同角三角函数基本关系式PPT课件
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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
同角三角函数的基本关系式课件
利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
同角三角函数的关系中小学PPT教学课件
sin 4cos tan 4 2 1 5sin 2cos 5tan 2 12 6
sin2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 s in
cos
sin2 2sin cos sin2 cos2
tan2 2 tan tan2 1
44 41
8 5
例二、已知 sin cos 3，求 3
tan cot及sin cos的值。
Read Para.2:
1.What’s the “big three”? 2. How many people die from the “big three” every year? 3. How many people die from air pollution every year?
1.What’s the “big three”?
Para.7
importance
What we can do
Para
Main idea
Key words
1 A 1 Brief introduction to Take better care of the earth, problems
1972 & 2002 Earth Summits facing our planet, progress made ,one of the theme2 sustainable development
5
5 125
例四、已知 sin 4 2m , cos m 3 , 是第四象限角，
m5
m5
求 tan 的值。
解：∵sin2 + cos2 = 1 ∴
( 4 2m)2 ( m 3)2 1 化简，整理得：
m5
m5
高中数学必修四同角三角函数的基本关系式课件
cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归 抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页 习题1-2 A组zxxk
8、9 选作 习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求 的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代 换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为 （ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变 形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可 对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时 ，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式 的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。
人教版数学必修四《同角三角函数基本关系及诱导公式》教学课件
⑤错误. 当 k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝ sin(－α)＝－sin α＝13，则 sin α＝－13；当 k＝2n＋1(n∈Z)时， sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝ sin α＝13. 故选 B.
4
5
C.3
D.3
解析：∵sin x＝2cos x，∴tan x＝2，
sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2ttaann22xx＋＋11＝95.故选 B. 答案：B
人教版数学必修四第一章1.2.2《同角 三角函 数基本 关系及 诱导公 式》教 学课件 (共29 张PPT)
人教版数学必修四第一章1.2.2《同角 三角函 数基本 关系及 诱导公 式》教 学课件 (共29 张PPT)
人教版数学必修四第一章1.2.2《同角 三角函 数基本 关系及 诱导公 式》教 学课件 (共29 张PPT)
4．已知函数 f(x)＝2cos π3x，x≤2 000， x－15，x>2 000，
则 f[f(2 015)]＝________. 解析：∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos2 0300π＝2cos 23π＝－1. 答案：－1
[思路点拨] (1)应用平方关系求出sin x，可得tan x； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．
[解析] (1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝35，
∴cos x＝－35.又 x∈(π，2π)，
∴sin x＝－ 1－cos2x＝－ ∴tan x＝csoins xx＝43.
1－－352＝－45，
＝________.
(2)已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ 等于( )
4
5
C.3
D.3
解析：∵sin x＝2cos x，∴tan x＝2，
sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2ttaann22xx＋＋11＝95.故选 B. 答案：B
人教版数学必修四第一章1.2.2《同角 三角函 数基本 关系及 诱导公 式》教 学课件 (共29 张PPT)
人教版数学必修四第一章1.2.2《同角 三角函 数基本 关系及 诱导公 式》教 学课件 (共29 张PPT)
人教版数学必修四第一章1.2.2《同角 三角函 数基本 关系及 诱导公 式》教 学课件 (共29 张PPT)
4．已知函数 f(x)＝2cos π3x，x≤2 000， x－15，x>2 000，
则 f[f(2 015)]＝________. 解析：∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos2 0300π＝2cos 23π＝－1. 答案：－1
[思路点拨] (1)应用平方关系求出sin x，可得tan x； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．
[解析] (1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝35，
∴cos x＝－35.又 x∈(π，2π)，
∴sin x＝－ 1－cos2x＝－ ∴tan x＝csoins xx＝43.
1－－352＝－45，
＝________.
(2)已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ 等于( )
数学北师大版必修第二册4.1.同角三角函数的基本关系课件
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,到达化简的目的.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
探究一
探究二
证明三角恒等式
探究三
探究四
探究五
当堂检测
探究一探Biblioteka 二探究三探究四探究五
当堂检测
反思感悟 三角恒等式的证明方法 证明三角恒等式,实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的 式子,通过奇妙变形后消除差异,使其左右两端相等.为了到达这个 目的,我们经常采用以下的策略和方法: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边都等于同一个式子; (3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等 价的命题情势.
(4)能求得数值的应计算出来.
注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作奇妙的变形.
2.(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名
称,到达化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去
根号到达化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
2.在求解sin α±cos α的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sin α±cos α的正负,判定的方法有:(1)根据sin αcos α的正负进行判断;(2)
可根据角的范围进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
探究一
探究二
第四章第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式PPT课件
角
－α
∈Z)
π－α π＋α π2－α π2＋α
正弦 sin α －___si_n__α_ _s_in__α__ －__s_i_n_α_ c_o_s__α_ _c_o_s_α__
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
余弦 cos α __c_o_s_α__ _－__c_o_s_α__ _－__c_o_s_α_ _s_in__α_ －sin α
1， 50
所以 sin α＋cos α＝
2sinα＋π4＝
2·－
150＝－15.
答案 －15
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一 同角三角函数的基本关系式的应用
【例 (11】)求已sin知αα＋∈co0s，α π2的，值s；in α－cos α＝15. (2)求2sin1－2α＋tansinα 2α的值． 解 (1)因为 sin α－cos α＝15，所以(sin α－cos α)2＝215，即 1－2sin αcos α＝215，2sin αcos α＝2245.
α＝2，cos
α＝±
5 5.
答案
5 ±5
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
4．(2012·南京外国语调研)已知 α∈－π2，0，sin α＝－35， 则 cos(π－α)＝________.
解析 因为 α∈－π2，0，sin α＝－35， 所以 cos α＝45，cos(π－α)＝－cos α＝－45. 答案 －45
1．计算 sin236π等于________． 解析 sin236π＝sin4π－π6＝sin－π6＝－sinπ6＝－12. 答案 －12
抓住3个考点
突破3个考向
同角三角函数的基本关系式与诱导公式-高考数学复习课件
4
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
同角三角函数的基本关系 课件
3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2