罗宾逊和归结原理
归结原理证明
归结原理证明归结原理是一种常用的证明方法，它在数学、逻辑学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
归结原理的基本思想是通过逻辑推理和化简，将待证命题归结到一个已知为真的命题上，从而证明待证命题的真假。
在本文中，我们将通过详细的讲解和实例分析，来阐述归结原理的证明方法及其应用。
首先，我们来介绍一下归结原理的基本概念。
归结原理是一种基于逻辑推理的证明方法，它主要包括两个步骤，化简和归结。
在化简步骤中，我们需要将待证命题通过逻辑等价变换，化简为一系列子句的合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF），这样可以将待证命题转化为一系列逻辑子句的合取形式，方便后续的推理。
在归结步骤中，我们需要利用已知为真的命题和待证命题的否定形式，通过归结规则进行逻辑推理，最终得到一个空子句，从而证明待证命题的真假。
接下来，我们通过一个具体的实例来说明归结原理的证明过程。
假设我们需要证明如下命题，对于任意实数x，如果x>0，则x^2>0。
首先，我们将待证命题化简为逻辑子句的合取范式，¬(x>0)∨(x^2>0)。
然后，我们利用待证命题的否定形式¬(x^2>0)∧(x>0)，结合已知为真的命题¬(x^2>0)，通过归结规则得到空子句，从而证明了待证命题的真假。
通过上面的实例分析，我们可以看到归结原理的证明过程相对简洁明了，而且在实际应用中具有较强的普适性和有效性。
在数学领域，归结原理常常用于证明命题的等价变换和逻辑推理；在逻辑学领域，归结原理常常用于推理规则的形式化描述和验证；在计算机科学领域，归结原理常常用于逻辑推理引擎和自动证明系统的设计与实现。
总之，归结原理作为一种重要的证明方法，在数学、逻辑学和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
通过对归结原理的理论基础和实际应用进行深入的研究和探讨，有助于提高我们的逻辑思维能力和问题解决能力，也有助于推动相关领域的理论研究和技术发展。
归结演绎推理
1、谓词演算的基本等价式
• 双重否定律(double negation law): ┓(┓P(x)) ≡P(x)
• 德·摩根定律(Mogen law): ┓(P(x)∨Q(x))≡ ┓P(x)∧ ┓Q(x) ┓(P(x)∧Q(x)) ≡ ┓P(x)∨ ┓Q(x)
7
1、谓词演算的基本等价式
• 逆否律(inverse-negation law): P(x) → Q(x) ≡ ┓Q(x) → ┓P(x)
4
4.3 归结演绎推理-1
• 若欲证明前提条件P可推导出结论Q，即证 明 P Q永真，该问题的证明等价于证明 P Q 永假，即 P Q 是不可满足的。
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4.3.1 Skolem标准型
• 由于谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻 辑中的基本等价式和推理规则在谓词逻辑 仍可沿用。但由于谓词逻辑中引入了变量 及量词，须再增加一些与变量、量词有关 的一些定理和规则，现一并归纳于下:
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4、前束标准型
使用前面定义的等价式，总可以把一个公式化为 前束标准型。
变换过程如下：
(1) 使用等价式中的连接词化归律消去公式中的连接
词 、。
(2) 反复使用双重否定律和德·摩根律将“┓(～)”移到原 子之前。
(3) 必要时重新命名量化的变量。 (4) 使用量词分配律和等价式，把所有量词都移到整个公
• 所谓范式就是公式的标准形式，公式往往可以 转换为和它等价的范式，以便对它们做一般性 的处理。
• 方法是：对给定公式中的某子公式用与它“等 价”的一个公式来代替，并且重复该过程直到 得出所需要的形式为止。下面给出一些定义。
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3、谓词逻辑中的范式 范式中的一些定义: • 定义4.1 文字(literal)是原子或原子之非。 • 定义4.2 公式G，当且仅当G有形式G1∧…
鲁滨逊原理在疾病中的应用
鲁滨逊原理在疾病中的应用1. 引言在现代医学研究领域，发现疾病的发生和发展往往需要多个因素的相互作用。
这些因素包括遗传、环境、生活方式等。
然而，鲁滨逊原理（Robinson principle）提出了一个新的理论，认为所有疾病都可以追溯到一个基本的根本原因。
本文将讨论鲁滨逊原理在疾病中的应用，并探讨其在未来医学研究中的潜在意义。
2. 鲁滨逊原理的描述鲁滨逊原理是由医学家约翰·鲁滨逊（John Robinson）在20世纪初提出的。
该原理认为，所有疾病都可以追溯到一个基本的根本原因，即身体内部的一种失衡状态。
这种失衡状态可能导致免疫系统的异常反应，从而引发各种疾病。
3. 鲁滨逊原理在疾病预防中的应用根据鲁滨逊原理，研究人员可以通过寻找和纠正身体内部的失衡状态来预防疾病的发生。
这种预防方法与传统的疾病控制方法有所不同，传统方法通常关注的是疾病的外部因素，比如病毒、细菌等。
在疾病预防中，鲁滨逊原理可以通过以下方式应用：•个体化预防策略：根据个体身体内部的失衡状态，为每个人制定不同的预防策略。
比如，对于具有遗传倾向的人群，可以通过遗传检测和基因治疗来预防疾病的发生。
•营养调整：鲁滨逊原理认为身体内部的失衡状态可能与营养摄入有关。
因此，通过调整饮食结构和摄入的营养物质，可以纠正身体的失衡状态，从而预防疾病的发生。
•免疫调节：失衡状态可能导致免疫系统的异常反应，而免疫系统是我们身体抵抗疾病的重要防线。
因此，通过免疫调节的方法，比如免疫疗法、免疫增强剂等，可以预防疾病的发生。
4. 鲁滨逊原理在疾病治疗中的应用除了在疾病预防中的应用，鲁滨逊原理还可以在疾病治疗中发挥重要作用。
传统的治疗方法通常是对疾病的症状进行治疗，而鲁滨逊原理指出，我们应该从根本原因入手，治疗身体的失衡状态。
在疾病治疗中，鲁滨逊原理可以通过以下方式应用：•个体化治疗方案：根据个体身体内部的失衡状态，为每个病人制定不同的治疗方案。
这些方案可以包括药物治疗、手术治疗、物理治疗等，旨在纠正身体的失衡状态，从而治愈疾病。
人工智能导论课件：第四章 谓词逻辑与归结原理
谓词逻辑
是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法, 例：
City（北京） City（上海） Age（张三，23） (X)(Y)(Z)(father(X, Y)father(Y,
Z)gf(X, Z)
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归结原理
归结原理是一种定理证明方法，1965年由 J.A.Robinson提出，从理论上解决了定理证明 问题。当时被认为是人工智能领域的重大突破。
例如:令E为p(x,y,f(a))
={b/x,f(x)/y},则 E= ?
E=p(b,f(x),f(a)) 此例显示了同时置换的含义. 可以看到E是
在E上的作用,也就是将E中的(i=1, ,n)同时换成相 应的ti所得到的公式.
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ห้องสมุดไป่ตู้
置换乘法
定义 令 ={s1/y1,,sm/ym}, ={t1/x1,,tn/xn},则与的复合是
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置换
定义: 置换是形如{t1/x1,,tn/xn}的有限集,其中xi是 互不相同的变量,ti是不等于xi的项,且xi与ti互不循环 出现. 如果ti都是不含变量的项(基项),称该置换为基置换. 若={ },则称为空置换(表示不做置换),记为.
例如:1) {a/x,g(y)/y,f(g(b))/z}是一个置换? (是, 但不是基置换).
F1F2…Fn~W为永假，可以通过证明F所 对应的子句集S=S0∪{~W}是不可满足的。
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命题： P|=F P{F}是不可满足的。 证明: ① 若P {~F}是不可满足的，则 P|= F ② 若P|=F 则 P {~F}是不可 满足的。（反证法）
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归结原理
基本思想 将待证明的逻辑公式的结论（F），通过 等值公式转换成附加前提，再证明该逻 辑公式是不可满足的。
02-应用归结原理求问题课件
的老师。 求：小张的老师是谁？
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3.6 应用归结原理求解问题
解：
F1：王（Wang）先生是小李（Li）的老师。 F2
▪ 定义谓词： T(x, y) ： x 是
▪ 把目标表示成谓词公式，并把它否定后与 ANSWER 析取：
G：（x)T (x, Zhang ) ANSWER(x）
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3.6 应用归结原理求解问题
▪ 把上述公式化为子句集： （1） T (Wang, Li) （2） C(Li,Zhang ) （3） C(x, y) T (z, x) T(z, y) （4） T (u,Zhang) ANSWER(u) ▪ 应用归结原理进行归结： 5 C(Li, y) T (Wang, y)
6 C(Li, Zhang ) ANSWER(Wang )
7 ANSWER (Wang )
（1）与（3）归结 （4）与（5）归结 （2）与（6）归结
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3.6 应用归结原理求解问题
(1)
(3)
(5)
(4)
(6)
(2)
(7)
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ANSWER 构成析取式（﹁ Q ∨ ANSWER ）；
3 把（﹁ Q∨ ANSWER） 化为子句集，并入到子句集 S中， 得到子句集 ；S '
4 对 S ' 应用归结原理进行归结； 5 若得到归结式 ANSWER ，则答案就在 ANSWER 中。
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3.6 应用归结原理求解问题
例3.11 已知： 2. 自然演绎推理 3.3 谓词公式化为子句集的方法 4. 鲁宾逊归结原理 5. 归结反演 6. 应用归结反演求解问题
归结原理 机器定理证明
归结原理机器定理证明归结原理是一种机器定理证明方法，它基于归结推理的思想。
归结推理是一种规则，可以将两个逻辑子句归结为一个更简单的逻辑子句。
该规则的形式如下：如果有两个逻辑子句P和¬Q，其中P包含一个谓词P1，Q包含一个谓词P1的否定¬P1，那么可以通过把P1从P中删除以及把¬P1从Q中删除，得到一个新的逻辑子句R，这个新的逻辑子句R是两个原始逻辑子句的归结结果。
归结原理首先将给定的逻辑问题表示为一组子句的集合，然后通过反复应用归结规则来化简这些子句，直到得到空子句（表示逻辑问题的否定命题）或者无法再继续归结为止。
如果得到了空子句，说明开始时的逻辑问题是不可满足的，即它的否定命题是永假的；如果无法再继续归结，说明逻辑问题是可满足的，即它的否定命题是可能为真的。
归结原理的机器定理证明算法通常采用前向归结或后向归结。
前向归结是从给定的子句集合出发，应用归结规则生成新的子句，并将这些新子句添加到原始的子句集合中，直到得到空子句或者无法再继续归结为止。
后向归结是从空子句开始，通过反向应用归结规则来回溯生成原始的子句集合，直到回溯到初始状态或者无法再继续归结为止。
归结原理在人工智能领域中被广泛应用于自动证明、逻辑推理、知识表示和推理等问题的解决。
机器定理证明是指使用计算机程序和算法来证明数学定理或逻辑命题的过程。
归结原理是其中一种机器定理证明方法，它通过应用归结规则来简化逻辑子句，最终得到空子句或无法再继续简化为止。
具体来说，机器定理证明的步骤如下：1. 表示问题：将待证明的定理或命题转化为逻辑子句的集合，并使用合适的逻辑符号来表示逻辑关系。
2. 初始化：初始化归结过程，将初始的逻辑子句集合准备好。
3. 归结规则应用：通过应用归结规则来简化逻辑子句。
归结规则的应用通常包括选择两个子句进行归结，并生成新的子句。
这个过程可以通过遍历子句集合来完成，然后将得到的新子句添加到子句集合中。
人工智能第三章归结推理方法
Y
失败退出
成功退出
逆向推理的流程图
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逆向推理
对上例，采用逆向推理，其推理过程如下： 推理开始前，综合数据库和假设集均为空。 推理开始后，先将初始证据A和目标C分别 放入综合数据库和假设集，然后从假设集中取 出一个假设C，查找C是否为综合数据库中的 已知事实，回答为“N”。 再检查C是否能被知识库中的知识所导出， 发现C可由r1 导出，于是r1 被放入可用知识集。 由于知识库中只有r1可用，故可用知识集中仅 含r1。
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正向推理
正向推理是从已知事实出发、正向使用推理规 则，亦称为数据驱动推理或前向链推理。 算法描述 (1) 把用户提供的初始证据放入综合数据库； (2) 检查综合数据库中是否包含了问题的解， 若已包含，则求解结束，并成功推出；否则执 行下一步； (3) 检查知识库中是否有可用知识，若有，形 成当前可用知识集，执行下一步；否则转(5)。
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推理的控制策略
推理过程不仅依赖于所用的推方法，同时也依 赖于推理的控制策略。 推理的控制策略是指如何使用领域知识使推理 过程尽快达到目标的策略。
控制策略的分类：由于智能系统的推理过程一 般表现为一种搜索过程，因此，推理的控制策 略可分为推理策略和搜索策略。
推理策略：主要解决推理方向、冲突消解等问 题，如推理方向控制策略、求解策略、限制策 略、冲突消解策略等
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正向推理
正向推理的主要优点
比较直观，允许用户主动提供有用的事实信息， 适合于诊断、设计、预测、监控等领域的问题求 解。 正向推理的主要缺点
推理无明确目标，求解问题是可能会执行许多 与解无关的操作，导致推理效率较低。
数理逻辑归结法原理
▪ 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。
▪ 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
▪ 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 ▪ 证毕
反驳
▪ 定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。
▪ (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
• Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
▪ (2). Qn是□。
▪ Q1=q
Q1Ω
▪ Q2=q
Q2Ω
▪ Q3=□
▪ 因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
▪ (3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
▪ 若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。
▪ 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
• 公式Q1…QnR的合取范式； • 合取范式的所有简单析取范式，即Ω； • 证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。 ▪ 机械式地证明Ω不可满足是关键问题
子句与空子句
阿贡小组和马库恩
阿贡小组和马库恩芝加哥大学的实验物理学家费米在曼哈顿计划的早期负责核反应堆。
战后，美国以费米实验室为基础建立了第一个美国国家实验室阿贡（Argonne），隶属于美国能源部。
阿贡国家实验室的一个分部是应用数学和科学计算，阿贡定理证明小组就在这个分部。
阿贡小组对机器定理证明的贡献是决定性的和全方位的。
罗宾逊就是在阿贡工作时提出了归结原理。
阿贡为归结原理的实现提供了一整套生态环境。
小组的头儿沃思尽管是盲人，却是数学天才，他14岁就赢得芝加哥大学的奖学金，但他等到17岁生活能自理后才入学。
计算机科学的大部分分支都要求不只是理论好，还得能构建系统。
阿贡小组的精神就是实战。
小组的另一员干将欧文白克（Overback）曾和摩尔（Moore）讨论理论和实际之争，摩尔说：“编程就像做爱，没法叫别人替你干。
”阿贡小组除了paramodulation，还提出了支持集（Set of Support，简称SoS）的概念。
在证明定理中，通常会把给定的公理和待证的结论分开，一般不会在公理内互相归结，这样可以极大提高定理证明的效率。
支持集就是公理之外的子句集。
其实人在证明定理时也是如此。
沃思证明支持集是完备的。
除了技术方面，沃思为定理证明做出的最大贡献就是把马库恩（William McCune）招到阿贡实验室。
马库恩遂成为20世纪90年代定理证明领域快速发展的重要推动者。
他理论实践两手都硬。
在加入阿贡实验室后，用C语言写了Otter定理证明器，Otter实现了当时定理证明里最先进的所有技术。
美国人工智能的主要语言是LISP，马库恩和人开玩笑说他不会写LISP，只会写C。
包含测试是定理证明中最花时间的，很多证明器要花超过95%的时间做包含测试。
相比正向包含，反向包含测试有点得不偿失，有些定理证明器选择不做反向测试。
马库恩是最早把项索引（term indexing）引入到机器定理证明器的。
Otter主要用到了两种项索引，一种是路径索引（path indexing），另一种是马库恩自己发明的差别树索引（discrimination tree indexing）。
第三章 确定性推理方法分析
3.1.3 推理的方向
1. 正向推理
实现正向推理需要解决的问题：
确定匹配（知识与已知事实）的方法。 按什么策略搜索知识库。 冲突消解策略。
（3）归结反演
第3章 确定性推理方法
3.1
推理的基本概念
3.2 自然演绎推理
3.3 谓词公式化为子句集的方法 3.4 海伯伦定理 3.5 鲁宾逊归结原理 3.6 归结反演 3.7 应用归结反演求解问题
归 结 演
绎
推 理
3.1 推理的基本概念
3.1.1 推理的定义 3.1.2 推理方式及其分类
（ 小前提 ）
（结 论）
3.1.2 推理方式及其分类
1.演绎推理、归纳推理、默认推理（按推出结论的途径）
（2）归纳推理 (inductive reasoning): 个别 → 一般
完全归纳推理（必然性推理） 不完全归纳推理（非必然性推理）
完全归纳推理
检查全部产品合格
不完全归纳推理
该厂产品合格
检查全部样品合格
黄色 挪威人 库尔斯牌 水 狐狸
蓝色 乌克兰人 切斯菲尔德 茶 马
红色 英国人 温斯顿 牛奶 蜗牛
绿色 日本人 国会牌 咖啡 斑马
白色 西班牙人 幸运牌 橘子汁 狗
1.英国人住在红色的房间 4.黄房间的人抽库尔斯牌香烟 11.抽库尔斯牌烟的房间在有匹马的房间的隔壁 7.抽温斯顿牌香烟的人有一只蜗牛 5.抽切斯菲尔德香烟的人的 是养了一只狐狸的人的邻居
2.西班牙人有一条狗 8.抽幸运牌香烟的人喝橘子汁 橘子汁是谁喝的？ 9.乌克兰人喝茶 10.日本人抽国会牌香烟 3.挪威人住在左边第一个房间 12.绿房间的人喝咖啡 6.挪威人住在蓝房间旁边 14.绿房间的人在白房间的隔壁 13.中间房间的人喝牛奶
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罗宾逊和归结原理
1957年夏季，在塔尔斯基的号召下，一个逻辑学家的大聚会在康奈尔大学举行，会上数学家亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson，数学和逻辑领域有好几个罗宾逊，且互有关联）指出，埃尔布朗（Herbrand）定理可以把一阶逻辑的问题转化为命题逻辑。
这激发了大家寻求统一高效的定理证明的实现方法。
英国人阿兰·罗宾逊（John Alan Robinson）1952年在剑桥得了古典学学位后来到美国，1956年在普林斯顿大学哲学系亨培尔（Carl Hempel）指导下得了博士，但他的实际导师是年轻的普特南。
有意思的是，罗宾逊在读博士时并不知道导师普特南正在和戴维斯合作研究机器定理证明。
罗宾逊毕业后先是到杜邦公司研究运筹学，1961年他谋得在赖斯大学（Rice）哲学系教逻辑的职位，但每年夏天还是到阿贡国家实验室做机器定理证明的研究。
后来他索性全职加入了刚成立的阿贡定理证明小组，一位同事是和他同姓的软件工程师乔治·罗宾逊，另一位就是随后成为阿贡定理证明小组的头儿的传奇人物、盲人数学家沃思（Larry Wos）。
事实上，是哲学家罗宾逊和码农罗宾逊用蒯因的入门教科书《逻辑方法》教会了数学家沃思逻辑。
阿兰·罗宾逊一开始的任务是实现DP（戴维斯-普特南）过程，这回还是用IBM 704，但此时已经有了高级语言Fortran。
在实现DP的过程中，他发现了对后来定理证明有长远且深刻影响的归结（resolution）原理。
有时，一个重大的发现或发明是在深刻体会已有工作的过程中自然出现的。
相关文章的发表却因为一名匿名审稿人的疏忽而耽搁，迟至
1965年才公开发表在JACM 上。
阿兰·罗宾逊受到普拉格维茨工作的启发，拓展了普拉格维茨的原始合一算法，发明了归结原理。
以前的定理证明技术会用到很多规则，有了归结后，所有的证明推导只要有归结这一条规则就可以了。
据后来考证，归结方法在1937年就被布莱克（Archie Blake）在其关于布尔代数的博士论文中发现过，而蒯因在1955年简化布尔函数时也独立发明过。
但无论如何，把合一算法和归结原理结合并应用到一阶逻辑是罗宾逊的原创，这是定理证明中的重要里程碑。
在罗宾逊1965年的文章中，一个被忽视的贡献就是包含（subsumption）。
虽然归结极大地简化了定理证明，但是它的一个副作用是可以很快生成大量新子句，这和其他定理证明技术是类似的。
大部分新子句都是没必要保存的，这就像图书馆时不时要清理旧书，相当一部分书的内容已经被另一部分书所包含。
例如我们知道“所有人必死”Mortal(x )，那么当生成“苏格拉底必死”Mortal(Socrates)作为中间子句时，它没必要被存下来，也就是说Mortal(x )包含了Mortal(Socrates)。
沃思等人在1991年纪念罗宾逊六十大寿的文集上撰文指出包含是罗宾逊的另一大贡献，其重要性甚至要超过归结原理。
罗宾逊的贡献不能单纯用归结来总结，他的原创性在于一系列工作的综合，除了归结外，还有合一和包含。