高三模拟测试数学试题
河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试 数学试题【含答案】
河南省2024年普通高考模拟测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()i i 2i z +=+，则z =（）ABC D2．若非空集合A ，B ，C ，D 满足：A C C ⋂=，B C D = ，则（）A ．A C⊆B ．D A⊆C ．A B ⋂=∅D ．A D ⋂=∅3．已知命题:p “R,e 10x x x ∃∈--≤”，则p ⌝为（）A ．R,e 10x x x ∃∈--≥B ．R,e 10x x x ∃∈-->C ．R,e 10x x x ∀∈-->D ．R,e 10x x x ∀∈--≥4．已知1a b == ，a b += a 在b上的投影向量为（）A ．32aB ．12aC ．32bD ．12b5．抛物线()220y px p =>上的点()2,2P 到焦点的距离为（）A ．52B ．2C ．32D ．16．若sin cos αα-=tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（）A ．2B ．133C ．73D ．438．若()()()()()102100121012111,R,0,1,2···10i x a a x a x a xa i +=+++++++∈= ，则2a =（）A ．180B ．180-C ．90-D ．90二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设椭圆C ：2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的离心率35e =B ．125PF PF +=C ．12PF F △面积的最大值为12D ．1PF 的最小值为16510．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{}n a 满足3a ，432a ，52a 成等差数列，其前n 项和为n S ，且531S =，则（）A ．512n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．12n n a +=C ．51322n n S -=-D ．4216n n S +=-11．下列命题正确的是（）A ．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6B ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()215D X +=，则5n =C ．对于随机事件A ，B ，若()()P AB P A =∣，()0P A >，()0P B >，则A 与B 相互独立D ．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某生产线正常生产下生产的产品A 的一项质量指标X 近似服从正态分布()25,N σ，若()()12P X a P X a ≤=≥+，则实数a 的值为.13．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为.14．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X ，则()E X =.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=⋅．（1）求角C ；（2）若2a =，D 是AC的中点，BD =，求边c ．16．某手机App 公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款App 人数的满意度统计数据如下：月份x 12345不满意的人数y1201051009580(1)求不满意人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+$$$，并预测该小区10月份对这款App 不满意人数；(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App 与性别的关系，得到下表：根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为是否使用这款App 与性别有关？使用App不使用App女性4812男性2218附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，a y bx =-$$，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82817．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .(1)求证：1AA OD ⊥；(2)若1AA =1B AA O --的余弦值.18．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19．已知函数()y f x =，其中()3213f x x kx =-，R k ∈.若点A 在函数()y f x =的图像上，且经过点A 的切线与函数()y f x =图像的另一个交点为点B ，则称点B 为点A 的一个“上位点”，现有函数()y f x =图像上的点列1M ，2M ，…，n M ，…，使得对任意正整数n ，点n M 都是点1n M +的一个“上位点”.(1)若0k =，请判断原点O 是否存在“上位点”，并说明理由；(2)若点1M 的坐标为()3,0k ，请分别求出点2M 、3M 的坐标；(3)若1M 的坐标为()3,0，记点n M 到直线y m =的距离为n d .问是否存在实数m 和正整数T ，使得无穷数列T d 、1T d +、…、T n d +…严格减？若存在，求出实数m 的所有可能值；若不存在，请说明理由.1．D【分析】首先求复数z ，再求模.【详解】()22i i 2i i i 12i i 13i i i z ++=-=-=--=-，所以z =故选：D 2．B【分析】根据交集和子集概念进行推导即可.【详解】因为A C C ⋂=，所以依据交集概念可知C A ⊆，故A 错，又因为B C D = ，所以D C ⊆且D B ⊆，所以D C A ⊆⊆，即D A ⊆，故B 正确，所以,A D D A B =≠∅ ，故C 、D 错.故选：B.3．C【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】存在量词命题：R,e 10x x x ∃∈--≤的否定是：R,e 10x x x ∀∈-->.故选：C 4．D【分析】首先根据向量数量积公式，求a b ⋅，再代入投影向量公式，即可求解.【详解】()22223a ba b a b +=++⋅=，由1a b == ，得12a b ⋅= ，所以向量a 在b 上的投影向量为212a b b b b⋅⋅= .故选：D 5．A【分析】根据抛物线上的点求抛物线方程，再根据焦半径公式，即可求解.【详解】由条件可知，2222p =⨯，则1p =，所以22y x =，所以点P 到焦点的距离1522222p d =+=+=.故选：A 6．B【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.【详解】因为sin cos αα-=所以()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22ααααααα-=+-=-=，所以33sin 2122ππ,Z ππ,Z 24k k k k αα∈α=-⇒=+⇒=+∈，所以tan 1α=-，故选：B 7．B【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果【详解】设原来4个数据依次为a 、b 、c 、d ，则24a b c d +++=，由方差为3，所以()()()()22221666634a b c d ⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，即()()()()2222666612a b c d -+-+-+-=，所以()()22221236412a b c d a b c d +++-++++⨯=，则2222121224364156a b c d +++=+⨯-⨯=，现加入数据8和10，则则其平均数为()()118102418766a b c d +++++=+=，则这6个数据的方差为()()()()()()222222177********a b c d ⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦()()2222221810148104966a b c d a b c d ⎡⎤=+++++-++++++⨯⎣⎦()()11566410014248104966⎡⎤=++-+++⨯⎣⎦133=故选：B 8．A【分析】由1010[2(12)(1)1]x x =+-+写出其通项公式，依题意对r 赋值即可求得2a .【详解】因1010[2(12)(1)1]x x =+-+，其二项展开式的通项为：10101011010=C [2(1)](1)(1)2C (1),0,1,,10r r r r r rr r T x x r ---++-=-+= ，而2a 是22(1)a x +的系数，故只需取8r =，得28229102C (1)180(1)T x x =+=+，即2180a =.故选：A.9．AC【分析】对于A ，由椭圆方程及离心率概念可得；对于B ，由椭圆定义122PF PF a +=可判断；对于C 、D ，由椭圆图形的结构特征和性质可得.【详解】对于A ，由椭圆方程得5,4a b ==，所以3c ==，所以离心率为35e =，故A 对；对于B ，由椭圆定义可知12210PF PF a +==，故B 错；对于C ，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P 位于椭圆上顶点或下顶点时，12PF F △面积取得最大，最大值为12122S c b bc =⨯⨯==，故C 对；对于D ，由椭圆性质可知1a c PF a c -≤≤+，所以1PF 的最小值为2，故D 错.故选：AC.10．AC【解析】先根据3a ，432a ，52a 成等差数列求出公比，结合531S =求出首项，结合选项可得.【详解】由3a ，432a ，52a 成等差数列，得43532a a a =+.设{}n a 的公比为q ，则22310q q -+=，解得12q =或1q =（舍去），所以155********a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得116a =.所以数列{}n a 的通项公式为15111622n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，5116121321212n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，故选：AC.11．BC【分析】根据百分位数定义判断A ；由二项分布方差计算公式判断B ；由条件概率公式和独立事件的定义判断C ；由分层抽样样本方差的计算公式判断D.【详解】对于A ，由于650%3⨯=，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为676.52+=，故A 错误；对于B ，由于1,2X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()()112144522D X D X n n +==⨯⨯⨯==，故B 正确；对于C ，若()()P AB P A =∣，根据条件概率公式则有()()()P AB P A P B =，变形可得()()()P AB P A P B =，则A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，分层抽样的平均数1001003371721651001001001002z =⨯+⨯=++，按分层抽样样本方差的计算公式，2221337337120172120165132.25222S ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=⨯+-++-=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭，故D 错误.故选：BC 12．3【分析】根据正态分布的对称性可得方程，求出3a =.【详解】X 近似服从正态分布()25,N σ，()()12P X a P X a ≤=≥+，故1252a a++=，解得3a =.故答案为：313．3【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，设母线长为l ，高为h .则π(15)30πl +⨯=，解得5l =.如图所示圆台的轴截面，在BED 中，||4,||5ED BD ==，由勾股定理得：圆台的高3h =.故答案为：3.14．83【分析】首先确定2,3X =，分别求出各自的概率，然后期望公式可求【详解】记检测次数为X ，则2,3X =当2X =时，检测的两件产品均为正品或为次品，则()222224A A 12A 3P X +===，当3X =时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则()11222224C C A 23A 3P X ===，所以()E X =12823333=⨯+⨯=，故答案为：8315．（1）π3C =；（2）2c =.【解析】（1）先利用正弦定理将边转化到角的正弦，结合()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+进行化简1cos 2C =，即求得角C ；（2）CBD △中利用余弦定理求得2b =，判断ABC 是等边三角形，即得到边c .【详解】解：（1）因为22cos a b c B -=⋅，由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B -=⋅，因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入上式得，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-=，即2sin cos sin 0B C B -=，即()sin 2cos 10B C -=因为ABC 中，sin 0B ≠，所以2cos 1C =，即1cos 2C =，又因为ABC 中，0C π<<，所以π3C =；（2）依题意，CBD △中，12,,2CB CD b BD ===π3C =，利用余弦定理可得，21114322422b b +-=⨯⨯⨯，即2440b b -+=，解得2b =，ABC 中，2b a ==，π3C =，故ABC 是等边三角形，故2c =.【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，通常利用正弦定理或余弦定理对边角关系进行转化，要有意识地已知条件判断用哪个定理更合适.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.16．(1) 9127y x =-+；37(2)即认为是否使用这款APP 与性别有关，此推断的错误概率不大于0.01【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论；（2）根据题给数据分析列联表求解得出结论【详解】（1）由表中的数据可知，1234512010510095803,10055x y ++++++++====，511120210531004955801410i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5531001500x y =⨯⨯=51521514101500955455i ii i i x yx ybx x==--===---∑∑ ，()100ˆˆ93127a y bx =-=--⨯=，不满意人数y 与月份x 之间的回归直线方程为 9127y x =-+，当10x =时， 91012737y =-⨯+=预测该小区10月份对这款App 不满意人数为37；（2）提出假设0H ：是否使用这款App 与性别无关，由表中的数据可得()2210048182212507.143 6.635604070307χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为是否使用这款APP 与性别有关，此推断的错误概率不大于0.0117．(1)证明见解析；(2)31313.【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得AO OD ⊥，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）由（1）的信息以O 为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，,3AB AC AB ⊥==，则160,2ACB OA BC ︒∠===由3,2AB AD DB ==，得1DB =，在DBO中，30,1,DBO DB OB ︒∠===由余弦定理222121cos301OD ︒=+-⨯=，得1OD =，2224OA OD AD +==，于是AO OD ⊥，由1A O ⊥平面,ABC OD ⊂平面ABC ，得1A O OD ⊥，而11,,AO AO O AO AO =⊂ 平面1AOA，因此OD ⊥平面1AOA ，又1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥，（2）由（1）知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为原点，直线1,,OA OD OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由1AA AO ==13A O =，则13(0,0,3),(,0)2A AB ，于是133,3),,0)22BA BA =-=- ，设(,,)m x y z = 为平面1ABA 的一个法向量，则3302302y z y -+=-=，取x =m = ，显然(0,1,0)n = 为平面1AOA 的一个法向量，因此cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=== 1B AA O --的大小为锐角，所以二面角1B AA O --的余弦值为31313.18．（Ⅰ）22154x y +=5-.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，b =2，c =1.所以，椭圆方程为22154x y +=.(Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P P y k x k-=-，在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-.由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±.所以，直线PB或【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19．(1)原点O 不存在“上位点”，理由见解析(2)点2M 的坐标为()0,0，点3M 的坐标为339,28k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，23m =-【分析】（1）先求得函数经过点O 的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可；（2）设点n M 的横坐标为n t ，n 为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得123n n t t k ++=，进而可得2M 、3M 的坐标；（3）由（2）123n n t t ++=，构造等比数列可得()12112n n n t --=+-⋅，由题意()n n d f t m =-，再根据导数与单调性的关系分析判断即可.【详解】（1）已知()313f x x =，则()2f x x '=，得()00f '=，故函数经过点O 的切线方程为0y =，其与函数()313f x x =图像无其他交点，所以原点O 不存在“上位点”.（2）设点n M 的横坐标为n t ，n 为正整数，则函数()y f x =图像在点1n M +处的切线方程为()()()111n n n y f t f t x t +++-=-'，代入其“上位点”()(),n n n M t f t ，得()()()()111n n n n n f t f t f t t t +++-=-'，化简得()()22211111123n n n n n n n n t t t t k t t t kt +++++++-+=-，即()()22211111336n n n n n n n n t t t t t k t t kt +++++++-=+-，故()()()11123n n n n n n t t t t k t t +++-+=-，因为1n n t t +≠，得123n n t t k ++=（*），又点1M 的坐标为()3,0k ，所以点2M 的坐标为()0,0，点3M 的坐标为339,28k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）将()3,0代入()y f x =，解得1k =，由（*）得，123n n t t ++=.即()11112n n t t +-=--，又13t =，故{}1n t -是以2为首项，12-为公比的等比数列，所以11122n n t -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即()12112n n n t --=+-⋅，()n n d f t m =-.令1n n u t =-，则22n n u -=严格减，因为()32333x x x '-=-，所以函数33y x x =-在区间()0,1上严格增.当23m =-时，()3133n n n d u u =-，于是当3n ≥时，{}n d 严格减，符合要求当23m ≠-时，()2233n n d f t m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为3n ≥时()()32213233n n n n n f t u u u -+=-<=，所以当22log 23n m >++时，()()3222133333n n n n d m f t m u u =+-+=+--，从而当22log 23n m >++时{}n d 严格增，不存在正整数T ，使得无穷数列T d ，1T d +，…，T n d +严格减.综上，23m =-.【点睛】方法点睛：（1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析；（2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式.。
江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题
江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题1．已知集合
{}{}
2R240,N10AxxxBxx
+=Î--<=Î<∣∣
，则AB=I（ ）
A．{}1B．{}1,2C．{}1,2,3D．{}
1,2,3,4
2．已知复数
z
满足2ii4zz-=+，则z=（ ）
A．3B．10C．4D．10
3．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若3612,33aa==，则17
S=（ ）
A．51B．34C．17D．14．已知()
21:ln10,:0,x
paqxa
x
+->$>£，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知抛物线
2:4Cxy=
的焦点为,FA是抛物线C在第一象限部分上一点，若
4AF=，则抛物线C在点A处的切线方程为（ ）A．330xy--=B．210xy--=
C．10xy--=D．
220xy--=
6．已知
1
225log5,log2,eabc===
，则（ ）
A．cab<．
acb<<
C．abc<．
bca<<
试卷第11页，共33页7．已知函数()
][
1
sin,2,11,2fxxx
x
æöéù=-Î--È
ç÷ëû
èø
，则下列结论中错误的是（ ）
A．()
fx
是奇函数B．
max()1fx=
C．()fx在[]2,1--上递增D．()
fx
在[]1,2上递增
8．木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我
们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点1C和棱
1AA的中点M处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以BD为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V=（ ）
A．4B．163C．6D．
20
3
二、多选题9．已知空间中两条不同的直线
西城区2024届高三二模数学试题答案
2024.5 第1页（共6页）西 城 区 高 三 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）D （ 2 ）B （ 3 ）C （ 4 ）B （ 5 ）A（ 6 ）C（ 7 ）D（ 8 ）C（ 9 ）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）1[,)3+∞（12）22(1)4−+=x y （13）2 π3−（14）1−（答案不唯一） 2−（15）② ③三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）2()2cos 2=+xf x xcos 1=++x xπ2sin()16=++x ．………2分由()()=f A f B ，得ππsin()sin()66+=+A B ．在ABC △中，因为,(0,π)∈A B ， 所以ππ7πππ7π(,),(,)666666+∈+∈A B ． ………4分又≠a b ，所以≠A B ．所以ππ()()π66+++=A B ，即2π3+=A B ．………5分 所以π3∠=C ．………6分2024.5 第2页（共6页）（Ⅱ）因为ABC △的面积为1sin 2==ABC S ab C △………7分 所以8=ab ．………8分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+−，………9分即22π252cos3a b ab =+−⋅． 整理得2225+−=a b ab ．………10分所以2()25349+=+=a b ab ． 所以7+=a b ．………12分 故ABC △的周长为12++=a b c ．………13分（17）（共14分） 解：选条件②：EM AD ⊥． （Ⅰ）连接1CD ．………1分在正方体1111−ABCD A B C D 中，因为BC ⊥平面11CDD C ， 所以1BC CD ⊥．………3分因为EM AD ⊥，//AD BC ， 所以EM BC ⊥． 所以1//EM CD ． ………4分因为E 为BC 的中点， 所以M 为1BD 的中点． ………5分 选择条件 ③：//EM 平面11CDD C ． （Ⅰ）连接1CD ．………1分因为//EM 平面11CDD C ，EM ⊂平面1BCD ，平面1BCD 平面111=CDD C CD ． 所以1//EM CD ．………4分因为E 为BC 的中点， 所以M 为1BD 的中点．………5分（Ⅱ）在正方体1111−ABCD A B C D 中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系−D x yz ．………6分则(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，(1,2,0)E ，(1,1,1)M ．所以(,,)020=DC uuu r ，(,,)111=DM uuu u r ，(,,)011=−EM uuu r．2024.5 第3页（共6页）设平面MCD 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,=⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅DC DM uuu r uuu u rm m 即0,0.=⎧⎨++=⎩y x y z 令1=x ，则1=−z ．于是(1,0,1)=−m ． ………9分设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则|1cos ,sin ||2||||=〈〉==⋅EM EM EM θuuu ruuu r uuu r m |m m ． ………11分 所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30． ………12分 点E 到平面MCD的距离为||sin ==d EM θ．………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年， 2018年，共4年．………2分 所以4(A)9=P ．………3分 （Ⅱ）因为18.7a =，15.4b =，………4分所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2． 所以Z 的所有可能的取值为2,3,4．………5分2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ． ………8分故Z 的数学期望18210234151553EZ =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）2018年和2019年．………13分2024.5 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）2()4cos 2(1)'=++f x a x a x ．………2分 由题设，(0)0'=f ，解得0=a ．………3分当0=a 时，2()=f x x ．()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，适合题意．所以0=a ． ………4分（Ⅱ）当1=a 时，2()4sin 2=+f x x x ．()4cos 44(cos )'=+=+f x x x x x ．………6分因为ππ2≤≤x ，所以1cos 0−≤≤x ，()4(cos )0'=+>f x x x ．所以()f x 在区间π[,π]2上单调递增．………8分 所以()f x 的最大值为2(π)2π=f ．………9分（Ⅲ）2()4cos 2(1)'=++f x a x a x ．当0=a 时，2()=f x x ．此时()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 恰有一个极值点．………10分当0>a 时，设()()'=g x f x ．则221()4sin 2(1)4(sin )2+'=−++=−−a g x a x a a x a．因为2111222+=+≥a a a a，且sin 1≤x ，所以()0'≥g x ，即()g x 在(,)−∞+∞上单调递增． ………12分因为2π()(1)π02−=−+<g a ，(0)40=>g a ，所以存在0π(,0)2∈−x ，使00()()0'==g x f x ．所以()f x 在0(,)−∞x 上单调递减，在0(,)+∞x 上单调递增． 所以()f x 恰有一个极值点．综上，当0≥a 时，()f x 有且只有一个极值点．………15分2024.5 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,2.=⎧⎪=⎨⎪−=⎩a c a b c………3分解得224,2==a b ．所以椭圆E 的方程为22142+=x y ．………4分 （Ⅱ）设(,)P m n ，则(0,)Q n ，(,)−−A m n ．………5分 其中2224m n +=，0,0>>m n ．………6分 直线DP 的方程为(2)2n y x m =−−，所以2(0,)2−−nC m ．………7分直线DQ 的方程为(2)2=−−ny x ．由22(2),224,⎧=−−⎪⎨⎪+=⎩n y x x y 得2222(2)4480+−+−=n x n x n ． ………8分设(,)B B B x y ，所以22482B D n x x n −=+．………9分解得22242B n x n −=+．由24(2)22B B n n y x n =−−=+，得222244(,)22n nB n n −++．………10分由题意，点,A B 均不在y 轴上，所以直线,AC BC 的斜率均存在，且222242222242AC BCn n nn m n m k k n mn −++−+−−=−−+………11分2222244(2)2(2)(2)(24)(2)[(4)(24)2(22)](2)(24)−−++=−−−−=−−−+−−−mn n n m n n m m n m nm n m n m m m n2224(24)(2)(24)−=+−−−nn m m m n 0=． ………14分 所以,,A B C 三点共线．………15分2024.5 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）当4=n 时，A 共有42115−=个子列，………1分 其中具有性质P 的子列有432110+++=个，………2分 故不具有性质P 的子列有5个，………3分所以A 的具有性质P 的子列个数大于不具有性质P 的子列个数． ………4分 （Ⅱ）（ⅰ）若12,,,:k i i i a a a B L 是A 的()2≤nk k 项子列，则12:1,1,,1+−+−+−'k i i i n a n a n a B L 也是A 的()2≤nk k 项子列． ………5分所以11(1)(1)()()==++−=+'+=∑∑j j kki i j j a n a k n T B T B ．………7分因为给定正整数2≤nk ，A 有C k n 个k 项子列，所以所有()T B 的算术平均值为11(1)C (1)C 22+⋅⋅+=k n k n k n k n ． ………9分（ⅱ）设(1,2,,)=k B k m L 的首项为k x ，末项为k y ，记0max{}k k x x =． 若存在1,2,,=j m L ，使0j k y x <，则j B 与0k B 没有公共项，与已知矛盾． 所以，对任意1,2,,=j m L ，都有0j k x y ≥．………10分因为对于1,2,,=k m L ，0{1,2,,}k k x x ∈L ，00{,1,,}k k k y x x n ∈+L ， 所以共有00(1)k k x n x +−种不同的情况． 因为12,,,m B B B L 互不相同，所以对于不同的子列,i j B B ，i j x x =与i j y y =中至多一个等式成立． 所以00(1)k k x n x m +−≥．………13分① 当n 是奇数时，取1{1,2,,}2+∈k n x L ，13{,,,}22k n n y n ++∈L ， 共有211(1)(1)224+++⋅+−=n n n n 个满足条件的子列． ………14分② 当n 是偶数时，取{1,2,,}2∈k nx L ，{,1,,}22∈+k n n y n L ，共有22(1)224+⋅+−=n n n nn 个满足条件的子列．………15分综上，n 为奇数时，m 的最大值为2(1)4+n ；n 为偶数时，m 的最大值为224+n n ．。
高三数学期末模拟测试题(一)
高三数学期末模拟测试题（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若{}0=⋂Q P ，=⋃Q P （ ）A ．{}0,3B ．{}2,0,3C ．{}1,0,3D ．{}2,1,0,32．已知p ：,20<<x q :11≥x,则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a 、b 满足 A ．1=+b a B ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a4．为了得到函数)322s i n (π+=x y 的图像，只需把函数)62s i n (π+=x y 的图像 （ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度5．已知等比数列{}n a 中，21=a ，且有27644a a a =，则=3a（ ） A ．1 B ．2 C ．41D ．21 6．函数x x x f cos )(-=在［0，+∞）内（ ）A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出一列四个命题： ①若,α⊥m α//n ，则n m ⊥；②若βα//，γβ//，,α⊥m 则γ⊥m ； ③若,//αm α//n ，则n m //； ④若γα⊥，γβ⊥，则βα//． 其中正确．．命题的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④8．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆（如右图），则这个几何体的表面积为 （ ） A ．12+π B ．7π C ．π8 D ．π20 9．若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1）内不是．．单调函数，则实数K 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞B ．)2,23[C ．［1，2）D ．［1，23） 10．函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间（23,2ππ）内的图象是（ ）11．若数列{}n a 中，,,10987,654,32,14321⋯+++=++=+==a a a a 则=10a （ ）A ．1540B ．500C ．505D ．51012．若定义在R 上的二次函数b ax ax x f +-=4)(2在区间［0，2］上是增函数，且)0()(f m f ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．40≤≤mB ．20≤≤mC ．0≤mD ．0≤m 或4≥m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
山东省日照市五莲县院西中学高三模拟测试(一)数学试题(理)
山东省日照市五莲县院西中学高三模拟测试（一）数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
） 1．若集合},0|{},1|1||{<=>-=x x N x x M 那么（ ）A ．M∩N=MB ．M NC ．N MD ．M ∪N=N2．函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 （A ）（0，1）（B ）（1，10） （C ）（10，100） （D ）（100，+∞）3．若,0>>b a 则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a b b a 11+>+B ．a b b a 11->-C ．11++>a b a bD ．ba b a b a >++224．“a+b =2”是“直线x+y =0与圆2)()(22=-+-b y a x 相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．如图所示算法中，令),45(,cos ,sin ,tan ππθθθθ--∈===c b a ，则输出结果为 （ ）A ．tanθB ．sinθC ．cosθD ．|cosθ|6．若双曲线14922=-y x 的两条渐近线恰好是抛物线312+=ax y 的两条切线，则a 的值为 （ ）A ．43 B ．31 C ．278 D ．35 7．若函数y =f （x ）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线3π=x 对称；（3）在区间]3,6[ππ-上是增函数，则y =f （x ）的解析式可以是A ．)62sin(π+=x yB ．)32cos(π+=x yC ．)62sin(π-=x yD ．)62cos(π-=x y8．已知d cx bx x x f +++=23)(在区间[－1，2]上是减函数，那么b+c （ ）A ．有最大值215 B ．有最大值－215 C ．有最小值215 D ．有最小值－2159．数列{a n }满足200711,52,121,12210,2a a a a a a a n n n n n 则若=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+=（ ） A ．51B ．52 C ．53 D ．5410．如图在四面体ABCD 中，AD ⊥DC ，BC ⊥CD ，若CD=4，且异面直线AB 与CD 成的角是45°，则AB=（ ）A ．24B ．22C ．23D ．211．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆BCA y x sin sin sin ,192522+=+则上等于（ ）A ．54B ．25 C ．45 D ．35 12．如图，三棱锥P —ABC 的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2CM ，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N —AMC 的体积V 与x 变化关系（x ∈])3,0(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题4分，共16分）13．ABC ∆中，M 是BC 的中点，O 是AM 上一动点，若|AM|=6，则)(+⋅的最大值为 .14．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足1)()2(=⋅+x f x f 对于x ∈R 恒成立，且DABCA OBMC P N)119(,0)(f x f 则>= .15．在技术工程中，场常用到双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2xx e e chx -+=，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+成立.而关于双曲正、余弦函数满足shxshy chxchy y x ch -=+)(，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式 .16．在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始沿箭头所示的数组成一个锯齿形的数列1，3，3，4，6，5，10……设数列的前n 项为S n ，则S 17= .三、解答题（本大题共6小题，满分74分.） 17．（本小题满分12分）已知向量)0,2(//)1,(sin ),1,32(cos πααα-∈=--=且 （1）求ααcos sin -的值； （2）求αααtan 12cos 2sin 1+++的值.18．（本小题满分12分）观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为(2,N )n a n n *≥∈， （1）依次写出第六行的所有6个数字；（2）归纳出1n n a a +与的关系式并求出n a 的通项公式； （3）设1,n n a b =求证：232n b b b +++<19．（本小题满分12分）已知ax x x f a +-=>)2ln()(,0函数（1）函数y=f （x ）在点1)1())1(,1(22=++y x l l f 与圆，若处的切线为相切，求a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间.20．（本小题满分12分）直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示，D 、E 分别为棱CC 1和B 1C 1的中点。
四川省绵阳2025届高三上学期二诊模拟测试数学试题(含答案)
绵阳高 2022 级高三上期二诊模拟测试数学试题
一、单选题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.)
1、在复平面内,向量 AB 对应的复数为 -1+3i ,向量 BC 对应的复数为 -2+i ,则向量 AC 对应的复数为( )
A. 1+2i B. -1-2i C. -3-4i D. -3+4i
2、下列四个条件中,使 a>b 成立的充要条件是 ( )A. ln(a-b)>0 B. |a|>b C. a2>b2 D. 2a>2
b
3、已知直线 2x+3my-2=0 与直线 2mx-5(m+1)y+1=0 互相垂直,则 m 为( )A. -1115 B. -1115 或 0 C. 114 D. 114 或 04、空间中有两个不同的平面 α,β 和两条不同的直线 m,n ,则下列说法中正确的是 ( )A. 若 α
∥β,m∥α,m∥n ,则 n∥β
B. m,n 为异面直线且 m
⊂α,n⊂β,α∩β=l ,则 l 与 m,n 中至少一条相交
C. 若 α∩β=m、n 与 α、β 所成的角相等,则 m
⊥n
D. 若 α
⊥β,m⊥α、m⊥n ,则 n⊥β
5、已知圆锥的母线长度为 4 ,一个质点从圆锥的底面圆上一点出发,绕着圆锥侧面运动一周,再回到出发点的最短距离为 42 ,则此圆锥的体积为 ( )
A. 15π3 B. 43π3 C. 83π3 D. 106π3
6、已知圆 C:
x
2+(y-1)2=4 ,直线 l:x+y+m=0 ,点 P 为直线 l 上的动点. 过点 P 作圆 C 的两条切
线,切点分别为 M,N . 若使得四边形 PMCN 为正方形的点 P 有且只有一个,则实数 m 的值为 ( )
A. -3 或 -5 B. -3 或 5 C. 3 或 -5 D. 3 或 5
7、已知椭圆 C:
x2a2+y2
b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 C 上一点, O 为原点,若
2024-2025学年上海市崇明区高三上学期第一次模拟考试数学检测试题(含答案)
2024-2025学年上海市崇明区高三上学期第一次模拟考试数学检测试题考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合，则．{}{1,2,3,4,5,A B x x ==>∣A B = 2．不等式的解为 ．1021x x -<+3．若复数满足，其中是虚数单位，则 ．z 21i z z +=+i z =4．的二项展开式中的系数为．7(1)x -3x 5．双曲线的渐近线方程是 ．2214y x -=6．已知为正实数，且满足，则的最大值是 ．,x y 440x y +=x y ⋅7．已知，如果，则实数的值为 ．(1,2),(2,)a b k == a b∥k 8．已知关于的方程的解 ．21,1,()1, 1.xx f x x x ⎧->⎪=⎨-⎪⎩≤x ()2f x =x =9．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是．(1,2,3)xOy 10．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位10,,10,8x 数和平均数相等，那么．x =11．已知，若函数在区间上有且仅有3个()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭()y f x =[0,2]π零点和1个极小值点，则的取值范围是．ω12．已知函数的定义域，值域，则函数为增函()y f x ={1,2,3,4}D ={5,6,7}A =()y f x =数的概率是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是A ．B ．C ．D ．3y x =e xy =lg y x =sin y x=14．已知直线和平面，则“垂直于平面内的两条直线”是“”的l αl αl α⊥A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点x 数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件y (),x y :8E x y +=：至少有一颗点数为6；事件；事件．则下列说法正确的是F :4G x >:4H y <A ．事件E 与事件F 为互斥事件B ．事件F 与事件G 为互斥事件C ．事件E 与事件G 相互独立D ．事件G 与事件H 相互独立16．已知无穷数列，若存在数列满足对任意正整数n ，都{}n a {}n b 有，则称数列是的交错数列．有下列两个命题：①对任11()()0n n n n a b a b ++--<{}n b {}n a 意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任{}n a {}n b {}n b {}n a 意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列．下列结论{}n a {}n b {}n b {}n a 正确的是A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在直三棱柱中，E 、F 分别为、BC 的中点，111ABC A B C -11A C ，12AA AB BC ===．1C F AB ⊥（1）求证：平面ABE ；1C F ∥（2）求点到平面的距离．C ABE 18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）ABCF E A 1B 1C 1在中，已知点D 是BC 边上一点，且，．ABC △1BD =3CD =（1）若，且，求AD 的长；AD BC ⊥2ABD ACD ∠=∠（2）若，，求AD 的长（结果精确到0.01）．55ABD ∠=︒32ACD ∠=︒19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第[90,100]五组的频率相同．（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行[80,90)[90,100]优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内[90,100]的概率；（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与22:143y x Γ+=1F 2F 2F l 椭圆交于A 、B 两点．（1）若直线平行于轴，求线段AB 的长；lx (分)（2）若点A 在y 轴左侧，且，求直线l 的方程；1294F A F A ⋅= （3）已知椭圆上的点C 满足，是否存在直线l 使得的重心在x 轴上？CA CB =ABC △若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）定义：若曲线和曲线有公共点P ，且曲线在点P 处的切线与曲线在点P 处1C 2C 1C 2C 的切线重合，则称与在点P 处“一线切”．1C 2C （1）已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a 的值；222()(0)x a y r r -+=>2y x =(1,1)（2）设，，若曲线与曲线在点P 处“一线2(2)f x x x a =++)ln ()(1g x x =+()y f x =()y g x =切”，求实数a 的值；（3）定义在R 上的函数的图像为连续曲线，函数的导函数为，()y f x =()y f x =()y f x '=对任意的，都有成立．是否存在点P 使得曲线和x ∈R ()()(),f x f x f x ⎧<⎪'⎪⎨⎩≥()sin y f x x =曲线在点P 处“一线切”？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．1y =答案及评分标准（高中数学）一、填空题1. ；2. ；3. ；4. 35；5. ；6. 100；{3,4,5}1(,1)2-1i 3+2y x =±7. 4； 8. ； 9. ； 10. 8或12； 11. 12..12.2log 3(1,2,3)-175[,123112二、选择题13. A ； 14. B ； 15. D ； 16. C.三、解答题17. （1）解 取中点，连接，则.AB G FG 12FG AC =∥...............................................................2分又，所以，...........................................................................4分112C E AC =∥1FG C E ∥所以四边形是平行四边形，所以，................................................5分1FGEC 1C F EG ∥又在平面内，不在平面内，所以平面；.................7分EG ABE 1C F ABE 1C F ∥ABE （2）取中点，连接、，则平面，所以，AC H EH BHEH ⊥ABC EH BH ⊥由题意，所以，................................2分EB =EA =2AB =ABC S =△因为平面，，由三垂线定理得，所以，.....4分1C C ⊥ABC 1C F AB ⊥CB AB ⊥2ABC S =△设点到平面的距离为，C ABE h 由得C ABE E ABC V V --=1133ABE ABCS hS EH⋅=⋅△△所以到平面分h =C ABE 18. 解 （1）因为，所以，，AD BC ⊥tan 1AD ABD ∠=tan 3ADACD ∠=又，所以............................4分2ABD ACD ∠=∠22tan tan 1tan ACDABD ACD∠∠=-∠即，解得 (6)分2231()3ADAD AD ⨯=-AD =（2）在中，由正弦定理得，ABC △sin sin BC ACBAC ABC=∠∠所以，........................4分sin 3.281sin BC ABCAC BAC⋅∠=≈∠在中，由余弦定理得ACD △ (8)分1.75AD =≈19. 解 （1）由题意得解得10100.3,10(0.0450.020)0.7a b a +=⎧⎨++=⎩0.005,0.025.a b =⎧⎨=⎩所以平均数等于............4分550.05650.25750.45850.2950.0574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意，内有8人，内有2人[80,90)[90,100]所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率[90,100]为............4分2821017145C C -=20. 解 （1）由题意，、，所以直线的方程是，1(0,1)F -2(1,0)F l 1y =代入中，得，所以..............................................4分22143y x +=32x =±||3AB =（2）设，则000(,)(0)A x y x <100200(,1),(,1)F A x y F A x y =+=-所以，2120009(1)(1)4F A F A x y y ⋅=++-= 又，所以所以点坐标是或......................4分2200143y x +=003,21.x y ⎧=-⎪⎨⎪=±⎩A 3(,1)2-3(,1)2--所以直线的方程是或..............................................6分l 1y =413y x =+（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入中，得l l 1y kx =+22143y x +=2(34)690k kx ++-=设、、11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)C x y 则，所以中点122634k x x k -+=+AB2234(,)3434k M k k -++又的重心在轴上，所以ABC △x 1230y y y ++=即，故.................4分123()20k x x y +++=32834y k =-+因为，所以CA CB =MC AB⊥所以3312122234(,)(,)3434k MC AB x y x x y y k k ⋅=+-⋅--++33122234(,()(1,)03434k x y x x k k k =+-⋅-=++因为，所以，所以120x x -≠32934k x k =+2298(,)3434k C k k -++因为点在椭圆上，所以，解得或.........6分C 2222()(18934334)4k k k -+++=0k =k =当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶l l 0x =A B C 点，满足题意.综上所述，存在直线l 使得的重心在轴上，ABC △x 其方程为：或或..............................................8分1y x =+1y =0x =21. 解 （1），所以曲线在点处的切线方程为，'2y x =2y x =(1,1)12(1)y x -=-即，210x y --=因为圆与曲线在点处“一线切”，222()(0)x a y r r -+=>2y x =(1,1)所以直线与圆在点处相切210x y --=222()(0)x a y r r -+=>(1,1)所以所以 (4)分22(1)1,.a r r ⎧-+==3a =（2）设，，00(,)P x y '()22f x x =+1'()1g x x =+由题意，，所以0000()()'()'()f x g x f x g x =⎧⎨=⎩0002002221ln()11x x x x a x ⎧=+⎪++⎪⎨=+⎩+解得....................................6分11ln 222a =-（3）假设存在满足题意，0(,1)P x 则有，对函数求导得：，00()sin 1f x x =()sin y f x x =()sin ()cos y f x x f x x ''=+于是，即，0000()sin ()cos 0f x x f x x '+=0000()sin ()cos f x x f x x '=-平方得，222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x '==-即有，因此，2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x '+=2200201[()]1[()][()]f x f x f x '⋅+=整理得，而恒有成立，则有224000[()][()][()]f x f x f x '+=()()f x f x '≥，2200[()][()]f x f x '≥从而，显然，于是，即4200[()]2[()]f x f x ≥0()0f x ≠20[()]2f x ≥0|()|f x ≥()f x <所以假设不成立，即不存在点满足条件.....................................8分P。
重庆市部分学校2024-2025学年高三模拟调研卷(一)数学试题
2025 年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷数学(一)数学测试卷共 4 页, 满分 150 分。
考试时间 120 分钟。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i为虚数单位,若z=12−5i ,则复数z的模为A. 13B. 12C. 5D. 132. 已知命题p:∃x∈R,|x+1|+|x−1|≤a ,若¬p是假命题,则a的取值范围是A. a≥0B. a≥2C. a>2D. 0<a<23. 已知向量a,b满足|a|cos⟨a,b⟩=−3 ,且b⊥(2a+3b) ,则|b|=A. 1B. 2C. 3D. 44. 国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试. 从 2000 年开始, 每 3 年进行一次测试评估. 在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分, 赋分范围是 40 至 100 分, 如图是 2024 年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图. 据图中数据, 下面说法正确的是A. 该地学生成绩的中位数一定大于 75B. 该地学生成绩的众数介于 70 至 80 之间C. 该地学生成绩的极差介于 40 至 60 之间D. 该地学生成绩没有超过 60 分学生所占比例为30%5. 已知直线 l :x +y =0 和曲线 C :f (x ,y )=0 ,若点 P (x ′,y ′) 是曲线 C 关于直线 l 的对称曲线 C ′ 的任意点,则点 P (x ′,y ′) 满足A. f (x ′,y ′)=0B. f (−x ′,−y ′)=0C. f (y ′,x ′)=0D. f (−y ′,−x ′)=06. 若关于 x 的方程 a sin π2x =−2x −x 2−2a 有且仅有一个实数根,则 a =A. -2B. -1C. 1D. 27. 正三棱台 A 1B 1C 1−ABC 三侧棱的延长线交于点 P ,如果 PA 1:PA =1:3 ,三棱台 A 1B 1C 1−ABC 的体积为 132 , △ABC 的面积为 93 ,那么侧棱 A 1A 与底面所成角的正切值为A. 3B. 2C. 334 D. 3248. 已知函数 f (x )={|log 2x |,0<x <2,22−x ,x ≥2.若 0<x 1<x 2<x 3,f (x 1)=f (x 2)=f (x 3) ,则当 x 2−x 1=1 时, 2x 3=A. log 5+1216 B. log 5+116 C. 2 D. log 5−116二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
江苏省如皋市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析
江苏省如皋市2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20B ．24C ．25D ．263．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅4．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．156．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或627．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．8．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1009．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．211．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+π B ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π12．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．578二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届河南省八市·学评高三数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2025届河南省八市·学评高三数学第一学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-4．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．45．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．016．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．57．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-8．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．72411．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3 B ．13- C ．12-D ．1-12．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三模拟测试数学试题 本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时刻120分钟。 第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合}|{}2|{2RxxyyBRxyyAx则 （ ） A．}4,2{BA B．}16,4{BA C．A=B D．BA
2．函数))(1()1(Rxxfyxfy和的图象 （ ） A．关于直线y=0对称 B．关于直线x=0对称 C．关于直线y=1对称 D．关于直线x=1对称 3．△ABC中，若2cosASinB=SinC，则△ABC的形状一定是 （ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．下面的四个命题 （ ）
①||||||baba ②222)(baba ③若cabacba则)( ④若||||0bababa则 其中真命题是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 5．点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是 （ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 6．（理）设复数2+3i的幅角主值为θ，则6－4i的幅角主值为 （ ）
A．23 B．2 C．23 D．－θ 6．（文）抛物线y2=p（x+1）的准线方程为x=－3，该抛物线的焦点坐标是 （ ） A．（1，0） B．（2，0） C．（－1，0） D．（－2，0）
7．Sn表示等差数列{an}的前n项和，若,3184SS则168SS等于 （ ）
A．31 B．103 C．91 D．81 8．把直线x+y－1=0沿y轴正方向平移1个单位再关于原点对称后，所得直线的方程是（ ） A．x+y+2=0 B．x－y－2=0 C．x+y－2=0 D．x－y+2=0 9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是 （ ）
A． B． C． D． 10．若函数y=f(x)的图象和)4(xSiny的图象关于直线4x对称，则f（x）的表达式为 （ ） A．)4(xCos B．)4(xCos C．)4(xCos D．)4(xCos
11．从如图放置的球体容器顶部的一个孔向球内以相 同的速度注水，容器中水面的高度h与注水时刻t 之间的关系用图象表示应为
12．假如一个三位正整数a1a2a3满足a1374等），那么所有凸数的个数是 （ ） A．240 B．285 C．729 D．920 第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把答案直截了当写在横线上） 13．若a>b>0，且,bambma则m的取值范畴是 .
14．若nxx)213(32展开式中含有常数项，则n的最小值是 . 15．球面上有四点P、A、B、C，假如PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，那么球的表 面积是 16．已知F为抛物线y2=2ax的焦点，P为此抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题： ①△FOP为等边三角形 ②△FOP为等腰直角三角形 ③△FOP为直角三角形 ④△FOP为等腰三角形 其中一定不正确．．．的命题的序号是 . 三、解答题（本大题6个小题，共74分，解承诺写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人独立参加入学考试合格的概率分别为52,21,32 求：（1）三人中恰有两人合格的概率; （2）（理科做）合格人数ξ的数学期望. （文科做）三人中至少有一人合格的概率. 18．（本小题满分12分） 设Rxxxa12 解不等式|4|log|2|logxxaa. 19．（本小题满分12分） 如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC AA1，AB的中点. ①求证：B1C1//平面EFG; ②（理科做）求FG与AC1所成的角; ③（文理科都做）求三棱锥B1——EFG的体积. 20．（本小题满分12分） 某自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨水，同时蓄
水池又向居民小区不间断地供水，t小时内供水总量为120t6吨（0≤t≤24） （1）从供水开始到第几小时，蓄水池中的水量最少？最少水量有多少吨？ （2）若蓄水池中水量少于80吨就会显现供水紧张现象.试问：在一天的24小时内，有 几个小时会显现供水紧张现象？
21．（本小题满分12分） 设抛物线y=4－x2与直线y=3x的交点为A、B，点M在抛物线的AB弧上运动，设 S△MBA达到最大值时，点M的坐标为（p，h）. （1）求过点（p，h）的切线方程; （2）（理科做）证明：直线AB与抛物线y=4－x2所围成的图形面积被x=p平分. （文科做）证明：若与直线AB平行的直线截抛物线y=4－x2的弦为CD，则CD被直线x=p平分.
22．（本小题满分14分） 已知等比数列{an}中，45,106431aaaa （1）求数列{an}的通项公式; （2）求2221lglglglimnaaannnn;
（3）设Sn是等比数列{an}的前n项的和，是否存在如此的自然数n，使831272aSn成立，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
高三年级模拟测试 数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题 1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.B 11.A 12.A 二、填空题 13.－b三、解答题 17.（文）（1）用A、B、C分别表示甲、乙、丙入学考试合格，由题意知，事件A、B、C相互独立，三个
中恰有两人合格包括三种情形：BCA、CBA、CAB，这三者间彼此互斥，故
52)()()()()()()()()()()()(CPB
PAPCPBPAPCPBPAPCABPCBAPBCAP
（2）109)521)(211)(321(1)(1ABCPP （理）（1）参考文科 （2）考试合格人数的分布列为
30471523522301111010E
18.解： （1）当00 x－4<0 ……3分 故不等式可化简为x+2<4－x解得x<1 ……4分 又－1（2）当a>1时，即x<－1或x>0 则当x≠－2且x≠4时……8分 不等式可变为|x+2|>|x－4| 两边平方解得：x>1 ……10分 故现在不等式解为x>1且x≠4时…11分 综上（1）（2）原不等式解集为：（－1，0）∪（1，4）∪（4，+∞）……（12分） 19. ①证明：∵E、G分别为AC、AB中点 ∴EG//BC//B1C1 即B1C1//EG ……（2分） 而B1C1平面EFG EG平面EFG ∴B1C1//平面EFG……（4分）
ξ 0 1 2 3
P 10
1
3011
52 152
……（6分） ……（12分）
……（10分） ……（12分） ②BC⊥平面AA1C1C A1B在平面AA1C1C的射影为A1C……（6分） 11ACCA
11
11
//ACFGBAFG
ACBA即FG与AC1所成的角为90。……（7分）
③连AC1交EF于H 12122122343)8)(10(111111BCGECAEFACHCEGFACEFACEGAC分文分理面
212212233131111EFGEFGCEFGBSHCVV……（12分）
20.解：设t小时后蓄水池中的量为y吨，则)240(612060400ttty……（2分） 令)4(40)6(10,62分则xyxt 当x=6 即t=6时，ymin=40 故从供水开始到第6小时的时候，蓄水池中水量最少，只有40吨……（6分） （2）由400+10x2－120x<80)8(84分x即 33238864tt…（10分）
8383
32在一天的24小时内，有8个小时供水紧张……（12分）
21.解（1）由xyxy342 解得 x=－4 x=1……2分 AB长度确定，要使S△MAB最大，只需M到直线AB的距离最大，则M（x，y）到直线AB的距离1410|425)23(|10|43|10|3|22xxxxyxd 当23x时，d达到最大……（4分）即p=)47,23(4723Mh
3)23(2|223xyxy 故过点M)47,23( 的切线方程为：)23(347xy即12x－4y+25=0…（6分） （2 文科）证明 设与AB平行的直线截抛物线的弦CD所在直线 的方程为：y=3x+b 由0434322bxxxybxy得…（文8分）
4250b 321xx 则CD中点的横坐标为23 即CD被直线23x平分…（文12分）
（2 理科）证明：直线AB与抛物线所围成的图形的面积为： 1414232
6125613944)2436416()23314(|)2334()34(xxxdxxx
…
（理10分）而12312323212125)827896()23314(|)2334()34(xxxdxxx
可见，直线AB与抛物线所围成的图形的面积被23x平分……（理12分） 22.（1）由题设45)1(10)1(4510231215131211qqaqaqaqaqaa
解得4113)21()21(88,21,81nnnaaqq……（4分）