动力学普遍方程和拉格朗日方程PPT
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理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
角 度加为速a 。度假为想1 加、上 2，惯轮性B力质，心如的图加。速
C
yC
M
g B
ma g 2
其中
M
g A
1 2
mR21
FBg ma
M
g B
1 2
mR2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转
角1、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
1
yC R 1 R 2 (1)
N
miri
k 1
ri qk
qk
Nn
(
k 1 i1
mi
ri
ri qk
)qk
ri
N k 1
ri qk
qk
n
i 1
Fi
δ
n
ri
i1
miai
δ
ri
N
(Qk
k 1
n i1
miri
ห้องสมุดไป่ตู้
ri qk
)qk
0
Qk
n i 1
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
rC l
B
m1g
FIB
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
C
yC
M
g B
ma g 2
其中
M
g A
1 2
mR21
FBg ma
M
g B
1 2
mR2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转
角1、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
1
yC R 1 R 2 (1)
N
miri
k 1
ri qk
qk
Nn
(
k 1 i1
mi
ri
ri qk
)qk
ri
N k 1
ri qk
qk
n
i 1
Fi
δ
n
ri
i1
miai
δ
ri
N
(Qk
k 1
n i1
miri
ห้องสมุดไป่ตู้
ri qk
)qk
0
Qk
n i 1
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
rC l
B
m1g
FIB
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
动力学方程的三种基本形式PPT教案学习
第13页
第12页/共35页
§3.2 虚功率形式的动力学方程
用动量和冲量表示的动力学方程__ 一般情形
对功率形式的动力学方程进行变化，由
n
n
Pi Fi miai ri 0
i 1
i 1
将其括号部分提取出来，进行变换
t
Fi miai
dt
t
t
t Fidt t miaidt
其中：LOi 为碰撞后第i个质点对定点O的动量矩， lOi 为碰撞前第i个质点对定 点O的动量矩
如果质点系是相对于其质心C的转动，同样可得其动力学方程为:
n
mC Si LCi lCi 0
i 1
LCi , lCi 的意义同前；mC Si 意义同前。
第17页
第16页/共35页
§3.2 虚功率形式的动力学方程
碰后： uBx 0 uBy 0
vBy 0
vCy
C
vAy
vCx
Sx A
x
vAx
Sy
碰前
uCy
C u Ay
Sx x
uCx
x
u Ax
Sy
碰后
由恢复系数公式
kx
uBx v Ax
uAx vBx
1
ky
uBy uAy vAy vBy
1
解得： uAx 0
第20页
vAy v1 （向上）
第19页/共35页
Rg3 m1aO 3 4rm1
Rgn3 m1aOn 3 4m1r2
Mg3 0
（4）虚位移，虚功，虚功方程
给定虚位移，其方向与 即 1 方向相同
1
2 21 2
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上。
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
B
B
解：以系统为研究对象，系统所 受的主动力有圆柱的重力。设两轮的 角加速度为 1 、 2 ，轮B质心的加速 度为 a 。假想加上惯性力，如图。
1 其中 M mR 21 2
g A
C
2
yC
1 2
mg
g MB
a
2
g FBg ma M B mR 2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转 角1 、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
引
言
本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来 推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学 普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而 拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动， 两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题， 它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因 此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由 质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要 比用动力学普遍方程简便得多。
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
B
解：以系统为研究对象，系统所 受的主动力有圆柱的重力。设两轮的 角加速度为 1 、 2 ，轮B质心的加速 度为 a 。假想加上惯性力，如图。
1 其中 M mR 21 2
g A
C
2
yC
1 2
mg
g MB
a
2
g FBg ma M B mR 2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转 角1 、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
引
言
本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来 推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学 普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而 拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动， 两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题， 它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因 此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由 质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要 比用动力学普遍方程简便得多。
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程
2) ri d ( ri ) q j dt q j
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、s个完整约束的完整约束系统
ri ri (t, q1, q2 ,, qN )
(i 1,2,, n)
ri
N j 1
ri q j
q j
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 V V (q)
dV dq
qqo
0
d2 V d q2
q qo
0
平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
FQj
( j 1,2,, N )
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式
系统的主动力均为有势力
FQj
V q j
d dt
(
T q j
)
T q j
V q j
d T V T V
dt
(q j
q j
)( q j
q j
d dt
q j
n
(
i 1
1 2
mivi2 )
q j
n
(
i 1
1 2
mi
vi2
)
d dt
(
T q j
)
T q j
N
j 1
FQj
力学竞赛之拉格朗日方程-PPT课件
N
如令
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
n
称为与广义坐标 q k 相对应的广义力 。
δW Q qk 0 F kδ
k 1
N
由于广义坐标的独立性
例：一单摆在空间摆动，摆长为l。
O
x
约束方程为
fx (, y ,) z x y z l
2 2 2
2
自由度数为2。
y
z
x，y为独立变量
2 2 2 zxy (, ) l x y x xxy ( , ) x y yxy ( , ) y z
, （单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。 xx (, ) l s i n c o s y y (, ) l s i n s i n
δ q k 可以为任一值
Q Q Q 0 1 2 N
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
——用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的两种方法 1.直接计算法（解析法）
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
z z (, ) l c o s
思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度
数目的关系如何？ 描述导弹的位置： 质心的位置
xC , yC
导弹的纵轴和x 轴的夹角 独立的广义坐标数目为3 导弹的速度方向要对准飞机的质心 约束方程
yC yP yC xC xP xC
如令
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
n
称为与广义坐标 q k 相对应的广义力 。
δW Q qk 0 F kδ
k 1
N
由于广义坐标的独立性
例：一单摆在空间摆动，摆长为l。
O
x
约束方程为
fx (, y ,) z x y z l
2 2 2
2
自由度数为2。
y
z
x，y为独立变量
2 2 2 zxy (, ) l x y x xxy ( , ) x y yxy ( , ) y z
, （单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。 xx (, ) l s i n c o s y y (, ) l s i n s i n
δ q k 可以为任一值
Q Q Q 0 1 2 N
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
——用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的两种方法 1.直接计算法（解析法）
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
z z (, ) l c o s
思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度
数目的关系如何？ 描述导弹的位置： 质心的位置
xC , yC
导弹的纵轴和x 轴的夹角 独立的广义坐标数目为3 导弹的速度方向要对准飞机的质心 约束方程
yC yP yC xC xP xC
16达朗贝拉格朗日动力学
四、基本拉格朗日方程
由于约束条件, n个矢径并不独立. 现在引入独立的广义 坐标q 把矢径用广义坐标表示出
ri ri q1 , q2 ,, qs ; t s dri ri ri dq 对时间求导 dt t 1 q dt
因为位矢只是广义坐标和时间的函数, 它对广义坐标的 偏导数也是广义坐标和时间的函数, 因此速度就是广义 坐标、广义速度以及时间的函数, 但是位矢对时间和 广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数. 因为广义 速度也是独立的, 所以
d ri dt q s 2 ri 2 ri q q q tq q 1 s r r i i q t 1 q q d r i (5.25) dt
第十六讲 拉格朗日动力学
本讲导读
• 达朗贝原理 • 基本拉格朗日方程 • 保守系的拉格朗日方程
一
达朗伯原理
按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是
Fi Ri mi r i 0
只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的 类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点 一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应 当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗伯 原理. n (5.23) Fi mi ri ri 0
i 1
——达朗伯-拉格朗日方程
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作 为逻辑推理的出发点导出的 . 从这个基本法出发再 利用约束对虚位移的限制关系式 , 可以导出力学系 统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的,因此可认为 真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方 程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加上理 想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性 . 当 存在非理想约束时, 达朗伯原理也适用,它可叙述为： 主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零 . 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此 它可以称为分析动力学的普遍原理.
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
yC R1 R 2 (1)
由动力学普遍方程得
g A g B g B
1
O
g MA
A
M 1 M 2 (mg F )yC 0
1 mg g FB
C
B
2
g 2 将惯性力及（1）式代入上式，得 MB a 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 2 1 1 2 (mgR maR mR 1 ) 1 (mgR maR mR 2 2 ) 2 0
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
FIA m1g l
C
O1
l l
A
x1
FIB l m1g
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
i 1
n i 1
即
( Fi mi ai ) ri 0
将上式写成解析式，则有
( X
i 1
n
i
i ) xi (Yi mi i ) yi ( Z i mi i ) zi 0 mi x y z
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
yC R1 R 2 (1)
由动力学普遍方程得
g A g B g B
1
O
g MA
A
M 1 M 2 (mg F )yC 0
1 mg g FB
C
B
2
g 2 将惯性力及（1）式代入上式，得 MB a 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 2 1 1 2 (mgR maR mR 1 ) 1 (mgR maR mR 2 2 ) 2 0
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
FIA m1g l
C
O1
l l
A
x1
FIB l m1g
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
i 1
n i 1
即
( Fi mi ai ) ri 0
将上式写成解析式，则有
( X
i 1
n
i
i ) xi (Yi mi i ) yi ( Z i mi i ) zi 0 mi x y z