八年级数学分式3
湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册 第3讲 分式的运算(2)培优(新版)湘教版
第3讲分式的运算（2）姓名：____________一、知识点1.分式的混合运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2.注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
3.整数指数幂：当是正整数时，，特别是.4.科学记数法: 一个数可以用（其中，为整数）来表示.二、典型例题1、条件求值的三种技巧:条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．►技巧一整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a＋b，a－b，ab，a2＋b2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a，b的值，即使能求出a或b的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．【例1】已知实数x满足x＋1x＝3，则x2＋1x2的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9【例2】已知a2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，则ba＋ab的值等于________．变式1：已知x＋y＝xy，求1x＋1y－(1－x)(1－y)的值．变式2：已知x2－4x＋1＝0，求2（x－1）x－4－x＋6x的值．►技巧二倒数法aba＋b的倒数是a＋bab，而a＋bab可拆成1a与1b的和，即a＋bab＝1b＋1a.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．【例1】若x2－5x＋1＝0，则x2x4＋1的值为________．1 / 32 / 3【例2】已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyzxy ＋yz ＋zx 的值．► 技巧三 转化法利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．【例1】已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋bb ＋2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b2＝________．变式：已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋cca ＋c ＋1的值．2、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一 约分【例1】计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________．变式1：计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y22x －y.变式2：先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a ，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二 运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．【例1】计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a3 / 3【例2】先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－aa ＋1)，其中a ＝2.变式1．先化简，再求值：(x 2－16x 2＋8x ＋16＋x x －4)÷1x 2－16，其中x ＝3.变式2：化简并求值：12a －1a －b ·(a －b 2a －a 2＋b 2)，其中a ＝10，b ＝5.三、强化练习1.计算：（1） （2） 2．已知，其中是常数，求的值. 3.用科学记数法表示下列各数：（1）976500 （2）0.0035 （3） 4.计算：（1） （2） 四、课外作业1 .填空：（1）已知，则_______.（2）=_____________.（结果用科学记数法表示） （3）若有意义，则_______;若，则=______. 2. 将下列各数写成小数： （1） （2） 3.计算：（1） （2）（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
新人教 八年级数学上册 分式小结与复习
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，
列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分
式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解
得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案】1
归纳总结
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条 件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子 为0而分母不为0.
针对训练
1.若分式 1 无意义，则a的值 -3 . x3
2.如果分式 a 2 的值为零，则a的值为 2 .
a2
考点二 分式的性质及有关计算
例2 如果把分式 x 中的x和y的值都扩大为原来 x y
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
3.分式值为零的条件：
当A_=__0_且__B_≠_0___时，分式 的值为零. 4.分式的基本性质：
A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
5.分式的约分： 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整 式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分 母相同的分式，这种变形叫分式的通分. 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成BA的形式。
如果除式．．B ．中含有分母．．．．．，那么称BA为分式。
（对于任何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bdac）2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：b a ÷dc =b a ﹒cd =bcad） 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
华东师大版八年级数学下册分式及其基本性质分式
1.分式
目标二 理解分式有、无意义的条件
例 2 [教材例 2 针对训练] (1)若分式������+������有意义,则 x 满足的条
������-������
件是 ( C )
A.x=1
B.x=-1
C.x≠1
D.x≠-1
[解析] 根据分式有意义,分母不等于 0 列不等式求解即
可.由题意得,x-1≠0,解得 x≠1.故选 C.
第16章 分式
16.1 分式及其基本性质
第16章 分式
1.分式
目标突破 总结反思
1.分式
目标突破
目标一 理解分式和有理式的概念
例 1 [教材例 1 针对训练] 下列有理式中,哪些是整式,
哪些是分式?
(1)������������������+������; (2)-������������; (3)���������������������-���������;
x≠-4 时分式有意义. (2)分式无意义的条件是分式的分母为零,所以当|x|-1=0,即 x=1 或 x=-1 时,分式无意义.
1.分式
【归纳总结】 分式有、无意义的条件:
分式
������ ������
有意义:������
≠
������;
分式
������ ������
无意义:����ห้องสมุดไป่ตู้�
=
������.
(4)������������.
解:(1)(3)是整式,(2)(4)是分式.
1.分式
【归纳总结】 判断分式的“三看两注意”: 三看:一看所给代数式是不是分式形式;二看分子、分母是否都 为整式;三看分母中是否含有字母且分母是不是零. 两注意:①应该从形式上判断,而不能从化简后的结果判断;②π 是常数(圆周率),而不是字母.
八年级数学第一章《分式》知识梳理
湘教版八年级数学第一章《分式》知识汇编姓名：1、分式的定义：如果f 、g 表示两个整式，并且g 中含有字母0≠g ，那么式子gf叫做分式。
2、分式有（无）意义，分式的值为0 （1）分式有意义的条件是：分母≠0； （2）分式无意义的条件是：分母=0（3）分式值为零的条件是：分子=0，且分母≠0。
3、分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
4、分式的通分和约分：关键是因式分解和（非乘勿扰）。
5、分式的运算： （1）分式乘法法则：用分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。
（2）分式除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（3）分式乘方法则：把分子、分母分别乘方。
6、整数指数幂。
(m,n 是整数) （1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。
n m n m a a a +=⋅； （2）同底数幂的除法：底数不变，指数相减：)0( ≠=÷-a a a a n m n m ；（3）幂的乘方：底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)(; （4）积的乘方：把积里每个因式分别乘方：nn n b a ab =)(；（5）分式的乘方：把分子、分母分别乘方：)0( )(≠=b b a b a n nn7、零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂等于1； 即)0(10≠=a a ；8、负指数幂：当n 为正整数时，）（）（0 11≠==-a aa a nn n9、分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
（3）减去一个多项式一定要把这个多项式括起来10、科学记数法：把一个数表示成na 10⨯的形式的记数方法叫做科学记数法。
（1）用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n （2）用科学记数法表示绝对值小于1的小数时,其中10的指数是第一个非0 数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)
分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 ：A一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子,BB 为分母。
i-y ，是分式的有: x y题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（ B 0） 分式无意义：分母为 0（ B 0） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）—（2）-3^ （ 3）（4）（ 5）丄x4x 22 x 21| x| 3x1x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 （ A 0）B 0【例1】当x 取何值时， 下列分式的值为0.（1）Jx 3（2）|x| 2 x 242（3） x 22x 3x 5x 6【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零:题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A或A 0 ）B 0B 0【例1】下列代数式中:（1）5 |x 1 | x 4（2） 2^5 xx 6x 5x 1 -，2x分式值为负或小于0：分子分母异号（A °或八°）B 0 B0【例"（1）当x为何值时，分式为正;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 °（2）U题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=°）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为________________________ x 2思维拓展练习题：a b1、若a>b>0, a2+ b2—6ab=0,则一a b2、一组按规律排列的分式：b2 b5 b8b11,2 , 3, 4 , L L ( ab 0),则第n个分式为a a a a（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;A3、已知x23x 1 0,求X2 -2的值。
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
八年级数学上册分式方程式概念定义及解题方法整理
八年级数学上册分式方程式概念定义及解题方法整理一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点一分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
典例变式练习点评：利用分式的性质进行化简时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零。
知识点二分式方程定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。
整根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的整根。
检验分式方程解的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解释原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
分式方程的解的步骤：（1）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）（2）解整式方程，得到整式方程的解。
（3）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳规则进行运算。
通分的方法是将各个分式的分母化为相同的多项式，然后将分子进行相应的乘法运算，最后再按同分母分式的加减法规则进行运算。
最后的计算结果必须化为最简分式或整式。
分式是数学中的重要概念之一，它表示了两个整式的比值，其中分母中含有字母的被称为分式，而分母中没有字母的则被称为整式。
分式的约分是指将分子和分母的公因式约去，化为最简分式或整式。
化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
分式方程是指分母中含有未知数的方程，将其变形为整式方程时需要注意增根的情况。
分式的乘除法规则和同分母分式加减法规则都需要注意化为最简分式或整式的要求。
2x+1与2x+1的分母相同，则最简公分母为__________。
2.分式3x+2x-1的倒数为__________。
3.分式2x+1x-3的平方为__________。
4.分式2x+3x-1与分式x-42x-1的和为__________。
5.若分式a+bc与分式a-bc互为倒数，则a²-b²的值为__________。
6.若分式2x-1x-2的值等于分式3x+2x+1的值，则x的值为__________。
7.分式2x+1x-3与分式x-12x+5的差为__________。
8.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为__________。
9.若分式a+b2的值等于分式a-b3的值，则a:b的比值为__________。
10.分式2x-1x+2的平方根为__________。
二、选择题（每小题3分，共15分）1.下列关于分式的说法中，正确的是（）A。
分式的分子和分母都是整式B。
分式的分母不能为0C。
分式的分子和分母都是单项式D。
分式的分子和分母都是多项式2.若分式a2b的值等于分式c3d的值，则（）A。
ad=3bcB。
ac=2bdC。
ab=3cdD。
ad=2bc3.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为（）A。
八年级数学上分式方程的解法（简单易学）
⼋年级数学上分式⽅程的解法（简单易学）分式⽅程的解法
1．分式⽅程的概念
分母中含有未知数的有理⽅程叫做分式⽅程．
2．解分式⽅程的基本思想⽅法
分式⽅程转换为整式⽅程
3．解分式⽅程时可能产⽣增根，因此求得的结果必须检验
去分母法解分式⽅程的具体做法是：把⽅程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后
将⽅程两边同乘以最简公分母，将分式⽅程化成整式⽅程．注意去分母时，不要漏乘；最后还
要注意解分式⽅程必须把⽅程的根代⼊最简公分母验根，特别注意：使最简公分母为零的根是
增根，须舍去，使最简公分母不为零的根才是原⽅程的解。