(完整版)高斯消元法解二元一次方程组专题习题
消元-解二元一次方程组(第2课时)
将一个或多个方程的两边同时乘以适当的数，使得某一未 知数的系数相等或消除
选择一个未知数的系数较小的方程， 将其两边同时乘以适当的数，使得该 未知数的系数变为1或零。
将得到的方程与其他方程进行代入或 消元，进一步简化方程组。
详细描述
消元法不仅用于解决数学问题，还可以用于 解决实际生活中涉及两个未知数的问题。例 如，在经济学中，我们经常需要解决诸如成 本、利润和销售量之间的关系问题。通过建 立二元一次方程组并使用消元法，我们可以 找到这些未知数之间的关系，从而更好地理 解经济现象。
实例三：解其他类型的方程组
总结词
消元法可以用于解其他类型的方程组，如线性方程组 、二次方程组等。
将两个方程进行相减或相加，消去一个未知数，得到一个 一元一次方程
选择两个方程中某一未知数的系数相 反或互为相反数的方程进行相减，消 去该未知数。
VS
将得到的一元一次方程求解，得到一 个变量的值，然后将该值代入原方程 组中求解另一个变量。
03 消元法的注意事项
消元过程中要保证等式两边平衡，不元法不仅适用于解二元一次方程组，还可以用于解 其他类型的方程组。例如，对于线性方程组和二次方 程组，消元法同样适用。通过消元法，我们可以简化 方程组，将其转化为更易于解决的形式，从而找到未 知数的值或满足某些条件的解。
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解一元一次方程
将二元一次方程组转化为 一元一次方程后，求解该 一元一次方程即可得到答 案。
消元法的注意事项
在应用消元法时，需要注意保证方程的等价性，即变形后 的方程与原方程等价。
在消除未知数的过程中，需要注意符号和运算的准确性， 以免出现错误的结果。
专题01运算能力之解二元一次方程组专练(解析版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知关于x ，y 的方程组25241x y ax y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为自然数的解有4对．正确的有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x +y =2a +1即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x 、y ，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程x +y =3的自然数解即可得结论．【详解】解：①将a =1代入原方程组，得233x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3x y =⎧⎨=⎩，将x =3，y =0，a =1代入方程x +y =2a +1的左右两边，左边x +y =3，右边2a +1=3，当a =1时，方程组的解也是x +y =2a +1的解；故①正确；②解原方程组，得2122x a y a =+⎧⎨=-⎩，若x ，y 是互为相反数，则x +y =0，即2a +1+2-2a =0，方程无解．无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；故②正确；③∵x +y =2a +1+2-2a =3，∴x 、y 为自然数的解有03x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，30x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．2．已知关于x ，y 的方程组25241x y ax y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：①当a ＝1时，方程组的解也是x +y ＝2a +1的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 的自然数解有3对；④若2x +y ＝8，则a ＝2．正确的结论有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】先解出二元一次方程组得1222x a y a =+⎧⎨=-⎩，①当a ＝1时，方程组的解为30x y =⎧⎨=⎩，则x +y ＝3＝2a +1；②x +y ＝1+2a +2﹣2a ＝3，无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③3x y +=，,x y 是自然数，解得,x y 有4对解；④2x +y ＝2（1+2a ）+（2﹣2a ）＝4+2a ＝8，则a ＝2．【详解】解：25241 x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩①②，①﹣②，得y ＝2﹣2a ，将y ＝2﹣2a 代入②，得x ＝1+2a ，∴方程组的解为1222x ay a =+⎧⎨=-⎩，当a ＝1时，方程组的解为30x y =⎧⎨=⎩，∴x +y ＝3＝2a +1，∴①结论正确；∵x +y ＝1+2a +2﹣2a ＝30≠，∴无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数，∴②结论正确；3210y y y y ∴⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩共4对∴x ，y 的自然数解有4对，∴③结论不正确；∵2x +y ＝2（1+2a ）+（2﹣2a ）＝4+2a ＝8，∴a ＝2，∴④结论正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．3．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y （单位：km ）与慢车行驶时间t （单位：h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A ．5h3B ．3h2C ．7h5D ．4h3【答案】B 【分析】求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为y 6ax =，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式2ay x a =-，快车从乙地到甲地的解析式32a y x a =-+，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间=3x ，快车从乙地到甲地与慢车相遇9=2x 即可．【详解】解：设慢车离甲地的距离y （单位：km ）与慢车行驶时间t （单位：h ）的函数关系为y =kt 过（6，a ），代入得6a k =,解得6ak =，设快车从甲地到乙地的解析式11y k x b =+，过（2，0），（4，a ）两点，代入解析式的1111204k b k b a +=⎧⎨+=⎩，解得112a k b a⎧=⎪⎨⎪=-⎩，快车从甲地到乙地的解析式2ay x a =-，设快车从乙地到甲地的解析式22y k x b =+，过（4，a ），（6，0）两点，代入解析式的2222604k b k b a +=⎧⎨+=⎩，解得2223a k b a⎧=-⎪⎨⎪=⎩，快车从乙地到甲地的解析式32ay x a =-+，快车从甲地到乙地与慢车相遇62ay x ay x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得=32x a y ⎧⎪⎨=⎪⎩，快车从乙地到甲地与慢车相遇632a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得9=234x a y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两车先后两次相遇的间隔时间是92-3=32h ．故选择B ．【点睛】本题考查行程问题函数应用题，用待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为两函数组成方程组，解方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为转化为两函数组成方程组，解方程组是解题关键．若满足m ＜1，n +p ＝b 2+4b +3，则n 与p 的大小关系为（）A ．n ＜pB ．n ≤pC ．n ＞pD ．n ≥p【答案】A 【分析】先将表格中两组x ，y 代入一次函数解析式可得()2n km bp k m b =+⎧⎨=-+⎩，然后利用作差法比较大小.【详解】解：将x=m ，y=n ，x=2-m ，y=p ，代入一次函数解析式y ＝kx +b 可得：()2n km bp k m b=+⎧⎨=-+⎩，所以n-p=()()22221km b k m b km k k m +---=-=-，n+p=()222km b k m b k b ++-+=+，因为n +p ＝b 2+4b +3，所以22243k b b b +=++，22432k b b b =++-，2223k b b =++，22212k b b =+++，()2212k b =++，因为()210b +≥，所以22k ≥，即1k ³，因为m <1，所以m -1<0，所以n-p=()210k m -<，所以n <p .故选A.【点睛】图象性质和作差法比大小.二、解答题5．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：323538303336x y x y +=⎧⎨+=⎩①②的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x ，y 的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：①﹣②得2x +2y ＝2，所以x +y ＝1③．③×35﹣①得3x ＝﹣3．解得x ＝﹣1，从而y ＝2．所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩．请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：201620182020201920212023x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．【答案】12x y =-⎧⎨=⎩【分析】结合探究内容，仿照例子，用加减消元法解二元一次方程组．【详解】解：②﹣①得3x +3y ＝3，即x +y ＝1③，③×2018，得：2018x +2018y ＝2018④，④﹣①得2x ＝﹣2，解得x ＝﹣1，将x ＝﹣1代入③，得：﹣1+y ＝1，解得y ＝2，∴原方程组的解为2y ⎨=⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法，解二元一次方程组有代入法和消元法，灵活应用这两种方法是解题关键．6．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组23237432323832x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x +3y ）看成一个整体，把（2x ﹣3y ）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m ＝2x +3y ，n ＝2x ﹣3y ．原方程组化为743832m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解的6024m n =⎧⎨=-⎩，把6024m n =⎧⎨=-⎩代入m＝2x +3y ，n ＝2x ﹣3y ，得23602324x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得914x y =⎧⎨=⎩所以，原方程组的解为914x y =⎧⎨=⎩．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩；（2）52113213x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．【答案】（1）137x y =⎧⎨=-⎩；（2）1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．【详解】解：（1）令6x ym +=，10x y n -=，原方程组化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：2n⎨=⎩，∴162 10x yx y+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：137 xy=⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解为137 xy=⎧⎨=-⎩．（2）令1mx=，1ny=，原方程组可化为：5211 3213 m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得：32 mn=⎧⎨=-⎩，∴1312 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，经检验，1312xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程的解．∴原方程组的解为1312 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．7．已知12xy=⎧⎨=⎩是关于,x y的方程组14ax bybx ay-=-⎧⎨-=-⎩的一个解，求代数式()23a b a--的值．【答案】-6【分析】将12xy=⎧⎨=⎩代入原方程组中得2124a bb a-=-⎧⎨-=-⎩①②，然后解方程求出a、b，然后求代数式的值解：将12x y =⎧⎨=⎩代入原方程组中得2124a b b a -=-⎧⎨-=-⎩①②将①变形为2-1a b =③代入②：-4+2-4b b =，解得2b =，代入③得3a =∴()2222333236a b a --=--=-（）【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求解，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法.8．基本运算：计算：（1）2|1|(2)+-；（2；解方程组或不等式（组）：（3）233511x y x y -=⎧⎨+=⎩；（4）325153x x +-<-．（5）82213(1)x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩，并把解集表示再数轴上．（6）已知二元一次方程x +3y ＝10．①直接写出它所有的正整数解；②请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为24x y =-⎧⎨=⎩．【答案】（1）3；（2）13；（3）21x y =⎧⎨=⎩；（4）x ＞7；（5）﹣4＜x ≤2，见解析；（6）①方程的正整数解为：71x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩；②符合题意的二元一次方程为x +y ＝2【分析】（3）利用加减消元法解二元一次方程组；（4）先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化1求不等式的解集；（5）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；（6）①根据方程的解的概念确定方程的正整数解；②根据方程组的解列出方程即可．【详解】解：（11+4＝3；（2）原式＝1﹣2+43＝13；（3）233511x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①×5，得：10x ﹣5y ＝15③，②+③，得：13x ＝26，解得：x ＝2，把x ＝2代入①，得：2×2﹣y ＝3，解得：y ＝1，∴方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩；（4）去分母，得：3（x +3）＜5（2x ﹣5）﹣15，去括号，得：3x +9＜10x ﹣25﹣15，移项，得：3x ﹣10x ＜﹣25﹣15﹣9，合并同类项，得：﹣7x ＜﹣49，系数化1，得：x ＞7，∴不等式的解集为x ＞7；（5）82213(1)x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩①②，解不等式①，得：x ＞﹣4，解不等式②，得：x ≤2，不等式的解集在数轴上表示为：∵x，y是正整数，∴当y＝1时，x＝10﹣3×1＝7，当y＝2时，x＝10﹣3×2＝4，当y＝3时，x＝10﹣3×3＝1，∴方程的正整数解为：71xy=⎧⎨=⎩，42xy=⎧⎨=⎩，13xy=⎧⎨=⎩；②由题意：x+y＝﹣2+4＝2，∴符合题意的二元一次方程为x+y＝2．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解不等式组，实数的混合运算，熟练掌握解方程组和不等式组的基本步骤，是解题的关键．9．阅读下列材料，完成相应任务．下表是2019－2020赛季CBA职业联赛积分榜（部分球队）球队比赛场数胜场负场积分广东东莞银行3028258新疆伊力特2922751辽宁本钢30201050山东西王30191149山西汾酒30181248福建豹发力30131743小明和小亮不仅热爱篮球，而且对CBA联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场、负一场分别积几分？”小明的思路是：设胜一场积x分，则根据“广东东莞银行”胜负场数与积分的关系可以用含x的式子表示负一场的积分为_______________________，再根据“新疆伊力特”胜负场与积分的关系可列一元一次方程_______________________．小亮的解法是：设胜一场积x分，负一场积y分，………………………第一步可得二元一次方程组201050191149x yx y+=⎧⎨+=⎩①②………………………第二步将③代入②，得()19115249x x +-=………………………第四步解这个方程，得2x =………………………第五步将2x =代入③中，得1y =………………………第六步解得21x y =⎧⎨=⎩………………………第七步答：胜一场积2分，负一积1分．………………………第八步任务1：将小明的思路中的空格处填起来；任务2：（1）小亮的解法中，列方程①②根据的等量关系分别是：方程①___________________________；方程②：__________________________________；（2）小亮解二元一次方程组的方法叫_______________________________；（3）小亮的解法中，第四步主要体现的数学思想是__________（选正确选项的代码）A ．转化思想B ．一般到特殊思想C ．分类思想D ．数形结合思想任务3：设胜一场积x 分，负一场积y 分，请你选择与小明和小亮不同的等量关系，列二元一次方程组______________________．（只列不解）【答案】任务1：58282x -，5828227512xx -+⨯=任务2：（1）辽宁本钢队胜20场积分＋负10场积分，共积50分；山东西王队胜19场积分＋负11场积分，共积49分；（2）代入消元法；（3）A任务3：181248131743x y x y +=⎧⎨+=⎩【分析】任务1:利用总积分减去28胜所得到的积分除以负的场数即可，因为胜、负都以用x 来表示后，根据“新疆伊力特”胜、负场和所获得的积分建立等式即可；任务2：（1）读取表中相关信息即可得出所列方程所选的等量关系；（2）根据计算过程将一个式子整理代入另一个式子来消元的过程叫代入消元法；（3）体现了将二元一次方程转化为一元一次方程的数学思想中的转化思想；任务3:小明和小亮选了前四组，按要求选择与小明和小亮不同的等量关系，我们可以选择山西汾酒、福建豹发力两组数据．由题意可得等式：28258x y +=，解得：58282xy -=，根据新疆伊力特胜２２场，负７场，积分５１，建立等式得：5828227512xx -+⨯=故答案是：58282x -，5828227512xx -+⨯=．任务2：（1）辽宁本钢队胜20场积分＋负10场积分，共积50分；山东西王队胜19场积分＋负11场积分，共积49分；（2）根据计算过程记得判断出是：代入消元法；故答案是：代入消元法．（3）体现了将二元一次方程转化为一元一次方程的数学思想中的转化思想；故选：A ．任务3：设胜一场积x 分，负一场积y 分，根据“山西汾酒”积分和“福建豹发力”积分可得，181248131743x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】本题考查了二元一次方程、解二元一次方程的方法、解题的关键是能根据题中信息引进未知量建立相应等量关系．10．计算：（1）22(1)-+-（2）计算1-（3）解方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩①②.（4）解方程组31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩①，②．（5）解不等式组()33121318x x x x -⎧+≥+⎪⎨⎪--<-⎩①②【答案】（1）7；（2；（3）11x y =⎧⎨=⎩；（4）21x y =⎧⎨=-⎩；（5）-2<x ≤1．【分析】（2）直接利用求一个数的立方根、算数平方根、去绝对值符号计算即可；（3）直接利用加减消元法求解即可；（4）直接利用加减消元法求解即可；（5）转化成整数不等式再进行求解．【详解】解：（122(1)--6221=+-+7=；（2）1-341=-++（3）234x y x y +=⎧⎨+=⎩①②将①-②得：22x -=-，解得：1x =，将1x =代入①中，解得：1y =，故11x y =⎧⎨=⎩；（4）31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩①，②．将①3⨯-②得1111y =-，解得1y =-，将1y =-代入①，解得2x =，故21x y =⎧⎨=-⎩，（5）()33121318x x x x -⎧+≥+⎪⎪⎨⎪--<-①②1338x x -+<-24x >-解得：2x >-，由3312x x -+≥+，6232x x +≥+-解得：1x ≤，综上：21x -<≤．【点睛】本题考查了解二元一次不等式、一元一次不等式组、二次根式、求立方根、算数平方根、绝对值，解题的关键是掌握相关的运算法则．11．规定一种运算*x y ax by =+（a ，b 为常数）（1）若**123,112==，求a ，b ；（2）在（1）的条件下，试比较()**1x y y x -+与*2 y y y -的大小；（3）无论y 取何值，都有*12y y =，若m 为正整数，且关于x 的不等式*mx z x b m ->-的解集为1x <-，求m 的值．【答案】（1）a =1，b =1；（2）（x *y ）*y -x +1＞y *y -y 2；（3）1【分析】（1）根据定义列出方程组，求解方程组即可；（2）分别计算出两个式子的值，再比较大小；（3）因为无论y 取何值，都有1*y =2y ，求得a ，b 的值，解不等式，根据不等式的解集，不等号的方向发生了改变，所以可以得到不等式的两边同时除以了一个负数，求得m 的取值范围，再根据m 是正整数求出m 的值．【详解】解：（1）根据题意得：223a b a b ⎧⎨+=+=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩；（2）当a =1，b =1时，x *y =x +y ，（x *y ）*y -x +1=x +y +y -x +1=2y +1，∴2y+1＞2y-y2，∴（x*y）*y-x+1＞y*y-y2；（3）根据题意得：a+by=2y与y无关，∴a=0，b=2，∵mx-z*x＞b-m，∴mx-2x＞2-m，∴（m-2）x＞2-m，∵不等式的解集为x＜-1，∴m-2＜0，∴m＜2，∵m为正整数，∴m=1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，解答本题的关键是求出a，b的值．12．（数学问题）解方程组3531x yx x y+=⎧⎨-+=⎩，①（）．②（思路分析）榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．（1）（完成解答）请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．解：把①代入②，得（2）（迁移运用）请你按照上述方法，解方程组5 23161a ba ca b c+=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩，①，②．③【答案】【完成解答】21xy=⎧⎨=⎩；【迁移运用】234abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；解：（1）【完成解答】把①代入②，得591x -=，解得2x =，把2x =代入①，可得1y =，∴方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩；（2）【迁移运用】把①代入③，得51c -=，解得4c =，把4c =代入②，得21216a +=，解得2a =，把2a =代入①，得3b =，∴方程组的解为234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．13．周日，小明一家从家里出发去40公里的郊外野炊，小明和妹妹小红早上8：00骑自行车先走．爸爸和妈妈开车10：00出发，半小时追上小明和小红，随即小明和小红乘坐爸妈的车一起前往目的地．设小明和小红所用的时间为x （小时），小明和小红所走的路程为1y （公里），爸妈所走的路程为2y （公里），图中OCB 表示1y 与x 之间的函数关系，线段AB 表示2y 与x 之间的函数关系．（1）爸妈开车的速度是每小时多少公里？（2）求1y 、2y 与x 的函数表达式．（3）如果小明和小红中途不乘坐爸妈的车，继续骑车前往，12：00能到达目的地吗？说明理由．【答案】（1）40；（2）14080(2.53)x x =⎨-<<⎩；2；（3）不能；理由见解析．【分析】（1）根据图象，由速度=路程÷时间求解即可；（2）利用待定系数法求解函数表达式即可；（3）将y =40代入直线OC 的表达式求得x 值，即可做出结论．【详解】解：（1）由图象可知，由40÷（3﹣2）=40知，爸妈开车的速度是每小时40公里；（2）设2y kx b =+，从图中知其图象经过（2，0）和（3，40）则20340k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：4080k b =⎧⎨=-⎩，∴24080y x =-（23x ≤≤）当 2.5x =时，220y =，所以C 点为（2.5，20）又设OC 的解析式为1y mx =，则2.520m =，解得：8m =，则18(0 2.5)y x x =≤≤，又CB 段的解析式与2y 相同，所以18(0 2.5)4080(2.53)x x y x x ≤≤⎧=⎨-<<⎩（3）在直线OC 上，当40y =时，由8x =40得：5x =，这说明小明他们不乘坐爸妈的车，全程需要5个小时，即13：00才能到达，所以他们12：00不能到达．【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意，能从图象中正确获取相关信息是解答的关键．14．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．例如32x y =⎧⎨=⎩是方程x ﹣y ＝1的一个解，用一个点（3，2）来表示，以方程x ﹣y ＝1的解为坐标的点的全体叫做方程x ﹣y ＝1的图象，方程x ﹣y ＝1的图象是图中的直线l 1（1）二元一次方程x ＋y ＝3的图象是直线l 2，在同一坐标系中画出这个方程的图象；（2）写出直线l角形MAB 的面积．【答案】（1）见解析；（2）(2,1)；（3）9．【分析】（1）找出二元一次方程3x y +=的两个解，在平面直角坐标系中描点，再连接两点，画出直线2l 即可得；（2）联立两个方程，利用加减消元法解方程组即可得；（3）先画出图形，再分别求出点,A B 的坐标，然后根据点M 的坐标可得AB 边上的高，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：（1）对于二元一次方程3x y +=，当0x =时，3y =，当0y =时，3x =，则点(0,3),(3,0)在直线2l 上，先描点，再连接两点，画出直线2l 如图所示：（2）3x y ⎨+=⎩②，由①+②得：24=x ，解得2x =，由②-①得：22y =，解得1y =，则方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线1l 与直线2l 的交点M 的坐标(2,1)；（3）由题意，画出图形如下：对于1:1l x y -=，当1x =-时，11y --=，解得2y =-，即(1,2)A --，对于2:3l x y +=，当1x =-时，13y -+=，解得4y =，即(1,4)B -，4(2)6AB ∴=--=，)1(2,M ，∴三角形MAB 的AB 边上的高为2(1)3--=，则三角形MAB 的面积为16392⨯⨯=．【点睛】本题考查了画函数图象、解二元一次方程组等知识点，掌握函数图象的画法是解题关键．15．学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程3126x x a++-=，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为3x =-，乙同学在解方程组235323x by x by -=⎧⎨+=⎩时，看错了第一个方程，得该方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩，试求a b +的值．【分析】甲同学在解方程3126x x a++-=，去分母时-1项忘记乘以6，则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入即可求得a的值；把乙的结果代入方程3x+2by=3求出b的值，即可求解．【详解】解：甲同学在解方程3126x x a++-=，去分母时-1项忘记乘以6，则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入3(x+3)-1=x+a，得：a=2；乙同学在解方程组235323x byx by-=⎧⎨+=⎩时，看错了第一个方程，得该方程组的解为23xy=⎧⎨=⎩，把23xy=⎧⎨=⎩代入3x+2by=3得：6+6b=3，解得：12 b=-，则13222 a b+=-=．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次方程的解．注意：方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午9：00，小聪从塔林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36km/h．小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑．两人离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．已知古刹与塔林的路程为1500m．（1）求小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求小聪乘坐景区班车的时间．（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇．【答案】（1）直线CD 的函数关系式为3y x =-；（2）5分钟；（3）两人相遇的时间是上午9时12分30秒【分析】（1）设y =kx +b ，运用待定系数法求解即可；（2）把x =15代入（1）的结论，再根据题意列式计算即可解答；（3）求出小慧骑自行车的函数表达式，联立（1）的结论求解即可．【详解】解：（1）设小聪步行时离古刹的路程y （米）与时间x （分）的函数表达式为y kx b =+，由题意得：01500102100b k b +=⎧⎨+=⎩∴601500k b =⎧⎨=⎩∴小聪步行时的函数表达式为()601500015y x x =+≤≤（2）当15x =时，601500601515002400y x m=+=⨯+=∵36/10/600/min km h m s m ==，∴()540024006005-÷=分钟（3）∵275230+-=分钟，5400÷30=180（m /min ）∴小慧骑自行车的函数表达式为180y x=∴180601500y x y x =⎧⎨=+⎩∴12.52250x y =⎧⎨=⎩答：两人相遇的时间是上午9时12分30秒．17．先阅读，再解方程组．解方程组7 231 34x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为723134m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩．解得612mn=⎧⎨=⎩，∴原方程组的解为93 xy=⎧⎨=-⎩．这种解方程组的方法叫做“换元法”．（1）已知方程组7325ax byx by+=⎧⎨-=⎩的解是63xy=⎧⎨=-⎩，求方程组2()()76()2()5a x yb x yx y b x y++-=⎧⎨+--=⎩的解．（2）用换元法解方程组2133410x y x yx y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩（其中|x|≠|y|）．【答案】（1）3xy=⎧⎨=⎩；（2）3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】（1）先把方程组2()()76()2()5a x yb x yx y b x y++-=⎧⎨+--=⎩变形为(22)()73(22)2()5a x yb x yx y b x y++-=⎧⎨+--=⎩，根据题意得到2263x yx y+=⎧⎨-=-⎩，然后解方程组即可；（2）设1mx y=+，1nx y=-，则原方程组化为233410m nm n-=⎧⎨+=⎩，解得21mn=⎧⎨=⎩，然后解方程组121x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩即可．【详解】解：（1）把方程组2()()76()2()5a x yb x yx y b x y++-=⎧⎨+--=⎩变形为(22)()73(22)2()5a x yb x yx y b x y++-=⎧⎨+--=⎩，方程组7325ax byx by+=⎧⎨-=⎩的解是63xy=⎧⎨=-⎩，∴3x y ⎨-=-⎩，解得3y ⎨=⎩，∴方程组2()()76()2()5a x y b x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=⎩的解为03x y =⎧⎨=⎩；（2）设1m x y =+，1n x y =-，则原方程组化为233410m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，即12x y +=，1x y -=，解方程组121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以原方程组的解为3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组和换元法．18．如图，平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），B （0，b ），其中a ，b满足23390a b --=．将点B 向右平移24个单位长度得到点C ．点D ，E 分别为线段BC ，OA 上一动点，点D 从点C 以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，同时点E 从点O 以3个单位长度/秒的速度向点A 运动，在D ，E 运动的过程中，DE 交四边形BOAC 的对角线OC 于点F ．设运动的时间为t 秒（0＜t ＜10），四边形BOED 的面积记为S 四边形BOED （以下面积的表示方式相同）．（1）求点A 和点C 的坐标；（2）若S 四边形BOED ≥32S 四边形ACDE ，求t 的取值范围；（3）求证：在D ，E 运动的过程中，S △OEF ＞S △DCF总成立．【答案】（1）A （30，0），C （24，7）；（2）425≤t ＜10；（3）见解析【分析】（2）由题意得出CD ＝2t ，则BD ＝24﹣2t ，OE ＝3t ，根据梯形的面积公式得出S 四边形BOED ＝12×（24﹣2t +3t ）×7，S 四边形ACDE ＝12×7×（2t +30﹣3t ），则可得出关于t 的不等式，解不等式可得出答案；（3）由题意可得出S △OEF ﹣S △DCF ＝3.5t ，根据t ＞0则可得出结论．【详解】（1|2339|0a b --=＝0，|2a ﹣3b ﹣39|＝0．∴a ﹣b ﹣23＝0，2a ﹣3b ﹣39＝0，解得，a ＝30，b ＝7．∴A （30，0），B （0，7），∵点B 向右平移24个单位长度得到点C ，∴C （24，7）．（2）解：由题意得，CD ＝2t ，则BD ＝24﹣2t ，OE ＝3t ，∴S 四边形BOED ＝12×（24﹣2t +3t ）×7，S 四边形ACDE ＝12×7×（2t +30﹣3t ），∵S 四边形BOED ≥32S 四边形ACDE ，∴12×（24﹣2t +3t ）×7≥32×12×7×（2t +30﹣3t ），解得t ≥425，∵0＜t ＜10，∴425≤t ＜10．（3）证明：∵S △OEF ﹣S △DCF ＝S 四边形BOED ﹣S △OBC ＝12×（24﹣2t +3t ）×7﹣12×24×7，∴S △OEF ﹣S △DCF ＝3.5t ，∵0＜t ＜10，∴3.5t ＞0，∴S △OEF ﹣S △DCF ＞0，∴S △OEF ＞S △DCF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，梯形的19．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组11122120x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设m ＝1x ，n ＝1y ，则原方程组可化为12220m n m n +=⎧⎨+=⎩，解之得84m n =⎧⎨=⎩，即18,1 4.x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．运用以上知识解决下列问题：（1）求值：11111111111111(1((1)(1113171113171911131719111317+++⨯+++-++++⨯++＝．（2）方程组635921x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩的解为．（3）分解因式：（x 2+4x +3）（x 2+4x +5）+1＝．（4）解方程组21132311122386x y x y +++⎧⨯-=⎨+⨯=⎩（5）已知关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解．【答案】（1）119；（2）21x y =⎧⎨=⎩；（3）4(2)+x ；（4）43x y =⎧⎨=⎩；（5）1145x y =⎧⎨=⎩，2225x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）设111111317a ++=，代入原式化简即可得出结论；（2）设11,ab x y x y ==+-，将原方程组变形，求得a ，b ，进而求出原方程组的解；（3）设243x x m ++=，展开后因式分解，再将m 代入即可得出结论；（4）将原方程组变形为12233111222386x y x y ⎧⨯-⨯=⎨⨯+⨯=⎩，设2x m =，3y n =，解关于m ，n的方程（5）将关于、的方程组2222222a x a x b y c a ⎨-+=-⎩，变为2222(21)a x x b y c ⎨-++=⎩，利用关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，可得：22195x x y ⎧-+=⎨=⎩，解这个方程组可得原方程组的解．【详解】解：（1）设111111317a ++=，原式22111111(1)()(1)191919191919a a a a a a a a a a =++-++=+++---=．故答案为：119．（2）设11,a b x y x y ==+-，原方程组变为：635921a b a b +=⎧⎨-=⎩．解得：131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴31x y x y +=⎧⎨-=⎩．解得：21x y =⎧⎨=⎩．经检验，21x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解．故答案为：21x y =⎧⎨=⎩．（3）设243x x m ++=，原式2222224(2)121(1)(431)[(2)](2)m m m m m x x x x =++=++=+=+++=+=+．故答案为：4(2)+x ．（4）原方程组变形为：12233111222386x y x y ⎧⨯-⨯=⎨⨯+⨯=⎩，设2x m =，3y n =，则1231112286m n m n -=⎧⎨+=⎩．解得：27n ⎨=⎩．∴216327x y ⎧=⎨=⎩．∴43x y =⎧⎨=⎩．（5）将关于x 、y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩整理得：21112222(21)(21)a x x b y c a x x b y c ⎧-++=⎨-++=⎩． 关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，∴22195x x y ⎧-+=⎨=⎩．即：2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩．解这个方程组得：1145x y =⎧⎨=⎩，2225x y =-⎧⎨=⎩．∴原方程组的解为：1145x y =⎧⎨=⎩，2225x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程和分式方程组，因式分解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，分式方程的解．利用换元法可使问题简单化，恰当的换元是解题的关键．20．已知点1A ，2A ，…，n A 在射线OA 上，11OA =，122A A =，…，1n n A A n -=，且12.n OA OA OA <<⋅⋅⋅<．若2021i j A A =，其中i j <，求i 与j 的值．【答案】20212020j i =⎧⎨=⎩或10111009j i =⎧⎨=⎩或6825j i =⎧⎨=⎩或6619j i =⎧⎨=⎩【分析】1【详解】解： 11OA =，122A A =，…，1n n A A n -=，且12.n OA OA OA <<⋅⋅⋅<1231,12,123,,OA OA OA ∴==+=++ ()11231,2n OA n n n =++++=+ ()()1111,22i j j i A A OA OA j j i i ∴=-=+-+()()11112021,22j j i i ∴+-+=224042,j i j i ∴-+-=()()14042,j i j i ∴-++=,j i 为正整数，i j <，1,j i j i -<++,1j i j i -++是正整数，而4042=14042=22021=4394=4786,⨯⨯⨯⨯当114042j i j i -=⎧⎨++=⎩时，解得：2021,2020j i =⎧⎨=⎩当212021j i j i -=⎧⎨++=⎩时，解得：1011,1009j i =⎧⎨=⎩当43194j i j i -=⎧⎨++=⎩时，解得：68,25j i =⎧⎨=⎩当47186j i j i -=⎧⎨++=⎩时，解得：66,19j i =⎧⎨=⎩综上：20212020j i =⎧⎨=⎩或10111009j i =⎧⎨=⎩或6825j i =⎧⎨=⎩或6619j i =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查的是规律探究，因式分解的应用，方程的正整数解问题，灵活运用以上知识，正确理解题意，得出()()14042,j i j i -++=是解题的关键.。
加减消元法解二元一次方程组专题习题
消元法解二元一次方程组
1.用加减消元法解下列方程
（1）13yxyx （2）34152410xyxy （3）1464534yxyx
（4）12354yxyx（5）132645yxyx（6）1732723yxyx（7）731232mnnm
2.用适合的方法解下列方程组：
(1) (2) (3)
(4) (5) 24513yxyx (6)52252230223xyxyx
2273yx
xy
765432zyzy
65732yx
yx
6341953yx
yx
专题 加减消元法解二元一次方程组 课后练习及详解
加减消元法解二元一次方程组课后练习主讲教师：傲德题一：解方程组：33 411 x yx y+=⎧⎨-=⎩．题二：解方程组：7317x yx y+=⎧⎨+=⎩．题三：已知a，b满足方程组2827a ba b+=⎧⎨+=⎩，则a-b的值为()A．-1 B．0 C．1 D．2题四：已知a，b满足方程组991029810299103a ba b+=⎧⎨+=⎩．则a+b与a -b的值分别为()A．1，5 B．2，53C．1，53D．2，5题五：用加减法解下列方程组：(1)2728x yx y+=⎧⎨+=⎩；(2)35311123x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩．题六：用加减法解下列方程组：(1)215233x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩；(2)233322x yx y+=⎧⎨-=-⎩．加减消元法解二元一次方程组课后练习参考答案题一：23 xy=⎧⎨=-⎩．详解：33411x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：7x=14，解得：x=2，把x=2代入①得6+y=3，解得：y= -3，则原方程组的解是23 xy=⎧⎨=-⎩．题二：52 xy=⎧⎨=⎩．详解：7317x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，②-①，得2x=10，即x=5，把x=5代入(1)，得y=2．∴原方程组的解为：52 xy=⎧⎨=⎩．题三：A．详解：2827a ba b+=⎧⎨+=⎩①②，②-①得：a-b= -1．故选A．题四：C．详解：9910298 10299103a ba b+=⎧⎨+=⎩①②，②-①得：3a-3b=5，a-b=53，①+②得：201a+201b=201，a+b=1，故选C．题五：32xy=⎧⎨=⎩；831xy⎧=⎪⎨⎪=⎩．详解：(1)2728x yx y+=⎧⎨+=⎩①②①×2-②得：3y=6，即y=2，把y=2代入①得：x=3，则方程组的解为32 xy=⎧⎨=⎩．(2)35311123x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②，由②×6得：3x-2y=6③，③-①得：3y=3，即y=1，将y=1代入①得：x=83，则方程组的解为831xy⎧=⎪⎨⎪=⎩．题六：11xy=⎧⎨=⎩；1xy=⎧⎨=⎩．详解：(1)215233x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②，由②×3得，6x-y=5③，①+③得，7x=7，解得x=1，将x=1代入①得，1+y=2，解得y=1，所以，此方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩．(2)233322x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2+②×3，得13x=0，即x=0．把x=0代入①，得y=1．所以方程组的解是1xy=⎧⎨=⎩．。
代入消元法解二元一次方程组专题习题1
代入消元解二元一次方程组习题
1. 已知-=1xy，用含有x的代数式表示y为：=y ；
用含有y的代数式表示x为：x= 。
2. 已知-2=1xy，用含有x的代数式表示y为：=y ；
用含有y的代数式表示x为：x= 。
3. 已知4+5=3xy，用含有x的代数式表示y为：=y ；
用含有y的代数式表示x为：x=
4. 用代入法解下列方程组：
(1) =425yxxy ① ② 解：将①带入②得： 解方程得： 将 代入①得： 所以，原方程组的解为： （2）425xyxy ① ②
解：由①得：
③
将 带入 得：
解方程得：
将 代入 得：
所以，原方程组的解为：
解：由①得：
③
将 带入 得：
解方程得：
将 代入 得：
所以，原方程组的解为：
（5）23321yxxy （6）42357yxyx
（7）2528xyxy ① ②
（8） 233418xyxy
（9）563640xyxy
（10）234443xyxy ① ②
5.用代入法解下列方程
、 X=3 、 x+2=3y 、 3x+y=7
Y+x=5 2x=3y 5x-2y=8
2、已知 ，求xy的平方根。
053222yxyx
(word完整版)熟练二元一次方程组解法练习题精选(含答案),推荐文档
二元一次方程组解法练习题一．解答题（共16小题） 1．解下列方程组 （1）（2）（3）)(6441125为已知数a a y x a y x ⎩⎨⎧=-=+ （4）（5）（6）．（7）（8）⎩⎨⎧=--+=-++0)1(2)1()1(2x y x x x y y x（9）（10） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x2．求适合的x ，y 的值．3．已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有和．（1）求k ，b 的值．（2）当x=2时，y 的值． （3）当x 为何值时，y=3？1．解下列方程组（1）（2）；（3）；（4）（5）．（6）（7）（8）（9）（10）；2．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.二元一次方程组解法练习题精选参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．考点：解二元一次方程组．分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：①相同未知数的系数相同或互为相反数时，宜用加减法；②其中一个未知数的系数为1时，宜用代入法．3．解方程组：考解二元一次方程组．点：专题：计算题．分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：；二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的方法有代入法和加减法．4．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．本题适合用此法．5．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b 的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b 的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．7．解方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：根据各方程组的特点选用相应的方法：（1）先去分母再用加减法，（2）先去括号，再转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．点评：这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握消元的方法有：加减消元法和代入消元法．根据未知数系数的特点，选择合适的方法．8．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入法或加减消元法解方程组．9．解方程组：考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程中含有分母的要先化去分母，再对方程进行化简、消元，即可解出此类题目．10．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：此题根据观察可知：（1）运用代入法，把①代入②，可得出x，y的值；（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．11．解方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．专题：计算题；换元法．分析：方程组（1）需要先化简，再根据方程组的特点选择解法；方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）运用加减消元的方法，可求出x、y的值；（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点评：此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．14．考点：解二元一次方程组．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．15．解下列方程组：（1）；（2）．考点：解二元一次方程组．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）考点：解二元一次方程组．分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．点评：解此类题目要注意观察方程组中各方程的特点，采用加减法或代入法求解．。
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(完整版)高斯消元法解二元一次方程组专
题习题
高斯消元法解二元一次方程组专题题
题目一
已知方程组：
2x + 3y = 8
4x - y = -1
使用高斯消元法求解该方程组。
解答一
首先，我们将方程组转化为增广矩阵形式：
[2 3 | 8]
[4 -1 | -1]
根据高斯消元法的步骤，我们先通过第一行的倍乘使第一列的其他元素变为0：
[1 3/2 | 4]
[4 -1 | -1]
然后，通过第二行的倍乘使第二列的第一个元素变为0：
[1 3/2 | 4]
[0 -5 | -17]
现在，我们可以得到第二个未知数`y`的值：`y = -17 / -5 = 17/5`。
将其代入第一行方程，可以求得第一个未知数`x`的值：
2x + 3 * (17/5) = 8
2x + 51/5 = 8
2x = 8 - 51/5
2x = 40/5 - 51/5
2x = -11/5
x = -11/10
因此，方程组的解为：`x = -11/10`，`y = 17/5`。
题目二
已知方程组：
3x + y = 11
2x - y = 1
使用高斯消元法求解该方程组。
解答二
同样地，我们将方程组转化为增广矩阵形式：
[3 1 | 11]
[2 -1 | 1]
通过高斯消元法的步骤进行计算：
[1 1/3 | 11/3]
[0 -5/3 | -2/3]
解得第二个未知数`y`的值：`y = -2/3 / -5/3 = 2/5`。
将其代入第一行方程，可以求得第一个未知数`x`的值：
3x + (2/5) = 11
3x + 2/5 = 11
3x = 11 - 2/5
3x = 55/5 - 2/5
3x = 53/5
x = 53/15
因此，方程组的解为：`x = 53/15`，`y = 2/5`。