最新人教版七年级上册数学 有理数单元测试卷附答案

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；

（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；

（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），

①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；

当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；

②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________

【答案】（1）-2

；4

（2）3

；2

；5

；2

；能.

理由：

当0＜t≤2时，t+2=4-2t

解之：

当t＞2时，t+2=2t-4

解之：t=6

∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.

【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，

∴a+2=0且b-4=0

解之：a=-2且b=4，

∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，

∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.

故答案为：-2，4.

（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；

当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长

度；

①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；

当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；

故答案为：3，2；5，2

【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。

（2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t的值。

2．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作

“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a?，读作“a的圈n次方”.

（1）（【初步探究】

直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；

（2）【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.

（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.

Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；

Ⅲ.算一算：

122÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷33.________

【答案】（1）；-8

（2）；；；；解：

【解析】【解答】解：（1）【初步探究】

，

故答案为：，-8；

（ 2 ）【深入思考】

Ⅰ.

；

；

故答案为：；；；

Ⅱ.

【分析】

（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；

（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；

②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则a?＝a×(）n?1= ；

③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．

3．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：

（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；

（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；

（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；

（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；

（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.

【答案】（1）2；6

（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.

（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;

（4）1；9

（5）1；2n2+3n

【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；

（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；

(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1

当a=1时

原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n

=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）

=

= 2n2+3n

故：答案为1， 2n2+3n ．

【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；

（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；

（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；

（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；

（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。

4．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：

（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；

（2）化简：；

（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．

【答案】（1）>；<；<

（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，

∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c

（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，

∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，

则2b -c - (a - 4c - b)．

=2b -c - a + 4c + b

=3(b+c)-2=

【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0

∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0

【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．

5．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b；线段AB的中点M表示的数为

．

[问题情境]

已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

[综合运用]

（1）运动开始前，A、B两点的距离为________；线段AB的中点M所表示的数________．

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t的代数式表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B 两点重合，则中点M也与A，B两点重合）

【答案】（1）18；-1

（2）﹣10+3t；8﹣2t

（3）解：设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，根据题意得﹣10+3x=8﹣2x，

解得x= ，

﹣10+3x= ．

答：A、B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；

（4）解：由题意得， =0，

解得t=2，

答：经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒

个单位长度．

故答案为18，﹣1；﹣10+3t，8﹣2t．

【解析】【解答】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）=18；线段AB

的中点M所表示的数为 =﹣1；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；

【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB=a﹣b及线

段AB的中点M表示的数为即可求解；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程；（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过

x秒会相遇，等量关系为：点A运动的路程+点B运动的路程=18，依此列出方程，解方程即可；（4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可．

6．阅读材料，回答下列问题：

数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题。例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3?1|=2；

在数轴上,有理数5与?2对应的两点之间的距离为|5?(?2)|=7；

在数轴上，有理数?2与3对应的两点之间的距离为|?2?3|=5；

在数轴上,有理数?8与?5对应的两点之间的距离为|?8?(?5)|=3；……

如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a?b|或|b?a|，记为|AB|=|a?b|=|b?a|.

（1）数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与?1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于________；

（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为?2，动点P表示的数为x.

①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=________；若|x+2|+|x?4|═10，则x=________；

②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值等于________ .【答案】（1）5；x+5；1或?3

（2）6；6或?4；8

【解析】【解答】(1)根据绝对值的定义：

数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于5；

数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；

A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或?3，(2)①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=6；

若|x+2|+|x?4|═10，则x=6或?4；

②|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值，

即x与4,2,0,?4之间距离和最小,这个最小值=4?(?4)=8.

故答案为：5，|x+5|，1或?3；6，6或?4，8.

【分析】（1）根据绝对值的定义：数轴上有理数-10与-5对应的两点之间的距离等于5；数轴上有理数x与-5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；若数轴上有理数x 与-1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或-3；（2）①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x-4|=6；若|x+2|+|x-4|═10，则x=6或-4；

②|x+2|+|x|+|x-2|+|x-4|的最小值，这个最小值=4-（-2）=6．

7．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2。动线段CD=4（点D在点C的右侧），从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒。

（1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数；

②用含有t的代数式表示点D表示的数。

（2）当AC=2BD时，求t的值。

（3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD-BC的值始终保持不变?请求出它的值并说明此时线段CD的位置。

【答案】（1）解：①∵点C表示的数是-6，CD=4且点C在点A的右边

∴点D表示的数为-6+4=-2；

②∵从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒。∴点C表示的数为-8+2t，

∵CD=4

∴点D表示的数为：-8+2t+4=-4+2t;

（2）解：∵运动t秒后，点C表示的数为-8+2t，点D对应的数为-4+2t，

∵AC=2BD，点B表示的数为2，点A表示的数为-8

∴-8+2t-（-8）=2|-4+2t-2|

∴t=-6+2t或t=6-2t

解之：t=6或2；

（3）解：①当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2)

AD+BC的值保持不变，且AD+BC=AB+CD=14

②当线段CD在点B的右侧时(图3)

ADBC的值保持不变，且ADBC=AC+CDBC=AB+CD=14

【解析】【分析】（1）①由点C表示的数及CD的长及点C在点A的右边，就可求出点D 表示的数；②根据线段的运动方向及运动速度，可得到点C表示的数为-8+2t，再由CD的长，就可用含t的代数式表示出点D表示的数。

（2）求出运动t秒后点C和点D表示的数，再根据AC=2BD，建立关于t的方程，解方程求出t的值。

（3）分情况讨论：当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2) ；当线段

CD在点B的右侧时(图3)，分别利用绝对值的性质及两点间的距离公式就可求出AB+CD的值。

8．已知：是最大的负整数，且、b、c满足（c﹣5）2+| +b|=0，请回答问题.

（1）请直接写出、b、c的值： =________，b=________，c=________.

（2）、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|（请写出化简过程）. （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）-1；1；5

（2）解：当0≤x≤1时x+1＞0，x﹣1≤0，x-5 0

则|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|

=x+1﹣(1﹣x）+2(5-x）

=x+1﹣1+x+10-2x

=10

（3）解：BC﹣AB的值不随的变化而改变，总为2

秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，

此时，BC=（）-（）= ，

AB=（）-（）= ，

所以BC-AB=（）-（）=2

∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，总为2.

【解析】【解答】解：（1）∵是最大的负整数，

∴ =﹣1

∵（c﹣5）2+| +b|=0

∴c-5=0;a+b=0

∴b=1；c=5

【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性求值即可；（2）由0≤x≤1得出x+1＞0；x﹣1≤0；x-5 0，然后根据绝对值的意义进行化简；（3）分别表示出t秒后，点A,B,C 所表示的数，然后根据两点间的距离求得BC,AB的长度，然后进行计算并化简.

9．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB＝12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为

t秒.

（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀

速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P返回到达A点时，P、Q 停止运动.设运动时间为t秒.

①当点P返回到达A点时，求t的值，并求出此时点Q表示的数.

②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.

【答案】（1）9；

（2）解：①根据题意，得：（1+2）t＝12，

解得：t＝4，

∴P回到A需8s，当t＝8时，点P与点A重合，此时点Q表示的数为1；

②P与Q重合前（即t<4）：

当2AP＝PQ时，有2t+4t+t＝12，解得t＝；

当AP＝2PQ时，有2t+t+t＝12，解得t＝3；

P与Q重合后（即4

当AP＝2PQ时，有2（8﹣t）＝2（t﹣4），解得t＝6；

当2AP＝PQ时，有4（8﹣t）＝t﹣4，解得t＝；

综上所述，当t＝秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点.

【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是﹣3+12＝9，点P表示的数是﹣

3+2t，

故答案为：9，﹣3+2t；

【分析】（1）根据两点间的距离求解可得；（2）①根据重合前两者的路程和等于AB的

长度列方程求解可得；②分点P与点Q重合前和重合后，依据点P是线段AQ的三等分点

线段间的数量关系，并据此列出方程求解可得.

10．在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b到点-7

的距离为1 （a＜b），且（c﹣12）2与|d﹣16|互为相反数.

（1）填空：a＝________、b＝________、c＝________、d＝________；

（2）若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1单位长度/秒向左

匀速运动，并设运动时间为t秒，A、B两点都运动在CD上（不与C，D两个端点重合），若BD＝2AC，求t得值；

（3）在（2）的条件下，线段AB，线段CD继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是

否存在时间t，使BC＝3AD？若存在，求t得值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）-8；-6；12；16

（2）解：AB、CD运动时，

点A对应的数为：?8＋3t，

点B对应的数为：?6＋3t，

点C对应的数为：12?t，

点D对应的数为：16?t，

∴BD＝|16?t?（?6＋3t）|＝|22?4t|

AC＝|12?t?（?8＋3t）|＝|20?4t|

∵BD＝2AC，

∴22?4t＝±2（20?4t）

解得：t＝或t＝

当t＝时，此时点B对应的数为，点C对应的数为，此时不满足题意，

故t＝

（3）解：当点B运动到点D的右侧时，

此时?6＋3t＞16?t

∴t＞，

BC＝|12?t?（?6＋3t）|＝|18?4t|，

AD＝|16?t?（?8＋3t）|＝|24?4t|，

∵BC＝3AD，

∴|18?4t|＝3|24?4t|，

解得：t＝或t＝

经验证，t＝或t＝时，BC＝3AD

【解析】【解答】（1）∵|x＋7|＝1，

∴x＝?8或?6

∴a＝?8，b＝?6，

∵（c?12）2＋|d?16|＝0，

∴c＝12，d＝16，

故答案为：?8；?6；12；16.

【分析】（1）根据方程与非负数的性质即可求出答案.（2）AB、CD运动时，点A对应的数为：?8＋3t，点B对应的数为：?6＋3t，点C对应的数为：12?t，点D对应的数为：16?t，根据题意列出等式即可求出t的值.（3）根据题意求出t的范围，然后根据BC＝3AD 求出t的值即可.

11．观察下列等式，，，

以上三个等式两边分别相加得：

（1）猜想并写出： ________

（2）计算： ________

（3）探究并计算：

【答案】（1）

（2）

（3）原式=.

【解析】【解答】（1）

故答案为：.

（2）

故答案为：.

【分析】（1）分子为1，分母为相邻2个数的积，结果等于分子为1，分母分别为2个因数的分数的差；

（2）利用（1）规律进行拆项，化简后只剩首位两个数的差，求出结果即可；

（3）根据（1）规律进行变形后然后乘以,求出结果即可.

12．已知数轴上有A．B． C三点，分别表示有理数?26，?10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒。

（1）PA=________，PC=________（用含t的代数式表示）

（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止，

①当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离；

②求当t为何值时P、Q两点恰好在途中相遇.

【答案】（1）t；36－t

（2）解：①由数轴可知：BC=10－（﹣10）=20个单位长度，

∴P从B运动到C的时间为：20÷1=20s

∵当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动

∴当P从B运动到C时，Q的运动时间也是20s

∴Q的运动路程为：20×3=60个单位长度，

∵此时P在C处

∴QP=QC=60－AC=60－36=24.

②由数轴可知：AB=（﹣10）－（﹣26）=16个单位长度，

∵当点P运动到B点时，点Q从A点出发，

∴Q比P晚出发了：16÷1=16s

故Q的运动时间为（t－16）s，

由图可知：P和Q运动总路程等于两个AC的长度

∴t＋3（t－16）=2×36

解得：t=30

答：当t等于30时，P、Q两点恰好在途中相遇

【解析】【解答】解：（1）由数轴可知：AC=10－（﹣26）=36个单位长度

∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动

PA＝t，PC=36－t；

【分析】（1）利用数轴上两点的距离公式求出AC的长度，根据路程＝速度×时间，用t表示出AP，再利用PC=AC－AP即可；（2）①先利用数轴上两点的距离公式求出BC的长度，再利用时间=路程÷速度算出P从B运动到C的时间，算出Q的运动路程，最后减去AC即可；②先利用AB的长度算出Q比P晚出发的时间，再利用P和Q运动总路程等于

两个AC的长度列方程即可.