高中数学求轨迹方程地六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是

4

9

，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =

≠-+，直线BM 的斜率(3)3

AM y k x x =≠- 由已知有4

(3)339

y y x x x ?=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22

1(3)94

x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。

2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2

2

24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ?=u u u r u u u r

的点，求点

P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ?的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ?的重心轨迹方程是_______________。

解：设ABC ?的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得

2

30203

BG CG +=?=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。 所

以由220,8a c ==可得10,6a b ==

=

故ABC ?的重心轨迹方程是

22

1(0)10036

x y y +=≠ 练习：4

．方程|2|x y =++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线 3．点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，

122y y y =+且直线AB 的斜率为

21

21

y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。

例3．椭圆22

142

x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。 解：设过点(1,1)P 的直线交椭圆于11(,)A x y 、22(,)B x y ，则有

2211142x y += ① 22

22142

x y += ② ①-②可得12121212()()()()

042

x x x x y y y y -+-++=

而(1,1)P 为线段AB 的中点，故有12122,2x x y y +=+=

所以

12121212()2()210422x x y y y y x x -?-?-+=?=--，即1

2

AB k =-

所以所求直线方程为1

1(1)2

y x -=-

-化简可得230x y +-= 练习：5．已知以(2,2)P 为圆心的圆与椭圆2

2

2x y m +=交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

6．已知双曲线2

2

12

y x -=，过点(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，使P 为线段AB 的中点？

4．转移法

转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律。

例4． 已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线

22

1169

x y -=上的动点，求12F F P ?的重心G 的轨迹方程。

解：设 重心(,)G x y ，点 00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F - 则有???

????++=++-=30003044y y x x ， 故???==y y x x 3030代入

19

2

01620=-y x 得所求轨迹方程 2

291(0)16

x y y -=≠ 例5．抛物线2

4x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程。

解法一：（转移法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1

(,)22

x y P +，

将1y kx =-，代入抛物线方程,得2

440x kx -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则

21212121216160||1444

4k k x x k

x x k x x x x ??=->>?????

+=?+=????==???? ① ∴22

22121212

12()24244

x x x x x x y y k ++-+===-， ∵P 为AB 的中点.∴???????-=+=+=+=1222122

22212

1k y y y k x x x ????-==3442

k y k x ，消去k 得 24(3)x y =+，由①得，||4x >，故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>。

解法二：（点差法）设(,)R x y ，∵(0,1)F ，∴平行四边形AFBR 的中心为1

(,)22

x y P +，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则有

2114x y = ① 2224x y = ②

由①-②得12121212()()4()4l x x x x y y x x k -+=-?+= ③

而P 为AB 的中点且直线l 过点(0,1)-，所以121

1

3

22,22

l y x y x x x k x x ++++=?===

代入③可得34y x x

+=?，化简可得22

124124x x y y -=+?=④

由点1(,

)22x y P +在抛物线口内，可得221

()48(1)22

x y x y +

将④式代入⑤可得22

212

8(1)16||44

x x x x -<+?>?> 故动点R 的轨迹方程为2

4(3)(||4)x y x =+>。

练习：7．已知(1,0),(1,4)A B -，在平面上动点Q 满足4QA QB ?=u u u r u u u r

，点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的

对称点，求动点P 的轨迹方程。

5．参数法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

例6．过点(2,0)M -作直线l 交双曲线2

2

1x y -=于A 、B 两点，已知OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

。

（1）求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（2）是否存在这样的直线l ，使OAPB 矩形？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。 解：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，代入方程2

2

1x y -=， 得2

2

2

2

(1)4410k x k x k ----=

因为直线l 与双曲线有两个交点，所以2

10k -≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，则

2212122

2441

,11

k k x x x x k k ++==-- ① 212121222

44(2)(2)()4411k k k

y y k x k x k x x k k k k ?+=+++=++=+=--

设(,)P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 得2121222

44(,)(,)(,)11k k

x y x x y y k

k

=++=-- ∴2224141k x k k y k ?=?

-?

??=?-? 所以x k y =，代入2

41k y k =-可得241()x y y x y =-，化简得 2240x y x -+=即22(2)4x y +-= ②

当直线l 的斜率不存在时，易求得(4,0)P -满足方程②，故所求轨迹方程为2

2

(2)4(0)x y y +-=≠，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）

（2）平行四边OPAB 为矩形的充要条件是0OA OB ?=u u u r u u u r

即12120x x y y += ③ 当k 不存在时，A 、B

坐标分别为(-

、(2,-，不满足③式

当k 存在时，222

121212121212(2)(2)(1)2()4x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++

2222222(1)(14)244011k k k k k k k ++?=-+=--化简得22101

k k +=-，

此方程无实数解，故不存在直线l 使OPAB 为矩形。

练习：8．设椭圆方程为14

2

2

=+y x ,过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足)(21+=

,点N 的坐标为)2

1

,21(,当l 绕点M 旋转时,求: (1)动点P 的轨迹方程； (2)||NP 的最小值与最大值。

9．设点A 和B 为抛物线2

4(0)y px p =>上原点O 以外的两个动点，且OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥于

M ，求点M 的轨迹方程。

6．交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例7．已知MN 是椭圆12222=+b

y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、B 是椭圆长轴的两个端点，求直线MA 和NB 的交点P 的轨迹方程。

解1:(利用点的坐标作参数)令11(,)M x y ，则11(,)N x y -

而(,0),(,0)A a B a -.设AM 与NB 的交点为(,)P x y 因为,,A M P 共线，所以

a x y a x y +=+11 因为,,N B P 共线，所以a

x y a x y

--=-11

两式相乘得22121222

a x y a x y --

=-①， 而1221221=+b y a x 即2)212(221a x a b y -=代入① 得22222

a b a x x =-， 即交点P 的轨迹方程为 122

22=-b

y a x 解2: (利用角作参数)设(cos ,sin )M a b θθ，则(cos ,sin )N a b θθ-

所以

a a

b a x y +=+θθcos sin , a

a b a x y --

=-θθ

cos sin 两式相乘消去θ 即可得所求的P 点的轨迹方程为 122

22=-b

y a x 。 练习：10．两条直线01=++y ax 和)1(01±≠=--a ay x 的交点的轨迹方程是___ ______。

总结归纳

1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明,x y 的取值范围。

2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。

练习参考答案

1．22(2)11648x y --= 2．解：设P 点的坐标为(,)x y ，则由方程22

24x y +=，得242

x y -=± 由于直线l 与椭圆交于两点A 、B ，故22x -<<

即A 、B 两点的坐标分别为22

44(,),(,)22x x A x B x ---

∴22

44(0,),(0,)22

x x PA y PB y --=-=--u u u r u u u r

由题知1PA PB ?=u u u r u u u r 即22

44(0,)(0,)122

x x y y ---?--=

∴22

412x y --= 即22

26x y += 所以点P 的轨迹方程为221(22)63

x y x +=-<< 3．D 【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD 与11D C 是异 面垂直的两条直线，过直线AD 与11D C 平行的平面是面ABCD ，设在平面ABCD 内动点(,)M x y 满足到 直线AD 与11D C 的距离相等，作1MM MP =于1M ，MN CD ⊥于N ，11NP D C ⊥于P ，连结MP ，

易知MN ⊥平面111,CDD C MP D C ⊥，则有1MM MP =，222

||y x a =+(其中a 是异面直线AD 与11D C

间的距离)，即有222

y x a -=，因此动点M 的轨迹是双曲线，选D. 4．A 5．解 设(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y

则12122,2x x x y y y +=+=，由m y x =+21221

，m y x =+22

222 两式相减并同除以12()x x -得

121212121122y y x x x

x x y y y -+=-=--+ , 而1212

AB y y k x x -=-

2

2

PM y k x -=-, 又因为PM AB ⊥所以1AB PM k k ?=- 12

122

x y y x --

?=-- 化简得点M 的轨迹方程240xy x y +-= 6．先用点差法求出210x y --=，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，

注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。

7．解：设(,)Q x y ，则(1,),(1,4)QA x y QB x y =---=--u u u r u u u r

由4(1,)(1,4)4(1)(1)()(4)4QA QB x y x y x x y y ?=?---?--=?---+--=u u u r u u u r

即2

2

2

(2)3x y +-= 所以点Q 的轨迹是以(0,2)C 为圆心，以3为半径的圆。 ∵点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的对称点。

． M O ．P

B

A y

x

∴动点P 的轨迹是一个以000(,)C x y 为圆心，半径为3的圆，其中000(,)C x y 是点(0,2)C 关于直线

2(4)y x =-的对称点，即直线2(4)y x =-过0CC 的中点，且与0CC 垂直，于是有

00002

210202422

y x y x -??=-?-??

?++=?-??即000000240821802y x x y x y +-==???????-+==-???

?故动点轨迹方程为22

(8)(2)9x y -++=。 8．解：(1)解法一:直线l 过点(0,1)M ，设其斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+ 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组 ??

???=+

+=141

2

2y x kx y 的解 将①代入②并化简得,032)4(2

2=-++kx x k , 所以???????+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则???

????

+=+-=.

44,422k y k k x 消去参数k

得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时, A 、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P 的轨迹方程为22

40x y y +-= 解法二:设点P 的坐标为),(y x ,因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上,所以

,14212

1

=+y x ④.142

222=+y x ⑤ ④—⑤得0)(412

2212221=-+-y y x x ,所以

.0))((41

))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时,有.0)(412

121

2121=--?+++x x y y y y x x ⑥ 并且???

?

?

?

?

??--=-+=+=.

1,2,2212121

2

1x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧ 当21x x =时,点A 、B 的坐标为(0,2),(0,2)-，这时点P 的坐标为(0,0)

也满足⑧,所以点P 的轨迹方程为2

2

1

()2111164y x -+= (2)解:由点P 的轨迹方程知2

116x ≤，即1144

x -≤≤所以

① ②

12

7

)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP

故当41

=x ,||取得最小值,最小值为61;41-=x 当时,||取得最大值,

9．解法1 ：(常规设参)设(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，则

?????-=+-=??????????

??-=?---=?==x py y y p y y x

y x x y y x y x y px

y px

y 42

12162112121

1221124221421 （※） 由,,A M B 共线得)421(2141p y x y y p y y -+=- 则2

121214y y y y x y y p

y +++=

把（※）代入上式得y

px y x y 42+-=化简得M 的轨迹方程为22

40(0)x y px x +-=≠) 解法2： (变换方向) 设OA 的方程为(0)y kx k =≠，则OB 的方程为1y x k

=-

由???==px y kx y 22 得222(,)p p A k k ， 由??

???

=-=px

y x k y 221 得2

(2,2)B pk pk -

所以直线AB 的方程为 2

(2)1k

y x p k

=

--① 因为OM AB ⊥，所以直线OM 的方程为2

1k y x k

-=- ② ①×②即得M 的轨迹方程: 2

2

40(0)x y px x +-=≠

解法3： (转换观点) 视点M 为定点,令00(,)M x y ，由OM AB ⊥可得直线AB 的方程为

0000()x y y x x y -=-

-, 与抛物线24y px =联立消去y 得222

00000

44()0py p y y x y x x +-+=,设1122(,),(,)A x y B x y ，则22

12000

4()p y y x y x =-

+ 又因为OA OB ⊥，所以21621p y y -= 故22

2000

4()16p x y p x -

+=-即220

0040x y px +-= 所以M 点的轨迹方程为2240(0)x y px x +-=≠ 10．)0,0(02

2

≠≠=+-+y x y x y x