秒杀立体几何题(高考专题)

秒杀立体几何题(高考专题)

高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 例1 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°

讲解:（1）正方形ABCD 是四棱锥P —ABCD 的底面, 其面积 为,2

a 从而只要算出四棱锥的高就行了.

⊥PB 面ABCD,

∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ， ∴PA ⊥DA ，

∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.

而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tan60°=3a , 3

23

3331a a a V =⋅=

∴锥.

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形.

作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，

C E A C E

D C

E AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角. 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ， .2

2

a AD AE OA a =<<=∴

在.0)2)(2(2)2(cos ,2

2

22<-+=⋅⋅-+=∠∆AE

OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中 故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.

本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

例2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直

角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

2

3，

D 为AB 的中点.

（1）求证：AB 1⊥平面CED ；

（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.

讲解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1

⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1.

∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1

∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段

∵CE=

23，AC=1 , ∴CD=

.2

2

∴2

1

)()(22=

-=

CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角. 在Rt △CEA 中，CE=2

3

，BC=AC=1, ∴∠B 1AC=600 ∴260

cos 1

2

1==

AB ， ∴2)()(2211=-=AB AB BB , ∴ 21

1==

∠BC

BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例3 如图a —l —β是120°的二面角，A ，B 两点在棱上，AB =2，D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C 在β内，∆ABC 是等腰直角三角形∠ACB=.900

（I ） 求三棱锥D —ABC 的体积；

（2）求二面角D —AC —B 的大小； （3）求异面直线AB 、CD 所成的角.

讲解: (1) 过D 向平面β做垂线，垂足为O ，连强OA 并延长至E .

DAE OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为二面角a —l —β的平

面角..60,120

=∠∴=∠DAO DAE 3,2=

∴==DO AB AD .

ABC ∆ 是等腰直角三角形，斜边AB =2.,1=∴∆ABC S 又D 到平面β的距离DO=.3

.3

3=

∴-ABC D V （2）过O 在β内作OM ⊥AC ,交AC 的反向延长线于M ,连结DM .则AC ⊥DM .∴∠DMO 为二面角D —AC —B 的平面角. 又在△DOA 中，OA =2cos 60°=1.且

.2

2

,45=

∴=∠=∠OM CAE OAM .6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ （3）在β平在内，过C 作AB 的平行线交AE 于F ，∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角. A C F C A F DF CF AF CF AF AB ∆=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形，又AF 等于C 到AB 的距离，即△ABC 斜边上的高,.1==∴CF AF

.7.7.7120cos 2222=∠∴==

∠∴=⋅-+=∴DCF tg CF

DF

DCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成的角为arctg .7 比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.