2018版高考数学理科专题复习：专题9 平面解析几何 第62练含解析
2018届高三数学 第62练 直线与圆综合练
第62练 直线与圆综合练1．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0 2．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．2 3．已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积的最大值是( )A. 3B ．2C ．2 3D ．44．已知直线l ：x －3y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则AB →在x 轴正方向上投影的绝对值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 6．已知点M (－2,0)，N (2,0)，若圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0(r >0)上存在点P (不同于M ，N )，使得PM ⊥PN ，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[1,3]7．(2016·西安西北工业大学附中训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 二、填空题9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________________．10．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．三、解答题11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．答案精析1．B [以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0.]2．B [由题意知，圆心⎝⎛⎭⎪⎫1，－m 2在直线2x ＋y ＝0上，∴2－12m ＝0，解得m ＝4， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.]3．B [当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，|AB |＝2r 2－d2＝24－d 2，所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝4－d 2·d ＝?4－d 2?d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当4－d 2＝d 2，即d ＝2时等号成立，所以△OAB 面积的最大值是2.]4．C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →在x 轴正方向上投影的绝对值为|x 2－x 1|.联立直线和圆的方程⎩⎨⎧ x －3y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，消去y 得x 2＋x －2＝0，解得两根为－2，1，故|x 2－x 1|＝3.]5．B [圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)，故EF ＝ 5.∴BD ＝210－(5)2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.] 6．A [依题意得以AB 为直径的圆和圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0(r >0)有交点，圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝r 2.两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，两圆的圆心距为3，故|r －2|<3<r ＋2，解得1<r <5，故选A.]7．B [圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以C (1，－1)为圆心、3为半径的圆．圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1， 而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式 Δ＝16－196＝－180<0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．]8．B [由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.] 9．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB |最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 10．±1解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离 d ＝r sin 45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 11．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3， 解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小，故|PB |＋|PQ |的最小值为|B ′C |－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)，故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3，此时点P 的坐标为(32，12)．。
新教材高考数学第九章平面解析几何6考点2双曲线的几何性质1练习(含解析)(选修2)
考点2 双曲线的几何性质（2018·浙江卷）双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是（ ）A ．（－√2，0），（√2，0）B ．（－2,0），（2,0）C ．（0，－√2），（0，√2）D ．（0，－2），（0,2） 【解析】∵双曲线方程为x 23－y 2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝√x 2+x 2＝√3+1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为（－2,0），（2,0）．故选B ．【答案】B（2018·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 2x 2－x 2x 2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c,0）到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值为________．【解析】双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F （c,0）到渐近线的距离d ＝√2+x 2＝B ．∴b ＝√32c ， ∴a ＝√x 2−x 2＝12c ，∴e ＝x x ＝2. 【答案】2（2018·全国卷Ⅲ（文））已知双曲线C ：x 2x 2－x 2x 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则点（4,0）到C 的渐近线的距离为（ ）A ．√2B ．2C ．3√22D ．2√2【解析】由题意，得e ＝x x ＝√2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，所以点（4,0）到渐近线的距离为√2＝2√2.【答案】D（2018·全国Ⅱ卷（文））双曲线x 2x 2－x 2x 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ） A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√3xC ．y ＝±√22xD ．y ＝±√32x 【解析】双曲线x 2x 2－x 2x 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0. 又∵离心率x x ＝√x 2+x 2x ＝√3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝√2a （a ＞0，b ＞0）． ∴渐近线方程为√2ax ±ay ＝0，即y ＝±√2x .【答案】A（2018·北京卷（文））若双曲线x 2x 2－x 24＝1（a ＞0）的离心率为√52，则a ＝________.【解析】由e ＝x x ＝√x 2+x 2x 2知，x 2+4x 2＝(√52)2＝54， ∴a 2＝16.又∵a ＞0，∴a ＝4.【答案】4。
2018版高考数学理科专题复习：专题9 平面解析几何 第61练含解析
x2 y2 10．已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB a b 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为________________． x2 11．(2016·y＝k(x＋ 3)交于点 A，B，则△ABM 4 的周长为________． 12．(2016·豫北六校联考)如图所示，A，B 是椭圆的两个顶点，C 是 AB 的中点，F 为椭圆的右焦 点，OC 的延长线交椭圆于点 M，且 OF＝ 2，若 MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．
答案精析
1．16 2.4
3 3．x2＋ y2＝1 2 解析 如图，设 F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c＝ 1－b2.
又设 A(c，b2)，B(x0，y0)． 由 AF1＝3F1B， → → 得AF1＝3F1B， 即(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0) ＝(3x0＋3c,3y0)， 5 5 ∴x0＝－ c＝－ 1－b2， 3 3 1 y0＝－ b2. 3 251－b2 b2 代入椭圆方程，得 ＋ ＝1， 9 9 2 解得 b2＝ . 3 故椭圆 E 的方程为 x2＋ 4. 2 2
所以 b＝ a2－c2＝ 3c， 则方程 ax2＋2bx＋c＝0 为 2x2＋2 3x＋1＝0， 1 所以 x1＋x2＝－ 3，x1x2＝ ， 2 则点 P(x1，x2)到原点的距离
2 2 d＝ x2 1＋x2＝ x1＋x2 －2x1x2
＝ 3－1＝ 2. 10. x2 y2 ＋ ＝1 18 9 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2 y2 7．已知椭圆 C： ＋ ＝1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B， 9 4 线段 MN 的中点在 C 上，则 AN＋BN＝________________. 8．(2016·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一点，且 PF1， F1F2，PF2 成等差数列，则椭圆的方程为________________． x2 y2 1 9．(2016·衡水冀州中学上学期第四次月考)若椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ ，右焦点为 a b 2 F(c,0)， 方程 ax2＋2bx＋c＝0 的两个实数根分别是 x1， x2， 则点 P(x1，x2)到原点的距离为________．
(加练半小时)2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9_平面解析几何_第56练_(有解析)
1．2．(2016·南通中学检测)已知直线方程为3x＋3y＋1＝0，则直线的倾斜角为________．3．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是________．4．(2016·豫西五校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为______________．5．直线x cosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是____________________．6．直线x sinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是________________________．7．(2016·济南一模)已知y＝|x|与y＝kx－1有且只有一个交点，则实数k的取值范围是______________．8．直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a＝____________.9．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是____________________．10．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为______________，____________________.11．(2016·镇江模拟)已知直线l的倾斜角α∈0°，45°]∪(135°，180°)，则直线l的斜率的取值范围是________．12．已知A(－1,2)，B(2，m)，且直线AB的倾斜角α是钝角，则m的取值范围是________．13．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．14．若过定点M(－1,0)，且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内有交点，则k的取值范围是________．答案精析1.π32.150°3.6π74.0，π2)∪34π，π)5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知k ＝－33cos α， ∵cos α∈－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.6．0，π4]∪34π，π)解析 由x sin α－y ＋1＝0， 得y ＝x sin α＋1.设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤tan θ≤1. 又∵0≤θ＜π，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. ∴倾斜角θ的变化范围为0，π4]∪34π，π)． 7．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 y ＝|x |的图象如图所示，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k ≤1时，没有交点；当k ＜－1或k ＞1时，仅有一个交点．8．－1解析 由条件得a (a －1)＝2，解得a ＝－1或2.当a ＝2时，两直线重合，故a ＝－1. 9．0，π4]∪(π2，π)解析 直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4. 10．－1,1] 0，π4]∪3π4，π) 解析如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k P A ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4； 当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈0，π4]∪3π4，π)． 11．(－1,1]解析 由直线l 的倾斜角α∈0°，45°]∪(135°，180°)，可得0≤k ≤1或－1＜k ＜0，即－1＜k ≤1. 12．(－∞，2)解析 k ＝2－m －1－2＝m －23＜0，m ＜2.13．0,1]解析 y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是0,1]． 14．(0，5)解析 圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0与y 轴正半轴交于点A (0，5)，与x 轴正半轴交于点B (1,0)．∵k AM＝50＋1＝5，k BM＝0，∴k的取值范围是(0，5)．。
2018版高考数学(全国用,理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第63练
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 3．(2017·兰州质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，则该椭圆的离心率为( ) A.34B.32C.22D.124．(2016·衡水模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 的坐标为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．(2016·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．406．(2017·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 7．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 ( ) A. 2 B.72 C ．2 D.748．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 二、填空题9．(2016·池州模拟)已知M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．10．(2016·豫北六校联考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为____________．11．(教材改编)已知点P (x ，y )在曲线x 24＋y 2b2＝1(b >0)上，则x 2＋2y 的最大值f (b )＝__________________.(用含b 的代数式表示)12．(2016·合肥一模)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.答案精析1．A [由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22， 故b ＝(22)2－22＝2，因为焦点在y 轴上，故选C.]3．C [由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1||PF 2|＝a 2，可得点P 是椭圆的短轴端点， 即P (0，±b )，故b ＝12×2c ＝c ， 故a ＝2c ，即离心率e ＝c a ＝22，故选C.] 4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或P (0,1)时，取“＝”．]5．C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.] 6．A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2， 联立得a 2＝8，b 2＝6.]7．A [由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c ， 则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12， 则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2，故选A.]8．D [圆F 的方程转化为标准方程得，(x －1)2＋y 2＝12⇒F (1,0)，半径r ＝23，由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|P A |＝23>2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆⇒a ＝3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2⇒动点P 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1，故选D.] 9．8解析 依题意得，a ＝2，M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3,0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.10.x 24＋y 22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )， C ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)， 依题意，得a 2－b 2＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫2，b a a 2－2， 由于O ，C ，M 三点共线，所以b a a 2－22＝b 2a 2， 即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求的椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 11.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4 解析 由x 24＋y 2b 2＝1，得x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2，令T ＝x 2＋2y ，将其代入得T ＝4－4y 2b2＋2y . 即T ＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋b 24＋4(－b ≤y ≤b )．当b 24≤b ，即0<b ≤4，y ＝b 24时，f (b )＝b 24＋4； 当b 24>b ，即b >4，y ＝b 时，f (b )＝2b . 所以f (b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4，0<b ≤4，2b ，b >4.12.x 25＋y 24＝1 解析 由题意可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，45)， 易知另一切点为B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，即c ＝1， 令x ＝0得上顶点为(0,2)，即b ＝2， 所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题9 平面解析几何 第60练含解析
________________．2．已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为________．3．(2016²丽水一模)已知圆x2＋y2＝4，过点P(0，3)的直线l交该圆于A，B 两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最大值是________．4．已知圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴的右侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆C的标准方程为________．5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．6．过点P(12，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为____________________．7．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．8．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使AB最小，则直线l的方程是________________．9．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切．(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．答案精析1．2x ＋3y －1＝0 2.3 3.2 4．(x －2)2＋y 2＝2解析 设圆心为(a,0)(a ＞0)，由题意得|a |2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为C (2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2. 5．10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)， 故EF ＝ 5.∴BD ＝210－(5)2＝25， ∴S 四边形ABCD ＝12AC ²BD ＝10 2.6．2x －4y ＋3＝0解析 设AB 的中点为D ，则cos ∠ACB ＝2cos 2∠ACD －1. 所以当cos ∠ACD 最大时，cos ∠ACB 最大，∠ACB 最小． 当斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －12)，即kx －y ＋1－k2＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k2＋1|k 2＋1.当CP ⊥AB 时，d 最大． 此时k CP ＝－2，所以k ＝12，所以y ＝12x ＋34；当斜率不存在时，d ＝12＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋154＝52，舍去．综上，直线l ：y ＝12x ＋34，即2x －4y ＋3＝0.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0， 得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.8．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 9．±1解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 10．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)， 因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3， 所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )， 因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， 所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， 所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为 (x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33²x 02，且y 0＋4x 0＝－3，解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)． 由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小， 故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3 ＝221－3，由⎩⎨⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。
2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第63练双曲线练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第63练 双曲线练习 理1．(2016·泰州一模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2－y 2＝1的实轴长为________．2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________________．3．(2016·南京模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________.4．(2016·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为________． 5．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为________________．6．(2016·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l交双曲线左支于A ，B 两点，则BF 2＋AF 2的最小值为________．7．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．8．(2016·苏、常、锡、镇联考)已知圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0都内切于动圆，则动圆圆心的轨迹方程是____________________________．9．(2016·南通一模)已知双曲线x 2－y 22＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离d ＝________.10．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a的最小值是________．12．(2016·安徽江南十校联考)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左，右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝________.13．(2016·扬州二模)圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．14．(2016·淮北一模)称离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)为黄金双曲线，如图是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y25＋1＝1是黄金双曲线； ②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左，右焦点，A 1，A 2为左，右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为________．答案精析1．2 2 2.x 24－y 25＝1 3.7 4.25.y 29－x 216＝1 解析 由题意可知c ＝32＋42＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25，①又点(4,3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34，②由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线的方程为y 29－x 216＝1. 6．11解析 由双曲线定义可得AF 2－AF 1＝2a ＝4，BF 2－BF 1＝2a ＝4，两式相加可得AF 2＋BF 2＝AB ＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而AB min ＝2b2a＝3，故AF 2＋BF 2＝AB ＋8≥3＋8＝11. 7. 3解析 不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ， 又因为PF 1＋PF 2＝6a ， 所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，因为PF 1＞PF 2，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos 30°， 即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3. 8.x 294－y 2914＝1(x ≥32) 解析 圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0， 即为(x －5)2＋y 2＝16，所以圆O 2的圆心为O 2(5,0)，半径r 2＝4，而圆O 1：(x ＋5)2＋y 2＝1的圆心为O 1(－5,0)，半径r 1＝1，设所求动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则r ＝O 1M ＋1且r ＝O 2M ＋4，所以O 1M －O 2M ＝3，所以动点M 到定点O 1及O 2的距离的差为3，且O 1O 2＝10＞3， 所以点M 的轨迹为双曲线的右支， 且实轴长2a ＝3，焦距2c ＝10， 即所求动圆圆心的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≥32)． 9.233解析 根据题意可知S △F 1MF 2＝12|F 1F 2→|·d＝12|MF 1→|·|MF 2→|， 利用条件及双曲线定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1→|－|MF 2→||＝2，|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝12，解方程组可得|MF 1→|·|MF 2→|＝4， 所以所求的距离d ＝423＝233.10.10解析 由题意可知，经过右顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b.因为b ＞a ＞0，所以a 2a －b＜0，且a 2a ＋b＞0，又点B 的横坐标为等比中项，所以点B 的横坐标为a 2a －b，则a ·a 2a ＋b＝(a 2a －b )2，解得b ＝3a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝10. 11.233解析 c a ＝2⇒c 2a 2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a≥2a ·13a ＝233，当且仅当a ＝13a，即a ＝33时，b 2＋13a 取得最小值233.12．2解析 双曲线方程为x 24－y 25＝1，PF 1－PF 2＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，得F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得， △F 1PF 2的内心在直线x ＝2上， 所以点M (2,1)就是△F 1PF 2的内心， 故S △PMF 1－S △PMF 2 ＝12(PF 1－PF 2)×1 ＝12×4×1＝2. 13.y 24－23－x 223＝1 解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，C (x ′，y ′)(x ′＜0，y ′＞0)， BC ＝t (0＜t ＜22)．如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， 作CE ⊥AB 于E ，则BC 2＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14t 2.∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′ ＝－12t 2＋2t ＋8＝－12(t －2)2＋10，∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，又点C 在双曲线的上支上，且A ，B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，∴所求方程为y 24－23－x 223＝1.14．①②③④ 解析 ①双曲线x 2－2y25＋1＝1， a 2＝1，c 2＝1＋5＋12＝5＋32， ∴e ＝c a＝5＋32＝5＋12， ∴命题①正确；②若b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴e ＝5＋12， ∴命题②正确；③B 1F 21＝b 2＋c 2，B 1A 2＝c ， 由∠F 1B 1A 2＝90°， 得b 2＋c 2＋c 2＝(a ＋c )2， 即b 2＝ac ，e ＝5＋12， ∴命题③正确； ④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则c ＝b 2a，即b 2＝ac ，e ＝5＋12， ∴命题④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.。
2018版高考数学浙江专用专题复习 专题9 平面解析几何
一、选择题1．(2016·宁夏银川九中第四次月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2．(2016·九江第一次统考)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶33．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为( ) A ．5B ．－5C ．4D ．－44．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.435．(2016·武昌调研)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)6．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x7．已知点A (2,1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( ) A ．(2,1)B ．(1,1)C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫14，18．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C ．1D ．2二、填空题9．(2016·福州质检)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛线物的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是________．10．已知过拋物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝______，△OAB 的面积是________．11．(2016·温州高三适应性测试)已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于位于x 轴上方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围是________． 12．(2016·杭州质检)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝120°，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB |的最大值为________．答案解析1．B 2.C3．A [设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，由已知得直线l 过定点E (－1,0)，因为E ，A ，B 三点共线，所以⎝⎛⎭⎫y 214＋1y 2＝⎝⎛⎭⎫y 224＋1y 1，即y 1y 24(y 1－y 2)＝y 1－y 2，因为y 1≠y 2，所以y 1y 2＝4，所以OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝5.] 4．A [设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，设|FB |＝m ，|F A |＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ，由抛物线定义知：|AC |＝|F A |＝n ，|BD |＝|FB |＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足， |AE |＝|CE |－|AC |＝|BD |－|AC |＝m －n ， |AB |＝|F A |＋|FB |＝n ＋m . ∠BAE ＝60°，在Rt △ABE 中， cos 60°＝|AE ||AB |＝m －n m ＋n ＝12，即m ＝3n . 故|AF ||BF |＝n m ＝m3m ＝13.] 5．C [抛物线C 的方程为x 2＝8y ，所以焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心，|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心，|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4＜y 0＋2，所以y 0>2.]6．C [由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故选C.]7．D [由抛物线定义知，|PF |等于P 到准线x ＝－1的距离，当P A 与准线垂直时|P A |＋|PF |最小，所以P 点的纵坐标为1，代入方程得x ＝14.]8．D [由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.] 9．1解析 由题意知四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，|PP 1|＋|QQ 1|＝|PQ |＝2，|P 1Q 1|＝|PQ |sin 30°＝1，所以S ＝|PP 1|＋|QQ 1|2·|P 1Q 1|＝1.10．2 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2，|AB |＝4.故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.11．(2，＋∞)解析 设直线l ：y ＝12x ＋m ，即x ＝2y －2m (m >0)，代入抛物线y 2＝2px (p <0)中整理得 y 2－4py ＋4pm ＝0，则Δ＝(－4p )2－16pm >0，化简得p >m ，则pm >1.设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 2)，则y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝4pm ， k 1＋k 2＝2p y 1＋2p y 2＝2p (y 1＋y 2)y 1y 2＝2p m >2，故k 1＋k 2的取值范围是(2，＋∞)． 12.33解析 如图所示，由抛物线的定义以及梯形的中位线定理得|MM 1|＝|AF |＋|BF |2， 在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF |·|BF |·cos 2π3＝|AF |2＋|BF |2＋|AF |·|BF |＝(|AF |＋|BF |)2－|AF |·|BF |≥(|AF |＋|BF |)2－⎝⎛⎭⎫|AF |＋|BF |22＝3|MM 1|2，当且仅当|AF |＝|BF |时，等号成立，故|MM 1||AB |取得最大值33.。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9-3
Dx0＋Ey0＋F＞0.(3)√ (4)× (5)× (6)√
A．(2，3) C．(－2，－3)
B．(－2，3) D．(2，－3)
【解析】 圆 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0
【答案】 D
2
2
D E 的圆心为－ 2 ，－ 2 ，
∴圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心为(2，－3)．
(3)点在圆内：_______________________．
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝
§9.3 圆的方程 [考纲要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程．
1．圆的定义 在平面内，到_____的距离等于_____的点的______叫圆．
2．确定一个圆最基本的要素是_____和______．
3．圆的标准方程
定点 定长 半径 集合
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______为圆心，__为半径． 圆心
方法二 令 x＝0，得 y＝ 2±1，所以点 B(0， 2＋1)．又点 C(1， 2)，设过点 B 的切线方程为 y－( 2＋1)＝kx，即 kx－y＋ ( 2＋1)＝0.由题意，圆心 C(1， 2)到直线 kx－ y＋( 2 ＋1)＝0 |k－ 2＋ 2＋1| 的距离 d＝ ＝r＝ 2，解得 k＝1.故切线方程为 x 2 k ＋1 －y＋( 2＋1)＝0.令 y＝0，得切线在 x 轴上的截距为－ 2－1.
2018版高考数学理一轮复习文档：第九章 解析几何 9-1
1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )1．(2016·天津模拟)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析 依题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．(2016·合肥一六八中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．3．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝ . 答案 1或－2解析 令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距为2＋a ； 令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a ，依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.5．过点A (2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．答案 3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a －ya ＝1，即x －y ＝a ，将点A (2，－3)代入，得a ＝5，即直线方程为x －y －5＝0.故所求直线的方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2016·北京东城区期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 (1)当π2<α<π时，k <0；当k >3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k >3”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围． 解 如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．(2017·南昌月考)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在 答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2， 弦长|AB |＝22－(|2k |1＋k 2)2＝22－2k 21＋k 2， 所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33(k ＝33舍去)，故直线l 的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为 y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．∴(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小． 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2016·潍坊模拟)直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求直线l 的方程． 解 依题意，直线l 的斜率存在且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A (1－4k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． |OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k)＝5＋(－k ＋4－k )≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时直线l 的方程为2x ＋y －6＝0.11．求与截距有关的直线方程典例 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a . 错解展示现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)得a －2＝0或a ＋1＝－1，∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1．(2016·北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6 D ．k >－2答案 A解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.2．(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.3．(2016·合肥检测)已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，且满足y 0>x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为( )A ．(－12，－15)B ．(－∞，－15]C ．(－12，－15]D ．(－12，0)答案 A解析 设A (x 1，y 1)，y 0x 0＝k ，则y 0＝kx 0，∵AB 的中点为P (x 0，y 0)，∴B (2x 0－x 1,2y 0－y 1)． ∵A ，B 分别在直线x ＋2y －1＝0和x ＋2y ＋3＝0上， ∴x 1＋2y 1－1＝0,2x 0－x 1＋2(2y 0－y 1)＋3＝0， ∴2x 0＋4y 0＋2＝0，即x 0＋2y 0＋1＝0.∵y 0＝kx 0，∴x 0＋2kx 0＋1＝0，即x 0＝－11＋2k.又y 0>x 0＋2，∴kx 0>x 0＋2，即(k －1)x 0>2， 即(k －1)(－11＋2k )>2，即5k ＋12k ＋1<0，解得－12<k <－15.故选A.4．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4. ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， 由已知得k ≥34或k ≤－4.5．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0 答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －cb .易知－a b <0且－cb>0，故ab >0，bc <0.6.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.7．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是 ． 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.8．(2016·潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为 ． 答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.9．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 ． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．10．(2016·山师大附中模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny－1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为 ．答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)． ∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥4 (当且仅当m ＝n ＝12时取等号)，∴1m ＋1n的最小值为4. 11．(2016·太原模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．即x －(m ＋1)y ＋2m ＋3＝0. (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]．12．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式， 得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．*13.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
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训练目标
熟练掌握椭圆的几何性质并会应用．
训练题型
(1)求离心率的值或范围；(2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何
性质综合应用．
解题策略
(1)利用定义PF1＋PF2＝2a找等量关系；(2)利用a2＝b2＋c2及离心率
e＝ca找等量关系；(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.
1．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1，F2，M是椭圆C上的一点，且满
足|MF1→|＝2|MO→|＝2|MF2→|，则椭圆C的离心率e＝________.
3．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左，右焦点分别是F1，F2，B是短轴的一个端点，
若3BF1→＝BA→＋2BF2→，则椭圆的离心率为________．
4．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴的两个端点分别为A，B，点C为椭圆上异于A，
B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．
5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆x225＋y29＝1上，点P满足AP→＝
(λ－1)OA→(λ∈R)，且OA→·OP→＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x216＋y29＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程
为____________________．
7．设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，离心率为12，M是椭圆上一点且
MF2与x轴垂直，则直线MF1的斜率为________．
8．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，
连结AF，BF，若AB＝10，AF＝6，cos∠ABF＝45，则椭圆C的离心率e＝________.
9．(2017·上海六校3月联考)已知点F为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意
一点，点Q的坐标为(4,3)，则PQ＋PF取最大值时，点P的坐标为________．
10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为
k(k＞0)的直线与C相交于A，B两点，若AF→＝3FB→，则k＝________.
11．(2016·连云港二模)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若
∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．
12．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于
点D，与椭圆相交于E，F两点，若ED→＝6DF→，则k的值为________．
13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1(－
c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围
为____________．
14．椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范
围是－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是________．