杆件横截面上的应力、材料力学

应力集中
应力集中 应力集中系数
max K m
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm 截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
法国力学家 圣维南
Saint-Venant (1797~1886 )
思考： 1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊 一般
F
p
F
F

F N
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
2、正应变和切应变
线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应变” ( Normal Strain ) 和 “切应变”(Shearing Strain), 分别用 和 表示。
x
dx
x
x
u
x
u+du




( 直角改变量 )

3、胡克定律(Hooke’s law)
• •
附录A 平面图形的几何性质 （截面设计的几何学基础）
杆件的横截面是由平面几何图形组成的。杆件的强度、刚 度、稳定性都与横截面的几何性质有关，如横截面面积、形心 的位置等，本部分主要讨论:
• 实际杆件的横截面
• 抽象为
• 特殊
• 一般
•静矩与形心； 平行移轴定理; 惯性矩与惯性积； 惯性矩和惯性积的转轴定理*；截面的主惯性轴和主惯性矩
E 横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
3-2-1横截面上正应力公式的推导
得到横截面上 正应力公式为:
横截面上的各点正应 力亦相等，且分布均 匀 有
A FN
式中：σ——横截面上的法向应力， 称为正应力； FN——轴力，用截面法得到； A——杆件横截面面积。 适用条件： A、弹性体，符合胡克定律； B、轴向拉压（短粗杆）； C、离杆件受力区域较远处的横截 面。
FOx 4 F 3F 2 F 0
FOx 3F
2、画出轴力图 因此 FNmax=3F 在OB段， 性质为拉力
3、计算应力
最大应力位于CD段
max
FNOB 3F OB (拉) 2A 2A FNBC F BC (压) 2A 2A FNCD 2 F CD (拉) A A 2F CD (拉) A
①全应力：
F F F p cos 0 cos A a A / cos A

②正应力（垂直于斜截面） p p cos cos2 0 (1 cos 2 0

2
③切应力（与斜截面相切）
p sin 0 cos sin
C
2
A 1
45°
2、计算各杆件的应力。
B F B F
C
2
45°
FN 1 28.3 10 1 90MPa A1 20 2 4
3
FN 2 20 10 2 89MPa 2 A2 15
3
例3-3：试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上 的拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
和 z轴所围成的平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩，并确定图形形心 C 的坐标。
如图取一个微面积dA
dA zdy
y2 2bh A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
y2 b2h S z ydA hy (1 2 )dy A 0 b 4
b
S z b2h 3 3b yC A 4 2bh 8
ΔF p lim pm lim ΔA0 ΔA0 ΔA
p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一 个矢量。
1、正应力和切应力
p一般来说既不与截面垂直， 也不与截面相切，对其进行分 解 垂直于截面的应力分量: σ 相切于截面的应力分量: τ
τ 切应力（shearing stress） σ 正应力（normal stress）
应力特征：必须明确截面及点的位置，是个矢量。 应力单位: 牛顿/米2 1KPa=1000Pa 帕斯卡（Pa） 1GPa=1000MPa
1MPa=1000KPa
2、应变（strain）的概念-正（线）应变和切应变 一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用， 各个点处均要发生变形。构件各点或各部分的变 形累积成构件整体变形。 点 a在 x 方向 的平均 线应变 点 a在x 方向的 线应变 （或正 应变）
S y S yi Ai ziC
i 1 i 1
n
n
S z S zi Ai yiC
i 1 i 1
n
n
组合图形的形心坐标公式:
Sz yC A
Ay
i 1 i
n
iC
A
i 1
n
zC
Sy A

Az
i 1 n
n
i iC
i
A
i 1
i
例A-1
y2 如图所示，抛物线方程为: z h(1 2 ) 计算由抛物线、y 轴 b
Robert Hooke 英国杰出科学家 (1635-1703）
σx
O
εx
E-材料的弹性(杨氏)模量
试验表明，对于工程中常用 材料制成的杆件，在弹性范 围内加载时（构件只发生弹 性变形），若所取单元体只 承受单方向正应力或只承受 切应力，则正应力与线应变 以及切应力与切应变之间存 在线性关系。
τ
O
γ
第三章 杆件横截面上的应力、 应变分析
3-1应力应变的概念及其相互关系
• 何为应力？ • 内力在横截面上的分布集度，称为应力。 • （密集程度）
• 为什么要讨论应力？ • 判断构件破坏的依据不是内力的大小，而 是应力的大小。即要判断构件在外力作用 下是否会破坏，不仅要知道内力的情况， 还要知道横截面的情况，并要研究内力在 横截面上的分布集度（即应力）。
点 a 在 x 方向的线应变或称为正应变。它描 述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。
单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的 改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae 和 af 两微小线段的夹角为π/2，变形后夹角减少了α+β。
称为点 a 在x-y 平面内的切应变 或角应变。
最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
例3-2：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。
A 1
45°
B F
45°
B F
“力作用杆端方式的不同，只会使与杆在 不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响。”
有限元分析的圣维南原理
例题3-1： 阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面 积是 CD 段横截面面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正 应力的大小及其位置。
1、求反力 易知 O处反力 仅有水平方向的分量 FOx
sin 2 sin 2( 90）
2 2

90
•
通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截 面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必 相等，而方向均指向交线或背离交线。这个规 律就称为剪应力互等定律。 剪应力（切向应力）符号规定： 剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺 时针转动趋势的为正，反之为负。
如图取一个另微面积dA
z dA ydz b 1 dz h S y zdA
A h 0
z 4bh 2 zb 1 dz h 15
4bh 2 3 2h ZC A 15 2bh 5
Sy
例A-2 确定图形形心 C 的坐标位置
如图建立坐标系： 把图形看成I 、II两个矩形组成 矩形I : AI 120 10 1200 mm 2 矩形I 形心CI坐标:
G-材料的切变模量
• 3-2直应力公式的推 导
观察中间部分，拉伸变形后， 竖线仍然垂直于轴线，只是发 生了平移 平面假设: 变形前为平面的横 截面变形后仍保持平面且垂直 于轴线
由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的 根据胡克定律
1 2 3 ......
1、正应力和切应力 两个拉杆任意截面上的内 力相同，但是常识告诉我们， 直径细的拉杆更容易破坏。 同样材料，同等内力条件 下，横截面积较大的拉杆能承 受的轴向拉力越大。
内力集度 应力（STRESS）
1、正应力和切应力
△A上的内力平均集度为:
ΔF pm ΔA
当△A趋于零时，pm 的 大小和方向都将趋于某一 极限值。
3-2-1 横截面上正应力公式的推导

正应力，拉应力为“+”，压应力为“－”
1N 1Pa 2 1m
FN 轴力 A 横截面面积