立方和公式

立方差公式

三项立方和公式

推导过程：

完全立方公式

(a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3

立方和累加

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明公式证明

迭代法一

我们知道：

0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

，即

2次方和的求和公式

，即

——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式

，迭代即得。

具体如下：

(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1

利用上面这个式子有：

23 - 13= 3×12+ 3×1 + 1

33 - 23= 3×22+ 3×2 + 1

43 - 33= 3×32+ 3×3+ 1

53 - 43= 3×42+ 3×4 + 1

……

(n+1)3 - n3= 3×n2 + 3n + 1

把上述各等式左右分别相加得到：

(n+1)3-13= 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1

n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2

迭代法二

取公式：

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

…………⑴

…………⑵

…………⑶

…………

…………(n).

于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有

左边=

右边=

把以上这已经证得的三个公式代入，

得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

因式分解证明

几何验证

图象化立方和公式

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到

，可使用

的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

把三个部分加在一起，便得：

之后，把

减去它，便得：

公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：=

可透过完全平方公式，得到：

这样便可证明：

平方和立方和公式推导

数学][转载]自然数平方和公式推导及其应用 (2009-07-29 12:13:14) 转载▼ 标分类：游戏数学签：杂谈 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。设：S=12+22+32+…+n2 另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一： S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S， (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 S1=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) 第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+...+n)+n.. (3) 由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

八年级数学立方和与立方差公式

1 立方和与立方差 7、=+-++)39)(3(4222x x x x x n n n __________； 8、=+-+))((22n n n n n n y y x x y x __________； 9、=+++--+))()()((2222b ab a b ab a b a b a __________； 10、=++-)100309)(310(33(__________)(__________)__________-=； 11、计算下列各式，不能直接用乘法公式的是（） A 、)3)(93(22y x y xy x ++- B 、))((22b ab a b a ++- C 、)1)(1(2323-+-+++x x x x x x D 、23462311(4)(162)24 x y x y x y +-+ 12、与)1)(1(2++-a a a 的积等于)1(9-a 的多项式是（） A 、13-a B 、16-a C 、136+-a a D 、136++a a 14、222222)42()2()42()2(++--+-+m m m m m m 15、22[(2)2][(2)2](2)(2)a b ab a b ab a b a b +--++- 16、22216)8()164)(4(x x x x x x ---++- 17、222222(1)(1)(1)(1)t t t t t t +-++-+ 18、8)2)(3(12)32()1)(1(422--+<--+-+x x x x x x x 19、)469)(23()469)(23(2222b ab a b a b ab a b a +-+-++-，其中1-=a ，2 3-=b 。 20、22(23)(469)(34)(34)15(2)(1)2(23)a a a a a a a a a -++----+-+-+，其中3a =-。 21、))()()((633663363333n n m m n n m m n m n m +++-+-，其中1m =，1n =-。 22、已知3x y +=，2xy =-，求33y x +的值。 23、已知1x y -=-，2y z -=，求代数式22(2)[()()()()]x y z x y x y y z y z -+-+--+-的值。 24、已知8,7=-=-c b b a ，求代数式22()[()()()()]a c a b a b b c b c -----+-的值。

立方和与立方差公式

立方和与立方差公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示：在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25

立方和与立方差公式

[文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 ＝a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3 ＝a3-b3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字

推导自然数立方和公式两种方法

推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法通化市第一中学校刘天云邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n

那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k

[讲解]立方和与立方差公式

[讲解]立方和与立方差公式 [文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算; 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点重点:公式的推导. 难点:公式的正确运用. 课堂教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? 2222(公式1:(a+b)(a-b),a-b，公式2:(a?b),a?2ab+b，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 2222提问:对于(a+b)(a-ab+b)，(a-b)(a+ab+b)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算

22(a+b)(a-ab+b) 322223,a+ab-ab-ab+ab+b 33,a+b 22(a-b)(a+ab+b) 322223,a-ab+ab-ab+ab-b 33,a-b 根据学生的板演提问: 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字让学生看书，并让学生用语言叙述公式三、运用举例变式练习例计算: 2 (1)(3+2y)(9-6y+4y);

平方和与立方和公式推导

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3 =2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+... +(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1 =2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+... +(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1 =3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2 =(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+ ...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3) =(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

立方和与立方差公式

（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明： 1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。 2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。第二阶梯 [例1]利用乘法公式计算： (1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2) (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6) 提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。参考答案： (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81 (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4 (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64

专题立方和差公式和差的立方公式

专题立方和差公式和差的立方公式 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1 计算：（1）2(32)(964)y y y +-+；（2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++；（3）2(21)(421)x x x +++。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+；（2）原式=333311(5)()12528 x y x y -=-；（3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。例2 计算：

专题立方和差公式和差的立方公式

专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1 计算：（1）2(32)(964)y y y +-+；（2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++；（3）2(21)(421)x x x +++。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+；（2）原式=333311(5) ()12528x y x y -=-；（3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。例2 计算：（1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++；（2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+；（3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；

最详细的立方和公式

立方和公式 a A3+ b A3=(a+b) (a A2-ab+b A2 ) ?立方差公式 aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 ) -3项立方和公式 aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac) 推导过程： aA3+bA3+cA3-3abc =(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 ) =[(a+b)A3+cA3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac) 文字表达 ?立方和，差公式两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差) -3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

公式证明 1.迭代法: 我们知道: 0次方和的求和公式2N A0=N 即 1人0+2人 0+...+nP=n 1次方和的求和公式INA仁N(N+1) /2 即 1A1+2A1+...+nA仁n(n+1 ) /2 2次方和的求和公式 2N|A2=N(N+1)( 2N+1) /6 即 1人2+2人2+…+n人2=n(n+1 )( 2n +1) /6 ――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式( x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1，迭代即得。取公式：(X+1) A4-XA4=4 XXA3+6XXA2+4XX+1 系数可由杨辉三角形来确定那么就得出: (N+1)人4-24=423+622+4屮1 NA4-(N-1)A4=4(N-1)A3+6(N-1)A2+4(N-1)+1 (N-1)A4-(N-2)A4=4(N-2)A3+6(N-2)A2+4(N-2)+1 2人4-1人4=4 X1A3+6 X1A2+4 X1+1 ... (n) 于是⑴+⑵+⑶+ ..... +(n )有左边=(N+1) A4-1 右边=4 (1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6 (1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4 (1+2+3+……+N)+N 所以呢把以上这已经证得的三个公式代入 4( 1人3+2人3+3人3+ ……+NA3) +6( 1人2+2人2+3人2+ ……+“人2) +4( 1+2+3+……+N)+N=(N+1) A4-1

2017最新立方公式推导

前n个自然数的和: 1+2+...+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和:前n个自然数的和: 1+2+...+n=n(n+1)/2 前n个自然数平方和: n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+ ...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+ n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

立方差公式

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 推导过程 1.证明如下： (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2) =(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 2.（因式分解思想）证明如下： a3-b3=a3-a2b-b3+a2b =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式及其推广： (1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (2) a n+ b n=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+ b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。 a n表示a的n次方。字母表达

立方和公式立方差公式三项立方和公式推导过程：完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加正整数范围中

注：可用数学归纳法证明 2公式证明编辑迭代法一我们知道： 0次方和的求和公式，即 1次方和的求和公式，即 2次方和的求和公式，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式，迭代即得。具体如下：

(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3+ 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二取公式：系数可由杨辉三角形来确定那么就得出： …………⑴ …………⑵

立方和与立方差

利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式： (1) 3 4 381a b b - (2) 76 a a b - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6 6 a b -，可看着是32 32 ()()a b -或23 23 ()()a b -．

解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 强化练习 1．因式分解下列各式：(1) 3 1x - (2) 338a b + (3) 66x y - 2．把下列各式分解因式： (1) 3 27a + (2) 38m - (3) 3278x -+ (4) 33 11864 p q - - (5) 3 3 18125x y - (6) 333 1121627 x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 3 4 xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2 3 23 ()a m n a b +- (4) 2 2 3 2 (2)y x x y -+强化练习答案 1． (1) 3 1x -=33 1x -=22(1)(11)x x x -+?+=2(1)(1)x x x -++ (2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-?+ (3) 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +- 2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216 p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c - +-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 立方和与立方差公式 1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3 两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.

立方和与立方差公式(一)

立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a 2-b 2，公式2：(a ±b)＝a 2±2ab+b 2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式提问：对于(a+b)(a 2-ab+b 2)，(a-b)(a 2+ab+b 2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 ＝a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 ＝a 3-b 3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字让学生看书，并让学生用语言叙述公式三、运用举例变式练习例计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5ab 2)；

立方和公式

立方和公式立方差公式三项立方和公式推导过程：完全立方公式 (a- b)3=a3+3ab2- 3a2b- b3 立方和累加正整数范围中注：可用数学归纳法证明公式证明

迭代法一我们知道： 0次方和的求和公式，即 1次方和的求和公式，即 2次方和的求和公式，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式，迭代即得。具体如下： (k+1) 3 - k3 = (k3 + 3k 2 + 3k + 1) - k3 = 3k 2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 332 ×1+1 2 - 1=3×1 +3 332 ×2+1 3 - 2=3×2 +3 332 ×3+ 1 4 - 3=3×3 +3 332 ×4+1 5 - 4=3×4 +3 ?? 332 (n+1)- n= 3 ×n + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1) 3-1 3= 3 ×(1 2+22 +32+?? +n2) + 3×(1+2+3+?? +n)+n×1 n3 + 3n 2 + 3n + 1 - 1 = 3 ×(1 2+22 +32+?? +n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12+2 2+32+ ?? + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入 (1)式，整理後得 1 3 + 2 3 + 3 3 + ?? + n 3=[n(n+1)/2] 2 迭代法二

取公式：系数可由杨辉三角形来确定那么就得出： ????⑴ ????⑵ ????⑶ ???? ????(n). 于是⑴ +⑵+⑶+?+(n) 有左边 = 右边 = 把以上这已经证得的三个公式代入，得移项后得等号右侧合并同类项后得即推导完毕。因式分解证明

由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 怎么推导？利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1即可 13-03=3×02+3×0+1 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 …… (n+1)3-n3=3n2+3n+1 ∴(n+1)3＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1) …… Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1) 方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1. 由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6. 方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1), 即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6 整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3, 所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...

立方和与立方差公式

第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。

[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示：在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2 (3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2 (5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2 说明： 1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。