近世代数习题解答(张禾瑞)一章
张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)
定理同态满射保持运算律（包括结合律、交换律）P21左右逆元的统一性P33-34 左右逆元的唯一性P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”）群的两个定义的等价性P33群满足消去律（由逆元的存在性） P38仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律P39群的几个分类标准：1、 有限 / 无限 ——元素个数2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元P35n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义）a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ，则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的P37 群中幂形式的元的运算法则：若规定：e a =0， n n a a )(1--=则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)(（由结合律易得）两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构任何一个有限群 有一个置换群与之同构任何一个无限循环群 与整数加群同构任何一个有限循环群 与剩余类加群同构子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数群的阶： 群中元素的个数对有限群G 而言：G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶（即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群）子群充要条件： H ab H b a ∈⇒∈∀-1,P63 定理2子群正规充要条件： Nana N n G a ∈⇒∈∈∀-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）。
近世代数课后习题答案
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3.而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
近世代数计算题
计算题1、在整数环Z 中，令I = {5k |k ∈Z } （1）确定商环Z /I 中的元素。
（2）Z /I 是不是一个整环？求Z /I 的特征。
2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。
3、求模6的剩余类环Z 6的所有理想。
4、在10次对称群S 10中，σ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1968752431010987654321.（1）将σ表成一些不相交轮换之积。
（2）求| σ|。
5、设G = {2m 7n |m ，n ∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f ：2m 7n |→7n 是G到G 的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。
6、设（Z 16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z 16的所有理想，求Z 16的所有非零理想的交。
7、在7次对称群S 7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。
8、在高斯整数环Z[i]={a + bi |a , b ∈Z,i 2=-1}中,(1)求主理想(1+i )，(2)求)1(][i i Z +。
9、给出整数加群Z 的所有自同构。
10、设R=Z 4是模4的剩余类环,确定Z 4的所有理想。
11、设R=Z[i]={a + bi |a , b ∈Z ,i 2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。
12、设G={ 2m 3n | m, n ∈Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m 3n 2m (1)验证f 是G 到G 的同态映射， (2)确定Ker f 。
13、找出三次对称群3S 的所有子群；找出3S 关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。
14、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。
15、求出模6的剩余类加群Z 6的所有自同构。
16、（10分）求模12的剩余类加群（Z 12，＋）的所有自同构映射17、设Z[]i ＝{}1,,|2-=∈+iZ b a bi a 是高斯整数环，求Z []i 的商域。
代数学引论近世代数第一章答案精品
代数学引论近世代数第一章答案精品第一章代数基本概念习题解答与提示(P54)1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,b G,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.证明: [方法1]对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群.[方法2]对任意a,b G,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.3. 设G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1) a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac 推出a=c; (3) 由ac=bc 推出a=b;证明G 在该乘法下成一群. 证明:[方法1]设G={a 1,a 2,…,a n },k 是1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有a k a i a k a j ------------<1> a i a k a j a k ------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a 1,a 2,…,a n }={a k a 1, a k a 2,…, a k a n }------------<3> G={a 1,a 2,…,a n }={a 1a k , a 2a k ,…, a n a k }------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得a k a m =a t .由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得a s a k =a t .由下一题的结论可知G 在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
近世代数习题解答张禾瑞二章
近世代数习题解答第二章群论1群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？证不是一个群，因为不适合结合律.2.举一个有两个元的群的例子.证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群.3.证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件4,5'来作群的定义：4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa eA_1证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e因为由4 G有元a能使a'a =e1 1 1 '所以(a a)e = (a a)(a a )即a a = e(2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即由ae = a 得ea = a即ea = a这样就得到群的第二定义.(3)证ax二b可解取x = a这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到4,5'是不困难的.2单位元，逆元，消去律1.若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群.证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba .2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数._1 n —1 n n —1 —1证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ • a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的阶等于a °的阶_4 _4 2(2)a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾(3) a b 贝U a「b'斗总起来可知阶大于2的元a与a双双岀现，因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群，在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知，有限群G里的元大于2的个数是偶数；因此阶<2的元的个数仍是偶数，但阶是1的元只有单位元，所以阶<2的元的个数一定是奇数.4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的证a ：= G故a a2…a m…a n…€ G由于G是有限群，所以这些元中至少有两个元相等：m n n _ma =a (m n) 故a 二en - m是整数，因而a的阶不超过它.4群的同态假定在两个群G和G的一个同态映射之下，a》a，a和a的阶是不是一定相同？证不一定相同丄 c _1 +23 _1 +伍例如G 二{1, , }-2 2对普通乘法G,G都作成群，且(x^1 (这里x是G的任意元,1是G的元)由••可知G s G—1+&3 —1—iJ3但11的阶都是3.2 2而1的阶是1.5变换群1 11. ------------------------------------------ 假定I是集合的一个非变换，1会不会有一个左逆元T ，使得I =Z ?证我们的回答是回有的 A ={1,2,3,— }3f 2 3 f 44f 3 4-显然是一个非--- 变换但'二2.假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成x > ax b,a,b是有理数，a = 0形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群？证(1) - : x—ax ■ bca,cb d是有理数ca尸0 ；是关闭的.⑵显然时候结合律⑶ a =1 b =0 则:Xr X而.J .二. ；所以构成变换群.又d X"x 1故1 - 21因而不是交换群3.假定S 是一个集合 A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号.:a 》a ' = .(a)来说明一个变换..证明，我们可以用.「2： a“【[.2(a)] = j.2(a)来规定一个S 的乘法，这个乘法也适合结合律,并且 对于这个乘法来说；还是S 的单位元.证 彳： a —. d (a)那么.「2： a “ i [ .2(a)] = i 2(a) 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律 ： 故 (•1・2)・3 =・1(・2・3) 再证；还是S 的单位元4 .证明一个变换群的单位元一定是恒等变换证设；是是变换群G 的单位元G , G 是变换群，故.是—变换，因此对集合 A 的任意元a ，有A 的元b ,；(a) »( (a)) = ；• (b) = • (b) =a另证■- (x)(x)根据1.7.习题3知t i(x) =x5.证明实数域上一切有逆的 n n 矩阵乘法来说，作成一个群。
【大学课程】近世代数教材习题答案
§1.1 集合1、 设A B ⊆ ,证明：A B A = ,A B B = .证明：由A B ⊆，可知A 的所有元素都属于B ，既A 的所有元素，都是A 和B 的共同元， 则由交集定义可知 A A B ⊆ . 又A B A ⊆ ,所以A B A = .由并集定义知，A B 的所有元素，都属于A 或B ； 又A B ⊆，所以A B 的所有元素都属于B ，即A B B ⊆. 又B A B ⊆,故A B B =2、 设B ,()i A i I ∈ 均为集合Ω 的子集，试证：()1 ()i i i I i I B A B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ ()2 ()i i i I i IBA B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ 证明：()1 由定义i i Ix B A ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x B ∈且x 属于某一i A ；当且仅当x 属于某一i B A ；当且仅当()i i Ix B A ∈∈.()2 由定义i i I x BA ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x 属于B ，或x 属于任一i A ，i I ∈；当且仅当x 属于任一i B A ，i I ∈；当且仅当()i i Ix B A ∈∈.§1.2 等价关系1、设为整数集，问以下各关系是否为M 的等价关系？1）0aRb ab ⇔≥ 2）4aRb a b ⇔+ 3）aRb a b ⇔= 4）220aRb a b ⇔+≥ 解：1）不是，因为不满足传递性2）不是，不满足反身性和传递性 3）是 4）是2、试指出上题中等价关系所决定的分类.解：3）每个元素是一个类 4）整个整数集作成一个类 3、找出下列证明中的错误：若S 的关系R 有对称性和传递性，则必有反身性.这是因为，对任意的a S ∈ ,由对称性，如果aRb ，则bRa .再由传递性，得aRa ，所以R 有反身性.解：以上证明过程中只考虑了当aRb 成立的情况，但是当对于元素a ，不存在b 使aRb 成立时，aRa 就不能得到.4、在复数集中，规定关系"" ：a b a b ⇔=. （1）证明：是的一个等价关系；（2）试确定相应的商集，并给出每个等价类的一个代表元素.（1）证明：设a ，b ，c ∈ ，则()a 因为aa =，所以a a ，于是 是有反身性；()b 若ab ，则a b =，于是b a =，从而b a ，说明是具有对称性；()c 若ab ，bc ，则a b =，b c =，于是a c =，从而a c ，从而具有传递性.所以是的一个等价关系.（2）解：相应的商集[]{}0r r R r =∈≥且，其中[]{}()[]{}cos sin 0,2r x x r r i θθθπ=∈==+∈对任意的c ∈ ，等价是[]c ：代表元素可取作c .§1.31、{}1,2,,100S = ，找一个A A ⨯到A 的映射.解：设(),a b 表示A A ⨯的任意元素，,a b A ∈ ,则作映射:f A A A ⨯→ ,()(),f a b b = .f 是一个A A ⨯到A 的映射.2、设A ,B 是两个有限集合，则（1）A 到B 的不同映射共有多少？（2）A 到B 的单射共有多少个？解：（1）设A n = , B m =,则A 到B 的映射有n m 个 （2）设A n = , B m =,若n >m ，则A 到B 没有单射； 若n m ≤，则A 到B 有()!!m m n - 个单射. 3、设x 是数域F 上全体n （n >1）阶方阵作成的集合.问：:A A ϕ→是否为x 到F 的一个映射？其中A 为A 的行列式，是否为满射或单射？解：ϕ 是映射，且是满射，但不是单射4、设:f A B →为双射，则f 的逆映射1:f B A -→也是一个双射且()11f f --=.证明：设()() ,f x y x A y B =∈∈ ,则1:f y x -→，即()1f y x -=， 因f 是A B →的双射， 所以1f -是B 到A 的双射， 且1f -的逆映射就是f ，即()11ff --=.5、设:f A B →，:g B C →为两个双射到:g f A C → 也是双射且()111g f f g ---= .证明：()()11111B C g f f g g g ---⋅⋅==，()()111111B A fg gf f f ----==，故g f 也是双射，且()111gf f g ---= .§1.41、设A 是一个有限集合，则A 上不同的二元运算共有多少个？解：设A n = ,则2A A n ⨯= ，故A A ⨯到A 有2n n 个不同的映射. 即A 上有2n n 个不同的二元运算.2、{},,A a b c = ，规定A 的两个不同的代数运算.解：()a 第一个代数运算() , ,R x y a xRy x y A →=∀∈ ()b 第二个代数运算() , ,R x y y xRy x y A →=∀∈3、设M 为整数集，问()22 ,a b a b a b M =+∀∈是否满足结合律和交换律.解：交换律满足，但结合律不满足.例如()1104=，()1102= 4、设M 为实数集，问：23a b a b =+ (),a b M ∀∈是否满足结合律和交换律.解：都不满足.例()1004=，()1002=，故()()100100≠，又102=，013=，故1001≠.5、数域F 上全体非零多项式的集合对于()()()()(),f x g x f x g x =是否满足结合律和交换律？其中()()(),f x g x 表示()f x 与()g x 的首项函数为1的最大公因式.解：显然是代数运算且满足交换律.又结合律也满足，因为根据最大公因式的性质知：())()(()()(),,,,f g h f g h f g h f g h ===§2.11、有限群中每个元素的阶都是有限的。
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-5
近世代数课后习题参考答案第五章 扩域1 扩域、素域1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈),,(2,1m F b βββ ∈易知m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈-但∑⊂),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈-从而有∑⊂∈-),,,,,,(21211m n F abβββααα２ 单扩域１． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元，并且F a F =)(证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故F a F ⊂)(易见F a F ⊃)(，从而F a F =)(２．令F 是有理数域．复数i 和112-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？)(i F 与)112(-+i i F 是否同构？证 易知复数i 在F 上的极小多项式为112,12-++i i x在F 上的极小多项式为252+-x x因)112()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p证 令ℜ是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集合．1) ℜ是)(x F 的一个理想(ⅰ)若 ℜ∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f因而0)()(=-a g a f 故ℜ∉-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ℜ∈是)(x F 的任一元那么0)()(=a f a h 则ℜ∈)()(x f x h2)是一个主理想设 )(1x p 是ℜ中a ！的极小多项式那么，对ℜ中任一)(x f 有 )()()()(1x r x q x p x f +=这里0)(=x r 或r(x)的次数 但)()()()(1x R a q a p a f +=因 )(,0)(1a p a f =0= 所以0)(=a r若 0)(≠x r 则与x p 1是a 的极小多项式矛盾． 故有 )()()(1x q x p x f = 因而)((1x p =ℜ （３）因 p(a)=0 故p(x)ℜ∈)()(1x p x P 因二者均不可约，所以有)()(1x ap x p =又)(),(1x p x p 的最高系数皆为1那么1=a 这样就是)()(1x P x p =４． 证明：定理３中的K a F =)(证 设,K f ∈，则在定理３的证明中，'K K ≅之下有．a x a x a f n n nn +++→------11但 ,x a → -→11a a 故必011a a a f n n n n ++=--αα 这就是说)(αF k ⊂ 因而K a F =)(３ 代数扩域１．令E 是域F 的一个代数扩域，而α是E 上的一个代数元， 证明α是E 上的一个代数元 证 因为α是F 上的代数元所以nn e e e αα+++ 10又因为E 是F 的代数扩域，从而),,(10n e e e F 是F 的代数扩域，再有α是),,(10n e e e F 上的代数元，故),,(10n e e e F ()(αn n e e e e F ,,,,(110- )的有限扩域，由本节定理１，知 ),,,,,(110αn n e e e e F -是F 的有限扩域，因而是F 的代数扩域，从而a 是F 上的一个代数元．２．令F ,E 和L 是三个域，并且F E ⊂I ⊂，假定(:)I F m =而E 的元α在F 上的次数是n ，并且1),(=n m证明α在I 上的次数也是１ 证 设r I I =:)((α因为 F I I ⊃⊃)(α由本节定理1 rm F a I =):)(( 另一方面，因为F I F F :)(():)((αα 仍由本节定理！！ 即有rm n但由题设知 1),(=n m 故 r n又α在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是１ α在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是n 由于α在上的极小多项式能整除α在F 上的极小多项式所以n r ≤ 因而n r =３．令域！的特征不是２，E 是F 的扩域，并且 4):(=F E证明存在一个满足条件E I F ⊂⊂的E 的二次扩域F 的充分与必要条是：4):(=F E ，而α在F 上的极小多项式是b ax x ++24证 充分性：由于α在F 上的极小多项式为b ax x ++24 故F a ∉2及)(22αF a ∉因而1):)((2≠F a F 由本节定理１知：所以 2):)((2=F a F 这就是说，)(a F 是一个满足条件的的二次扩域必要性：由于存在I 满足条件E I F ⊂⊂且为F 的二次扩域即2):1(=F 因此可得（2)1:(=E 我们容易证明，当F 的特征不是２时，且 则 而！在！上的极小多项式是！同样 )(a I E =而β在f x -2上的极小多项式是 这样 ,,2F f f ∈=β I i i ∈=,2α那么ββ22212122f f f f i ++=所以24i =α22221212ββf f f f ++=222212122ββf f f f ++=令12f a -= f f f b 2221-=同时可知b a ,均属于F 024=++∴b a αα 由此容易得到0(a F E =４．令E 是域F 的一个有限扩域，那么总存在E 的有限个元m ααα ,,21使),,(21m F E ααα =证 因为E 是F 的一个有限扩域，那么把E 看成F 上是向量空间时，则有一个基n ααα ,,21显然这时 ),,(21m F E ααα =５．令F 是有理数域，看添加复数于F 所得扩域＂ )2,2(31311i F E = )2,2(31312wi F E =证明6):(,2)2((131==F E F证 易知！在！上的极小多项式是！即（3:)2(32=F F同样312上的极小多项式是322324222∙+-x x即4))2((31;2=F E由此可得（12):(,6):(21==F F F E４ 多项式的分裂域１．证明：有理数域F 上多项式14+x 的分裂域是一个单扩域)(a F 其中a 是14+x 的一个根证 14+x 的４个根为2222,2222,2222,22223210i a i a i a i a --=+-=-=+=又a a a a a a -=-==--31211,;所以)(),,,(321a F a a a a F =２．令F 是有理数域，x -3是F 上一个不可约多项式，而a 是a x -3的一个根，证明)(a F 不是a x -3在F 上的分裂域．证 由于a 是a x -3的一个根，则另外两个根是2,εεa a ，这里ε，2ε是12++x x 的根若)(a F 是a x -3的在H 上的分裂域那么)(,2a F a a ∈εε这样，就是)()(a F F F ⊂⊂ε由3。
近世代数习题答案
近世代数习题答案近世代数习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对概念和定理的理解，提高解决问题的能力。
本文将给出一些近世代数习题的答案，并对其中的一些重要思想进行解析。
1. 习题：证明群的单位元是唯一的。
解答：设G是一个群，e和e'都是G的单位元。
根据单位元的定义，对于任意的元素g∈G，有eg=g=ge'。
将e'代入上式，得到e=ge'。
同理，将e代入上式，得到e'=ge。
由此可知，e=e'，即群的单位元是唯一的。
思考：这个习题通过对单位元的性质进行推理，展示了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要运用代数运算的基本法则，如等式的传递性和对称性等。
2. 习题：证明群的逆元是唯一的。
解答：设G是一个群，g∈G，且g有两个逆元g'和g''。
根据逆元的定义，有gg'=e和gg''=e。
将第一个等式两边都乘以g''，得到gg'g''=eg''=g''。
将第二个等式两边都乘以g'，得到gg'g''=g'。
由此可知，g''=g'。
即群的逆元是唯一的。
思考：这个习题通过对逆元的性质进行推理，进一步巩固了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要灵活运用等式的乘法和消去律，以及群运算的定义。
3. 习题：证明交换群的幂运算满足指数相加的性质。
解答：设G是一个交换群，a∈G，m和n是任意的整数。
我们要证明a^m * a^n = a^(m+n)。
当m和n都是非负整数时，根据幂运算的定义，这个等式成立。
当m和n都是负整数时，设-m=k，-n=l，其中k和l都是非负整数。
根据幂运算的定义，有a^m * a^n = a^(-k) * a^(-l) = (a^k)^(-1) * (a^l)^(-1) = (a^k * a^l)^(-1) = a^(-k-l) = a^(m+n)。
近世代数练习题(附答案)
《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元， 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则 （ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想 （1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想 （7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解： 因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律： 若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律： 若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。
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近世代数习题解答 第一章 基本概念 1 集合 1.AB,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在BA时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当BA,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而Ba,显然矛盾; 若AB,但B不是A的真子集,可知凡属于A的元不可能属于B,故BA
2.假定BA,?BA,A∩B=? 解׃ 此时, A∩B=A, 这是因为A∩B=A及由BA得AA∩B=A,故ABA,BBA, 及由BA得BBA,故BBA,
2 映射 1.A=100,3,2,1，,找一个AA到A的映射. 解׃ 此时1),(211aa Aaa21,
1212),(aaa
易证21,都是AA到A的映射.
2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A的每一个元都是AA到A的一个元的的象? 解׃容易说明在1之下,有A的元不是AA的任何元的象;容易验证在2之下,A的每个元都是AA的象.
3 代数运算 1.A={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是AA到D的代数运算;是不是找的到这样的D? 解׃取D为全体有理数集,易见普通除法是AA到D的代数运算;同时说明这样的D不只一个.
2.Acba,,.规定A的两个不同的代数运算. 解׃ a b c a a b c a b c b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a
4 结合律 1.A={所有不等于零的实数}.是普通除法:baba.这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律:
212)11(, 2)21(1 ,从而 )21(12)11(.
2.A={所有实数}.: bababa2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律 cbacba22)(,cbacba42)( )()(cbacba 除非0c.
3.A={cba,,},由表
所给的代数运算适合不适合结合律? 解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.
5 交换律 1.A={所有实数}.是普通减法:baba.这个代数运算适合不适合交换律? 解׃ 一般地abba 除非ba.
2.},,,{dcbaA,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? 解׃ ddc, acd
a b c a a b c b b c a c c a b 从而cddc.故所给的代数运算不适合交换律. 6 分配律 假定:,是A的两个代数运算,并且适合结合律, ,适合两个分配律.证明
)()()()(22122111babababa )()()()(22211211babababa 证)()()()(22122111babababa׃ =])[(])[(221121baabaa =)()(2121bbaa =)]([)]([212211bbabba )()()()(22211211babababa
7 一 一 映射、变换 1.A={所有0的实数},A{所有实数}.找一个A与A间的意义映射. 证 :aaalog 因为a是大于零的实数,所以alog是实数 即 Aa,而Aa,而且babaloglog.因此是A到A的映射. 又给了一个A的任意元a,一定有一个A的元a,满足aalog,因此是A到A的满射. aaalog bbblog
若 ba, 则 baloglog.即 baba 因此又是A到A的单射.总之, 是A到A的一一映射.
2. A={所有0的实数},A{所有实数a,10a}. 找一个A到A的满射. 证 aaasin:,容易验证是A到A的满射.
3.假定是A与A间的一个一一映射,a是A的一个元.?)]([1A ?)]([1a若是A的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?
解׃ aa)]([1, aa)]([1未必有意义;当是A的一一变换时,.)]([,)]([11aaaa
8 同态 1.A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一个子集A
的同态满射? xxa) xxb2) 2)xxc xxd) 证׃ )a 显然A{所有0的实数}.又由于 yxxyxy 可知xx是A到A的同态满射. )b由于)2)(2(2yxxyxy ( 除非0xy)所以xx2不是A到A的同态满
射. )c由于222)()()(yxxyxy,易知2xx是A到A的同态满射.这里A={所有
0的实数}.
)d一般来说,))((yxxy,:所以xx不是A到A的同态满射
. 2. 假定A和A对于代数运算和来说同态，A和A对于代数运算和来说同态，证明 A和A对于代数运算和来说同态。 证: 用:1 aa 表示A到A的同态满射,2 aa 表示A到A的同态满射. 令： ])([12aaa,容易验证是A到A的满射 babababa)][()]([212
所以是A和A的关于代数运算,来说的同态满射。
9 同构、自同构 1.A={cba,,},代数运算由下表给定
a b c a c c c b c c c c c c c 找出所有A的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是A 的子同构. 证 : 所有A的一一变换有6个 aa:1
bb cc
ba:2
ab cc
ba:3
cb ac
ca:4
bb ac
ca:5
ab bc
aa:6
cb bc
容易验证1及2是A的子同构. 2.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的子同构 (映射xx除外) 证 :xx2,对普通加法来说是A的一个子同构,验证这一点是容易的.
3.A{所有有理数};A的代数运算是普通加法.A{所有0的有理数} A的代数运算是普通乘法.
证明 对于给的代数运算来说,A与A间没有同构映射存在(现决定 0在一个同构映射之下的象)
证: 设A与A间有同构映射存在,先看在之下0的象 00a 再看在之下某一元a的象aa , 那么 aaa00 . 但
aa0. 所以 aaa0 ,0a 故必10a, 即10 对A1来说,在之下设有Ax0, 1x 由于是一同构映射,于是)1)(1(12xxx 但又知,10,故,02x从而0x,与0x矛盾.>
10 等价关系与集合的分类 1.A={所有实数},A的元间的关系以及是不是等价关系? 解׃ >不是等价关系, 因为a不大于a 不是等价关系, 因为12但1不大于等于2. 2.有人说:假如一个关系R适合对称和推移律,那么它也适合 反射律.他的推论方法是:因为R适合对称律 bRaaRb 因为R适合推移律 aRabRaaRb,
这个推论方法有什么错误? 证: 这里aRa的a是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意a.今举一例 说明上述推论方法是错误的: 比如:A={}2,,是” 互补”是A的元间的一个关系.容易验证这一关系R适合对称律,推移律,但不适合反射律.
3.仿照例3规定整数间的关系 )5(ba 证明你所规定的一个等价关系,并且找出模5的剩余类. 证 : 规定)5(ba 当而且只当ba5时, 因为ba5 所以)5(aa ba5ab5 )5()5(abba )5()5(,5acbba,)5()5(),5(cacbba
因而是等价关系,对模5的剩余类: },10,5,0,5,10,{]0[ },11,6,1,4,9,{]1[ },12,7,2,3,8,{]2[ },13,8,3,2,7,{]3[ },14,9,4,1,6,{]4[