2016-2017年高三二模数学(理)试题(带答案)
【安徽省安庆】2017学年高考二模数学年(理科)试题答案
（Ⅰ）将直线 l 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求点 P 到直线 l 的距离的最大值与最小值．
【选修 4-5：不等式选讲】
23．已知 f ( x) | x- 1| +| x 2 | ． （1）若不等式 f ( x ) a 2 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值的集合 T ；
（Ⅱ）设 m、 n T ，证明： 3|m n| |mn 3|．
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若
直线 l 的极坐标方程是 sin( π) 2 2 ，且点 P 是曲线 C ： x 3cos （ 为参数）上的一个动点．
4
y sin
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17 ．已知数列 { an } 中， a1 2 ， a2 4 ，设 Sn 为数列 { an } 的前 n 项和，对于任意的 n 1 ， n N * ，
-2-/ 4
Sn 1 Sn - 1 2( Sn 1) ．
（1）求数列 { an} 的通项公式；
（2）设 bn
2．设 i 是虚数单位，复数 a i 为纯虚数，则实数 a 的值为（
）
1i
A． 1
B．1
C． 2
D． 2
3．设命题 p ： x 0 (0,
) ， x0 1 3 ；命题 q ： x (2, ) ， x 2 2x ，则下列命题为真的是（
）
x0
A ． p (￢ q )
B． (￢ p) q
C． p q
D． (￢ p) q
P ， M 与直线 m 交于点 Q，求证：以线段 PQ 为直
2017届广州市高三(二模)数学(理)
2017届广州市高三(二模)数学(理)D21、已知函数()ln x f x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积.23、选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2314．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =.因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =. 因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=.因为22a =，所以11a =.因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，所以()111n n a q S q -==-122112n n -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2n n n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+. 因为()1n n n ++=，所以()112n n T n +=-()122n n ++-. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥.所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得1,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a，1,22E a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()0,,0AB a =，1,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,102ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,CE a ⎛⎫=- ⎪，所以cos ,n CEn CE n CE⋅==. 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=，()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=，()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=，()2 2.4P ξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为(). 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（Ⅱ）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m -=()22160k m +->， 所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ， 根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k-=+.则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意. 故m的最大值为3. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪.因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =.所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x -=(22ln ln 4ln x x x x +-. 令()ln p x x =-所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1p x x '=10x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p<ln e 0=-.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥， 即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。
2016年江苏省高考数学二模试卷(解析版)
2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4； 当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7； 当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10； 当l=10时，不满足进行循环的条件， 故输出的S 值为15． 故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球， 从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos α，tan α的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cos α=﹣=﹣，tan α==﹣2，∴tan （α+β）===，整理可得：tan β=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h ，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，∵b1008=1，∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，∴a2016=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n 的坐标为（t ，0），直线方程为y=k （x ﹣t ），代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，即有x 1+x 2=，x 1x 2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则实数a 的取值范围为 [3，+∞） ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则a ≥3即可，故实数a 的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x ，同理可得+≥2y ，+≥2z ，三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），即为++≥x +y +z ，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，Eξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2016），∴，则a2017＜1；又，∴×2017=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2016年10月17日。
江苏省苏北四市2016-2017届高三年级第二次调研测试数学试卷word(修正版)
苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b满足a b a b ==+ ，则a 与2a b - 夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-= 上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD-中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA EB⊥，点,M N分别是,AE CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17、如图，已知,A B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，3tan,44BAN BCNπ∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,A B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016—2017学年度高三年级第二次调研测试数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{- 2 3．14 4．20 5．316．1 7 8．12-9．2 10．(,3]-∞- 11．8 1213．[7,13] 14．{20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ，…………………8分 所以24sin22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()25225=-⨯--=．…………………………………………………14分16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB ，………………………………………………………10分 又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B = ，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………………………………………………14分17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =．则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =， 所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB (km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()f θ的最小值为π()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元)，此时4AP = ……12分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A的正西方向(4km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得2c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=． ………………………………………4分 （2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k -． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k-++，……………………10分 直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k k Q k k --++， 所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤14分当且仅当12k k=，即k ==”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………16分 19．（1）当0a =时，2()2ex f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-， 若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}；当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． ……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e '()e e x x h x x x-=-=．所以函数()h x 的最小值为0h =，所以2()ln 02e x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分 （3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x 21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x x ϕ=+，则'()x ϕ='()0x ϕ=，得x =当0x <'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x -+≤恒成立．所以存在a ，12b =-符合题意．………………………………………16分20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =；当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-，即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî …………………………………………5分 （2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ≤+++恒成立，令2332()1n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=>++，所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n =?-， 由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立，所以9a ≤．又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?．设(1)k m n =-，因为214114443k k --++++=，所以(1)21545[3(1444)1]m n k --??++++，213[5(144+4)2]1k -=++++-，…………………………14分因为215(144+4)2k -++++为正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比2315k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m -=?， 由1315(31)n n k m --=?得，11[5(31)1]()3n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题) 参考答案与评分标准21．[选做题]A ．因为D 为弧BC 的中点，所以DBC DAB ∠=∠，DCDB =，因为AB 为半圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒， 又E 为BC 的中点，所以EC EB =，所以DE BC ⊥， 所以ABD △∽BDE △，所以2AB BD BD AD BE BC==，所以2AB BC AD BD ⋅=⋅．……………………………10分B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，……………6分 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为2，4．……………………………………………………10分 C ．直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=，圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，…………………………………………5分圆心C 到直线l =1m =-或5m =-．…………10分 D ．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18≥，当且仅当a b c ===”， 所以18m =．…………………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-， 所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．AB CDEO （第21(A)题）甲选做D 题的概率为1113C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2=．则1111()32212P E =⨯⨯=．答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为112． …………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………………4分1112(0)(1)32212P X ==-⨯⨯=，212111115(1)()(1)C (1)()3232212P X ==⨯+-⨯-⨯=， 12222111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==⨯-⨯+-⨯-=， 222111(3)C (1)3212P X ==⨯-=． ……………………………………………8分X 的数学期望4()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．（1）21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n n -，………………………………1分由1011101111(1)(1)(C C C )(C C C )n n n n n nn n n n n n x x x x x x ------++=++++++可知， 1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为01111111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++．所以0111111121C C C C C C C n n n n n n n n n n n ------+++= ．…………………………………4分（2）当*k N Î时，!!C !()!(1)!()!k nn n k k k n k k n k =?--- 11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---=?--．……………………………6分所以12222211111(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n n nn k k k k knnnnn nn n k k k n k k n --===+++===邋?11111(CC )(C C )nn k k n k kn nn n k k n n----====邋．………8分由（1）知0111111121C C C CC C Cn n n n n nn nn nn ------+++= ，即1211(C C )C nn k k nn n n k ---==å，所以1222221(C )2(C )(C )C n nn n n n n n -+++= ． …………………………………10分。
山东省德州市2017届高三下学期二模考试数学理试题Word版含答案
.山东省德州市2017届高三放学期4月二模考试高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.设全集U R，会合2，1x1，则(U) M x|xx20N x|()2INeM2（）A．2,0B．2,1C．0,1D．0,22.若复数(1mi)(3i)（i是虚数单位，m R）是纯虚数，则复数m3i的模等于（）1iA．1B．2C．3D．43 .r r60r r r r已知平面向量a和b的夹角为，a(2,0)，|b|1，则|a2b|（）A．20B．12C．43D．234.已知cos 3)72，那么（），cos(，且05102A．B．C．4D．1263某产品的广告花费x万元与销售额y万元的统计数据如表：广告花费x2345销售额y26394954依据上表可得回归方程$a，据此模型展望，广告花费为6万元时的销售额为（）y万元A．B．C．D．726.以下说法正确的选项是（）A．命题“x R，使得x2x10”的否认是：“x R，x2x10”B．命题“若x23x20，则x1或x2”的否命题是：“若x23x20，则x1或x2”...C．直线l1：2ax y10，l2：x2ay20，l1//l21的充要条件是a2D．命题“若x y，则sinxsiny”的逆否命题是真命题7.履行如下图的程序框图，则输出的结果是（）A．7B．8C．9D．108.已知双曲线x2y21（a，b0）的两条渐进线与抛物线y24x的准线分别交于a2b2A，B两点，O为坐标原点，若S AOB23，则双曲线的离心率e（）A．3B．7C．2D．1322 9.已知某空间几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）...A．40B．34C．1042D．6433333|lnx|,0x e,2x b（b R）的四个实根从10.已知函数f(x)x),e 设方程f(x)f(2e x2e,小到大挨次为x1，x2，x3，x4，对于知足条件的随意一组实根，以下判断中必定成立的是（）A．x1x22B．e2x3x4(2e1)2C．0(2e x3)(2ex4)1D．1x1x2e2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.对于x的不等式|x2||x8|a在R上恒成立，则a的最大值为．x3与y 112.已知(x,y)||x|1,|y|1，A是曲线y x2围成的地区，若向地区上随机投一点P，则点P落入地区A的概率为．3x y60,13.设x，y知足拘束条件x y20,则目标函数z axby（a0，b0）的最x0,y0,大值为10，则a2b2的最小值为．14.现有12张不一样的卡片，此中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不可以时同一种颜色，且红色卡片至多1张，不一样取法的种数为．...15.若对随意的x D，均有g(x)f(x) h(x)成立，则称函数f(x)为函数g(x)到函数h(x)在区间D上的“率性函数”．已知函数f(x) kx，g(x) x22x，h(x) (x 1)(lnx 1)，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1,e上的“率性函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知函数f(x)4sinxcos(x)3，x0,.36（Ⅰ）求函数f(x)的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC的两边长a，b分别为函数f(x)的最小值与最大值，且ABC的外接圆半径为32，求ABC的面积．417.已知等比数列a n的前n项和为S n，且6S n3n1a（aN）．（Ⅰ）求a的值及数列a n的通项公式；（Ⅱ）设b n(1)n1(2n22n1)，求bn的前n项和T n．(log a2)2(log an1)23n318.如下图的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后获得的，此中BAE GAD45，AB2AD2，BAD60．19.（Ⅰ）求证：BD平面ADG；（Ⅱ）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．来自某校一班和二班的合计9名学生志愿服务者被随机均匀分派到运送矿泉水、打扫卫...生、保持次序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位起码有一名一班志愿者的概率是20．21（Ⅰ）求打扫卫生岗位恰巧一班1人、二班2人的概率；（Ⅱ）设随机变量X为在保持次序岗位服务的一班的志愿者的人数，求X散布列及希望．20.已知函数f(x)1x22alnx(a2)x，a R．2（Ⅰ）当a1时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a0时，议论函数f(x)单一性；（Ⅲ）能否存在实数a，对随意的m，n(0,)，且mn，有f(m)f(n)a恒成m n立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明原因．21.已知椭圆C：x2y21(ab0)经过点(1,23)，左右焦点分别为F1、F2，圆a2b23x2y22与直线x yb0订交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，Q为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不一样的点．|MN|（1）尝试究的值能否为一个常数？假如，求出这个常数；若不是，请说明原因．（2）记QF2M的面积为S1，OF2N的面积为S2，令S S1S2，求S的最大值．..高三数学（理科）试题答案一、选择题1-5:ACDCA6-10:BDDBB二、填空题12.5 25 15.e2,213.4813三、解答题16.解：（Ⅰ）f(x)4sinx(1cosx 3sinx)32sinxcosx2 3sin 2x22sin2x3cos2x2sin(2x)，3∵ 0 x，∴2x2，6333∴ 3sin(2x)1，23∴函数f(x)的值域为3,2．（Ⅱ）依题意a3 ，b 2，ABC 的外接圆半径r3 2 sinA a 34 ，2r3 22sinBb 2 2 23，cosB12r3 2 3，cosA3 ，32sinC sin(AB) sinAcosBcosAsinB6，3∴S ABC1absinC1 236 2．22317.解：（Ⅰ）∵等比数列a n 知足 6S n3n1a （aN ），n 1时，6a 1 9a ；n2时，6a n6(S n S n1)3n1a(3n a)23n .∴a nn 11时也成立，∴1 69 a ，解得a 3，3 ，n.36 ，3...∴a n 3n1.(1)n1(2n 22n1)(1)n1(2n 22n1)n111.（Ⅱ）b n2) 2(log 3a n 2n 2(n 2(1)2(n1)2(log 3a n 1)1)n 当n 为奇数时，T n(1 1( 1 1111122)2 22)⋯2(n 21)2 ；1 23n 1) (n当n 为偶数时，T n( 1 1) ( 1 1) ⋯1 1 11 2 .22 2222(n 2(n1 23n 1)1)综上，T n 1(1)n1(n 1 ．1)218.（Ⅰ）证明：在 BAD 中，∵AB2AD2 ， BAD 60 ．由余弦定理BD 2AD 2AB22AB ADcos60 ，BD3，AB 2AD 2DB 2，∴AD DB ，在直平行六面体中， GD 平面ABCD ，DB平面ABCD ，∴GDDB ，又ADIGDD ，∴BD平面ADG ．（Ⅱ）解：如图以 D 为原点成立空间直角坐标系D xyz ，∵BAE GAD 45 ，AB2AD2，∴A(1,0,0)，B(0, 3,0) ，E(0,3,2)，G(0,0,1)，uuur(1, 3,2)uuur uuur3, 1)，AE ，AG (1,0,1)，GB(0,r(x,y,z)，设平面AEFG 的法向量nr uuu rn AEx 3y 2z 0,1，得y3，z1，r uuu rxz0,令x3n AGr(1,3,1)，∴n3设直线GB 和平面AEFG 的夹角为，...uuurruuu r r 21GBn，∴sin|cosGB,n||uuurr|7|GB||n|因此直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为21．719.解：（Ⅰ）记“起码一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A ，则A 的对峙事件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位” ，设有一班志愿者 x 个，1x9，那么P(A)1C 93x20 ，解得x 5，即来自一班的C 9321志愿者有5人，来自二班志愿者 4人；记“打扫卫生岗位恰巧一班1人，二班 2人”为事件C ，那么P(C)C 51C 42 5，C 9314全部打扫卫生岗位恰巧一班1人，二班 2人的概率是5．14（Ⅱ）X 的全部可能值为0,1，2,3．P(X1)C 51C 42 5C 52C 41 10C 53C 40 5C 93，P(X1)C 93，P(X 3)，1421C 9342因此X 的散布列为X 01 2 3P1510 521142142E(X)01 1 5210355． 21 142142320.解：（Ⅰ）当a 1时，...f(x)1x22lnx3x，f'(x)x23x23x2(x1)(x2)．2x x x 当0x1或x2时，f'(x)0，f(x)单一递加；当1x2时，f'(x)，f(x)单一递减，因此x1时，f(x)极大值f(1)5；2x2时，f(x)极小值f(2)2ln24．（Ⅱ）当a0时，f'(x)x 2a(a2)x2(a2)x2a(x2)(xa)，x x x①当a2，即a2时，由f'(x)0可得0x2或x a，此时f(x)单一递加；由f'(x)0可得2x a，此时f(x)单一递减；②当a2，即a2时，f'(x)0在(0,)上恒成立，此时f(x)单一递加；③当a2，即2a0时，由f'(x)0可得0x a或x2，此时f(x)单一递增；由f'(x)0可得a x2，此时f(x)单一递减．综上：当a2时，f(x)增区间为(0,2)，(a,)，减区间为(2,a)；当a2时，f(x)增区间为(0,)，无减区间；当2a0时，f(x)增区间为(0,a)，(2,)，减区间为(a,2)．（Ⅲ）假定存在实数a，对随意的m，n(0,)，且mn，有f(m)f(n)a恒成m1立，不如设m n0，则由f(m)f(n)a恒成立可得：f(m)am f(n)an恒成立，m1令g(x)f(x)ax，则g(x)在(0,)上单一递加，因此g'(x)0恒成立，即f'(x)a0恒成立，∴x 2a(a2)a0x22x2a0，x，即x0恒成立，又x∴x22x2a0在x0时恒成立，..11 / 1211.∴a1(x 2 2x)2mi n，2∴当a 1，n(0, )，且m n ，有f(m) f(n)a 恒成立.时，对随意的mm 1221.解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线xy b0的距离为1，即b1，因此b2，2又椭圆C 经过点(1,23)，因此14 1，获得a3，3a 2 3b 2因此椭圆C 的标准方程为x 2y 2 1．32（Ⅱ）（1）设Q(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，OQ 的方程为xmy ，则MN 的方程为xmy 1 .x my, x 26m 2, x 0 26m 2 ,由x 2 y 2得2m 23即2m 2 31,y26,2 6.322m 2y 02m 233因此|OQ|1m 2|y 0|61m 2 ，2m 2 3x my 1,由x 2 y 2，得(2m 2 3)y 2 4my 4 0，3 2 1,因此y 1y 24m， y 1y 24，2m 22m 233|MN|1m 2|y 1y 2|1m 2 (y 1 y 2)2 4y 1y 21 m 216m 2 16(2m 2 3)2 2m 2 31m2431m 243(1m 2)，2m 2 32m 2 3因此|MN|43(1 m 2)23．2m 2 3|OQ|26(1 m 2) 32m 2 3..12 / 1212.（2）∵MN//OQ ，∴QF 2M 的面积 OF 2M 的面积，∴SS 1 S 2SOMN，∵O 到直线MN ：xmy 1的距离d1，m 21∴S1|MN|d1 4 3(m 21) 123m 21，令 m 2 1t ，则22 2m 23 m 21 2m 2 3m 2 t 2 1（t 1），S2 3t32 3t2 3 ，2(t 2 1)2t 2 12t 1t令g(t)2t1(t 1)，g'(t) 2 1 0，tt 2∴g(t)在[1,)上为增函数，g(t)min g(1) 3，S max2 3．3..。
(黑龙江)高三数学-黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模考试数学(理)试题 Word版含答案
2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的模为2 B ．z 的虚部为-1 C ．z 的实部为1 D ．z 的共轭复数为1i +2.已知集合{0,2,4,6}A =，{|28}nB n N =∈<，则集合A B I 的子集个数为（ ） A ． 8 B ．7C ． 6D ．43.对于平面α和不重合的两条直线,m n ，下列选项中正确的是（ ） A ．如果m α⊂，//n α，,m n 共面，那么//m n B ．如果m α⊂，n 与α相交，那么,m n 是异面直线 C ．如果m α⊂，n α⊄，,m n 是异面直线，那么//n α D ．如果m α⊥，n m ⊥，那么//n α4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P ξ≤=，则(0)P ξ≤=（ ） A ．0.16 B ．0.32 C. 0.68 D ．0.845.在区间[中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(3)1x y -+=相交”发生的概率为（ ） A ．12 B ．14C. 16 D ．186.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．57.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ． 20 C. 40 D ．608.已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（ ） A ．79- B ．79 C. 79± D ．29-9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形； 其中真命题的个数是（ ）A ． 4B ．3 C. 2 D ．110.“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠=o，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2 B．11．1+12.已知函数1()([,])f x kx x e e=∈，21()()x g x e =，若(),()f x g x 图象上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线y x =对称，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1[,]e e - B ．2[,2]e e -C. 3[,3]e e - D ．2(,2)e e- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,x y 满足400x y x y x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为n，则(n x 展开式的常数项为 ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则a b +的取值范围是 ．15.已知221,[1,1]()1,(1,2]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则21()f x dx -=⎰ ．16.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k ，使得|()|||2017kf x x ≤对所有实数x 均成立，则称函数()f x 为“期望函数”，给出下列函数：①2()f x x =；②()xf x xe =；③2()1x f x x x =-+；④()1xxf x e =+； 其中为“期望函数”的是 ．（写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，123n n a S +=+，*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050:为优；51100:为良；101150:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -底面为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，点M 为线段PA 上任意一点（不含端点），点N 在线段BD 上，且PM DN =.（1）求证：直线//MN 平面PCD ；（2）若M 为线段PA 中点，求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值.20. 已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,A B 两点，点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点，圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ，直线AD 和BC 交于点P ，设P 点的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与y 轴正半轴交点为H ，则曲线E 是否存在直角顶点为H 的内接等腰直角三角形Rt GHK ∆，若存在，求出所有满足条件的Rt GHK ∆的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.21. 定义：设()f x 为(,)a b 上的可导函数，若'()f x 为增函数，则称()f x 为(,)a b 上的凸函数.（1）判断函数3y x =与1lgy x=是否为凸函数； （2）设()f x 为(,)a b 上的凸函数，求证：若121n λλλ+++=L ，0(1,2,,)i i n λ>=L ，则(,)(1,2,,)i x a b i n ∀∈=L 恒有11221122()()()()n n n n f x f x f x f x x x λλλλλλ+++=+++L L 成立；（3）设,,0a b c >，*n N ∈，n b ≥，求证：532532532n n n n n n a b c a b c b c a c a b ---++≥++.22.圆锥曲线C 的极坐标方程为：22(1sin )2ρθ+=.（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标； （2）直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.23.（1）已知对于任意非零实数a 和b ，不等式|3|||||(|1||1|)a b a b a x x ++-≥-++恒成立，试求实数x 的取值范围；（2）已知不等式|21|1x -<的解集为M ，若,a b M ∈，试比较11ab+与11a b +的大小.（并说明理由）试卷答案1-------6：B DAA B C 7---------12：BAADBC 13.240 14.(2,4] 15. 16.③④17. 解：（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得123n n a S -=+， 两式相减，得11222n n n n n a a S S a +--=-=，∴13n n a a +=，∴13n na a += 当1n =时，13a =，21123239a S a =+=+=，则213a a =. 数列{}n a 是以3为首项，3 为公比的等比数列∴1333n nn a -=⨯=（2）由（1）得(21)(21)3nn n b n a n =-=-⨯ ∴23133353(21)3nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L23413133353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L错位相减得：2311213232323(21)36(22)3n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=---⨯L ∴1(1)33n n T n +=-⨯+18、解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=(2)35（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3 328(0)()5125P ξ===，1233236(1)()55125P C ξ===，2233254(2)()55125P C ξ=== 3327(3)()5125P ξ===， 故ξ的分布列为：显然3(3,)5B ξ:，33 1.85E ξ=⨯=. 19.（Ⅰ）延长AN ，交CD 于点G ，由相似知AN BN AMNG ND MP==， MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ，则直线MN //平面PCD ； （Ⅱ）由于DA DC DP ⊥⊥，以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 设(1,0,0)A ，则(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，11(,0,)22M ，11(,,0)22N则(1,1,1)PB =-u u u r ，平面AMN 的法向量为(1,1,1)m =u r，则向量PB u u u r 与m u r 的夹角为θ，则1cos 3θ=，则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为23.20. （Ⅰ）设00(,)M x y ，则M 处的切线为004x x y y +=，则0042(2,)x C y +-，0042(2,)x D y -，则00042(2)4:42(2)4x y x y P x y x y -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，则22:1(0)4x E y y +=≠； （Ⅱ）由于直线GH 不与坐标轴平行或垂直，可设:1GH l y kx =+，则1:1KH l y x k=-+ 224401x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩，得22(14)80k x kx ++=，由于0∆>恒成立，设两个根为12,x x ，则2281||14k GH k k -=++，同理，222281181||||4||41k kkHK k k k k +=+=++ 由GH HK =知：22||(4)41k k k +=+，得：（1）0k >时，得2(1)(31)0k k k --+=得：1k =或352k ±=（2）0k <时，得2(1)(31)0k k k +++=得：1k =-或352k -±= 综上，共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为：1y x =±+；（2）两条直角边所在直线方程为：5312y x ±=+ （3）两条直角边所在直线方程为：5312y x -±=+ 21.（1）3y x =不是，1lgy x=是； （2）2n =时，即证：120λλ>且121λλ+=时，11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+ 不防设12x x ≥，12,(,)x x a b ∈，令11221122()()()()F x f x f x f x x λλλλ=+-+'''1122()[()()]F x f x f x x λλλ=-+因为122212()()0x x x x x λλλ-+=-≥且'()f x 时递增函数，所以'()0F x ≥，即()F x 为单调递增函数， 所以12()()0F x F x ≥=，即11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+； 假设(2)n k k =≥时，结论成立， 即0i λ∀>，11kii λ==∑，(,)i x a b ∈，(1,2,3,,)i k =L ，有11()()k ki i i i i i f x f x λλ==≥∑∑成立，则1n k =+时，0i λ∀>，11kii λ==∑，(,)i x a b ∈，(1,2,3,,,1)i k k =+L ，有+1+111221111221111()[()()]k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x f x x x λλλλλλλλλλλλλ++--+++++++=++++++L L11122111111()()()()()]k k k k k k k k k k k k f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλ+--++++≤++++++++L112211()()()k k f x f x f x λλλ++≤+++L所以1n k =+时，结论也成立， 综合以上可得，原结论成立.（3）令0n a a =，0n b b =，0nc c =，即证：（000,,0a b c >）5325353200000000000n n n nn n nn nn na b c a b c b c b a b ---++≥++成立，由（1）得1()lgf x x =为凸函数，而5321n n n n-++=， 有000000532532(lg )(lg )(lg )lg()n n a b c a b c n n n n n n---+-+-≥-++而532000000532n n n nn a b c a b c n n n --++≥，同理有： 532000000532n n n n n a b c b c a n n n --++≥ 532000000532n n n n n c a b c a b n n n--++≥， 则5325353200000000000n n n nnnnnnnna b c a b c b c b a b ---++≥++成立，得证.22.（Ⅰ）曲线C 直角坐标方程：2212x y +=，焦点直角坐标：12(1,0),(1,0)F F - 焦点极坐标：12(1,),(1,0)F F π （Ⅱ）217(,)77M -或2217(77M - 23.（Ⅰ）|3||||3|4||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当(3)()0a b a b +-≥时取等号，只需：4||||(|1||1|)a a x x ≥++-，由于0a ≠，只需|1||1|4x x ++-≤，11 所以：x 的取值范围为：[2,2]-；（Ⅱ）解得：(0,1)M =，,a M b M ∈∈知：1111(1)(1)10ab a b a b ab a b ab ab +----+--==>，即1111ab a b +>+.。
河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题(理)含答案
数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =（ ） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ） A ．20 B ．24 C ．30 D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310πB ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．2π-B ．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．28+．36+C. 3642123+．44122+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A．21tan9B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9D．25tan 921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A．2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈R)，若(),⊥⊥-a b c b a ，则λμ= ． 14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()s i n s i n s i n A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ．16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足11332,n n a a a n +=+=+∈N *. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC ACBD F ===，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围. 21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC 二、填空题 13.2516103 15. 217⎛ ⎝⎦330 三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--.18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()ij A A i j =∅≠.(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A =，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=)，故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G ==∴， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-，设()()()00000011,,,,,22C x y z DC AB x y z =∴+=，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令11z =，得()13,1,1n =，同理可得平面AGC 的一个法向量()11212123,5,3,cos ,5n n n nn n n ⋅====，所以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,422p pF FA FD FA ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则(3222232224p +++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1APk =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭.21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t t y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t t e k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'x h x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ()00t =，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθρθ-=-)2x y -=-即直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==P 到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan a ϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即()1414144,225252182βαβααβαβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。
【安徽省蚌埠市】2017年高考二模数学(理科)试卷-答案
PAC底面ABCD⊥，作PO AC=，cos601=， sin603∴(0,PA =-，(3,1,PB =，(0,2,PC =的一个法向量为(,,m x y = 3 2m PB x m PA y ⎧⋅=⎪⎨⋅=-⎪⎩，则(3,m =-的一个法向量为(,,)n x y z = 3 2n PB x n PC y ⎧⋅=⎪⎨⋅=-⎪⎩，则3(,1,1)3n = 1,|| ||75m n m n m n ===⨯∴二面角A BP C ﹣﹣的余弦值为35x x-+--≥1x|7 ()()f x m n x≥+|||10安徽省蚌埠市2017年高考二模数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解关于A的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，1，2}，故选：B．2．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵iz=1﹣i，∴﹣i•iz=﹣i•（1﹣i），z=﹣i﹣1．=﹣1+i．故选：C．3．【考点】3O：函数的图象．【分析】由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，即可得出结论．【解答】解：由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，故选A．4．考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出a4的值．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．5．考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：m=4，t=3，y=1，第一次循环，i=3≥0，y=6；第二次循环，i=2≥0，y=20；第三次循环，i=1≥0，y=61；第四次循环，i=0≥0，y=183，第五次循环，i=﹣1＜0，输出y=183，故选：C．6．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，•=﹣1，点M在边CD上，∴||•||•cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则•的最大值是2，故选：A．7．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知，结合容斥定理，可得答案．【解答】解：∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”（￢p）∨（￢q），故选：A．8．【考点】DB：二项式系数的性质．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得圆得方程，则双曲线的两条渐近线方程为y=±bx，利用四边形ABCD的面积为b，求得A点坐标，代入圆的方程，即可求得b得值，【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=1，双曲线的两条渐近线方程为y=±bx，设A（x，bx），∵四边形ABCD的面积为b，∴2x•2bx=b，∴x=±，将A（，）代入x2+y2=1，可得+=1，∴b=故选A．9．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos2+sinωx﹣=cosωx+sinωx=sin（ωx+），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得ω∈（0，]∪[，）．故选：B．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故f′（x）=a+（x ﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，设y=（1﹣x）e﹣x，则y′=（x﹣2）e﹣x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0∴x=2时，函数取得极小值﹣e﹣2，∴0＞a＞﹣e﹣2．故选：D．11．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以四边形为底面的四棱锥，其高为5，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以四边形为底面的四棱锥，其高为5．底面面积S=梯形+三角形组成．S梯形=（4+3）×2=7；S三角形=×3×2=3．∴底面面积S=10．该几何体的体积．故选C．12．【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意求得数列{bn}的通项公式，代入即可求得数列{cn}的通项公式，根据等比数列通项公式的性质，即可求得a和q的值，求得a+q的值．【解答】解：数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，an=aqn﹣1，则bn=1+a1+a2+…+an=1+=1+﹣，则cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣×=2﹣+n+，要使{cn}为等比数列，则，解得：，∴a+q=3，故选B．二、填空题13．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用二项式系数的性质求得n=12，再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【解答】解：∵二项式（﹣）n的展开式中，所有项的二项式系数之和为2n=4096，n=12，故（﹣）n =（﹣）12的展开式的通项共公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令4﹣=0，求得r=3，可得常数项为T4=•（﹣1）3=﹣220，故答案为：﹣220．14．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出边长为的正△ABC的外接圆的半径，利用OA与平面ABC所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：边长为的正△ABC的外接圆的半径为1，∵OA与平面ABC所成的角为30°，∴球O的半径为=，∴球O的表面积为4πR2=π．故答案为：π．15．过O点作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的射影，由区域内的点在直线l：λ（2x﹣3y﹣9）+μ（x+y﹣2）=0上的射影构成线段记为MN，则|MN|的长度的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，判断可行域的两点的距离的最大值，然后利用条件推出结果即可．【解答】解：由表示的可行域如图：直线l：λ（2x﹣3y﹣9）+μ（x+y﹣2）=0恒过（3，﹣1）．由于可行域内的任意两点的连线的距离的最大值为：5，过（3，﹣1）作y轴的平行线，如图，满足题意的|MN|的长度的最大值为：5．给答案为：5．16．赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有5、6、7、8、9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其资金（单位：元）．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与资金，则Eξ﹣Eη=3（元）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可得：P（ξ=k）=（k=5，6，7，8，9）．可得Eξ=7．η的取值为：2，4，6，8．其中P（η=2）=，P（η=4）=，P（η=6）=，P（η=8）=，即可得出分布列与数学期望．【解答】解：由题意可得：P（ξ=k）=（k=5，6，7，8，9）．可得Eξ==7．η的取值为：2，4，6，8．其中P（η=2）==，P（η=4）==，P（η=6）==，P（η=8）==，其分布列为：2 4 6 8∴Eη=2×+4×+6×+8×=4．∴Eξ﹣Eη=7﹣4=3（元）．17．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形内角和定理sinC=sin（A+B），打开化解，根据正弦定理，可得的值；（Ⅱ）c=2，，由余弦定理求出a，b的值，根据△ABC的面积可得答案．18．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．课时间长的基本结果种数，由此能求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率．（3）利用平均数定义能判断与的大小．20．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由a=，椭圆的离心率e==，求得b，求得椭圆的标准方程，求得直线PA的方程，求得C点坐标，直线BC的斜率kBC=﹣，直线OP的斜率kBC=，则kBC•kBC=﹣1，则OP⊥BC；（Ⅱ）分别求得三角形ABC的面积和四边形OBPC的面积，由题意即可求得|t|的最小值．小值问题中的应用．【分析】（1）f′（x）=2ax+1﹣2a﹣=．（x∈）．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．（2）f′（x）=2ax+1﹣2a﹣，f′（x0）=a（x1+x2）+1﹣2a﹣．而=a（x1+x2）+（1﹣2a）+．作差可得f′（x0）﹣=﹣﹣=﹣．不妨设0＜x1＜x2，令．由﹣=﹣=lnt﹣=g（t），t＞1．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．22．【【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程代入y2=4x，得3t2+8t﹣32=0，由此能求出||HI|﹣|JK||的值．23．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（1）对x的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式解出；（2）将两式相加，利用绝对值不等式化简即可得出结论．。
2017年5月广州市高三二模理科数学试题及答案详细解析
2017届广州市高三综合测试（二模）数学（理科）2017年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|1﹣≥0}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：由|x﹣1|＜1，即﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由1﹣≥0，即≥0，解得x≥1或x＜0，即B={x|x≥1或x＜0}则A∩B={x|1≤x＜2}，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．【解答】解：由（3﹣4i+z）i=2+i，得3﹣4i+z=，∴z=﹣2+2i．∴复数z所对应的点的坐标为（﹣2，2），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==60，再求出这个三位数是偶数包含的基本事件个数，由此能求出这个三位数是偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n==60，这个三位数是偶数包含的基本事件个数m==24，∴这个三位数是偶数的概率为p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．已知cos（）=，则sinθ=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得sinθ的值．【解答】解：∵cos（）=，∴cos（﹣θ）=2﹣1=﹣=sinθ，即sinθ=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．7．已知点A（4，4）在抛物线y2=2px （p＞0）上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则∠EAF的平分线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣12=0 B．x+2y﹣12=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y+4=0【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线方程，再抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线，从而可得结论．【解答】解：∵点A（4，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴16=8p，∴p=2∴抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，E（﹣1，4）由抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线∵k EF=﹣2，∴∠EAF的平分线所在直线的方程为y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0故选D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA1的中点N，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC1=，MC1=BN，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．9．已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选B．【点评】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．12．定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，若m，n满足f（m2﹣2m）+f（2n﹣n2）≥0，则当1≤n≤时，的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[1，] C．[，]D．[，1]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件，确定函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：由题意，不等式f（m2﹣2m）+f（2n﹣n2）≤0等价为f（m2﹣2m）≤﹣f （2n ﹣n 2）=f （﹣2n +n 2），∵定义在R 上的函数y=f （x ）是减函数∴m 2﹣2m ≥n 2﹣2n ，即（m ﹣n ）（m +n ﹣2）≥0，且1≤n ≤，n=，m=，或m=设z=，则z 的几何意义为区域内的动点P （n ，m ）与原点连线的斜率，（，）与原点的连线斜率为1，（，）与原点的连线斜率为，∴的取值范围为[故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用线性规划以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点O （0，0），A （﹣1，3），B （2，﹣4），=2+m，若点P 在y 袖上，则实数m=．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用坐标来表示平面向量的运算，又因为点P 在y 轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．【解答】解：∵O （0，0），A （﹣1，3），B （2，﹣4），∴=（﹣1，3），=（3，﹣7），∵P 在y 袖上，∴可设=（0，y ）， ∵=2+m，∴（0，y ）=2（﹣1，3）+m （3，﹣7）=（3m ﹣2，6﹣7m ）， ∴3m ﹣2=0，解得m=【点评】本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于最基本的题目．14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k 为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．15．设（x﹣2y）5（x+3y）4=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9，则a0+a8=﹣2590．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】展开（x﹣2y）5（x+3y）4=+…+（﹣2y）5]•[x4+4x3•3y+6x2（3y）2+4x•（3y）3+（3y）4]=ax9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9，比较系数即可的得出．9【解答】解：（x﹣2y）5（x+3y）4=+…+（﹣2y）5]•[x4+4x3•3y+6x2（3y）2+4x•（3y）3+（3y）4]=ax9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9，9则a0+a8=（﹣2）5×34+12﹣10=﹣2590．故答案为：﹣2590．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC=90°，sinA=，则对角线AC的最大值为27．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据题意，建立坐标系，求出D、C、B的坐标，设ABD三点都在圆E上，其半径为R，由正弦定理计算可得R=10，进而分析可得E的坐标，由于sinA为定值，则点A在以点E（﹣6，8）为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，建立如图的坐标系，则D（0，0），C（9，0），B（0，16），BD中点为G，则G（0，8），设ABD三点都在圆E上，其半径为R，在Rt△ADB中，由正弦定理可得==2R=20，即R=10，即EB=10，BG=8，则EG=6，则E的坐标为（﹣6，8），故点A在以点E（﹣6，8）为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC=10+EC=27；故答案为：27．【点评】本题考查正弦定理的应用，注意A为动点，需要先分析A所在的轨迹．三、解答题（共5小题，满分60分）解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•广州二模）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1a2a3=8，S2n=3（a1+a3+a5+…+a2n）（n∈N*）﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=nS n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）先根据等比数列的性质可求出a2的值，然后根据S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣）中令n=1可求出首项a1，从而求出公比，即可求出a n的通项公式，1（Ⅱ）先根据等比数列的求和公式求出S n，再求出b n=nS n，根据分组求和和错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=8 即a2=2）∵S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1∴n=1时有，S2=a1+a2=3a1从而可得a1=1，q=2，∴a n=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n==﹣1+2n，∴b n=nS n=﹣n+n•2n，∴T n=﹣（1+2+3+…+n）+1×2+2×22+3×23+…+n•2n，设A n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，∴2A n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减可得﹣A n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=﹣2+2n+1﹣n•2n+1=﹣2+（1﹣n）2n+1，∴A n=2+（n﹣1）2n+1，∴T n=﹣+2+（n﹣1）2n+1．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和以及错位相减法求和，以及等比数列的性质和通项公式，属于中档题．18．（12分）（2017•广州二模）如图，ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=a（Ⅰ）求证：EF丄AC；（Ⅱ）求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥平面EFDB，即可证明EF丄AC；（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵EB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EB⊥AC，∵ABCD是边长为a的菱形，∴AC⊥BD，∵EB∩BD=B，EB∥FD，∴AC⊥平面EFDB，∴EF丄AC；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（a，0，0），B（0，，0），F（0，﹣，a），C（﹣a，0，0），E（0，，a），∴=（a，，a），=（﹣a，，0），=（﹣a，﹣，a），设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，3，2），∴直线CE与平面ABF所成角的正弦值==．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2017•广州二模）某商场拟对商品进行促销，现有两种方案供选择．每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立．根据以往促销的统计数据，若实施方案1，顶计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4．第二个月销量是笫一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4．令ξi（i=1，2）表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数．（Ⅰ）求ξ1，ξ2的分布列：（Ⅱ）不管实施哪种方案，ξi与第二个月的利润之间的关系如表，试比较哪种方案第二个月的利润更大．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）依题意，ξ1的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ1的分布列；依题意，ξ2的所有可能取值为1.68，1.8，2.24，2.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ2的分布列．（Ⅱ）Q i表示方案i所带来的利润，分别求出EQ1，EQ2，由EQ1＞EQ2，实施方案1，第二个月的利润更大．【解答】解：（Ⅰ）依题意，ξ1的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，P（ξ1=1.68）=0.6×0.5=0.30，P（ξ1=1.92）=0.6×0.5=0.30，P（ξ1=2.1）=0.4×0.5=0.20，P（ξ1=2.4）=0.4×0.5=0.20，∴ξ1的分布列为：依题意，ξ2的所有可能取值为1.68，1.8，2.24，2.4，P（ξ2=1.68）=0.7×0.6=0.42，P（ξ2=1.8）=0.3×0.6=0.18，P（ξ2=2.24）=0.7×0.4=0.28，P（ξ2=2.4）=0.3×0.4=0.12，∴ξ2的分布列为：（Ⅱ）Q i表示方案i所带来的利润，则：∴EQ1=15×0.30+20×0.50+25×0.20=19.5，EQ2=15×0.42+20×0.46+25×0.12=18.5，∵EQ1＞EQ2，∴实施方案1，第二个月的利润更大．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．20．（12分）（2017•广州二模）已知双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C： +=1（a ＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动点M在椭圆C上，且|MN|=，记直线MN在y轴上的截距为m，求m 的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由题意求得椭圆的离心率，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，当斜率为0时，即可求得m的值，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式，利用导数求得函数的单调性及最值，即可求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，∴a=，，=，∴c=，b=，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）当直线MN的斜率为0时，由|MN|=，则M（，y），则y=，则直线MN在y轴上的截距为，当直线MN的斜率不存时，与y轴无焦点，设MN为：y=kx+m，（k≠0）联立，得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6=0，，，△=（12km）2﹣4（1+6k2）（6m2﹣6）＞0，△=144k2﹣24m2+24＞0，∴m2＜6k2+1，|MN|==，∴=，整理，得，∴＜6k2+1，整理得：36k4+12k2+1＞0，即6k2+1＞0，k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则=，令k2+1=t，t＞1，则f（t）=﹣2t﹣+，t＞1，求导f′（t）=﹣2+，令f′（t）＞0，解得：1＜t＜，令f′（t）＜0，解得：t＞，则f（t）在（1，）单调递增，在（，+∞）单调递减，∴当t=时，f（t）取最大值，最大值为，∴m的最大值为，综上可知：m的最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广州二模）已知函数f（x）=﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求得实数b的值；（Ⅱ）则a≥﹣在[e，e2]上有解，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系，求得h（x）的取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x）=﹣a，则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）=﹣a（x﹣e），即y=﹣ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=﹣ax+2e，比较可得b=e，实数b的值e；（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，则a≥﹣在[e，e2]，上有解，设h（x）=﹣，x∈[e，e2]，求导h′（x）=﹣==，令p（x）=lnx﹣2，∴x在[e，e2]时，p′（x）=﹣=＜0，则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，∴p（x）＜p（e）=lne﹣2＜0，则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，h（x）≥h（e2）=﹣=﹣，∴实数a的取值范围[﹣，+∞]．【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为：+=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案 (1)
安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥, 那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 互斥独立, 那么()()().P AB P A P B = 如果随机变量(),B n p ξ，则()()(),1E np D np p ξξ==-第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}R12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．{}2,1,0-- D ．{}0,1,2 2. 复数()()()i 3i R z a a a =+-+∈，若0z <，则a 的值是（ ） A ．3a =．3a =．1a =- D ．1a =3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112,1N n n a a S n *+==+∈，则5S = （ ） A ． 31 B ．42 C ．37 D ．47 4. 在ABC ∆中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -,给出ABC ∆满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件① ABC ∆周长为10 ②ABC ∆面积为10 ③ABC ∆中，90A ∠=方程则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）A ．123,,C C CB ．312,,C C C C.321,,C C CD ．132,,C C C 5. 在区间[]0,8上随机取一个x 的值，执行下面的程序框图，则输出的3y ≥的概率为（ ） A ．13 B ．12 C. 23 D ．346. 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）A ．1B ．23π C. 43π D ．83π 7. 已知()122051,1log 3,cos 6a x dxbc π=-=-=⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.a c b << D ．b c a <<8. 已知1,,m x y >满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩,若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为3，则12a b+（ ）A ．有最小值11103+ B ．有最大值11103+ C. 11210- D 11210- 9. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A ．144种 B ．288种 C. 360种 D ．720种 10.已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C.3⎫⎪⎪⎝⎭ D ．3⎛ ⎝⎭ 11. 函数()())ln 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],32ln 2-∞-B ．[)32ln 2,-+∞ C.),e ⎡+∞⎣D ．(,e -∞-12. 将函数34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()34y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）A ．23-+．23- C.13．13第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知13,,1,222a b a b ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，则b 在a 方向上的投影为 ．14. 若随机变量()22,3XN ，且()()1P X P X a ≤=≥，则()52x a ax x ⎛+ ⎝展开式中3x 项的系数是 ．15. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆知总成立. 据此，短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积是3cm ．16. 设()A n 表示正整数n 的个位数，()()2,n a A nA n A =-为数列{}na 的前202项和，函数()1xf x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()N n b g n n *=∈，则数列{}n b 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()3,1,cos 1,sin m n A A ==+，且m n 的值为23+（1）求A ∠的大小； （2）若33,cos a B ==，求ABC ∆的面积. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，13,PC M =在PC 上，且PA 面MBD . （1）求证:M 是PC 的中点；（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出AFAP的值；若不存在，说明理由.19. 2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选. 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客. 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计男性 女性 合计（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附: ()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++20. 已知椭圆(222:122x y E a a +=>的离心率63e =，右焦点(),0F c ，过点2,0a A c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆E 于,P Q 两点. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证:,,M F Q 三点共线；(3) 当FPQ ∆面积最大时，求直线PQ 的方程. 21. 已知函数()()()21'0x f x ax x e f =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证:()321222e e a e ++-<<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为221sin ρθ=+()1,0P 的直线l 交曲线C 于,A B 两点.（1）将曲线C 的极坐标方程的化为普通方程； （2）求PA PB 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-. （1）解不等式()()f x g x >；（2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: DBAAB 11-12：BA二、填空题13.14-14.1620 15.16π 16.2332nn n +-+ 三、解答题17. 解：(1)3cos 3sin 2sin 33m n A A A π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)36cos sin 33B B =∴=,由sin sin b a B A=得6332212b ==，())112sin 322sin 6sin cos cos sin 3222ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=.18. 解：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点. (2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()(1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,3,,,222A B D C P M ⎛--- ⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=得：()13F λλ-，面MBD 的一个法向量为231,3n ⎛=- ⎝⎭，面FBD 的一个法向量为21,33m λ⎛=- ⎝，由0n m =，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =.19. 解：(1)赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计男性 女性 合计将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系. (2)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ,i 0,1,2,3444XB P XC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：()4E X np ==.20. 解：(1) 2266a a -=⇒=，∴椭圆E 的方程是22162x y +=. (2)由（1）可得()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-. 由方程组()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222231182760kx k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->，得66k <<设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2212121111222218276,,2,0,,,2,,2,3131k k x x x x F M x y MF x y FQ x y k k -+==-=-=-++，由()()()()()()12211221222323x y x y x k x x k x ---=-----()22121222182765212521203131k k k x x x x k k k ⎛⎫-=+--=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，得,,,MF FQ M F Q ∴三点共线.(3)设直线PQ 的方程为3x my =+. 由方程组221623x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223630m y my +++=，依题意()22361230m m ∆=-+>，得232m >.设()()1122,,,P x y Q x y ，则12121233631,.332FPQ m y y y y S AF y y m m ∆+=-=∴=-++ ()()()()222212121222221223111612142223323m m y y y y y y m m m -⎛⎫=-=--=--= ⎪++⎝⎭+，令23t m =+，则()221221229111111139,,3922999FPQt S y y t m t t t ∆⎡⎤-⎛⎫=-==--+∴==+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即 26,6m m ==FPQ S ∆最大，FPQ S ∆∴最大时直线PQ 的方程为630x -=.21. 解：由已知得()()()2'21,'00x f x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-. (1)()()()2'2121xxf x ax a x e x ax a e ⎡⎤=++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a <--或0x >时，()'0f x >；当120x a--<<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x x a f x x e f x xe ==-=，当0x >时，()'0f x >；当0x <时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③ 若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a<<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.④若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a--<<时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭； 单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭,()0,+∞； (2)()()()22ln 1ln 1ln x x x g x e f x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e ee u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()101e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故 ()321222e e a e ++-<<-. 22. 解：(1)由221sin ρθ=+()221sin 2ρθ+=，得曲线C 的普通方程为2212x y +=. (2)由题意知，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2212x y +=得()222cos 2sin 2cos 10t t ααα++-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t ααα⎡⎤===∈⎢⎥++⎣⎦，PA PB ∴的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 23. 解：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或}3x >.（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥，故实数m 的最小值是3.。
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2016-2017年高三二模数学（理）试题（带答案）2016-2017学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科试卷使用时间：20161020 命题人：刘新风校对人：洪臣本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分10分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．．D．2若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为( )A．1 B．．D．3 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（）A单调递增B单调递减在上递增，在上递减D 在上递减，在上递增4已知命题p: ;命题q：，则下列命题中的真命题是( )A B D．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A（，0）B（0，）（，）D（，）6设，则（）A．B．．D．7已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是( ) A．B．．D．8．函数的部分图象大致为（）9．函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为( )A．B．．D．10在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成的一个“类”，记作，即，其中给出如下五个结论：①；②；③；④；⑤“整数属于同一“类””的充要条是“ ”。
其中，正确结论的个数是（）A．B．4 ．3 D．211已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当时，，若在[-1,]上有五个根，则此五个根的和是（）A7 B8 10 D1212奇函数定义域是，，当＞0时，总有＞2 成立，则不等式＞0的解集为A．B．．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分．把答案填在题中横线上．13函数在点处切线的斜率为14由抛物线，直线＝0，＝2及轴围成的图形面积为1 点是边上的一点，则的长为_____．16已知函数则关于的不等式的解集为三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设、，，。
若”对于一切实数，”是“对于一切实数，”的充分条，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）函数过点，且当时，函数取得最大值1（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式; （2）在（1）的条下，函数，如果对于，都有，求的最小值19．(本小题满分12分)已知三棱柱AB﹣A1B11，侧棱AA1垂直于底面AB，AB=B=AA1=4，D为B的中点，（1）若E为棱1的中点，求证：DE⊥A1；（2）若E为棱1上异于端点的任意一点，设E与平面ADE所成角为α，求满足时,求E的长．20 (本小题满分12分)在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设育才网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式（），其中与成反比，与的平方成正比，已知销售价格为元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3元/套时，每日可售出套题69千套(1) 求的表达式；(2) 假设该网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使育才网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）21 （本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的方程；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．22 （本小题满分12分）已知函数R（1）当时，求函数的最小值；（2）若时, ,求实数的取值范围；（3）求证：2016-2017学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科答案使用时间：20161020 命题人：刘新风校对人：洪臣本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分10分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）三、选择题：本大题12小题，每小题分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（D ）A．B．．D．3若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为(A )3 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（B）A单调递增B单调递减在上递增，在上递减D 在上递减，在上递增4已知命题p: ;命题q：，则下列命题中的真命题是( D )A B D．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A（，0）B（0，）（，）D（，）6设，则（D ）A．B．．D．7已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是( D ) A．B．．D．8．函数的部分图象大致为（D ）9．函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为( B )A．B．．D．10在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成的一个“类”，记作，即，其中给出如下五个结论：①；②；③；④；⑤“整数属于同一“类””的充要条是“ ”。
其中，正确结论的个数是（B ）11已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当时，，若在[-1,]上有五个根，则此五个根的和是（）A7 B8 10 D1212奇函数定义域是，，当＞0时，总有＞2 成立，则不等式＞0的解集为AA．B．．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）四、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分．把答案填在题中横线上．13函数在点处切线的斜率为14由抛物线，直线＝0，＝2及轴围成的图形面积为21 点是边上的一点，则的长为__7____．16已知函数则关于的不等式的解集为三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设、，，。
若”对于对一切实数，”是“对于一切实数，”的充分条，求实数的取值范围。
解：如果对于一切实数，，那么……… …2分解得即的取值范围为…………3分如果对于一切实数，，那么有。
……分得，即的取值范围为。
…………6分因为对于对一切实数，是“对于一切实数，”的充分条，所以且，…………8分则有。
即的取值范围是。
…………10分19．（本小题满分12分）函数过点，且当时，函数取得最大值1（3）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式; （4）在（1）的条下，函数，如果对于，都有，求的最小值解（I）由题意…………1分将点代入解得，…………2分且因为所以，…………4分）…………分…………7分（II），…………9分周期…………10分所以的最小值为…………12分20．(本小题满分12分)已知三棱柱AB﹣A1B11，侧棱AA1垂直于底面AB，AB=B=AA1=4，D为B的中点．（1）若E为棱1的中点，求证：DE⊥A1；（3）若E为棱1上异于端点的任意一点，设E与平面ADE所成角为α，求满足时E的长．解：（1）以B为原点，B，BA，BB1所在直线分别为x轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系，……2分∵AB=B=AA1=4，D为B的中点，E为棱1的中点，∴D（2，0，0），E（4，0，2），A1（0，4，4），（4，0，0），=（2，0，2），=（4，-4，-4），=0+8﹣8=0，∴DE⊥A1．………分（2）设E（4，0，t），0≤t≤4，=（0，0，t），A（0，4，0），=（2，-4，0），=（4，-4，t），设平面ADE的法向量=（x，，z），则,，取x=2，得=（2，1，﹣），………8分设E与平面ADE所成角为α，满足sinα= ，∴= = ，解得t=3或t=﹣3（舍），∴E=3 ………12分23 (本小题满分12分)在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设北京育才网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式（），其中与成反比，与的平方成正比，已知销售价格为元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3元/套时，每日可售出套题69千套(1) 求的表达式；(2) 假设此网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）解：(1) 因为与成反比，与的平方成正比，所以可设：，，则则…………………………2分因为销售价格为元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2元/套时，每日可售出套题69千套所以，，即，解得：，……4分所以，…………………分(2) 由（1）可知，套题每日的销售量，设每日销售套题所获得的利润为则………………8分从而时，，所以函数在上单调递增时，，所以函数在上单调递减…………10分所以时，函数取得最大值答：当销售价格为元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大…12分24 （本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的方程；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．解：（1），即，又，∴，则，∴椭圆的方程为……4分（2）设，，即…分由，消去得：由，整理得：（*）又，由，得：，整理得：……9分代入上式得：，…10分，条适合由此得：，故长轴长的最大值为．……12分22（本小题满分12分）已知函数R（1）当时，求函数的最小值；（2）若时, ,求实数的取值范围；（3）求证：解:（1）当时，,则…………………1分令，得当时, ; 当时, …………………………2分∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增∴当时,函数取得最小值,其值为……………………3分（2）解:若时, ,即(*)令,则①若,由(Ⅰ)知,即,故∴…………………………………………4分∴函数在区间上单调递增∴∴(*)式成立…………………………………………分②若,令,则∴函数在区间上单调递增由于,…………………………………………6分故,使得 (7)则当时, ,即∴函数在区间上单调递减∴,即(*)式不恒成立………………………………………8分综上所述,实数的取值范围是 (9)分（3）证明:由(Ⅱ)知,当时, 在上单调递增则,即…………………………………10分∴…………………………………………11分∴,即…………………………………………12分。