最小二乘法及其应用..说课材料
最小二乘法及其应用
最小二乘法及其应用最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪，就由高斯首先创立并成功地应用于天文观测和大地的测量工作中。
此后，近三百年来，它已被广泛应用于科学实验与工程技术中。
随着现代电子计算机的普及与发展，这个古老的方法更加显示出其强大的生命力。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可以用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法拟合曲线的基本原理是：成对等精度地测得一组数据x，只(i=l，2，…，n)，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条拟合曲线上的各点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。
所谓“拟合”，即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。
曲线拟合的几何解释是：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。
用最小二乘法拟合的曲线较为精确，接近于实际曲线。
因而，最小二乘法拟合曲线在实际生活和科学研究中有着重要的意义，并渗透到各个领域，在物理、气象、化学、医学等方面有着广泛的应用。
例如，在物理方面，我们通常通过实验测得数据，然后根据这些实验数据拟合曲线，从而总结出某种现象的规律或者变化趋势，进而采取相应的措施避免或加强其变化程度。
这对于指导我们了解物理现象，并深刻理解物理知识是非常有帮助的。
又如，在气象方面，在温室效应的研究中，科学家们通过对1860年到1980年的11个地球平均温度增加值的分析,利用最小二乘法进行曲线拟合,通过精确计算,建立了地球平均温度增加值与时间之间的函数关系。
从而得出在2080年左右,地球的平均温度会比1980年上升约6℃,从而会引起诸如冰川后退、海平面上升等一系列严重的环境问题。
到时极地冰盖就会融化,从而引起大量的洪水泛滥和大片的陆地被淹没,这一认识对进行环境质量评价和提出保护地球的措施具有重要的理论意义。
《最小二乘估计》说课稿直接背诵版
高中数学《最小二乘估计》尊敬的各位考官大家好，我是高中数学组的X号考生，今天我说课的题目是《最小二乘估计》。
下面我将以【手势】教什么、怎么教、为什么这么教为思路，从教材分析、教法学法、教学过程和板书设计几方面谈一谈我对本节课的理解。
一、说教材我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉。
《最小二乘估计》选自北师大版高中数学必修3第1章8小节，本节课的内容是探究最小二乘估计的原理及应用，在此之前，学生已经学了变量相关性的知识，教学中可以引导学生思考这些知识之间的相互联系，这也为本节课的知识点起了很好的铺垫作用。
同时，本节课的内容也是之后学习数据分析的必要基础。
二、说学情教材是载体，是教学的基本工具。
而我们的教学是要面向学生的【手势，两只手向外】，那么为了能够成为一个合格的高中教师，就必须深入了解所面对的学生。
本阶段的学生能够有自己独立的思考，所以应该积极的发挥这种优势，让学生独立钻研探索。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及新课标要求，我制定了如下的三维教学目标：第一个是知识与技能目标掌握最小二乘法的思想，会利用最小二乘法求线性回归方程。
第二个是过程与方法目标在探索最小二乘法时，提升学生的类比分析归纳能力，感受与他人合作的重要性。
第三个：情感态度价值观目标（独乐兴）培养学生独立探索的精神，体会学习的快乐，激发学生对学习数学的兴趣。
四、说教学重难点并且我认为一节好的数学课，从教学内容上来说一定要【手势】突出重点、突破难点。
根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：掌握利用最小二乘法求线性回归方程。
本节课的教学难点是：线性回归方程的推导。
五、说教法和学法那么想要很好的呈现以上的想法，就需要合理设计教法和学法。
结合本节课的内容，我认为应该选择讲授法，练习法，小组合作法以及学生自主探索等教学方法。
六、说教学过程而教学方法的具象化就是教学过程。
我试图通过我【手势】所设计的教学，打造一个充满生命力【手势】的课堂。
最小二乘法的应用
最小二乘法的应用1最小二乘法的概念与研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
1.1最小二乘法的起源最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
1.2最小二乘法的方法人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
最小二乘法的原理及应用
最小二乘法的原理及应用
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和解决回归问题。
它的基本原理是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线或直线。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各种领域，如经济学、物理学、工程学等。
最小二乘法的原理
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线或直线。
误差平方和是指实际观测值与拟合值之间的差的平方和。
最小二乘法的目标是找到一条曲线或直线，使得误差平方和最小。
最小二乘法的应用
最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用： 1. 线性回归
线性回归是最小二乘法的一种应用。
它用于建立一个线性模型，以预测一个因变量与一个或多个自变量之间的关系。
最小二乘法可以用来确定最佳拟合直线，以最小化误差平方和。
2. 曲线拟合
最小二乘法可以用于拟合各种类型的曲线，如多项式曲线、指数曲
线、对数曲线等。
通过最小二乘法，可以找到最佳拟合曲线，以最小化误差平方和。
3. 数据分析
最小二乘法可以用于数据分析，以确定数据之间的关系。
例如，可以使用最小二乘法来确定两个变量之间的相关性，或者确定一个变量如何随时间变化。
4. 信号处理
最小二乘法可以用于信号处理，以估计信号的参数。
例如，可以使用最小二乘法来估计信号的频率、幅度和相位。
总结
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和解决回归问题。
它的基本原理是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线或直线。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各种领域，如经济学、物理学、工程学等。
教案最小二乘法
8最小二乘法一、教学分析最小二乘法的思想是使()2i i y a b -+⎡⎤⎣⎦的和达到最小。
对于最小二乘法本身，任何一组数据，不论它们之间是否存在线性相关关系，都可以用最小二乘法估计出一个线性方程来。
所以，通过散点图判断两个变量是否存在线性相关系就显得很重要。
二、教学建议关于最小二乘法不要求学生掌握推导过程，但要理解其思想。
三、教学目标1、知识与技能了解最小法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
2、过程与方法经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程，体会研究两个变量间依赖关系的一般方法。
3、情感态度价值观通过利用散点图直观认识变量间的相关关系，培养学生用普遍联系的观点思考和解决生活中的数学现象，进一步培养学生的创新意识与创新能力。
四、教学重点、难点教学重点：利用最小二乘法求线性回归方程。
教学难点: 线性回归方程的推导。
（一）课题引入在上一节的讨论我们知道，人的身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就说，它们之间是线性相关的。
这种线性关系可以用多种方法来刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好呢？一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都接近。
（二）探求新知假设一条直线的方程为：y a bx =+，任意给定一个样本点：(),i i x y ，即有一个估计值(),i i x a bx +与之对应，那么估计值与真实值之间存在误差()i i y a bx -+⎡⎤⎣⎦，为了避免误差相互抵消，可以考虑用()2i i y a bx -+⎡⎤⎣⎦来刻画彼此之间的“误差”。
如果有n 个样本点，其坐标分别为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，则所有误差的和()()()2221122n n y a bx y a bx y a bx -++-+++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦越小，对应的直线方程就越理想。
使得上式达到最小值的直线y a bx =+就是所要求的直线，我们把这种方法称为最小二乘法。
最小二乘法原理及其应用
最⼩⼆乘法原理及其应⽤
⼤纲
提出背景
在分析数据的时候常⽤到插值，如线性插值、抛物线插值、拉格朗⽇插值等，但是其
存在缺陷是：
1.所表达的多项式次数⼀般为n次
2.数据存在误差时会偏离实际的曲线
最⼩⼆乘法定义
样本数据xi在y轴上的点yi与拟合曲线zi=f（xi）之间的差的平⽅和。
设所求的多项式为
假设存在n+1个样本即（），i=0,1，…n
则由最⼩⼆乘法的定义可知：使得所有样本差的平⽅和最⼩时时多项式的系数。
即
分别对a0，a1，…,ak求偏导，即
即存在存在n+1元⼀次线性⽅程组。
即如果拟合曲线是线性多项式，则相当于求解⼆元⼀次⽅程组。
如果拟合曲线是⾮线性多项式，如⼆次，则求解三元⼀次⽅程组。
以此类推，求解n次多项式，则相当于求解n+1阶线性⽅程组。
3.为什么是平⽅和？
假设如果取绝对值的话，曲线存在尖点就不能求导（偏导）。
最⼩⼆乘法的本质就是求解线性⽅程组。
4.应⽤
这是⼀篇硕⼠论⽂中运⽤拟合（最⼩⼆乘法的案例，详情见参考⽂献），由于硬件原因，测量距离和实际距离存在偏差，通过⼆次多项式拟合⽅式的补差误差。
前⾯谈到，⼆次的话需要求解三元⼀次⽅程组。
参考⽂献
[1] 蔡锁章，杨明等. 数值计算⽅法[M]:2 版. 北京：国防⼯业出版社，2016.2.
[2] 徐国平. 智能感控视⼒保护仪的设计[D]. 湖北省武汉市：华中师范⼤学物理科学与技术学院，,2013.（p66）时间：2021-06-13/15:41:56。
最小二乘法应用
最小二乘法应用一、前言最小二乘法是一种常见的数学方法，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍最小二乘法的基本原理和具体应用。
二、最小二乘法基本原理最小二乘法是一种用于拟合数据的数学方法，它的基本思想是通过寻找一个函数，使得这个函数与实际数据之间的误差平方和最小。
假设我们有一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们要找到一个函数y = f(x)，使得f(xi) ≈ yi。
我们可以定义误差ei = yi - f(xi)，则总误差平方和为：S = e1^2 + e2^2 + ... + en^2我们要寻找一个函数f(x)，使得S最小。
通过求导可得：∂S/∂a = -2(e1x1 + e2x2 + ... + enxn) = 0∂S/∂b = -2(e1 + e2 + ... + en) = 0解这个方程组可以得到a和b的值，进而求出f(x)。
三、线性回归分析线性回归分析是最小二乘法的一种具体应用，它用于建立一个自变量x 与因变量y之间的线性关系模型。
线性回归分析可以用于预测和探究变量之间的关系。
假设我们有一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们要建立一个线性模型y = a + bx，其中a和b是常数。
我们可以使用最小二乘法来求解a和b的值。
首先，我们需要计算x和y的平均值：x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / nȳ = (y1 + y2 + ... + yn) / n然后，我们可以计算样本方差sxy、sx和sy：sxy = [(x1 - x̄)(y1 - ȳ) + (x2 - x̄)(y2 - ȳ) + ... + (xn - x̄)(yn - ȳ)] / (n-1)sx = [(x1 - x̄)^2 + (x2 - x̄)^2 + ... + (xn - x̄)^2] / (n-1)sy = [(y1 - ȳ)^2 + (y2 - ȳ)^2 + ... + (yn - ȳ)^2] / (n-1)最后，我们可以求出b的值：b = sxy / sx然后，我们可以求出a的值：a = ȳ -b x̄至此，我们就得到了线性回归模型y = a + bx。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。
2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,bb,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(miniiiiixbbYYYe
为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例.
iiixBBY10 （一元线性回归方程） 由于总体回归方程不能进行参数估计，我们只能对样本回归函数来估计即： iiiexbbY10)...2,1(ni
从上面的公式可以看出：残差ie是iY的真实值与估计值之差，估计总体回归函数最优方法是，选择10,BB的估计量10,bb，使得残差ie尽可能的小. 总之，最小二乘原理就是选择样本回归函数使得所有Y的估计值与真实值差的平方和为最小，这种确定10,bb的方法叫做最小二乘法。 最小二乘法是回归分析中的最基本的方法。回归方程一般分为2类，线性回归方程和非线性回归方程。
2.1 线性回归最小二乘法 最小二乘法是由实验或调查的数据，建立线性型公式的一种常用方法. 在建立线性型公式中，虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数（即真实总体回归函数的估计值），但是在回归分析中最广泛应用的方法是最小二乘法.
如果变量yx和有精确的线性关系比如说baxy,那么iiyy即观测值与回归值是相等的.事实上现实世界中的诸多变量的关系未必都是如此，由于受诸多随机因数的干扰使得物与物之间没有那种很明确的对应关系.比如说人的身高和体重就是一个对应，我们都知道长的高的人不一定就重，同理长的矮的人也不一定就轻.但身高和体重的确存在着一定的关系,而这种
关系并非是baxy所能确定的.那么我们要寻求身高和体重之间的关系就需要通过数学的方法.首先调查统计得出数据;其次把数据描绘出来；然后拟合一条跟已有的图象最接近的曲线,这样就可以相对地将身高和体重之间的关系表示出来.在处理类似的事情中常常用到最小二乘法.
2.2 非线性回归最小二乘法 非线性回归的种类很多，常用的有抛物线方程（2YabXcX）、指数方程（xYab）等。 设已知列表函数()(0,1,...,)iiyfxim，并且我们想用一个通常的()nm次多项式 01...nnnpxaaxax （1）
去近似它。问题是应该如何选择01...naaa，，， 使npx能较好地近似列表函数fx。按最小二乘法，应该选择01...naaa，，，使得 2010...mniniiSaaafxpx
，，， （2）
取最小。注意到S是非负的，且是01...naaa，，，的2次多项式，它必有最小值。求S 对01...naaa，，， 的偏导数，并令其等于零，得到 010...0mnkiiniiiyaaxaxx
(0,1,...,)kn
进一步，可以将它们写成 101...mmmmkkkkniiiiniioioioioyxaxaxax
(0,1,...,)kn
引进记号 mmkk
kikiiioiosxuyx
和
则上述方程组为 001101021110112,,nnnnnnnnnsasasausasasausasasau
LLLLLLLLLLLLL
(3) 它的系数行列式是 01121112.nnnnnnsssssssssX
LLMMML
由(0,1,,2)iinsL 的定义及行列式性质，可以断言
21011,,,.(1)!nnXWn
L (4)
此处符号W 表Vandermonde行列式，而是对所有可能的(0,1,,)iinL 求和（每个i 可以取值01,,,,mxxxL并且当ij时ij。由（4）式及Vandermonde 行列式的性质可知，当01,,,mxxxL互异时，
012220101011110.,,,nn
nnnn
nW
LLLMMML
L
从而，100nX方程组(3)有唯一解01,,,naaaL ,且它们使(2)取极小值如此，我们应用最小二乘法找到了fx的近似多项式nxp. 在利用最小二乘法组成和式(2)时，所有点ix都起到了同样的作用，但是有时依据某种理由认为中的某些项的作用大些，而另外一些作用小些（例如，一些iy是由精度较高的仪器或操作上比较熟练的人员获得的，自然应该予以较大的信任），这在数学上表现为用和 20miiniifxpx
（5） 替代和(2)取最小值.0i，且11nii,i通常称之为权；而(5)为加权和. 用多项式01nnnxaaxaxpL去近似一个给定的列表函数（即给出的一组观测值iiyfx时。需要确定的参数是01,,,naaaL;而nxp可以看成是01,,,naaaL的线性函数.但是有时在利用观测或实验数据去确定一个经验公式时，往往要确定的函数和待定参数之间不具有线性形式的关系.这样问题就变得有些复杂.然而，常常可以通过变量替换使其线性化. 最小二乘法原理是用来求解线性方程组的,非线性方程经线性化后方可应用该原理. 通常在测量中遇到的问题不一定都是线性问题, 必须先把非线性问题线性化, 然后求解. 例如： （i）有时，我们希望用如下类型的函数： qspt (6) 去近似一个由一组观测数据（列表）所描绘的函数，其中p 和q 是待定的两个参数.显然s已非p和q的线性函数.怎样线性化呢？为此，我们在(6)式两端取对数，得到
InsInpqInt
记01,,,,InsyInpaaqxInt则 (6)式变成
01yaax .
这是一个一次多项式，它的系数0a和1a可以用最小二乘法求得. (ii) 我们经常希望用函数 CtSAe (7) 去近似一个以给定的列表函数，其中A、C是待定的参数.这时，我们可以(7)的两端取对数： InSInACt 记011,,,InSyInAaCaxt，则(1.7)式变成 01yaax 这样仍可用最小二乘法定出01,aa（从而也就定出了A,C ），得到近似函数 CtSAe .
下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线型的方程的参数估计方法，介绍如下： （1）直线型 直线方程的一般形式为 YabX
令22()()YCabXC为最小值，分别为a和b求偏导数，并令导数等于0，得到联立方程组。解方程组，即可得到参数的计算公式 。
22()aYbXnXYXYbnXX
（2）抛物线型 抛物线方程的一般形式为
2YabXcX
令22()()YCabXC为最小值，分别为 a、b、c求偏导数,并令导数等于0,得到联立方程组解方程组,即可得到参数的计算公式。 22232234
000YnabXcXYXaXbXcXYXaXbXcX
（3)指数曲线型 指数曲线的一般形式为
XYab