江苏省常州市第二中学高二数学必修5解三角形教案 苏教版

江苏省常州市第二中学高二数学必修5解三角形教案

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课 题：正弦定理（两课时） 教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理

⑵能应用解斜三角形，解决实际问题。 教学过程：

一、 引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已

知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？ （创设情景）早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里，你能设计一种近似的测量方法吗？

——提出课题：正弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即

A a s i n =

B b sin =C

c

sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=c

b

， sinC=1 即 c=

A a sin ， c=

B b sin ， c=C

c

sin ． ∴

A a sin =

B b sin =C

c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21

sin 21sin 21==

两边同除以abc 2

1即得：A a sin =B b sin =C c

sin

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴R CD D

a A a 2sin sin === 同理

B b sin =2R ，C

c

sin ＝2R 证明三：（向量法）

过A 作单位向量垂直于 由 AC +CB =AB

两边同乘以单位向量 得 ?(+)=? 则j ?AC +j ?CB =j ?AB

∴|j |?|AC |cos90?+|j |?|CB |cos(90?-C)=|j |?|AB |cos(90?-

A)

∴A c C a sin sin = ∴

A a sin =C

c

sin 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：

C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C

c

sin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:

???

??

?

?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )

( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a

已知边a,b 和∠A

有两个解

仅有一个解无解

CH=bsinA

⑵若A 为直角或钝角时:???>≤)

( b a 锐角一解无解b a

三、讲解范例：

例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100

===? 解：0

30,45,10===C A c ∴0

105)(180=+-=C A B

由C c

A a sin sin =得 21030

sin 45sin 10sin sin 0

0=?==C A c a 由

C

c

B b sin sin =

得 25654262075sin 2030

sin 105sin 10sin sin 00

0+=+?==?==C B c b 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===

?

解：∵213

60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b

00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，

∴222=+=

c b a

例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===

?

解：2

3

245sin 6sin sin ,sin sin 0=

?=

=∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

1360

sin 75sin 6sin sin ,75600

+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200

-=====∴C B c b B C 时，当

或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b

例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为

DBC

DC

BDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin =

=，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：

ABD

ADB

AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin =

=即 在△BCD 内，利用正弦定理得：

.sin sin ,sin sin DBC

BDC

DC BC DBC DC BDC BC ==即

∵BD 是B 的平分线.

∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC . ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°

∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC

∴CD BC

DBC BDC ABD ADB AD AB

=

==sin sin sin sin ∴DC

AD

BC

AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用. 四、课堂练习： 1.在△ABC 中，

k C

c

B b A a ===sin sin sin ,则k 为( )

A.2R

B.R

C.4R

D.

R 2

1

(R 为△ABC 外接圆半径) 2.△ABC 中，sin 2

A =sin 2

B +sin 2

C ，则△ABC 为( )

A.直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形 3．在△ABC 中，求证：

2

2221

12cos 2cos b a b B a A -

=- 参考答案：1.A ，2.A 3.

B b A a sin sin =?b B a A sin sin =?2

2)sin ()sin (b

B a A = ?2222sin sin b B a A =?2

22cos 12cos 1b

B

a A -=- ?

2

2221

12cos 2cos b

a b B a A -=- 五、小结 正弦定理，两种应用（重点：判断解的情况，利用三角形的边与角的关系，判断三角形形状）

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区作出任意三角形ABC 。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”→“长度”菜单命令，度量3条边的长度值，度量值显示在操作区里，

第2步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点A 、点B 和点C ，依次单击“度量”→“角度”菜单命令，角ABC 的度量值出现在操作区。同样方法，度量角BCA 和角CAB 的角度。然后同时选中3组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3组数据移动到合适位置。

第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中操作区中线段AB 的度量值和角BCA 的度量值，依次选择“度量”→“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表下的“mAB ”、计算器上的“÷”，然后单击“函数”下拉列表，选择“sin ”，再单击“数值”下拉列表下的“m ∠BCA ”，单击“确定”按钮，操作区中出现正弦定理的一个比值。同样方法，计算出另外两条边和所对角的正弦比值。然后选中3个比值，拖动到适当位置，

第4步，同时选中3个比值，依次单击“图表”→“制表”菜单命令，在操作区制作出一个表格，如图93所示。拖动三角形的任意一个顶点，可看到操作区的数值变化，但表格中的比值始终相等

第5步，单击工具箱上“选择箭头”工具，选中表格，然后双击表格，可在表格中添加一行纪录。依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。 余弦定理（两课时） 教学目的

（1） 使学生掌握余弦定理及其证明方法 （2） 使学生初步掌握余弦定理的应用． 教学重点与难点

教学重点是余弦定理及其应用；

教学难点是用解析法证明余弦定理．

教学过程设计

一、复习

师：直角△ABC中有如下的边角关系（设∠C=90°）：

（1）角的关系A+B+C=180°．

A+B=90°．

（2）边的关系c2=a2+b2．

二、创设情境

为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°,∠

CBA=75°,AB=120m，则河的宽度为-----

引入：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．

如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．

如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB长度变长，即c2＞a2+b2．

经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．

如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：

在Rt△ABD中，

AB2=AD2+BD2；

在Rt△BDC中，

BD=BC·sinC=asinC，

DC=BC·cosC=acosC．

所以，AB2=AD2+BD2化为

c2=（b-acosC）2+（asinC）2，

c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，

c2=a2+b2-2abcosC．

我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2-2abcosC的关系．

从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2-2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．

下面请同学们自己动手推导结论．

如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．

△ACB是两个直角三角形之差．

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．

在Rt△BCD中，∠BCD=π-C．

BD=BC·sin（π-C），CD=BC·cos（π-C）．

所以AB2=AD2+BD2化为

c2=（AC+CD）2+BD2

=[b+acos（π-C）]2+[asin（π-C）]2

=b2+2abcos（π-C）+a2cos2（π-C）+a2sin2（π-C）

=b2+2abcos（π-C）+a2．

因为cos（π-C）=-cosC，所以c2=b2+a2-2abcosC．

这里∠C为钝角，cosC为负值，-2abcosC为正值，所以b2+a2-2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足

c2=a2+b2-2abcosC．

这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到

a2=b2+c2-2bccosA．

b2=c2+a2-2accosB．

三、证明余弦定理

在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．

我们仍就以∠C为主进行证明．

如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）．

请同学们分析B点坐标是怎样得来的．

生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B

x=acosC，y=asinC．

师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？

生：|AB|2=（acosC-b）2+（asinC-0）2

=a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2-2abcosC，

即c2=a2+b2-2abcosC．

大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：

a2=b2+c2-2bccosA．

c2=a2+b2-2abcosC．

b2=a2+c2-2accosB．

若用三边表示角，余弦定理可以写为

四、余弦定理的作用

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角．由余弦定理

所以∠A=120°．

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

所以BC=7．

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．

五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．

六、应用举例

例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．

师：请同学们先做几分钟．

生甲：如图6，作CD⊥AB于D．

在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．

而c=AD+DB，所以

c=bcosA+acosB．

师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．

生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD-DB．

师：学生乙的问题提得好，我们如

果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？

生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．

师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．

请大家借用余弦定理证明．

所以c=acosB+bcosA．

师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？

生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．

例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．

师：我们通常求三角形的面积要用公式

这个题目，我们应该如何下手呢？

生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．

解因为a=4，b=3，c=2，所以

由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得

例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．

请同学们先设计解题方案．

生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB 的值，再用一次余弦定理便可求出CD．

师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．

解设D为AB中点，连CD．

在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得

生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．

已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．

师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．

（学生开始议论．）

生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC∥BE，∠CBE 与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos∠CBE．

师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．

解延长CD至E，使DE=CD．

因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以

BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．

在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得

在△CBE中，

这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．

七、总结

本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．

余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．

余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0．则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．

另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．

八、作业

5．已知△ABC中，acosB=bcosA，请判断三角形的形状．

课堂教学设计说明

1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．

2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性．

《几何画板》：验证余弦定理

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区作出任意三角形ABC。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”→“长度”菜单命令，度量3条边的长度值，度量值显示在操作区里

第2步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点A、点B和点C，依次单击“度量”→“角度”菜单命令，角ABC的度量值出现在操作区。同样方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同时选中3组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3组数据移动到合适位置，

第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中线段AB的度量值，依次单击“度量”→“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表中的mAB、计算器上的平方号“∧”，然后选择数字“2”，单击“确定”按钮，在操作区得到线段AB的平方值，拖动到适当位置。

第4步，选中操作区中显示的线段AC的度量值、线段BC的度量值和角BCA的度量值，依次单击“度量”→“计算”菜单命令，弹出对话框，按照上述方法照图95所示的式子计算，然后单击“确定”按钮，在操作区中出现计算值，如图97所示。

第5步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时选中两个度量值，然后单击“图表”→“制表”菜单命令，在操作区绘制出表格。

第6步，拖动三角形的任意一个顶点，可看到操作区中的数值变化，可是表格中的数值始终相等。选中表格，双击表格，在表格中添加一行纪录，如图98所示。依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。

正、余弦定理的应用

一、解三角形

例1 △ABC 中，a=2,b=22,C=15o ,解此三角形.

解（分别从正弦、余弦定理 出发）

例2

△ABC 中，

c

b a

c b a -+-+333=c 2

,a cosB=b cosA, 判断三角形的形状。

解（如何选正弦、余弦定理解题） 例3 △ABC 中，sinA=2sinB cosC ,

a c

b

c b a -+++=a

b

3 判断三角形的形状。

解（根据条件运用正弦、余弦定理解题） 二、距离与高度的测量

例1 在离海岸不远处的海面上有两个航标P, Q ，现要测量他们之间的距离，在岸边取两点 A,

B 测得：AB=50m, ∠PAB=105o , ∠QAB=30o , ∠PBA=45o

∠QBA=135o

例2 海中有岛A ，已知A 岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见岛在北偏东750

，行202海里后见此岛在北偏东300

，如货轮不改变航行方向继续前进，有无触礁的危险？

例3 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300和600

，求塔高。 例4 甲、乙两楼相距20米 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为600

，从甲楼顶望乙楼年顶的俯角为300

，求甲、乙两楼的高分别是多少？

例5

货轮在海上以40km/h ，的速度沿方位角为1400

，的方向航行，为了确定船位，船在

B 点观测灯塔A 的方位角为1100

，航行半小时后，船到达C 点，观测灯踏A 的方位角

是650

问货船到达C 点时，与灯塔A 的距离。

三、 角度的问题

例1 某人以时速akm 向东行走，此时正刮着时速为akm 的南风，则此人感到的风向及风速分别为？

例2 渡轮以15km/h 的速度沿与水流方向成1200

角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为？

例3 某人若在静水中游泳，速度为43km/h ，当水的流速为4km/h ，若径直游向对岸，则他的实际速度为？

例4 发电厂主控制室的工作人员主要是根据仪表的数据变化加以操作控制的，若仪表高mM ，底边距地面nM ，如图所示，工作人员坐在椅子上，眼睛距地面一般为1.2M （n 〉1.2），问工作人员坐在什么位置看得最清楚？ 四、 向量与物理运用

例 1 平面内三个力F 1、F 2、F 3同时作用于一点而处于平衡状态，已知F 1=1N ，F 2=

N )26(2

1

+ ，F 1与F 2 成450角，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角。 例 2 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南

）其中10

2cos (=

θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北450

方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

例中，BC=8cm ，质量M 、N 同时由C 点出发，质点M 沿A B C ?→??→? ，以每秒2cm

的速度匀速前进，而质点N 沿A C ?→? ，以每秒1cm 的速度匀速前进，两质点同时到达A 点，当质点M 到达B 点时，质点N 到达D 点，且?→?CD ：?→?DA =2：3 （1的周长

（2的外接圆半径R 与内切圆半径r

（3）若在某时刻t ，t )5,4(∈，质点M 与N 分别运动到E 、F 两点，求 AEF 的正弦值