上海交大研究生矩阵理论答案

______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 习题 一

1．（1）因 cos sinsin cosnxnxnxnx cos sinsin cosxxxx= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)nxnxnxnx，故由归纳法知 cos sinsin cosnnxnxAnxnx



。

（2）直接计算得4AE，故设4(0,1,2,3)nkrr，则4(1)nkrkrAAAA，即只需算出23,AA即可。

（3）记J=0 1 0 1 1 0 ，则 ， 112211111 () nnnnnnnnnnnnnniininninnnaCaCaCaCaCaAaEJCaJaCaa0

n。

2．设1122 (1,0),0 aAPPaAE则由得 21112111 1 1 210 0 0 a1时,不可能。

而由2112222 0 0 000 0 0 a1时,知1i所以所求矩阵为1iPBP， 其中P为任意满秩矩阵，而 1231 01 01 0,,0 10 1 0 1BBB





。

注：2AE无实解，nAE的讨论雷同。 ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 3．设A为已给矩阵，由条件对任意n阶方阵X有AX=XA，即把X看作2n个未知数时线 性方程AXXA=0有2n个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 通过直接检验即发现A为纯量矩阵。110nnaaa

4．分别对（A B）和AC作行（列）初等变换即可。 5．先证A或B是初等到阵时有***ABBA，从而当A或B为可逆阵时有***ABBA。 考虑到初等变换A对B的1n阶子行列式的影响及*1AA即可得前面提到的结果。

下设 00 0rEPAQ，（这里P，Q满秩），则由前讨论只需证下式成立即可： **

* 0 00 00 0rrEE

BB



，

（1） r（2） r=n-1时，* 00 00 10 0rE，n12* *nn 0 0 0 0 B 0nBBrEB，但 1112111121212222122212 00 0 0 0 0nn

nr

n

nnnn

bbbbbb

bbbE

bbb

bbb



















，故

* 00 0rE

B



n12 nn 0 B 0n

B

B



** 00 0rE

B



。

6．由()()0()0rArAAXAXAX及，即0AX与0AAX同解，此即所求证。 ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 7．设其逆为ija，则当I固定时由可逆阵的定义得n个方程 121111123njjjiiiinijaawawaw

，1,2,jn，

其中ij为Kronecker符号。对这里的第l个方程乘以1jnlw然后全加起来得 111jnjniijnwaw

，即得111jniijawn。

注：同一方程式的全部本原根之和为0，且mw也是本原根（可能其满足的方程次数小于n）。 习题 二

1． 因11xxx，所以V中零元素为1，x的负元素为1x，再证结合律、交换律和分配律。 2． 归纳法：设121sWWWV，则下面三者之一必成立： （1）121ssWWWW； （2）121ssWWWW。 （3） 存在121\ssWWWW及121\()ssWWWW。 如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数12,,,skkk，则必有某一个12iskWWW。 3． U是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数为21n，故其补空间为一维的，可由任一迹非0的矩阵生成。

4． 易证线性封闭。又设V中元素为1211nnnnfaxaxa，则U是满足方程110nnaaa的子空间。故U的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系

数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 5． 记U=123,,uuu，12,Www，把U,W放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite标准形为 1 4 5 1 2150 1 1

39

0 0 0 1 30 0 0 0 0



，

故UW的基为123ww，U的基为123ww，1u；W的基为123ww，1w；UW 的基为123ww，1u，1w。 6．0(,,,)0xyzwUWxyzwxyzw，1 1 1 121 1 1 1r， 故dim2,dimdimdimdim4UWUWUWUW； 1,1,1,1UW的基为方程组的解向量0,1,1,-1和。

7．（1）由10(1)(1)jjjijiiixxaXxx知可表示为线性组合，由基定义知其为一组基。 （2）由001nniiiiiiaxbx及0(11)1jijjijixxCx得0jjjkkkbCa。 注：当k

8．由12,,,jt为的线性组合知存在矩阵A使得1212,,,,,,stA，由i线性无关可知rAs故st，把A的Hermite标准形非0行的第一个非0元所在列对应的i全替代为i即为所求。

9．易证为子空间； ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 nUBZXAxF为在空间上的核空间，故

dimdimnUZXAXFrABrArAB。

习题 三

1．略 2．1122 ,, yabxyxxbcy，故内积定义的（1）（3）显然；而

（2）成立 cabb为正定矩阵20,0aacb。 3．（1）（3）显然 （2）(,)0ff且等号成立当且仅当(,)0ff 22002ff002ff





 cossin0cossin022abab00abf

。

22||()||3cos74sin94cos93sin75ht。

习题 四

1． 设AB的特征值及其对应的特征向量为,iiX，即iiiABXX，如0iBX，则0i（注意到只能有一个特征值为0）。故由iiiBABXBX知BA与AB