高三数学(理)一轮复习讲解与练习9.1分类加法计算原理和分步乘法计数原理(含答案解析)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【四大题型】(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【四大题型】【题型1 分类加法计数原理的应用】 (3)【题型2 分步乘法计数原理的应用】 (3)【题型3 涂色问题】 (4)【题型4 两个计数原理的综合应用】 (5)1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理】1．分类加法计数原理(1)分类加法计数原理的概念完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法.概念推广：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n 类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N =+++种不同的方法.(2)分类的原则分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.2．分步乘法计数原理(1)分步乘法计数原理的概念完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第12步有种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法.(2)分步的原则①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏.3(1)联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.(2)区别分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表：区别分类加法计数原理分步乘法计数原理①针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题②各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存③用其中任何一种方法都可以完成这件事只有各个步骤都完成才算完成这件事(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.【知识点2 分类、分步计数原理的解题策略】1．分类加法计数原理的解题策略分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复；(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.2．分步乘法计数原理的解题策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.【方法技巧与总结】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.【例1】（2024·全国·模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（）A．9种B．12种C．20种D．30种【变式1-1】（2024·浙江温州·模拟预测）平面上的两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（）A．19B．20C．25D．27【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在A,B,C,D四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A．96种B．132种C．168种D．204种【变式1-3】（2024·贵州黔东南·二模）在n个数码1,2,⋯,n(n≤9,n∈N*)的全排列j1j2⋯j n中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为T(j1j2⋯j n).例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此T(312)=2.那么T(87542136)=（）A．19B．20C．21D．22【题型2 分步乘法计数原理的应用】【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（）A．64种B．48种C．36种D．24种【变式2-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知x∈Z，y∈Z，则满足方程xy+2024(x―y)=8092的解(x,y)的个数为（）A．27B．54C．108D．216【变式2-2】（2024·湖南岳阳·三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（）A．96种B．60种C．48种D．36种【变式2-3】（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在A区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（）A B CD E FA．20种B．24种C．36种D．48种【题型3 涂色问题】【例3】（2024·四川资阳·模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A．360种B．420种C．480种D．540种【变式3-1】（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A,B,C,D,E五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）A．48种B．36种C．24种D．12种．【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（）A．18B．17C．16D．15【变式3-3】（2024·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．30B．120C．150D．240【题型4 两个计数原理的综合应用】【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（）A．30个B．42个C．41个D．39个【变式4-1】（2024·河北·模拟预测）用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.A．212B．213C．224D．225【变式4-2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A．4B．6C．8D．12【变式4-3】（2024高二·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）.A．105种B．225种C．315种D．420种一、单选题1．（2024·陕西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（）A．112B．80C．64D．322．（2024·陕西西安·三模）方程xy=2160的非负整数解的组数为（）A．40B．28C．22D．123．（2024·山东淄博·一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数e≈2.71828…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（）A．24B．16C．12D．104．（2024·山东泰安·模拟预测）某市人民医院急诊科有3名男医生和4名女医生，内科有4名男医生和4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（）A．192种B．180种C．29种D．15种5．（2024·四川成都·模拟预测）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小明每人只能选择看其中的一场电影，则两位同学选择的电影不相同的概率为（）A．16B．12C．13D．236．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)⋅(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“ 1 ” 表示一个球都不取、“ a”表示取出一个红球，而“ ab” 表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、3 个无区别的蓝球、2 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2B．(1+a3)(1+b+b2+b3)(1+c)2C．(1+a)3(1+b+b2+b3)(1+c2)D．(1+a3)(1+b)3(1+c+c2)7．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有6（）A．550种B．630种C．720种D．840种8．（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（）A．18B．36C．48D．329．（23-24高三下·全国·强基计划）某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了100次，则可能向右转了（）次．A．96B．98C．104D．10210．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A．四位回文数有45个B．四位回文数有90个C．2n（n∈N*）位回文数有10n个D．2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个11．（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（）A．可以围成20个不同的正方形B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)C．可以围成516个不同的三角形D．可以围成16个不同的等边三角形三、填空题12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是.13．（2024·河南濮阳·模拟预测）对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有种（用数字作答）．14．（2024·江苏连云港·模拟预测）某排球赛共有三个组：第一、二组各有6个队，第三组有7个队，首先各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，最终决出冠、亚军，则该排球比赛一共需要比赛场．15．（2024高三·全国·专题练习）分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i=1，2，3，4，5)的不同坐法有多少种？16．（24-25高二上·全国·课后作业）将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求：(1)1号盒中无球的不同放法种数；(2)1号盒中有球的不同放法种数．17．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字．(1)能组成多少个无重复数字的五位数？(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？18．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格．(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答）(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答）(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）．19．（23-24高二下·广东茂名·期中）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．(1)三人共有多少种不同的课程选择种数?(2)求三位同学选择的课程互不相同的概率;(3)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数?。
【优化探究】高三数学人教版A版数学理高考一轮复习课件：第九章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分 析和解决一些简单的实际问题．
知识点
两个原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成
知识点
独立的． (2) 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方 法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步 之间是相关联的．
知识点
[自测练习]
1． 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中， 任取两个不同数字相加，其和
试题
解析
从 0,1,2,3,4,5 六个数字中， 任取两数和为偶数可分为 两类， ①取出的两数都是偶 数，共有 3 种方法；②取出
第一步，从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂
1.(2015· 湖南十二校联考)用红、黄、 标号为“1、5、9”的小正方形，涂法有 3 种； 蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2， …， 第二步， 涂标号为“2、 3、 6”的小正方形， 若 “2 、 9 的 9 个小正方形(如图)，使得任意 6”同色，涂法有 2×2 种，若“2、6”不同色， 相邻 ( 有公共边 ) 小正方形所涂颜色 都不相同，且标号为 1,5，9 的小正 涂法有 2×1 种； 方形涂相同的颜色，则符合条件的 第三步：涂标号为“4、7、8”的小正方形，涂法 108 种． 所有涂法共有________ 同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样． 1 2 3 因 此 符 合 条 件 的 所 有 涂 法 共 有 3×(2×2 ＋ 4 5 6 7 8 9
人教版高中数学高考一轮复习--分类加法计数原理与分步乘法计数原理
长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人
中选2人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.由分类加法计数原理,
可得不同的分配方案共有18+18=36(种).故选A.
(2)如图,用5种不同颜色的染料给A,B,C,D四个区域进行涂色,要求相邻的
两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是( D )
①当a=0时,有 x=-2 为方程的实根,则b=-1,0,1,2,有4种;
②当a≠0时,∵方程有实根,∴Δ=4-4ab≥0.
∴ab≤1.(*)
当a=-1时,满足(*)式的b=-1,0,1,2,有4种;
当a=1时,满足(*)式的b=-1,0,1,有3种;
当a=2时,满足(*)式的b=-1,0,有2种.
名师点拨分类加法计数原理和分步乘法计数原理的异同
计数原理
分类加法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点
注意点
每类方案中的每一种方法
都能独立地完成这件事
类类独立,不重不漏
分步乘法计数原理
每步依次完成才算完成这件事
(每步中的每一种方法都不能
独立地完成这件事)
步步相依,缺一不可
摆入,有3×2=6(种)摆放方法.根据分步乘法计数原理,这5盆花不同的摆放
种数为4×6=24.
(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100 m决赛.其中甲、乙、丙三人必
须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方
式共有
2 880
种.
第一步,安排甲、乙、丙三人,因为甲、乙、丙三人必须在奇数号跑道上,
2018高考一轮数学浙江专版练习第9章 第1节 分类加法计
第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]综合近5年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查排列组合，二项式定理、随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差．主要考查对基础知识与基本方法的应用意识，考查转化与化归思想及运算求解能力．第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A．30B．20C．10D．6D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个C[∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]4．如图9-1-1，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图9-1-1A．24 B．18C．12 D．9B[分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F →G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．]5.现有4种不同的颜色要对如图9-1-2所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．图9-1-248[按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．](1)经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A ．4种B ．6种C ．10种D ．16种(2)(2017·杭州二中月考)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．10(1)B (2)B [(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．(2)①当a ＝0时，有x ＝－b 2，b ＝－1,0,1,2，有4种可能；②当a ≠0时，则Δ＝4－4ab ≥0，ab ≤1，(ⅰ)当a ＝－1时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能；(ⅱ)当a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能；(ⅲ)当a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能．∴有序数对(a ，b )共有4＋4＋3＋2＝13个．][规律方法] 1.第(2)题常见的错误：(1)想当然认为a ≠0；(2)误认为a ≠b .2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．[变式训练1] 从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3B．4C．6D．8D[以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个．]6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有() 【导学号：51062322】A．C26·45种B．A26·54种C．C26·A45种D．C26·54种(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．(1)D(2)120[(1)有两个年级选择甲博物馆共有C26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C26×54种．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120种．][规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．2．在第(1)题中，除仅有两个年级选择甲博物馆外，其余4个年级易错误认为有45种选择方法．导致错选A项．[变式训练2](1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x ∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________．(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________．(用数字作答)(1)10(2)8[(1)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴x有2种取法，y有5种取法，由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10个．(2)第1步把甲、乙分到不同班级有A22＝2种分法．第2步分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种分法，②丙、丁分到两个不同的班级有A22＝2种分法．由计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8种．]M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．(2)如图9-1-3，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．图9-1-3(1)17(2)260[(1)当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．(2)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法，所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．][规律方法] 1.(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成，第(2)题中，由于共边的区域不同色，从而是按区域A与区域C是否同色分类处理的．[变式训练3](2017·金华联考)用a代表红球，b代表蓝球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是() 【导学号：51062323】A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)D．(1＋a5)(1＋b5)A[分两步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5种不同的取法．第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有1＋b5种不同取法．由分步乘法计数原理，共有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)种取法．][思想与方法]1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．2．涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步．3．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．[易错与防范]1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．课时分层训练(五十二)分类加法计数原理与分步乘法计数原理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A．20 B．25C．32D．60C[依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.] 2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14B[当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，因此满足条件的点共有7＋7＝14个．]3．甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有() 【导学号：51062324】A．6种B．12种C．24种D．30种C[分步完成，第一步，甲、乙选修同一门课程有4种方法．第二步，甲从剩余的3门课程中选一门有3种方法．第三步，乙从剩余的2门课程中选一门有2种方法．∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24种．] 4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种B[赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有C14种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有C24种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C14＋C24＝10种．]5．(2017·绍兴模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279B[0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数有900－648＝252个．] 6．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10C[由于lg a－lg b＝lg ab(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为ab有A25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lg b的不同值的个数为A25－2＝18.]二、填空题7．(2016·杭州模拟)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个. 【导学号：51062325】8[十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．]8．从8名女生，4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种. 【导学号：51062326】112[从男生中抽1人有4种方法，从女生中抽2人有C28＝28种方法，由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法．]9．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．75[由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75种．]10.如图9-1-4所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________个．图9-1-4420[先染顶点S，有5种染法，再染顶点A，有4种染法，染顶点B，有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420(种)染色方法．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式() A．24 B．14C．10 D．9B[第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式．]2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A．32个B．34个C．36个D．38个A[将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．]3．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．12[当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．]4．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个. 【导学号：51062327】(1)90(2)9×10n[(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有9×10n种填法．]。
北师大版高三数学(理)一轮复习《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有
6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,根据分步乘法
计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120种.
(3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参
赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216种.
关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分
步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都
完成了,这件事才算完成.
第十一章
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-5-
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
考纲要求
知识梳理
双击自测
核核心心考考点点
学科素养
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
(2)如图,从A到O有
种不同的走法(不重复过一点).
-15-
关闭
分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O 和A→C→O 2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和 A→C→B→O 2种不同的走法,由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种 关闭 不5 同的走法.
同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法. (√ )
第十一章
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考纲要求
知识梳理
双双击击自自测测
核心考点
学科素养
-6-
12345
2021版新高考数学一轮课件：第9章 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
4位数，比2018大的有( )个
()
• A．10 B．11
B
• C．12 D．13
• (3)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一
个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有
四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是
()
• A．60 B．48
B
• C．36 D．24
加一项，则共有_______种不同的报名方法．
120
• [解析] (1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3 条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B．
• (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个 项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据 分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
法． m1＋m2＋…＋mn • 知识点二 分步乘法计数原理 • 完完那成么成第 完一m1·二 成件m2这步事…m件有需n 事m要2共分种有成不Nn同个＝的不_方_同__法的__，步_…_骤_…_，_种，完不完成同成第的第一方n步步法有有．mm1n种种不不同同的的方方法法，，
• 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站
法总数是 ( )
D
• A．210 B．84
• C．343 D．336
[解析] (1)第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的 3 人 中选 1 人当文娱委员，有 3 种选法．
第二步，从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委 员有 4 种选法，再选体育委员有 3 种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共 有 3×4×3＝36(种)．
计数原理课件-2024届高三数学一轮复习
由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4 ×3×3×3＝540(种)， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共 有180＋540＝720(种).
两个计数原理的综合应用
有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若
从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是
A.14
B.23
C.48
D.120
√
分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法； 第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是 8×6＝48.
对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确； 对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去， 即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)， 则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确； 对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可， 有42＝16(种)安排方法，故C错误； 对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法， 故D正确.
1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种
数为
A.16
B.13
√C.12
D.10
将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走 法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种).
2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要
设 I ＝ {1,2,3,4} ， A 与 B 是 I 的 子 集 ， 若 A∩B ＝ {1,2} ， 则 称 (A ， B) 为 一 个 “理想配集”.若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此 条件的“理想配集”有__9___个.
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第一节 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
高考中，对于两个计数原理一般不单独考查，多与排列、组合相结合考查，且多为选择、填空题，如2012年北京T6，浙江T6等.
[归纳·知识整合] 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N＝m1
＋m2＋…＋mn种不同的方法．
[探究] 1.选用分类加法计数原理的条件是什么？ 提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2
种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种
不同的方法． [探究] 2.选用分类乘法计数原理的条件是什么？ 提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理． [自测·牛刀小试] 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 解析：选C 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6×8＝48. 2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( ) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 解析：选C 分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种． 3．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( ) A．30 B．20 C．10 D．6 解析：选D 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有N＝3＋3＝6种． 4．如图，从A→C有________种不同的走法．
解析：分为两类：不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法． 答案：6 5．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________． 解析：建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有23＝8个． 答案：8
分类加法计数原理 [例1] (1)(2012·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．18 C．12 D．6 (2)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( ) A．80 B．120 C．140 D．50 [自主解答] (1)法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18； 法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18. (2)分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是C13A22，此时的方法数是C25C13A22＝60；若甲组3人，则方法数是C35A22＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80. [答案] (1)B (2)A
本例(1)条件不变，求有多少个能被5整除的数？ 解：能被5整除的数分两类：当个位数是0时，有A23＝6个； 当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有C12·A22＝4个．故共有12个能被5整除的数．
——————————————————— 使用分类加法计数原理计数的两个条件 一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类； 二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
1．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1 000的“良数”的个数为( ) A．27 B．36 C．39 D．48 解析：选D 一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的“良数”．
分步乘法计数原理 [例2] 学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)． [自主解答] 有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种． [答案] 144 ——————————————————— 使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 (1)要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 2各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
2．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1字作答)． 解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分类乘法计数原理知满足条件的排列个数是240. 答案：240
两个计数原理的综合应用 [例3] 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种． [自主解答] 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C13(2×2＋C12×1)×(2×2＋C12×1)＝3×6×6＝108. [答案] 108 ——————————————————— 应用两个原理解决实际问题的注意点 在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．
3．如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 解析：选B 分三类：①B，D，E，F用四种颜色， 则有A44×1×1＝24种方法； ②B，D，E，F用三种颜色，则有A34×2×2＋2A34×2×1＝192种方法；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ③B，D，E，F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．
2个区别——两个计数原理的区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成
每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类办法之间是互斥的，并列的，独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法； (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律； (3)混合问题一般是先分类再分步． .
数学思想——计数原理中的分类讨论 从近几年的高考试题来看，两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用．解决此类问题时，需要分清两个原理的区别，一般情形是考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步．要求既要会合理分类，又要能合理分步． [典例] (2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 [解析] 对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C44＋C24C25＋C45＝66种． [答案] D