计量经济学重点笔记第九讲

第九讲 单位根、协整与误差修正模型

一、单位根过程的定义

如果{}t y 的数据生成过程是：

1t t t y y ε-=+， {}t ε是平稳过程

则{}t y 的数据生成过程被称为单位根过程。我们还可以在上述模型基础上增加截距项（所谓的漂移项）或者时间趋势项，如：

上述过程都属于单位根过程。

笔记：

按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a （失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。

单位根过程的一个特例是随机游走：

1t t t y y ε-=+，其中{}t ε是白噪声过程

同样，我们可以在上述模型基础上再增加截距项或者时间趋势项。

单位根过程是非平稳过程。以随机游走模型为例， 注意到11210...t

i t t t t t t i y y y y εεεε=---=+=++==+∑ ，故有：

0()t E y y =、2()t t Var y δ=。显然，随着时间的延伸方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。

图一是对一个随机游走过程的模拟。

图一：1,(0,1)t NID t t t y y εε-+=

笔记：

1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，{}t ε是白噪声过程，0(,)0,t t j j Cov εε+≠=，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（1t t t p p ε--=）是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。

2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。

二、带漂移的单位根过程与趋势平稳过程：一个比较

带漂移的单位根过程是指：1t t t y y με-=++，其中{}t ε是平稳过程。反复迭代有：10t

i t i y y t με==++∑。在这

个表达中，t μ被称为确定性趋势项，而1t

i i ε=∑被称为随

机趋势项。

图二是对一个带漂移的随机游走过程的模拟。

图二：1,(0,1)0.1t NID t t t y y εε-+=+

所谓趋势平稳过程是指：

01

,11t t t y t y ρββρε+-<=++， {}t ε是平稳过程 由上式有：011))((t t E y t E y ββρ-=++，令01)(t E y t σσ=+，则有：

因此有：

当10β≠时，01

)(t E y t σσ=+随时间的变化而变化，因此过程{}t y 是不平稳的。然而，

令)(t t t y E y z -=，由于1ρ<，因此过程{}t z 是平稳的。注意到01

)(t E y t σσ=+是过程{}t y 的长期趋势，而过程{}t z 是通过剔除过程{}t y 的长期趋势而获得的，因此{}t y 被称为趋势平稳过程。

图三是对一个趋势平稳过程的模拟。

图三：1,(0,1)10.010.8t NID t t t y t y εε-+=++

上述两个过程都展现出明显的确定性趋势，但存在重要的区别：

1、 单位根过程是差分平稳的，而趋势平稳过程在剔

除趋势之后是平稳的；

2、单位根过程不具有均值回复性，而趋势平稳过程

具有均值回复性。

3、在回归分析中，如果有变量是趋势平稳过程，则

需要在解释变量集中引入时间趋势项。如果注意

到这一点，趋势平稳过程基本上不会对传统的计

量分析构成威胁。但变量含有单位根往往使传统

的计量分析无效。

笔记：

1、把两个服从随机游走的独立变量基于模拟样本进行回归，Engle & Newbold(1974)发现，在回归结果中，R2很大，t值的绝对值也很大。如果进行通常的显著性检验，则结果表明两变量具有显著的相关关系。注意，我们预先已知道这两个变量是独立的，因此实证结果所表明的相关关系一定是虚假的，此即“伪回归”问题。通常的显著性检验导致了错误的结论，这暗示，此时的t 统计量（与F统计量）并不服从标准的t分布（和F分布）。

2、判断回归分析是否属于“伪回归”的一个重要经验规则是“R2>D.W.”。

三、单位根检验

（一）根据图形判断

如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是单位根过程。如果样本数据表现出均值回复的态势，则初步判断数据生成过程是平

稳过程或者趋势平稳过程。

对于非平稳过程，其样本一阶自相关函数接近于1，然后样本自相函数随着阶数的增加而缓慢衰减。应该注意，这样的非平稳过程包括趋势平稳过程与单位根过程。

（二）DF 与ADF 检验

考虑一个AR(1)过程：

1t t t y y ρε-=+，{}t ε是白噪声过程 模型可以被改写为：

其中1λρ=-。

单位根检验等价于检验λ是否为零。该检验是一个单尾检验，我们不考虑ρ>1的情况，因为该情况意味着数据生成过程是爆炸的。建立假设体系：

与往常一样，我们利用t 统计量来进行检验。然而，在原假设下，此时的t 统计量并不服从t 分布，而是服从DF 分布，为了强调这一点，我们可以把这里的t 统计量改称为τ统计量。

如果计算出的τ值小于临界值（临界值是一个负数），则在某个显著水平下拒绝原假设，反之则不拒绝原假设。

上述检验被称为DF 检验。应该注意到，我们初始所考虑的是一个AR(1)过程。现在我们考虑一个