不可约多项式和可约多项式
高等代数（二）预习——4、唯一因式分解定理
⾼等代数（⼆）预习——4、唯⼀因式分解定理4、唯⼀因式分解定理 上⼀篇介绍到了公因式的问题，为探索多项式最重要的问题之⼀——因式分解问题，做了很好的准备。
下⾯我们就来介绍这个问题。
因式分解问题与整数的质因数分解问题很相似，我们先来介绍基本的不需要分解的多项式：⼀、不可约多项式 不可约多项式的定义是类⽐质数做出的，实际上在因式分解问题⾥，它们也是基本的因式，因为它们不能被继续分解。
定义：⼀个多项式p∈K[x]是不可约多项式，当且仅当deg p>0，且它在K[x]中的因式只有零次多项式或者它⾃⾝的相伴式。
即若q|p，则q∼1或q∼p。
如同质数，不可约多项式有⼀些基本的性质：1、K[x]中，若p不可约，则对任意的f∈K[x]，或者(p,f)=1，或者p|f。
证明：由于(p,f)|p，则或者(p,f)=1，或者(p,f)∼p，从⽽由传递性，p|(p,f)|f。
2、K[x]中，若p不可约，且p|fg，则或者p|f，或者p|g。
证明：不妨设p∤f，那么由于不可约，(p,f)=1，⼜由于p|fg，可知p|g。
性质2可以推⼴到多个多项式的情形，即若p|f1f2...f s，则⾄少存在i=1,2...或s，使p|f i。
3、多项式p不可约当且仅当p不可表⽰为两个次数更低（但是次数为正）的多项式之积。
证明：必要性是显然的，充分性⽤反证法即可。
性质3⽴刻告诉我们，每个1次多项式都是不可约的。
有了这三条性质，我们就可以介绍此篇最重要的定理了。
⼆、唯⼀因式分解定理定理：K[x]中的任意⾮零多项式f可以唯⼀地表⽰为若⼲个K[x]中不可约多项式的乘积：f=p1p2...p s。
注意，定理中的唯⼀是指，若存在f=p1p2...p s=q1q2...q t，则s=t，且调整过顺序后，有p i∼q i,i=1,2,...,s。
证明：先来证存在性。
对f的次数做数学归纳法。
1° n=1时，显然存在分解式。
2° 假设次数⼩于n时定理均成⽴，那么对次数为n的多项式f，若其是不可约多项式，分解式显然存在，否则，由性质3，我们可以找到次数更低但是为正的f1、f2，使得f=f1f2，从⽽由归纳法，f的分解式也存在。
5多项式详解
最大公因式_唯一性
设 d(x), d1 (x) 是 f (x) 和 g(x)的最大公因 式, 据定义有 d(x) | d1 (x)且 d1(x) | d(x) , 故存 在c∈K, 使得d(x) = cd1 (x). 即f (x), g(x)的最 大公因式最多差一个非零常数。
deg f(x)≤m1+m2+…+mn, 且对任意 i, 1≤i≤n,有
f(x) ≡ fi(x)(mod pi(x)).
中国剩余定理_2
Language插值公式 设a1, a2, …, an是数域K上n 个不同的数,则对 任意 n 个数b1, b2, …, bn, 存在唯一次数小于 n 的多项式
f (x) = f1(x) d(x), g(x) = g1(x)d(x),
( f1(x) , g1(x) ) = 1.
设( f1(x) , g(x) ) = 1, ( f2(x) , g(x) ) = 1, 则 ( f1(x) f2(x) , g(x) ) = 1.
中国剩余定理_1
命题 设 p1(x), p2(x),…, pn(x)是数域K上两两互素的 多项式,证明对于每个i, 1≤i≤n,存在多项式fi(x),使得
任意的 f (x) ∈ K[x] , 有 f (x) | 0
对 f (x) ≠ 0 , 则 0 |f (x)
0 ≠ c ∈ K , 对任意 f (x) , 有 c | f (x).
整除_性质
性质: f (x), g (x), h(x)∈ K[x], 0 ≠ c∈K , 则 (1) f (x) | g(x), 则 c f (x) | g(x) (2) f (x) | g(x), g(x) | h(x), 则 f (x) | h(x) (3) f (x) | g(x), f (x) | h(x), 则 u(x), v(x)∈ K[x], 有 f (x) | u(x)g(x)+ v(x)h(x) (4) f (x) | g(x), g(x) | f(x), 则存在c ≠0∈K, 使 f (x)=cg(x).
高等代数北大第三版 在线阅读
3° p2+α
则 在有理数域上是不可约的 .
17
证： 若 在 上可约 ， 由定理11， f(x)可分解为两次数较低的整系数多项式积
f(x)=(bx+b1x1+…+b)(cmx"+cmx"-1+…+c)
b,cjez， , m < n ，I+m=n
又 不妨设
…p l 或 plc
判别法来判断是其是否可约 ，此时可考虑用适当的
代换
使
满足
Eisenstein判别法条件 ， 从而来判定原多项式
不可约 .
22
命题 有理系数多项式 f(x)在有理系数上不可约
多项式 g(x)= f(ax+b) 在有理数域上不可约 .
23
例5 证明：
在 上不可约 .
证： 作变换 x=y+1, 则
f(x)=y2+2y+ 2,
取 p= 2, 由Eisenstein判别法知， y2+ 2y+2 在Q上不可约，
所以 在Q上不可约 .
24
说明：
对于许多 上的多项式来说 ，作适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法 ，但未必总是凑效的． 也就是说 ，存在 上的
多项式
无论作怎样的代换
都不能
使
f ( x ) = ( sx- r ) ( bjx" - 1 + … + bx+ b )
bez， i=0,1…n-1 比较两端系数 ，
得
an= sbn1， a0= -rbd. 所以 ，sla， r l a
有理系数多项式不可约
有理系数多项式不可约在代数学中，多项式的概念十分广泛。
除了无理数系数的多项式之外，还有一种重要的类型是具有有理数系数的多项式。
对于有理系数多项式来说，一个重要且有趣的性质就是它的不可约性问题。
本文将就这个问题进行深入探讨和研究。
首先，我们需要了解什么是多项式的不可约性。
多项式的不可约性是指该多项式不能被分解为几个一次或二次因式的乘积的形式。
换句话说，如果一个多项式可以被表示为一个长度的多项式的乘积形式，那么这个多项式就被称为可约的；反之，则被称为不可约的。
有理系数多项式的不可约性的重要性在于它与代数基本定理有着密切的关系。
代数基本定理指出任何次数大于1的多项式在复数域上都可以被分解成一次因式的整数次幂的和。
这意味着对于给定的有理系数多项式，如果能证明它是不可约的，那么我们就可以利用代数基本定理将其转化为一些简单的因式和指数运算来解决相关问题。
因此，理解并解决有理系数多项式的不可约性问题具有重要的理论和实践意义。
为了更好地理解和探究有理系数多项式的不可约性，我们可以从以下三个方面入手：一、定义的理解：需要仔细阅读和理解关于多项式的定义以及相关的数学知识，以便能够正确地处理和处理涉及有理系数多项式的问题。
二、方法的应用：由于有理系数多项式的特殊性，可能需要使用不同于无理数系数的多项式的方法来解决问题。
例如，可以通过观察特殊情况下的例子或者借助其他工具如几何方法和矩阵知识等来寻找规律和方法。
三、数值模拟实验：通过具体的数值模拟实验可以直观地看到某些有理系数多项式的行为，从而帮助我们更准确地把握其性质和特点。
基于以上分析，我们将以一个具体的有理系数多项式为例来进行说明和分析。
假设我们有这样一个多项式f(x)=x^4+2x^3-5x^2+6x+7, 它是一个四次多项式。
在这个例子中，我们可以通过观察发现它没有公因子（即不是可约的），并且无法通过合并同类项的方式将它化简到更高次的单项式之和的形式。
这就意味着这个多项式是不可约的。
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译= irreducible polynomialLet f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni.f (x) =f_l (x) 1・・・f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式.In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n.设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。
From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp.由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式.As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields.这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。
整系数不可约多项式的两个判别法
整系数不可约多项式的两个判别法
在高等代数中，有这样一个问题：一个有理系数的多项式，如何判断它在Q上是否可约？由于一个有理系数的多项式总是与某个整系数多项式相伴（它的本原多项式），同时，若一个整系数多项式在Q上可约，则它可以分解成两个低次的整系数多项式的乘积，所以，我们只要研究整系数多项式在Z[x]上的约化即可（其中Z是整数环）。
对于次数低一些的多项式（比如2次、3次），我们可以找它的根，如果有根，则有一次因式。
或者，另一个很常用的方法就是Eisenstein判别法。
Eisenstein判别法的定理条件并不是天上掉下来的，而是通过一些观察和探索得到的。
我们经常研究首一的多项式，因为它们比较简单，经过大量的观察，我们发现这种多项式是不可约的：
f(x)=x4+5x3+5x2+10x+10
它有一个特点是，首项以外的系数有公共的素因子（即5）。
所以我们可以探索一下，具有这种特点的多项式，假如可约，会得到什么结论？由此即可得到Eisenstein判别法：
类似于Eisenstein判别法的一个结果
这个结果可以用于判断以下形式的多项式是不可约的：
f(x)=x5+2x4+2x3+4x2+4x+4。
三个多项式不可约性的证明
三个多项式(不)可约性的证明1(浙大1993(16分)).证明f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1在Q上不可约,其中a1,a2,···,a n是互异的整数.证明:(证法1)若不然，假设f(x)=φ1(x)φ2(x),由于f(x)是整系数多项式，所以可设φ1(x)和φ2(x)均为整系数多项式，且∂[φ1(x)]<∂[f(x)],∂[φ2(x)]<∂[f(x)].f(a i)=φ1(a i)φ2(a i)=−1,考虑到它们均为整系数多项式，所以有φ1(a i)=±1,φ2(a i)=∓1.令g(x)=φ1(x)+φ2(x),则g(a i)=0,i=1,2,...,n.而∂[g(x)]≤∂φ1(x)<n,∂[g(x)]≤∂φ2(x)<n,得g(x)=0,φ1(x)=−φ2(x),所以f(x)=−φ2(x).1于是对任意的实数c,f(c)=−(φ1(c))2≤0.但再由条件：f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1,取c=max{a1,a2,...,a n}+3,则f(c)≥3n−1>0,矛盾.于是假设错误，所以f(x)在Q上不可约.(证法2)由于φ1(a i)=−φ2(a i),i=1,2,...,n且∂[φk(x)]<∂[f(x)]≤n,k=1,2.,所以f(x)=−[φ1(x)]2.由于φ1(x)和φ2(x)都是整系数多项式,所以−φ21(x)的首系数为负数,而f(x)的首系数为+1,矛盾.例2.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x+a1)(x+a2)···(x+a n)+1在Q上可约的充要条件是f(x)=g2(x),g(x)∈Z[x].证明:充分性显然成立.必要性.若f(x)在Q上可约，因为f(x)∈Z[x],可设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又因为f(a i)=1,所以g(a i)和h(a i)同时为1或−1,即g(a i)=h(a i),i=1,2,...,n.又∂[g(x)]<∂[f(x)]≤n,∂[h(x)]<∂[f(x)]≤n,得g(x)=h(x),所以f(x)=[g(x)]2.例3.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1在Q上不可约.证明:若f(x)在Q上可约，设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又对任意的c∈R(实数)，f(c)=(c−a1)2(c−a2)2···(c−a n)2+1>0,所以f(x)无实根.考虑f(a i)=g(a i)h(a i)=1,g(x)和h(x)均为整系数多项式，所以g(a i)=1且h(a i)=1或g(a i)=−1且h(a i)=−1.不妨假设存在a k使得g(a k)=1,则由于g(x)也无实根，所以必有g(a i)=1,i= 1,2,...,n.再考虑到若g(x)的次数小于n,得g(x)≡1,这是不可能的.所以∂[g(x)]=∂[h(x)]=n.由于g(a i)−h(a i)=0,且g(x)和h(x)都是首系数为1的n次多项式,所以g(x)−h(x)的次数小于n,且有n个互异的根a1,a2,...,a n,因而g(x)≡h(x),得f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1=[g(x)]2.令l(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n),则[l(x)]2+1=[g(x)]2,(g(x)−l(x))(g(x)+l(x))=1.对任意的a∈Z,(g(a)−l(a))(g(a)+l(a))=1(两个整数的乘积为1)，g(a)−l(a)=g(a)+l(a)=1或(−1).得l(a)≡0,矛盾.所以f(x)不可约.。
反证法证明多项式不可约
反证法证明多项式不可约在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．例1已知P（x）是一个大于零次的多项式，如果对于任意两个多项式f（x）和g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多项目类型证明假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．例2如果阶数大于1的整系数多项式f（x）的函数值是任意整数的素数f(x)为有理数域q上的不可约多项式．证明了f（x）不是有理数域Q上的不可约多项式，因为？（f（x））？1，所以f（x）在整数环Z上也是可约的，也就是说，有整系数多项式F1（x）和F2（x），所以f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．根据已知条件，如果a是整数，那么f（a）是素数，也就是f（a）？F1（a）和F2（a）是素数，那么F1（a）呢？？1或F2（a）？？1.从a的无穷远，知道F1（a）吗？1，f1（a）？？1或f2(a)?1，f2(a)??1四个式子中至少有一个式子对无限个a成立，即f1(x)与f2(x)中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．例3设置f（x）？anxn？一1xn？1.A0是一个整系数多项式，如果有素数P，那么（1）p?|an；（2）潘？1，一个？2.a0（3）p2?|a0，那么f（x）在有理数域中是不可约的证明假设f(x)在有理数域上可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即f（x）？（blxl？bl？1xl？1？？？b0）（cmxm？cm？1xm？1？？？c0）（l？n，m？n，l？m？n）因此an?blcm，a0?b0c0．因为p | a0，p可以除以B0或C0。
不可约多项式和极小多项式
不可约多项式和极小多项式多项式是数学中重要的概念，它是由各种系数和指数构成的函数，可以用来描述很多数学模型和问题。
不可约多项式和极小多项式是多项式的两个重要概念，对于理解多项式的性质和应用具有重要意义。
一、不可约多项式的概念及性质不可约多项式是指一个多项式不能够分解为两个多项式的乘积，其中两个多项式的次数均小于原来的多项式。
由此可以知道，不可约多项式是多项式分解的最小单位，因为所有的多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积。
例如，多项式x^2+1就是一个不可约多项式，因为它不能够被分解成两个次数小于2的多项式的乘积。
不可约多项式具有以下的性质：1.不可约多项式的次数必须大于等于2，因为1次多项式和常数函数都可以被分解为两个次数小于2的多项式的乘积。
2.每个不可约多项式都是唯一的，这是由于它的分解方式是唯一的。
3.每个多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积，这是多项式分解定理的基础。
二、极小多项式的概念及性质极小多项式是指一个线性变换在某个向量空间上的约化矩阵的最小不可约多项式，它描述了向量空间中的每个向量在这个线性变换下的特征，因此对于矩阵和向量空间的研究非常重要。
给定一个向量空间V和它上面的线性变换A，如果存在一个非零向量v属于V，使得对于任意的k≥0，都有A^kv=0，那么v被称为A 的一个特征向量，A^k的零空间被称为A的第k个特征空间。
如果存在一个特征向量v，使得它所在的特征空间不等于任何一个前面的特征空间，那么这个特征向量所在的特征空间就是A的不变子空间，它可以分解为一个约化矩阵。
极小多项式具有以下的性质：1.A的约化矩阵的极小多项式是唯一的，因为如果两个多项式都是它的极小多项式，那么它们的度数必须相等，因此它们必须是相等的。
2.如果一个多项式是A的约化矩阵的极小多项式，那么它就是A 的不变子空间的刻画，因为它的次数是最小的不可约多项式。
3.极小多项式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，因为它的零点就是A的特征值，并且每个特征值对应的特征向量都在A的不变子空间中。
不可约多项式的次数
不可约多项式的次数
从代数的角度来看，一个次数为n的多项式可以写成n个一次多项式的乘积形式。
如果一个多项式不能被分解为更低次数的多项式的乘积，那么它就是不可约的。
因此，次数为n的不可约多项式可以被看作是一种特殊的、无法进一步分解的多项式。
另外，从实际应用的角度来看，不可约多项式在数论、密码学和编码理论等领域有着重要的应用。
在这些领域，寻找特定次数的不可约多项式是一项重要的研究课题。
因此，不可约多项式的次数也受到了广泛的关注和研究。
总之，不可约多项式的次数可以是任何正整数，寻找不可约多项式是一个重要且复杂的数学问题，对于不同的次数有不同的判定方法，而且在实际应用中具有重要的意义。
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不可约多项式和可约多项式
不可约多项式和可约多项式是多项式分解中的两个重要概念。
可约多项式是指可以分解为若干个一次因式乘积的多项式。
例如，$x^2 + 2x + 1$ 可以分解为$(x + 1)^2$，这是一个可约多项式。
不可约多项式是指不能分解为若干个一次因式乘积的多项式。
例如，$x^2 + 1$ 不能分解为任何一次因式的乘积，所以它是一个不可约多项式。
在数学中，不可约多项式具有一些重要的性质。
例如，一个多项式是可约的当且仅当它没有公因式。
此外，任何多项式都可以表示为一些不可约多项式的乘积。
以上就是不可约多项式和可约多项式的定义和性质。