运筹(第六章图与网络分析)

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在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之 间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样 的示意图。 例 有六支球队进行足球比赛，我们分别用点 v1…v6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况 ，也可以用图反映出来，已知v1 队战胜v2 队， v2 队战胜v3队，v3 队战胜v5 队，如此等等。这 个胜负情况，可以用下图所示的有向图反映出 来。 v v v1 v3
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图中的点用 v 表示，边用 e 表示，对每条边可用 它所联结的点表示，如图，则有：
e1 = [v1 , v1]， e2 = [v1 , v2]或e2= [v2 , v1]
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用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和 生活中的某些特定对象之间的特定关系。 通常用点表示研究对象,用点与点之间的线表示研 究对象之间的特定关系。 一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点之 间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显 的并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图等 本质上是不同的。
子图：
部分图
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§2．树图和最小部分树
树图（简称树，记作 T(V, E)）是无圈的连通图。 （无圈，无多重边）
§2.1 树的性质
性质1. 任何树中必存在次为1 的点。 次为1的点称为悬挂点，与之关联的边 称为悬挂边。
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性质2. 具有 n 个顶点的树恰有（n-1）条边。 性质3. 任何具有n 个点、(n - 1)条边连通图是 树。 说明：1. 树中只要任意再加 一条边，必出现圈。 2. 树中任意两点之间有且只有 一条通路，从树中任意删掉 一条边，就不再连通。 （树是最脆弱的连通图）
。
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§3．最短路问题
最短路问题是指从给定的网络图中找出任意两点之 间距离最短（权值和最小）的一条路。
某些整数规划和动态规划问题可以归结为求最短路 的问题。如选址问题、管道铺设选线问题、设备更 新、投资等问题。 最短路的求法： 1.从某一点至其它各点之间最短距离的狄克斯屈拉 ( Dijkstra )算法; 2.求网络图中任意两点之间的最短距离的矩阵算法。
偶点，次为零的点称为孤
立点。 如图： 奇点为 v5 ， v3 偶点为 v1 , v2 , v4 , v6 孤立点为 v6
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链，圈，路，回路，连通图 图中有些点和边的交替序列 μ ={v0 , e1 , v1 ,
e2 , … , ek , vk}，若其各边 e1 ,e2 , … , ek 各不相同，且任意 vi,t-1 , vit (2 ≤ t ≤ k)都 相邻，称 μ 为链，如果链中所有的顶点 v0 , v1 , … , vk也不相同，这样的链成为路，起点和
终点重合的链称为圈，起点和终点重合的路称为回
路，若在一个图中，每一对顶点之间至少存在一条
链，称这样的图为连通图，否则称该图为不连通的。
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链
v1 , e2 , v2 , e4 , v3 , e7 , v4 , e6 , v2 , e5 , v3
路
v1 , e2 , v2 , e4 , v3 , e7 , v4
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§2.3 避圈法和破圈法
寻找最小部分树的方法主要有避圈法和破圈法两种。
避圈法步骤： 1.从图中任选一点 vi ，让 vi ∈V ，图中其余点均 包含在 V 中；
2. 从 V 与 V 的连线中找出最小边，这条边一 定包含在最小部分树中，不妨设这条边为[vi , vj]将其加粗，标记为最小部分树中的边。
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例.
求下图中从 v1 到 v7 的最短路。
解： (1) 从 v1 点出发，对 v1 点标号，将 L11=0 标注在 旁的小方框内，令 v1∈V，其余点 属于 V ；
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(2) 同 v1 相邻的未标号点有v2 、 v3 ， L1r = min { 0+d12 , 0+ d13 } =min{5,2}=2= L13
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v6 v5
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§1 图的基本概念与模型
§1Biblioteka Baidu1 基本概念
图（graph）是由一些结点或顶点（ nodes or vertices ）以及连接点的边（edges）构成。记做G = {V,E }，其中 V 是顶点的集合，E 是边的集合。 给图中的点和边赋以具体的含义和权值，我们称 这样的图为网络图（赋权图）
1. 任意找到一回路，不妨取 DETD，去掉边权最大 的边[T ,E ];
2. 从剩余的子图中任找一回路，同样去掉回路 中边权最大的一条边，得一新的子图；依次类推。
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破圈法的另一种解法： 1.从剩余图中找到边权最大一条边，如果将其删除后
图仍然是连通的，则删除此边，否则不再考虑此边；
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对 v2 标号，将 L12 的值标注在 v2 旁的小方框内；
V v2 V 将( v1, v2) 加粗，并令 V∪v2 →V，
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(4) 同 v1 ,v2 ,v3 相邻的未标号点有v4 、v5、v6 ，
L1p = min { L12+d25 , L12+d24, L13+d34 ,L13+d36 } =min{5+7,5+2,2+7,2+4} = 6 = L16
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为了寻找答案， 1736 年欧 拉把陆地缩为一点，把桥作为 连接点的边，将这个问题抽象 成图形的一笔画问题。即能否 从某一点开始不重复地一笔画 出这个图形，最终回到原点。 欧拉在他的论文中证明了这是 不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接 ，不可能将它一笔画出，这就 是古典图论中的第一个著名问 题。
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§3.1 Dijkstra 算法
基本思路：如果 v1→ v2→ v3→ v4 是 v1→ v4 的
最短路径，则 v1→ v2→ v3 一定是 v1→ v3 的最
短路径。 v2→ v3→ v4 一定是 v2→ v4 的最短路径。
Dijkstra 算法假设： 1.设 dij 表示图中两相邻点 i 与 j 的距离，若 i 与 j 不相邻，令 dij =∞，显然 dii =0。 2. 设 Lsi 表示从 s 点到 i 点的最短距离。
3. 令 V v j→ V ， V 4.
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-vj →
V；
重复2、3两步，一直到图中所有点均包含在 V 中。
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避圈法另一种做法：
1.在所有各边中找到边权最小的一条，将其作为最小部分树中 的第一边；在剩余的边中，仍然找到边权最小的作为最小部 分树的第二条边；
2.在剩余的边中，找到边权最小的边，查看其是否与 前面的边形成圈，如果没有，则在最小部分树中添加 该边，如果形成了圈，则不再考虑该边； 3.重复进行第二步，直到找到第 n-1 条边为止。 （因为有 n 个顶点的树中一定有 n-1 条边）
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子图，部分图 图 G1={V1 , E1} 和 G2={V2 , E2}， 若有 V1 V2 和 E1 E2 ，称 G1 是 G2 的一个子图；
若有 V1 V2 , E1 E2 ，则称 G1 是 G2 的一个部分图。 注意：部分图也是子图，但子图不一定是部分图。
圈
v1 , e2 , v2 , e4 , v3 , e7 , v4 , e6 , v2 , e5 , v3 , e3 , v1 ,
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完全图 一个简单图中若任意两点之间均有边相连，称这样 的图为完全图。含有 n 个顶点的完全图，其边数有 n( n 1) 条。
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端点，关联边，相邻 若边 e 可表示为e = [vi ,
vj]，称 vi 和 vj 是边 e 的端 点，同时称边 e 为点 vi 和 vj 的关联边，若点 vi , vj 与 同一条边关联，称点 vi 和 vj 相邻；若边 ei 与 ej 有公共端 点，称边 ei 和 ej 相邻.
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对 v3 标号，将 L13 的值标注在v3 旁的小方框内； 将( v1, v3) 加粗，并令 V∪v3 → V，V v3 V
。
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(3) 同 v1 ,v3 相邻的未标号点有v2 、v4 、v6 ， L1p = min { L11+d12 , L13+d34, L13+d36 } =min{0+5,2+7,2+4} = 5 = L12
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环，多重边，简单图
如果边 e 的两个端点相重，
称该边为环，如果两个点之间
的边多于一条，称为具有多重 边，对无环、无多重边的图称 为简单图。
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次，奇点，偶点，孤立点 与某个点相关联的边
的数目，称为该点的次
（或度、线度），记作
d(v)。次为奇数的点称为
奇点，次为偶数的点称为
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破圈法求解步骤：
1. 从图 N 中任取一回路，去掉这个回路中边 权最大的边，得到原图的一个子图 N1。 2. 从剩余的子图中任找一回路，同样去掉回路中 边权最大的一条边，得一新的子图； 3. 重复第 2 步，直到图中不再含有回路为止。
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用破圈法求解上例：
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例：分别用两种避圈法构造下图的最小部分树。
第一种解法： 1. 在点集中任选一点，不妨取 S，令 V={S} 2. 找到和 S 相邻的边中，权值最小的 [S , A] 。
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3.V={S , A}
4. 重复第2，3步，找到下一个点。
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第二种做法求解过程：
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偶图 如果图的顶点能分成两个互不相交的非空集合 V1 和V2 , 使在同一集合中任意两个顶点均不相邻，称 这样的图为偶图（也称二分图），如果偶图的顶点集 合V1 和V2 之间的每一对顶点都有一条边相连，称这 样的图为完全偶图，完全偶图中V1 含m 个顶点，V2 含有 n 个顶点，则其边数共 m · n 条。
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求从起始点 s 到终止点 t 的最短路径。 Dijkstra 算法步骤： 1.对起始点 s ，因 Lss =0 ，将 0 标注在 s 旁的小 方框内，表示 s 点已标号；
2.从点 s 出发，找出与 s 相邻的点中距离最小的一 个，设为 r ，将 Lsr = Lss+ dsr 的值标注在 r 旁的 小方框内，表明点 r 也已标号； 3.从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未标号 点 p ，若有 Lsp =min { Lss+ dsp , Lsr+ drp }，则对 p 点标号，并将 Lsp 的值标注在 p 点旁的小方框内； 4.重复第 3 步，直到 t 点得到标号为止。
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§2.2 图的最小部分树
如果 G1 是 G2 的部分图，又是树图，则称 G1 是 G2
的部分树（或支撑树）；
树图的各条边称为树枝(假定各边均有权重)； 树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树(也
称最小支撑树)。
定理1. 图中任一个点 i ，若j 是与i 相邻点中距 离最近的，则边 [i ,j] 一定包含在该图的最小部 分树中。 推论. 把图的所有点分成 V 和 V 两个集合，则 两集合之间连线的最短边一定包含在最小部分树内。
2.重复上述步骤，直到剩余边数为 n-1 为止。
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注意： 1. 一个图的最小部分树不唯一，该题中用几种解 法得到的结果都是相同的，是特殊情况； 2.不同解法得到的最小部分树所包含的边虽然可 能不相同，但是，每个最小部分树中所有边权的 总和一定都是相同的，即都达到了最小。
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运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第六章

图与网络分析
图的基本概念与模型 树图和图的最小部分树 最短路问题 网络的最大流 最小费用最大流
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哥尼斯堡的七桥问题
当地的居民热衷于 这样一个问题： 一个漫步者如何能够 走过这七座桥，并且 每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。