，t的分段是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题
3.（上接第2题）（2）S与t的函数关系式是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数动点问题。
第五讲一次函数动点问题(教案)
4.关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。
（2）学会运用数形结合的方法分析一次函数动点问题，并能解决实际问题；
（3）培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
举例解释：
（1）在教学过程中，重点讲解一次函数图像上任意一点的坐标表示方法，以及动点在直线上的移动规律；
（2）通过实例分析，强调动点问题中数形结合的重要性，让学生掌握解题关键；
（3）设计相关练习题，让学生在实际操作中体会空间想象力和逻辑思维能力的培养。
2.教学难点
（1）一次函数动点问题的分类与解题方法；
（2）在解决实际问题时，如何将问题转化为一次函数动点问题；
（3）运用数形结合的方法，突破动点问题的空间想象力限制。
举例解释：
（1）对于动点问题的分类，教师需要详细讲解不同类型动点问题的解题方法，如动点在直线上的移动、动点与直线的距离等，并举例说明；
2.一次函数动点问题的分类与解题思路；
3.举例说明一次函数动点问题的应用，如动点在直线上的移动、动点与直线的距离等；
4.练习题：针对本讲内容，设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
二、核心素养目标
本讲一次函数动点问题的教学，旨在培养学生的以下学科核心素养：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数动点问题的基本概念。一次函数动点问题是指在一次函数图像上，点的坐标随时间或其他变量的变化而发生改变的情况。它是研究函数图像动态变化的重要部分，有助于我们理解函数与实际问题的联系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了动点在一次函数图像上的移动规律，以及如何利用这一规律解决实际问题。
(完整版)八年级数学一次函数动点问题
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线 相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。
6、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线 经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2 个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒( )．△MPQ的面积为S．
为（-6，0）。（1）求 的值；（2）若点P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由。
5、己知如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为 。
（2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形？
9、如图：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。（1）求直线 的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
一次函数综合应用中的动点问题
1 一次函数综合应用中的动点问题 学习目标： 1.探究并解决一次函数综合应用中的动点问题； 2.培养分析、解决问题的能力，达到解一题知一类的目的 ； 3.感悟数形结合、分类讨论等数学思想在几何图形中的应用。
探究一：动点中的最小值问题 如图，一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B 设点C（m，2）在一次函数图象上，点P为y轴上一动点，问点P在何处时，PA+PC的值最小，求此时点P的坐标。
变式训练： 若点M为y轴上一动点，是否存在点M使得△MAC的周长最小，若存在直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由。
探究二：动点中的平行四边形问题 如图，在探究一的条件下，试问：在平面内是否存在一点Q，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形。若存在直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
y= -2x+4 2
展示反馈环节： 如图，一次函数y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、点B，点C的坐标为（0,1.5），四边形ACBD为菱形，点P是对角线AB上一动点，点E为OA的中点，当△PCE的周长最小时，求此时点P的坐标。
（0，1.5） （0，4） （2，0） 3
探究三：动点中的等腰三角形问题 如图，点C为直线L1:y=2x+1与直线L2:y=-x+4的交点 探究：在X轴上是否存在一点M，使得△MOC为等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的所有M点的坐标，若不存在请说明理由。
小结归纳： 本节课你有哪些收获？ 检测：
如图，直线L1： 223yx 分别与x轴、y轴交于点A、点B，直线L2:y=4x+16与x轴交于点C，与直线L1交于点D （1）分别求出点A、点B、点C、点D的坐标
（2）探究：在平面内是否存在点Q，使得以A、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
（3）探究：y轴上是否存在一动点E，使得△ABE为等腰三角形，
(完整版)八年级《一次函数动点问题》
一次函数动点问题的典例分析1、已知如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线相交于点P 。
（1）求点P 的坐标； （2）求的值；（3）动点E 从原点O 出发，沿着O-P-A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B 。
设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与重叠部分的面积为S 。
求S 与a 之间的函数关系式。
OyxB FE A POyxB FEA P2、如图，在平面直角坐标系内，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。
3、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60︒,E为CD边的中点，点P从点A开始沿AC方向2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点以每秒3P到达点C时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。
当点P在线段AO上运动时，（1）请用含x的代数式表示OP的长度；（2）若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
4、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14（1）求矩形ABCD 的周长；（2）如图所示，图形运动到第5秒时，求点D 的坐标；（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 从A 点出发，沿A —B —C —D 的路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D —C —B —A 运动，到A 点停止。