分块乘法的初等变换及应用举例(可编辑修改word版)

§7 分块乘法的初等变换及应用举例

将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段.

现设某个单位矩阵如下进行分块：

.

对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵；一行(列)加上另一行(列)的(矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：

.

和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵

,

只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：

, (1)

, (2)

. (3) 同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.

在(3)中，适当选择，可使.例如可逆时，选，则.于是(3)的右端成为

这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3) 中的运算非常有用.

例1 设

,

可逆，求.

例2 设

,

其中可逆，试证存在，并求.

例3 证明行列式的乘积公式.

例4 设，且

则有下三角形矩阵使

=上三角形矩阵.

第四章矩阵（小结）

一、内容概述

1.矩阵运算

1)加法与减法

其中都是矩阵

2)数乘

其中是矩阵

3)乘法

其中是矩阵, 是矩阵,并且若是级矩阵,则

.

4)可逆矩阵

对于 级矩阵 ,若存在矩阵 ,使得

.

则 叫做可逆矩阵, 叫做 的逆矩阵,记做

2. 矩阵的运算规律

1) 满足加法的交换律,结合律,乘法的结合律,数乘对加法的分配律,乘法对加法的左右分配律.此外还有

.

2) 要注意下面的与数不同的性质 (1)

(2) 可能

3. 几种特殊的矩阵

数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵 4. 矩阵 可逆的充要条件 级矩阵 可逆

可以通过初等变换化为单位矩阵; 可以写成初等矩阵的乘积;

逆矩阵的求法: (1) 初等变换法

的秩为 ;

的行列式

.

(2) 伴随矩阵法

5. 矩阵的秩

6. 初等矩阵与矩阵的初等变换 1) 三种初等矩阵

分别对应于三种初等变换.

2)对矩阵作初等行(列)变换,相当于用对应的初等矩阵左(右)乘.

3)矩阵的等价及标准形.

7.矩阵的分块

分块矩阵的运算.

二、本章的主要内容及它们之间的内在联系

数乘

乘法

初等矩阵

可逆矩阵

矩阵的运算

初等矩阵的乘积

对称矩阵与反对称矩阵

转置

矩阵的分块运算

本章的重点是矩阵的乘法及其逆运算问题 ----- 逆矩阵的存在性和求法问题本章的难点是矩阵的乘法及矩阵的分块乘法

三、解题方法与范例分析

本章的基本题型有:求给定矩阵的和,差,积.求与给定矩阵可交换的矩阵,矩阵可逆的证明及逆矩阵的求法,矩阵的秩的计算和证明,解矩阵方程.

1.关于给定矩阵的和,差,积及混合运算

例 1.设为级实矩阵,证明

2.与给定矩阵可交换的矩阵的求法及证明

例 2.用表示行列的元素为1，其余元素全为0 的矩阵，而.证明

1）若，则当时，当时；

2）若，则当时，当时，且；

3）若与所有的级矩阵可交换，则一定是数量矩阵，即.

3.矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法

例3.设级矩阵满足,证明可逆,并求其逆矩阵.

例 4.设为级整数矩阵,证明: 存在且为整数矩阵的充要条件是

5.矩阵的秩及相关问题的计算和证明

例 5. 证明若是级矩阵( ),则

6.解矩阵方程

例6.试求矩阵方程

的所有解.

7.分块矩阵的行列式

例 7.设都是级矩阵，其中并且，证明

.