二倍角的正弦、余弦、正切公式人教A版高中数学必修第一册优秀ppt
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人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式
5.5.1 二倍角的 正弦、余弦、正切公式
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
7. cos 36 cos 72
讲
课
人
：
邢
启 强
16
课堂小结
倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2
cos2=2cos2-1
tan 2 2 tan
讲 课
1 tan2
人
：
邢
启 强
17
2
求sin 4, cos 4, tan 4的值.
cos
4
1
2 sin 2
1
2
5 13
2
119 169
讲 课
tan 4 sin 4 cos 9
120 119
人
：
邢
启 强
10
典型例题
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A 2B的值.
( T(+) )
( T(-) )
讲 课 人 ： 邢 启 强
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
7. cos 36 cos 72
讲
课
人
：
邢
启 强
16
课堂小结
倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2
cos2=2cos2-1
tan 2 2 tan
讲 课
1 tan2
人
：
邢
启 强
17
2
求sin 4, cos 4, tan 4的值.
cos
4
1
2 sin 2
1
2
5 13
2
119 169
讲 课
tan 4 sin 4 cos 9
120 119
人
：
邢
启 强
10
典型例题
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A 2B的值.
( T(+) )
( T(-) )
讲 课 人 ： 邢 启 强
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
高一上学期数学人教A版必修第一册5.5.2倍角公式课件
第五章 三角函数 5．5 三角恒等变换
5.5.2倍角公式
类型三：二倍角公式 类型四：半角公式
类型三：二倍角公式
例 5 已知sin 2 5 ， π π ，求sin 4 ，cos 4 ， tan 4 的值.
13 4
2
分析：已知条件给出了2 的正弦函数值.由于4 是2 的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
2
2
得 cos 1 2sin2 ，
2
所以sin2 1 cos . ①
2
2
在倍角公式 cos 2
2cos2
1中，以
代替2
，以
2
代替
，得cos
2 cos2
2
1
，
所以cos2 1 cos . ②
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2 1 cos . 2 1 cos
练 习 11. 已知 cos 4 ，8 12 ，求sin ， cos ，tan 的值.
3
解：由 tan 2 1 ，得 2 tan 1 ， 3 1 tan2 3
所以 tan2 6tan 1 0 ，
所以 tan 3 10 .
练习
15. 求下列各式的值：
（1）sin15 cos15 ；（2） cos2
8
sin2
8
；（3） 1
tan 22.5 tan2 22.5
；（4）2cos2 22.5
1
24 4 73
24 7
4 3
44 117
.
解法 2：在 ABC 中，
由 cos A 4 ，0 A π ，得sin A 5
1 cos2 A
1
4 5
2
3 5
5.5.2倍角公式
类型三：二倍角公式 类型四：半角公式
类型三：二倍角公式
例 5 已知sin 2 5 ， π π ，求sin 4 ，cos 4 ， tan 4 的值.
13 4
2
分析：已知条件给出了2 的正弦函数值.由于4 是2 的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
2
2
得 cos 1 2sin2 ，
2
所以sin2 1 cos . ①
2
2
在倍角公式 cos 2
2cos2
1中，以
代替2
，以
2
代替
，得cos
2 cos2
2
1
，
所以cos2 1 cos . ②
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2 1 cos . 2 1 cos
练 习 11. 已知 cos 4 ，8 12 ，求sin ， cos ，tan 的值.
3
解：由 tan 2 1 ，得 2 tan 1 ， 3 1 tan2 3
所以 tan2 6tan 1 0 ，
所以 tan 3 10 .
练习
15. 求下列各式的值：
（1）sin15 cos15 ；（2） cos2
8
sin2
8
；（3） 1
tan 22.5 tan2 22.5
；（4）2cos2 22.5
1
24 4 73
24 7
4 3
44 117
.
解法 2：在 ABC 中，
由 cos A 4 ，0 A π ，得sin A 5
1 cos2 A
1
4 5
2
3 5
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
两角和与差的正弦公式 【1】由诱导公式五：
，可得：
两角和与差的正弦公式 【2】由诱导公式六：
即
，可得：
正余余正 符号相同
两角和与差的正切公式 根据推导经验，有
在上式中，用-β替换β，得到
分子同相加， 1减他们俩 即 分子同相减， 1加他们俩
两角差的余弦公式
两角和的余弦公式
cos(＋) = coscos－sinsin
两角和的正弦公式
提示:利用诱导公 式五(或六)可以实 现正弦,余弦的互化
(S(+))
将
中的β用-β替换
sin[+(-)]= sincos(-)＋cossin(-) sin(-) = sincos-cossin
公式 总结
两角和的正切公式T(+)： 上式中以-代替，得
两角差的正切公式T(α－β)：
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、余弦和正切公式
名称
两角和的余 弦
两角和的正 弦
两角差的正 弦
cos(α＋β)＝ sin(α＋β)＝ sin(α－β)＝
公式
简记符 号
C(α＋β) S(α＋β) S(α－β)
两角和的正 切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
两角差的正 切
tan(α－β)＝
T(α－β)
条件 α，β∈R
α，β∈R
α，β，α±β≠ kπ＋π/2(k∈Z)
典例l：
变式l： 变式2： 变式3：
给角求值 方法总结 给角求值问题 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则， 如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并 消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式.
二倍角公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
°
°
=(
×
.
)
=
=
− . °
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α = 2sinα cosα
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1-2sin2α
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
正弦：SCCS
符号同
(∓) : ( ∓ = ±
余弦：CCSS
符号异
(∓) :
∓
( ∓ ) =
1 ±
正切：
子同母异
探究1：你能利用S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)推导出sin2α，cos2α，
2
1 tan 2 A B
11 117
1
2
.
课堂检测
教材P223练习1
4
1.已知cos =− ，8
8
5
解： ∵ 8 < <
< < 12，求sin ，cos ，tan 的值.
4
4
4
3
3
12 ，∴ < < ∴sin
，8 =− 5
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 1-2 sin2α=2cos2α-1
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
作业：教材P223 ：练习：3、4题
°
=(
×
.
)
=
=
− . °
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α = 2sinα cosα
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1-2sin2α
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
正弦：SCCS
符号同
(∓) : ( ∓ = ±
余弦：CCSS
符号异
(∓) :
∓
( ∓ ) =
1 ±
正切：
子同母异
探究1：你能利用S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)推导出sin2α，cos2α，
2
1 tan 2 A B
11 117
1
2
.
课堂检测
教材P223练习1
4
1.已知cos =− ，8
8
5
解： ∵ 8 < <
< < 12，求sin ，cos ，tan 的值.
4
4
4
3
3
12 ，∴ < < ∴sin
，8 =− 5
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 1-2 sin2α=2cos2α-1
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
作业：教材P223 ：练习：3、4题
高中课件 二倍角的正弦、余弦和正切公式
解： sin 2 5 ，2 （ ，），
13
2
cos 2 12
13 sin 4 2sin 2 cos 2 2 5 (12) 120
13 13 169
cos4 1 2sin2 2 1 2( 5 )2 119
13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 cos4 169 119 119
R
cos2 cos2 sin2
R
2cos2 11 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
k 2
4
,且
k
2
，k Z
2、注意正用 、逆用、变形用
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
1．P157 习题3.1A组 15,16,18,19
26
4
8
88
5 5 25
cos a cos(2 a ) cos2 a sin2 a ( 4)2 ( 3)2 7 ,
4
8
8
85
5 25
tan
a 4
sin a 4
cos a
24
25 7
24 . 7
4 25
练习
已知sin( ) 3 ,求cos2的值。
5
解：∵sin( ) sin 3 ,
令 tan t,则，t 2 6t 1 0,
解得：t1 3 10或t2 3 10，即：tan 3 10
已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求 cos 2x0 的值．
新人教版高中数学必修第一册二倍角的正弦、余弦、正切公式ppt课件及课时作业
∴cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－ cos α－sin α2
＝－ cos α＋sin α2－4cos α·sin α
＝－ －312－4×－94＝－ 317，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝－13×－
317＝
17 9.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等 不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于 2α 是 α 的二倍的情况，还可运用于 4α 作为 2α 的二倍，α 作为α2的二倍，3α 作为32α的二倍，α＋β 作为α＋2 β的二倍 等情况，这里蕴含着换元的思想. (3)正切二倍角的范围：α≠k2π＋π4且 α≠π2＋kπ(k∈Z).
因为 f(B)＝2，所以 2sin2B＋π3＝2， 即 sin2B＋3π＝1.
所以 2B＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z. 又因为 0<B<π，所以 B＝1π2.
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围.
由题意知f(B)－m>2恒成立， 即 2sin2B＋3π>2＋m 恒成立. 因为0<B<π， 所以π3<2B＋π3<73π， 所以 2sin2B＋3π∈[－2,2]， 所以2＋m<－2，所以m<－4， 故实数m的取值范围是(－∞，－4).
则2cmos242－7°m－21＝2sin
18° 4－4sin218° 2cos227°－1
金分割比 m＝ 52－1的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin 18°，则
m 4－m2 2cos227°－1
等于
A.4
B. 5＋1
∴cos α－sin α＝－ cos α－sin α2
＝－ cos α＋sin α2－4cos α·sin α
＝－ －312－4×－94＝－ 317，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝－13×－
317＝
17 9.
注意点：
(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等 不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于 2α 是 α 的二倍的情况，还可运用于 4α 作为 2α 的二倍，α 作为α2的二倍，3α 作为32α的二倍，α＋β 作为α＋2 β的二倍 等情况，这里蕴含着换元的思想. (3)正切二倍角的范围：α≠k2π＋π4且 α≠π2＋kπ(k∈Z).
因为 f(B)＝2，所以 2sin2B＋π3＝2， 即 sin2B＋3π＝1.
所以 2B＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z. 又因为 0<B<π，所以 B＝1π2.
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围.
由题意知f(B)－m>2恒成立， 即 2sin2B＋3π>2＋m 恒成立. 因为0<B<π， 所以π3<2B＋π3<73π， 所以 2sin2B＋3π∈[－2,2]， 所以2＋m<－2，所以m<－4， 故实数m的取值范围是(－∞，－4).
则2cmos242－7°m－21＝2sin
18° 4－4sin218° 2cos227°－1
金分割比 m＝ 52－1的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin 18°，则
m 4－m2 2cos227°－1
等于
A.4
B. 5＋1
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
5.5.1 二倍角的 正弦、余弦、正切公式
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
分A为钝角和锐角讨论 当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
当A为锐角时
巩固练习
求值：
1．sin2230`cos2230`
2. 2cos 2 1
8
3. sin 2 cos 2
8
8
4. 8sin cos cos cos
48 48 24 12
深化练习
6. 8cos 20cos 40cos80
同样 cos(+)= coscos-sinsin cos2= cos2-sin2 (C2)
学习新知
cos2= cos2-sin2
sin2+cos2=1 sin2=1-cos2
cos2= cos2-(1-cos2)=2cos2-1
cos2=1-sin2
cos2= (1-sin2)-sin2=1-2si
2 24 要注意倍数关系
学习新知
（1）sin4 = 2sin( 2 )cos( 2 ) （2）sin = 2sin( )cos( )
（3）cos 6 = cos2( 3 )-sin2( 3 )
= 2cos2( 3 )-1
= 1-2sin2( 3 )
（4）cos25-sin25=cos( 10 )
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
分A为钝角和锐角讨论 当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
当A为锐角时
巩固练习
求值：
1．sin2230`cos2230`
2. 2cos 2 1
8
3. sin 2 cos 2
8
8
4. 8sin cos cos cos
48 48 24 12
深化练习
6. 8cos 20cos 40cos80
同样 cos(+)= coscos-sinsin cos2= cos2-sin2 (C2)
学习新知
cos2= cos2-sin2
sin2+cos2=1 sin2=1-cos2
cos2= cos2-(1-cos2)=2cos2-1
cos2=1-sin2
cos2= (1-sin2)-sin2=1-2si
2 24 要注意倍数关系
学习新知
（1）sin4 = 2sin( 2 )cos( 2 ) （2）sin = 2sin( )cos( )
（3）cos 6 = cos2( 3 )-sin2( 3 )
= 2cos2( 3 )-1
= 1-2sin2( 3 )
（4）cos25-sin25=cos( 10 )