高中解析几何---圆与直线一题多解专题

解析几何一题多解专题讲座

1、数学的本质在于研究量、数、形的结合，此专题旨在通过解决直线与圆相交、相切的情况，求解圆的方程问题。

例1、求过直线L:2x+y+4=0和圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0的交点，且满足过原点的圆M的方程。

则

线

圆

x^2+y^2+3/2x-17/4y=0。

方法三、设圆M的标准方程为（x-a)^2+(y-b)^2=r^2，过原点可知：a^2+b^2=r^2①,过圆M和圆C两圆交点所在的直线垂直于直线L,过圆C和圆M所在直线斜率K=(b-2)/(a+1)=1/2②,圆心点C到直线L的距

离为4/√5

在直角三角形CAD中，有(AB/2)^2=2^2-16/5,所以AB/2=2/√5,而在直角三角形MAD中，r^2=4/5+I2a+b+4I^2/5③,联立①②③，可得:b=17/8,a=-3/4,r^2=325/64 所以所求圆M的方程为：

（x+3/4)^2+(y-17/8)^2=325/64

方法四、

设所求圆的一般方程M为：y=x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,又已知其过原点，则F=0,圆M方程为：y=x^2+y^2+Dx+Ey=0①。圆心坐标为（-D/2,-E/2)，k2=(-E/2-2)/(-D/2+1)=1/2,E=D/2-5

根据弦长公式：IABI^2=（1+k1^2)((X1+X2)^2-4X1X2),圆心点C到直线L的距离为4/√5,在直角三角形CAD中，有(AB/2)^2=2^2-16/5,所以AB=4/√5,联立直线L:2x+y+4=0②和圆M的方程，可得：5x^2+26x+36-2D=0,由根与系数的关系可得:

5*[(-26/5)^2-4*(36-2D)/5]=16/5 所以：D=3/2,E=-17/4

则圆M方程为：x^2+y^2+3/2x-17/4y=0。

方法五、

联立直线L:2x+y+4=0和圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0，可求得交点A、B 的坐标，联立消去y得: 5x^2+26x+33=0, A(-3,2),B(-11/5, 2/5)

设所求圆的一般方程M为：y=x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,又已知其过原点，则F=0,圆M方程为：x^2+y^2+Dx+Ey=0。将点A、B坐标代入可得：13-3D+2E=0①,125-55D+10E=0②所以可得：

D=3/2,E=-17/4,圆M方程为：x^2+y^2+3/2x-17/4y=0